10. trinn Vår 2021 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Løpebane i kilometer og samlet pris på tre varer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En løpebane på en friidrettsbane er 400 meter.

Cornelia løper 6 runder.

Cornelia løper kilometer.

En caps merket 299 kroner, et par joggesko merket 949 kroner og en rød T-skjorte merket 149 kroner

Philip vil kjøpe varene ovenfor.

Han må til sammen betale kroner.

Fasit

$2,4 km$

$1397 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Cornelia løper 6 runder, og hver runde er $400 m$ . Da løper hun

6 \cdot 400 m = 2400 m

Vi gjør om til kilometer ved å dele på 1000, siden $1 km = 1000 m$ :

2400 m = \frac{2400}{1000} km = 2,4 km

Cornelia løper $2,4 km$ .

Philip må betale prisen på capsen, joggeskoene og T-skjorten til sammen:

299 kr + 949 kr + 149 kr = 1397 kr

Philip må betale $1397 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Måleenheter, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Regnerekkefølge med parentes og andrepotens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut $3 (2 + 5) - 3^{2}$

Fasit

$12$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker regnerekkefølgen: først parentes, deretter potens, og til slutt multiplikasjon og subtraksjon.

Først regner vi ut det som står i parentesen:

3 (2 + 5) - 3^{2} = 3 \cdot 7 - 3^{2}

Deretter regner vi ut potensen:

3 \cdot 7 - 3^{2} = 3 \cdot 7 - 9

Så multipliserer vi:

3 \cdot 7 - 9 = 21 - 9

Til slutt trekker vi fra:

21 - 9 = 12

Svaret er $12$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Tallregning, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Plasser kvadratrot, brøk og pi på tallinja

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Maia tenker på tallene $\sqrt{9}$ , $3,1$ , $\frac{32}{10}$ og $π$ .

Plasser hvert av tallene Maia tenker på, i riktig rute på tallinjen nedenfor.

Tallinje der ruta lengst til venstre er 2,9 og ruta lengst til høyre er 3,3. Mellom dem står fire tomme ruter over hver sin merkestrek

Fasit

Rute 1: $\sqrt{9} = 3$ · Rute 2: $3,1$ · Rute 3: $π \approx 3,14$ · Rute 4: $\frac{32}{10} = 3,2$

LøsningsforslagKI-generert

For å plassere tallene riktig på tallinja, skriver vi først om alle tallene til desimaltall, slik at de blir enklere å sammenlikne.

$\sqrt{9}$ er det tallet som gitt to ganger med seg selv blir 9. Siden $3 \cdot 3 = 9$ , er

\sqrt{9} = 3

$3,1$ er allerede et desimaltall.

$\frac{32}{10}$ gjør vi om til desimaltall ved å dele 32 på 10:

\frac{32}{10} = 3,2

$π$ er et tall vi kjenner fra sirkler. Med to desimaler er

π \approx 3,14

Nå har vi disse fire desimaltallene: $3$ , $3,1$ , $3,2$ og $3,14$ . Vi sammenlikner dem og sorterer fra minst til størst:

3 < 3,1 < 3,14 < 3,2

Tallinja går fra $2,9$ til $3,3$ med fire ledige ruter imellom. Vi plasserer derfor tallene i stigende rekkefølge fra venstre mot høyre:

Rute 1 (nærmest $2,9$ ): $\sqrt{9} = 3$
Rute 2: $3,1$
Rute 3: $π \approx 3,14$
Rute 4 (nærmest $3,3$ ): $\frac{32}{10} = 3,2$

Svar: $\sqrt{9}, 3,1, π, \frac{32}{10}$ (i stigende rekkefølge fra venstre mot høyre på tallinja).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Tallregning, Brøk, Kvadratrøtter
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Trekke bokstaven S i OSLO og konge eller ess

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

De fire bokstavene i ordet OSLO blir skrevet på hver sin lapp. Deretter blir lappene brettet sammen og blandet. Så trekker Line tilfeldig en av lappene.

Hva er sannsynligheten for at hun trekker lappen med bokstaven S?
Svar:

Didrik trekker et kort fra en kortstokk som består av 52 kort.

Det er fire konger og fire ess i kortstokken.

Sannsynligheten for at Didrik trekker en konge eller et ess, er

Fasit

$\frac{1}{4}$

$\frac{2}{13}$

LøsningsforslagKI-generert

Ordet OSLO består av 4 bokstaver: O, S, L og O. Bokstaven S finnes bare på én av de fire lappene. Alle lappene er like store og blandet godt, så alle fire lappene er like sannsynlige å trekke.

Sannsynligheten for å trekke lappen med S er da

P (S) = \frac{antall lapper med S}{antall lapper totalt} = \frac{1}{4}

Sannsynligheten for å trekke lappen med bokstaven S er $\frac{1}{4}$ .

Det er 4 konger og 4 ess i kortstokken på til sammen 52 kort. En konge og et ess kan ikke være samme kort, så vi kan legge sammen sannsynlighetene for å trekke en konge og for å trekke et ess:

P (konge eller ess) = P (konge) + P (ess) = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} = \frac{8}{52}

Vi forkorter brøken ved å dele teller og nevner på 4:

\frac{8}{52} = \frac{8 \div 4}{52 \div 4} = \frac{2}{13}

Sannsynligheten for at Didrik trekker en konge eller et ess, er $\frac{2}{13}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Sannsynlighet, Brøk
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Amalie og Lukas på løpetur i gymtimen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Amalie og Lukas løper i gymtimen. De starter samtidig, de følger den samme ruten, og begge har en pause halvveis i løpeturen. Diagrammet nedenfor viser sammenhengen mellom tid og avstand fra skolen for hver av dem.

Nedenfor er det seks påstander om løpeturen. Kryss av for de påstandene som er korrekte.

Fasit

Korrekte påstander: $Løpeturen er 10 km, de løper sammen i 10 min etter pausen, snittfarten til Amalie hele turen er 10 km/h, og snittfarten hennes etter pausen er høyere enn 10 km/h$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av diagrammet punkt for punkt og går gjennom hver påstand.

«Løpeturen er 10 kilometer.» Begge grafene når høyest avstand fra skolen ved $5 km$ , og synker deretter tilbake til $0 km$ . Det betyr at de løper $5 km$ bort fra skolen og $5 km$ tilbake igjen. Hele løpeturen er da

5 km + 5 km = 10 km

Påstanden er korrekt.

«Lukas kommer tilbake til skolen før Amalie.» Av grafen ser vi at den blå grafen (Lukas) når $0 km$ ved $65 \min$ , mens den røde grafen (Amalie) når $0 km$ allerede ved $60 \min$ . Amalie er altså tilbake på skolen før Lukas, så det er Lukas som kommer sist. Påstanden er ikke korrekt.

«Etter pausen løper de sammen i 10 minutter.» Lukas sin pause varer fra $25$ til $35 \min$ , mens Amalies pause varer fra $30$ til $35 \min$ . Fra $35 \min$ har begge avsluttet pausen, og grafene følger da samme linje fra $35 \min$ til $45 \min$ — det vil si i

45 \min - 35 \min = 10 \min

Påstanden er korrekt.

«Begge har en pause i 10 minutter.» Lukas sin pause varer fra $25$ til $35 \min$ , altså $10 \min$ . Amalies pause varer bare fra $30$ til $35 \min$ , altså

35 \min - 30 \min = 5 \min

Amalie har altså bare $5$ minutters pause, ikke $10$ . Påstanden er ikke korrekt.

«Gjennomsnittsfarten til Amalie på hele løpeturen medregnet pause er 10 km/h.» Amalie løper til sammen $10 km$ (se første påstand), og hele turen tar $60 \min = 1 time$ , inkludert pausen. Gjennomsnittsfarten er da

v = \frac{s}{t} = \frac{10 km}{1 time} = 10 k m / h

Påstanden er korrekt.

«Amalie har høyere gjennomsnittsfart enn 10 km/h etter pausen.» Etter pausen, altså fra $35 \min$ til hun er tilbake ved $60 \min$ , løper Amalie $5 km$ tilbake til skolen. Tiden hun bruker er

60 \min - 35 \min = 25 \min = \frac{25}{60} time

Gjennomsnittsfarten hennes etter pausen er da

v = \frac{5 km}{\frac{25}{60} time} = 12 k m / h

Siden $12 k m / h > 10 k m / h$ , er påstanden korrekt.

Konklusjon: De korrekte påstandene er $«Løpeturen er 10 kilometer», «Etter pausen løper de sammen i 10 minutter», «Gjennomsnittsfarten til Amalie på hele løpeturen medregnet pause er 10 km/h» og «Amalie har høyere gjennomsnittsfart enn 10 km/h etter pausen»$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Graftolkning, Fart, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Antall koder med to bokstaver og fire siffer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Det er 29 bokstaver i alfabetet vårt, og tallsystemet vi vanligvis bruker, har 10 siffer.

Du skal lage en kode med seks tegn. De to første skal være bokstaver, og de fire neste skal være siffer. En slik kode kan for eksempel være YA6505.

Hvor mange ulike koder er det mulig å lage?

Fasit

$8 410 000 koder$

LøsningsforslagKI-generert

Koden har seks tegn: to bokstaver og fire siffer.

Vi bruker at hver plass i koden kan fylles uavhengig av de andre platsene, og teller hvor mange valg vi har på hver av de seks platsene.

1. tegn (bokstav): $29$ mulige valg
1. tegn (bokstav): $29$ mulige valg
1. tegn (siffer): $10$ mulige valg
1. tegn (siffer): $10$ mulige valg
1. tegn (siffer): $10$ mulige valg
1. tegn (siffer): $10$ mulige valg

For å finne det totale antallet koder multipliserer vi antall valg på hver plass med hverandre:

29 \cdot 29 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 841 \cdot 10 000 = 8 410 000

Svar: $8 410 000 koder$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Prisavslag på skjorte fra 599 til 510 kroner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Prisen på en skjorte blir satt ned fra 599 kroner til 510 kroner.

Omtrent hvor mange prosent blir prisen satt ned?

Fasit

$omtrent 15 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne den prosentvise nedgangen i prisen, og siden vi bare trenger et overslag, runder vi tallene til noe som er enkelt å regne med. Vi runder $599$ kroner opp til $600$ kroner.

Prisen gikk ned fra ca. $600$ kroner til $510$ kroner, altså en nedgang på

600 - 510 = 90 kroner

For å finne hvor mange prosent dette er av den opprinnelige prisen, deler vi nedgangen på den opprinnelige prisen og ganger med $100 %$ :

\frac{90}{600} \cdot 100 % = 15 %

Svar: $omtrent 15 %$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning, Prosentvis endring
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Elever og studenter i Norge 1955-2018

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Diagrammet nedenfor viser antall elever i grunnskole og videregående opplæring

og antall studenter ved universitet og høgskoler i Norge fra 1955 til 2018.

Linjediagram fra 1955 til 2018 med tre kurver. Grunnskole starter på omtrent 440 000, stiger til nær 600 000 rundt 1980, faller til omtrent 470 000 rundt 1990 og ender på omtrent 630 000 i 2018. Videregående starter på omtrent 90 000 og ender på omtrent 245 000. Universitet og høgskole starter nær 0 og ender på omtrent 295 000

Omtrent hvor mange elever gikk på grunnskolen i 2018?
Svar:

I 2018 var Norges befolkning ca. 5,3 millioner.

Omtrent hvor stor del av Norges befolkning gikk på grunnskolen, tok videregående opplæring eller studerte ved universitet og høgskole i 2018?

Fasit

$omtrent 630 000 elever$

$\frac{1}{5}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av diagrammet der den lyseblå kurven for grunnskole ender, altså ved år $2018$ . Kurven ligger da på omtrent $630 000$ .

Svar: $omtrent 630 000 elever$

Vi leser av alle tre kurvene i 2018:

Grunnskole: omtrent $630 000$
Videregående: omtrent $245 000$
Universitet og høgskole: omtrent $295 000$

Vi legger sammen de tre avlesningene for å finne hvor mange som til sammen gikk på skole eller studerte:

630 000 + 245 000 + 295 000 = 1 170 000

Dette skal sammenlignes med hele befolkningen, som var ca. $5 300 000$ . Vi finner andelen ved å dele:

\frac{1 170 000}{5 300 000} \approx 0,22

Vi sammenligner med svaralternativene skrevet som desimaltall: $\frac{1}{10} = 0,1$ , $\frac{1}{5} = 0,2$ , $\frac{1}{3} \approx 0,33$ og $\frac{2}{5} = 0,4$ . Av disse ligger $\frac{1}{5} = 0,2$ nærmest $0,22$ .

Svar: $\frac{1}{5}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Graftolkning, Statistikk, Brøk
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Finn p i formelen n = 12p + 48

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sett $n = 120$ og bestem verdien av $p$ i formelen nedenfor.

n = 12 p + 48

Fasit

$p = 6$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $n = 120$ inn i formelen:

120 = 12 p + 48

Vi løser likningen for $p$ . Først trekker vi $48$ fra på begge sider:

\begin{matrix} 120 & = 12 p + 48 \\ 120 - 48 & = 12 p + 48 - 48 \\ 72 & = 12 p \end{matrix}

Deretter deler vi begge sider på $12$ :

\begin{matrix} \frac{72}{12} & = \frac{12 p}{12} \\ 6 & = p \end{matrix}

Svar: $p = 6$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Likninger, Formler
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Forenkling og innsetting i to algebraiske uttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig $\frac{a + a + a + a}{4 a}$

Hvilken verdi har uttrykket $\frac{y^{2} - 2 x y}{y^{2}}$ dersom $x = 4$ og $y = - 2$ ?

Fasit

$1$

$5$

LøsningsforslagKI-generert

Telleren består av fire like ledd, $a$ lagt sammen med seg selv fire ganger, som vi trekker sammen til $4 a$ :

\frac{a + a + a + a}{4 a} = \frac{4 a}{4 a}

Telleren og nevneren er like, så brøken forkortes til $1$ :

\frac{4 a}{4 a} = 1

Svar: $1$

Vi setter inn $x = 4$ og $y = - 2$ i uttrykket:

\frac{y^{2} - 2 x y}{y^{2}} = \frac{{(- 2)}^{2} - 2 \cdot 4 \cdot (- 2)}{{(- 2)}^{2}}

Vi regner ut telleren og nevneren hver for seg. I telleren er ${(- 2)}^{2} = 4$ og $2 \cdot 4 \cdot (- 2) = - 16$ , så

{(- 2)}^{2} - 2 \cdot 4 \cdot (- 2) = 4 - (- 16) = 4 + 16 = 20

I nevneren er ${(- 2)}^{2} = 4$ . Uttrykket blir dermed

\frac{20}{4} = 5

Svar: $5$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Algebra, Brøk
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Kjørelengde på halvannen time i 80 km per time

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bil kjører med en jevn fart på 80 km/h.

På 1 time og 30 minutter har bilen kjørt kilometer.

Fasit

$120 km$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om tiden til timer. 30 minutter er halvparten av en time, altså $0,5$ timer. Da er

1 time og 30 minutter = 1,5 timer

Strekningen finner vi ved å gange farten med tiden:

s = v \cdot t = 80 k m / h \cdot 1,5 h = 120 km

Bilen har altså kjørt $120 km$ på halvannen time.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Fart, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 1-12Vinkel mellom side og diagonal i en regulær sekskant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser en regulær sekskant.

Regulær sekskant der en diagonal er trukket fra et hjørne til hjørnet to plasser bortenfor. Vinkelen v ligger mellom denne diagonalen og den ene siden ut fra samme hjørne

Bestem ved regning hvor mange grader $∠ v$ er.

Fasit

$∠ v = 30 °$

LøsningsforslagKI-generert

Vinkelsummen i en sekskant er

(6 - 2) \cdot 180 ° = 4 \cdot 180 ° = 720 °

Siden sekskanten er regulær, er alle vinklene i sekskanten like store. Hver vinkel i sekskanten er da

720 ° : 6 = 120 °

Diagonalen er trukket fra ett hjørne til hjørnet to plasser bortenfor. Sammen med de to sidene av sekskanten som møtes i hjørnet mellom disse to punktene, danner diagonalen en trekant. To av sidene i denne trekanten er sider i sekskanten, og de er like lange. Trekanten er derfor likebeint, og vinkelen mellom disse to like lange sidene er nettopp vinkelen i sekskanten, $120 °$ .

I en likebeint trekant er de to andre vinklene (grunnvinklene) like store. Summen av vinklene i en trekant er $180 °$ , så de to grunnvinklene til sammen er

180 ° - 120 ° = 60 °

Vinkelen $v$ er en av disse to like store grunnvinklene:

v = 60 ° : 2 = 30 °

Vinkelen mellom siden og diagonalen er $30 °$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Geometri, Vinkler
Egen side: Åpne oppgave 1-12 for seg selv

Oppgave 1-13Volum og grunnflate av en pappeske

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du en eske. Esken har form som et rett, firkantet prisme.

Åpen pappeske sett fra siden. Den loddrette sidekanten er merket x, den ene kanten i grunnflaten er merket x og den andre kanten i grunnflaten er merket 2x

Arealet av grunnflaten i esken er:

Volumet av esken er $128 d m^{3}$ . Hvor høy er esken?
Svar: dm

Fasit

$2 x^{2}$

$x = 4 dm$

LøsningsforslagKI-generert

Grunnflaten i esken er et rektangel med sidekantene $x$ og $2 x$ . Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde:

A = x \cdot 2 x = 2 x^{2}

Riktig svar er $2 x^{2}$ .

Volumet av et rett, firkantet prisme er grunnflate ganger høyde. Grunnflaten er $2 x^{2}$ (fra a)) og høyden er $x$ :

V = 2 x^{2} \cdot x = 2 x^{3}

Vi vet at volumet er $128 d m^{3}$ , så

2 x^{3} = 128

Vi prøver oss fram med hele tall. Deler vi først begge sider på 2, får vi $x^{3} = 64$ . Vi prøver $x = 4$ :

4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

Det stemmer, så $x = 4$ . Esken er $4 dm$ høy.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Volum, Algebra, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 1-13 for seg selv

Oppgave 1-14Aldersfordeling i en sjakkturnering med 11 deltakere

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Det er 11 deltakere med i en sjakkturnering. Alderen til de fem yngste deltakerne er:

10 år, 13 år, 25 år, 32 år og 45 år.

Hva er gjennomsnittsalderen til de fem yngste deltakerne?

Variasjonsbredden er 65 år.

Hvor gammel er den eldste deltakeren?
Svar:

Medianalderen for de 11 deltakerne er 47 år.

Er det flest deltakere under eller over 50 år?

Fasit

$25 år$

$75 år$

$Flest deltakere er under 50 år$

LøsningsforslagKI-generert

Gjennomsnittet finner vi ved å legge sammen alle alderne og dele på antallet:

\overline{x} = \frac{10 + 13 + 25 + 32 + 45}{5} = \frac{125}{5} = 25 år

Gjennomsnittsalderen til de fem yngste er $25 år$ .

Variasjonsbredden er forskjellen mellom den høyeste og den laveste alderen blant alle 11 deltakerne:

variasjonsbredde = høyeste alder - laveste alder

Den laveste alderen blant alle 11 deltakerne er $10$ år, siden dette er den laveste av de fem yngste. Vi setter inn det vi vet, og løser likningen steg for steg:

\begin{matrix} 65 & = h - 10 \\ 65 + 10 & = h - 10 + 10 \\ 75 & = h \end{matrix}

Den eldste deltakeren er $75 år$ .

Medianen er verdien i midten når alderne sorteres fra lavest til høyest. Med 11 deltakere er medianen den 6. verdien i rekken, og vi vet at den er 47 år.

Det betyr at de 5 yngste deltakerne (de vi kjenner: 10, 13, 25, 32 og 45 år) har alder under 47 år, og deltakeren i midten har akkurat 47 år. Det gir oss minst 6 deltakere (posisjon 1 til 6 i den sorterte rekken) med alder på 47 år eller lavere — og 47 år er under 50 år. Da kan høyst 5 av de 11 deltakerne være over 50 år.

Siden minst 6 deltakere er under 50 år og høyst 5 er over, er det $flest deltakere under 50 år$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sentralmål, Spredningsmål, Statistikk
Egen side: Åpne oppgave 1-14 for seg selv

Oppgave 1-15Grafen til funksjonsuttrykket y = 0,5x - 2

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hvilken graf representerer funksjonsuttrykket $y = 0,5 x - 2$ ?

Fasit

$Grafen nederst til venstre$

LøsningsforslagKI-generert

I funksjonsuttrykket $y = 0,5 x - 2$ forteller tallet foran $x$ (stigningstallet) hvor mye grafen stiger, og konstantleddet forteller hvor grafen skjærer y-aksen.

Stigningstallet er $0,5$ . Det er et lite, positivt tall, så grafen skal stige svakt mot høyre.

Konstantleddet er $- 2$ . Det betyr at grafen skal skjære y-aksen i punktet $(0, - 2)$ .

Vi sjekker de fire grafene mot dette:

Øverst til venstre: skjærer y-aksen i $1$ , ikke $- 2$ . Utelates.
Øverst til høyre: skjærer y-aksen i omtrent $- 4$ , og stiger dessuten mye brattere enn $0,5$ per $x$ . Utelates.
Nederst til venstre: skjærer y-aksen i $- 2$ og har en slak, positiv stigning. Passer.
Nederst til høyre: skjærer y-aksen i $- 2$ , men grafen synker (negativ stigning). Utelates.

Grafen som passer med $y = 0,5 x - 2$ er $grafen nederst til venstre$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Lineære funksjoner, Graftolkning, Stigningstall
Egen side: Åpne oppgave 1-15 for seg selv

Oppgave 1-16Er AB lengre eller kortere enn 9 meter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du en rettvinklet trekant ABC.

Trekant ABC med rett vinkel i C. Kateten AC er 7,0 m og kateten CB er 6,0 m. Siden AB er hypotenusen

Avgjør hvilken av påstandene som stemmer for lengden $A B$ .

Fasit

$A B er lengre enn 9 m$

LøsningsforslagKI-generert

Trekant $A B C$ har rett vinkel i $C$ . Da er $A B$ hypotenusen, og vi kan bruke pytagorassetningen til å finne lengden:

A B^{2} = A C^{2} + C B^{2}

Vi setter inn $A C = 7,0 m$ og $C B = 6,0 m$ :

A B^{2} = {7,0}^{2} + {6,0}^{2} = 49 + 36 = 85

A B = \sqrt{85} \approx 9,2 m

Siden $9,2 m$ er større enn $9 m$ , er $A B$ lengre enn $9 m$ .

$A B er lengre enn 9 m$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Pytagoras, Rettvinklet trekant
Egen side: Åpne oppgave 1-16 for seg selv

Oppgave 1-17Blande saft i forholdet én til ni

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Aya kjøper en flaske med 1 L saft. Saften skal blandes med vann.

Hun bruker én del saft til ni deler vann.

Hvor mange liter ferdigblandet saft får hun?

Fasit

$10 L$

LøsningsforslagKI-generert

Forholdet mellom saft og vann er $1 : 9$ . Det betyr at den ferdigblandede saften består av $1 + 9 = 10$ like store deler, og én av delene er saft.

Aya har $1 L$ saft, og det utgjør nettopp én del. Da er hver del $1 L$ , og hele blandingen blir

10 \cdot 1 L = 10 L

$10 L$ ferdigblandet saft.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Forholdsregning, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-17 for seg selv

Oppgave 1-18Likning og pris på voksenbillett hos Vy

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen $3 x - 8 = 6 x - 2$

Nedenfor ser du to bestillinger som er gjort på VY-appen, for tog fra Halden til Oslo.

To skjermbilder fra VY-appen for toget Halden–Oslo S klokka 10.11. Den til venstre gjelder 2 barn 6–17 år og 2 voksne og koster 796 kr. Den til høyre gjelder 4 barn 6–17 år og 2 voksne og koster 1 094 kr

En voksenbillett koster kroner.

Fasit

$x = - 2$

$249 kr$

LøsningsforslagKI-generert

\begin{matrix} 3 x - 8 & = 6 x - 2 \\ 3 x - 8 - 6 x & = 6 x - 2 - 6 x \\ - 3 x - 8 & = - 2 \\ - 3 x - 8 + 8 & = - 2 + 8 \\ - 3 x & = 6 \\ \frac{- 3 x}{- 3} & = \frac{6}{- 3} \\ x & = - 2 \end{matrix}

$x = - 2$

De to bestillingene skiller seg bare i antall barn: den ene har $2$ barn, den andre har $4$ barn, mens begge har $2$ voksne. Forskjellen i pris skyldes derfor $4 - 2 = 2$ ekstra barnebilletter.

Prisforskjellen er

1 094 kr - 796 kr = 298 kr

Disse $298 kr$ er prisen for $2$ barnebilletter, så én barnebillett koster

298 kr : 2 = 149 kr

Vi setter dette inn i den billigste bestillingen, $2$ barn og $2$ voksne for $796 kr$ . La $v$ være prisen på én voksenbillett:

2 \cdot 149 + 2 v = 796

\begin{matrix} 298 + 2 v & = 796 \\ 298 + 2 v - 298 & = 796 - 298 \\ 2 v & = 498 \\ \frac{2 v}{2} & = \frac{498}{2} \\ v & = 249 \end{matrix}

$249 kr$ koster en voksenbillett.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likninger, Likningssystem, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-18 for seg selv

Oppgave 1-19Tenk på et tall - fem elevpåstander

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En klasse får denne oppgaven av læreren:

Tenk på et helt tall.
Adder 8.
Multipliser så med 3.
Subtraher deretter 24.
Subtraher til slutt det tallet du tenkte på i punkt 1.

Nedenfor finner du fem ulike elevsvar.

Vurder elevenes påstander, og kryss av i riktig boks.

Elev	Stemmer	Stemmer ikke
Åsa
Hanna
Carl
Tonje
Fredrik

Fasit

Åsa: stemmer. Hanna: stemmer. Carl: stemmer ikke. Tonje: stemmer. Fredrik: stemmer.

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være tallet man tenker på, og følger de fem stegene i oppskriften:

\begin{matrix} 1. & Tenk på et tall: & x \\ 2. & Adder 8 : & x + 8 \\ 3. & Multipliser med 3 : & 3 (x + 8) = 3 x + 24 \\ 4. & Subtraher 24 : & 3 x + 24 - 24 = 3 x \\ 5. & Subtraher tallet man tenkte på: & 3 x - x = 2 x \end{matrix}

Uansett hvilket tall $x$ man starter med, ender man altså alltid opp med $2 x$ — det dobbelte av tallet man tenkte på. Vi sjekker hver påstand mot dette:

Åsa velger $x = - 3$ . Riktig svar er $2 \cdot (- 3) = - 6$ , som er det hun får. Påstanden stemmer.
Hanna velger $x = 4$ . Riktig svar er $2 \cdot 4 = 8$ , som er det hun får. Påstanden stemmer.
Carl velger $x = 3$ . Riktig svar er $2 \cdot 3 = 6$ , men Carl har fått $9$ . Påstanden stemmer ikke.
Tonje sier resultatet alltid blir det dobbelte av tallet man valgte. Det stemmer med utregningen over, siden svaret alltid er $2 x$ . Påstanden stemmer.
Fredrik sier at hvis man setter tallet lik $x$ , blir svaret $2 x$ . Det stemmer nøyaktig med utregningen over. Påstanden stemmer.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Algebra, Argumentasjon, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-19 for seg selv

Oppgave 1-20Areal uttrykt ved x og y i en likebeint trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du en likebeint trekant ABC. Trekant ABC er delt opp i en indre trekant og et fargelagt område.

Trekant ABC med rett vinkel i A. Kateten AC er merket x og kateten AB er merket x. Et vannrett linjestykke merket y går fra siden AC til hypotenusen og deler trekanten i en mindre trekant øverst og et fargelagt trapes nederst

Bestem arealet av det fargelagte området uttrykt ved x og y.

Fasit

$\frac{x^{2} - y^{2}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Hele trekant $A B C$ er en likebeint, rettvinklet trekant med rett vinkel i $A$ og begge kateter lik $x$ . Arealet av hele trekanten er

T_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{x^{2}}{2}

Det vannrette linjestykket $y$ deler trekanten i en mindre trekant øverst (ved $C$ ) og det fargelagte trapeset nederst. Fordi linjestykket er vannrett — parallelt med $A B$ — er den øverste trekanten formlik med hele trekanten $A B C$ , altså også en likebeint, rettvinklet trekant, men med begge kateter lik $y$ . Arealet av den øverste trekanten er

T_{øverst} = \frac{1}{2} \cdot y \cdot y = \frac{y^{2}}{2}

Det fargelagte trapeset er det som er igjen av hele trekanten når den øverste trekanten er trukket fra:

T_{trapes} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{2} - y^{2}}{2}

$T_{trapes} = \frac{x^{2} - y^{2}}{2}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 1
Temaer: Areal og omkrets, Algebra, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-20 for seg selv

Oppgave 2-1CO2-utslipp per innbygger i seks land

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du en tabell som viser $C O_{2}$ -utslippet per innbygger i noen land i 2014.

Land	Tonn $C O_{2}$ per innbygger
Qatar	$43,86$
USA	$16,50$
Norge	$9,27$
Brasil	$2,61$
Egypt	$2,23$
Indonesia	$1,82$

Krever PC

Presenter opplysningene i tabellen i et passende diagram.

For hånd

Bestem variasjonsbredden for $C O_{2}$ -utslipp per innbygger i de seks landene.

Norge slapp i 2018 ut 8,3 tonn $C O_{2}$ per innbygger.

Kalkulator

Hvor mange prosent gikk $C O_{2}$ -utslippet per innbygger i Norge ned med fra 2014 til 2018?

Fasit

Søylediagram, se løsningsforslag.

$42,04 tonn$

$10,5 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter tabellen inn i et regneark, markerer landene og utslippstallene, og velger et søylediagram som diagramtype. Hver søyle viser CO $_{2}$ -utslippet per innbygger for ett land, og søylene sorteres fra høyest til lavest utslipp.

Søylediagram som viser CO2-utslipp per innbygger for de seks landene

Variasjonsbredden er differansen mellom den største og den minste verdien i materialet. Den største verdien er Qatar med $43,86$ tonn, og den minste er Indonesia med $1,82$ tonn.

Variasjonsbredde = 43,86 - 1,82 = 42,04 tonn

$Variasjonsbredden er 42,04 tonn$

Utslippet gikk ned fra $9,27$ tonn i 2014 til $8,3$ tonn i 2018. Vi finner først nedgangen i tonn, og deretter hvor stor andel dette er av utslippet i 2014.

\begin{matrix} Nedgang & = 9,27 - 8,3 = 0,97 tonn \end{matrix}

Prosentvis nedgang finner vi ved å dele nedgangen på utgangsverdien og gange med $100 %$ :

\frac{0,97}{9,27} \cdot 100 % \approx 10,5 %

${CO}_{2} -utslippet per innbygger i Norge gikk ned med omtrent 10,5 %$ fra 2014 til 2018.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Diagram, Spredningsmål, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Plast i havet, pant og et tårn av bæreposer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Det skylles ut 15 tonn plast i verdenshavene hvert minutt.

For hånd

Hvor mange tonn plast skylles ut i verdenshavene hver time?

I 2018 kom det nye pantesatser i Norge. Kari pantet flasker og bokser som hun hadde samlet inn. Se tabellen nedenfor.

Emballasje	Pant i kroner	Antall
0,33 liter boks	$2$	$15$
0,5 liter flaske	$2$	$50$
0,7 liter flaske	$3$	$20$
1,5 liter flaske	$3$	$65$

Kalkulator

Hvor mange kroner fikk Kari til sammen i pant?

I Norge bruker vi 750 millioner bæreposer av plast i året. Vi antar at hver slik pose er 0,05 millimeter tykk. Se for deg at vi stabler posene i høyden.

Kalkulator

Hvor mange ganger så høyt som Galdhøpiggen (2 469 moh.) vil et slikt plasttårn bli?

Fasit

$900 tonn$

$385 kr$

$\approx 15 g a n g e r$

LøsningsforslagKI-generert

Det skylles ut 15 tonn plast per minutt. Én time har 60 minutter, så vi ganger med 60:

15 tonn \cdot 60 = 900 tonn

Det skylles ut $900 tonn$ plast i verdenshavene hver time.

Vi ganger pant per enhet med antall for hver emballasjetype, og legger sammen alle beløpene:

Emballasje	Pant	Antall	Sum
0,33 l boks	2 kr	15	30 kr
0,5 l flaske	2 kr	50	100 kr
0,7 l flaske	3 kr	20	60 kr
1,5 l flaske	3 kr	65	195 kr

30 + 100 + 60 + 195 = 385 kr

Kari fikk til sammen $385 kr$ i pant.

Vi finner først den totale tykkelsen på tårnet av 750 millioner poser, når hver pose er 0,05 mm tykk:

750 000 000 \cdot 0,05 mm = 37 500 000 mm

Siden $1 m = 1000 mm$ , gjør vi om til meter ved å dele på 1000:

37 500 000 mm \div 1000 = 37 500 m

Til slutt sammenligner vi med høyden til Galdhøpiggen (2 469 moh.):

\frac{37 500 m}{2 469 m} \approx 15,2

Plasttårnet ville blitt om lag $15 g a n g e r$ så høyt som Galdhøpiggen. 37 500 meter (37,5 km) er en enorm høyde — mer enn 15 Galdhøpigg-fjell oppå hverandre.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Måleenheter, Tallregning, Store tall
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Ekstrem fattigdom og norsk bistand til Indonesia

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Mennesker som lever under fattigdomsgrensen på 1,90 dollar om dagen, regnes som ekstremt fattige.

Kalkulator

Hva tilsvarer 1,90 dollar i norske kroner (NOK) når 1 dollar = 9,1245 NOK?

Land	Ekstremt fattige i 2017	Bistand fra Norge i 2017
Indonesia	15,048 millioner mennesker	279 millioner kroner

I 2017 var 5,7 % av Indonesias befolkning ekstremt fattige.

Kalkulator

Hvor mange innbyggere var det totalt i Indonesia?

I 2017 ga Norge totalt 34,1 milliarder kroner i bistand.

Kalkulator

Hvor stor andel av bistanden gikk til Indonesia?

Fasit

$17,34 kr$

$264 000 000 i n n b y g g e r e$

$\approx 0,82 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ganger dollarbeløpet med kursen for å finne verdien i norske kroner:

1,90 \cdot 9,1245 kr \approx 17,34 kr

1,90 dollar tilsvarer omtrent $17,34 kr$ .

Vi vet at 5,7 % av befolkningen i Indonesia var 15 048 000 mennesker. Vi kaller hele befolkningen $x$ , og setter opp likningen:

\begin{matrix} 0,057 \cdot x & = 15 048 000 \\ \frac{0,057 \cdot x}{0,057} & = \frac{15 048 000}{0,057} \\ x & = 264 000 000 \end{matrix}

I 2017 hadde Indonesia totalt $264 000 000$ innbyggere.

Vi finner andelen ved å dele bistanden til Indonesia på den totale norske bistanden, og gange med 100 %:

\frac{279}{34 100} \cdot 100 % \approx 0,82 %

Omtrent $0,82 %$ av den norske bistanden i 2017 gikk til Indonesia.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Prosentregning, Valuta, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Budsjett for kantina ved Grantoppen ungdomsskole

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Elevbedriften som driver kantinen ved Grantoppen ungdomsskole, har bestemt at overskuddet fra driften skal gå til vennskapsskolen i Indonesia.

Overskuddet er inntektene fra salget av produktene de har på menyen, minus utgiftene de har når de kjøper inn og lager maten. Beregninger viser at utgiftene er 65 % av inntektene fra hvert produkt.

I regnearket nedenfor har elevene begynt å sette opp et budsjett. Alle beløpene er i norske kroner.

Krever PC

Lag og fullfør budsjettet i et regneark. Vis også hvilke formler du har brukt.

Elevbedriften har som mål å kutte utgiftene fra 65 % av inntektene til 40 % av inntektene.

Kalkulator

Hvor mye mer vil vennskapsskolen i Indonesia motta hver måned dersom elevene når målet sitt?

Fasit

Sum inntekt $= 14 050 kr$ , sum totale utgifter $= 9 132,5 kr$ , sum overskudd $= 4 917,5 kr$

Vennskapsskolen mottar $3 512,5 kr$ mer per måned

LøsningsforslagKI-generert

For hver vare skal vi finne inntekten, de totale utgiftene og overskuddet. Vi setter opp formler i regnearket og kopierer dem nedover.

Inntekt (kolonne D) er pris per stykk ganger antall solgte: i celle D6 skriver vi =B6*C6.
Totale utgifter (kolonne E) er $65 %$ av inntekten. Prosenten står i B3, og vi låser cellereferansen med $-tegn slik at formelen kan kopieres nedover uten at referansen flytter seg: i celle E6 skriver vi =D6*$B$3.
Overskudd (kolonne F) er inntekten minus de totale utgiftene: i celle F6 skriver vi =D6-E6.

Disse tre formlene kopieres nedover fra rad 6 til rad 10. I rad 11 summerer vi hver kolonne, for eksempel =SUMMER(D6:D10) i celle D11, og tilsvarende for E11 og F11.

Med tallene fra oppgaven gir dette dette ferdig utfylte budsjettet:

	Pris per stykk	Antall	Inntekt	Totale utgifter	Overskudd
Salat	25	30	750	487,5	262,5
Pizza	30	100	3000	1950	1050
Fruktskål	20	200	4000	2600	1400
Lapskaus	30	150	4500	2925	1575
Havregrøt	15	120	1800	1170	630
Sum			14 050	9 132,5	4 917,5

Overskuddet elevbedriften sitter igjen med hver måned, er summen i kolonne F.

Overskudd = 4 917,5 kr

Inntektene endrer seg ikke, bare andelen som går til utgifter. Den totale inntekten fra a) var $14 050 kr$ .

Når utgiftene kuttes til $40 %$ av inntektene, blir de nye totale utgiftene:

14 050 \cdot 0,40 = 5 620 kr

Det nye overskuddet blir da inntektene minus de nye utgiftene:

14 050 - 5 620 = 8 430 kr

Til slutt finner vi hvor mye mer vennskapsskolen mottar, ved å trekke det gamle overskuddet ( $4 917,5 kr$ , fra a) fra det nye overskuddet:

8 430 - 4 917,5 = 3 512,5 kr

Vennskapsskolen i Indonesia vil altså motta

3 512,5 kr

mer hver måned dersom elevbedriften når målet sitt om å kutte utgiftene til $40 %$ av inntektene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Regneark, Økonomi, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Billettpris for konserten til Sceneskrekk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bandet Sceneskrekk skal holde konsert. De har beregnet utgiftene knyttet til konserten til 13 000 kroner. Bandet ønsker å dekke utgiftene ved å selge billetter til konserten.

Dersom de selger $x$ billetter, blir prisen $P (x)$ kroner per billett

P (x) = \frac{13000}{x}

Krever PC

Bruk graftegner, og tegn grafen til funksjonen $P$ for $20 \leq x \leq 150$ .

Bandet har gjort en vurdering og bestemmer seg for en billettpris på 150 kroner.

Krever PC

Bestem grafisk hvor mange billetter de må selge for å få dekket utgiftene.

Etter konserten fant bandet ut at de hadde solgt 145 billetter.

Kalkulator

Hvor stort ble overskuddet?

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$x \approx 87 b i l l e t t e r$

$Overskudd = 8750 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal tegne grafen til

P (x) = \frac{13000}{x}, 20 \leq x \leq 150

i et graftegningsprogram (for eksempel GeoGebra). Vi skriver inn funksjonsuttrykket P(x) = 13000/x og setter grensene for $x$ til $20$ og $150$ . Vi setter også vinduet på aksene slik at hele grafen kommer med, og merker aksene med «x (antall billetter)» og «P (kroner per billett)».

$Grafen til P(x)=\dfrac{13000}{x} for 20 \leq x \leq 150, med linja y=150$

Grafen faller hele tiden: jo flere billetter de selger, jo lavere kan billettprisen være.

Bandet har bestemt seg for en billettpris på $150 kr$ . For å finne hvor mange billetter de må selge for å dekke utgiftene, tegner vi linja $y = 150$ inn i samme koordinatsystem som grafen til $P$ .

Der linja $y = 150$ skjærer grafen til $P$ , leser vi av $x$ -verdien. Av grafen ser vi at skjæringspunktet ligger ved

x \approx 86,7

Siden de ikke kan selge en brøkdel av en billett, må de runde opp til nærmeste hele billett. Selger de bare $86$ billetter, blir inntekten $86 \cdot 150 = 12 900 kr$ , som er mindre enn utgiftene på $13 000 kr$ . Selger de $87$ billetter, blir inntekten $87 \cdot 150 = 13 050 kr$ , som er nok til å dekke utgiftene.

$x \approx 87 b i l l e t t e r$ – bandet må selge om lag $87$ billetter for å dekke utgiftene sine.

Etter konserten hadde bandet solgt $145$ billetter til $150 kr$ per billett. Overskuddet finner vi ved å trekke utgiftene fra inntekten:

\begin{matrix} Inntekt & = antall billetter \cdot billettpris \\ = 145 \cdot 150 \\ = 21 750 kr \end{matrix}

\begin{matrix} Overskudd & = Inntekt - utgifter \\ = 21 750 - 13 000 \\ = 8 750 kr \end{matrix}

$Overskudd = 8750 kr$ – bandet satt igjen med et overskudd på $8750$ kroner.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Omvendt proporsjonalitet, Graftolkning, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Vindmøllepark på én kvadratkilometer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et energiselskap vurderer å bygge en vindmøllepark. Parken dekker et kvadratisk område på $1 k m^{2}$ .

Lengden til en vindmøllevinge er 60 meter. Avstanden mellom to vindmølletårn må være minst seks ganger lengden av en vindmøllevinge.

Nedenfor ser du hvordan energiselskapet har tenkt å plassere vindmøllene.

Plantegning av et kvadratisk område med sidelengde 1000 meter. Ni vindmøller står i et rutenett med 500 meter mellom naboene, fire i hjørnene, fire midt på hver av sidene og én i midten, og i tillegg står det én vindmølle midt inne i hvert av de fire underkvadratene, til sammen tretten vindmøller

Kalkulator

Gjør beregninger, og avgjør om vindmølleparken kan bygges som vist ovenfor.

Nedenfor ser du et bilde av en vindmølle. Vindmøllen har tre vinger som er 60 meter lange.

Vindmølle sett forfra der vingespissene følger en sirkel. Avstanden fra navet ut til en vingespiss er merket 60 m

Kalkulator

Bestem farten til den ytterste delen av vindmøllevingene dersom en vindmølle roterer 20 ganger per minutt. Oppgi farten i km/h.

Fasit

$Nei — kortest avstand \approx 353,6 m < 360 m$

$v \approx 452 k m / h$

LøsningsforslagKI-generert

Kravet er at avstanden mellom to vindmølletårn må være minst seks ganger vingelengden:

6 \cdot 60 m = 360 m

Vi bruker målestokken på figuren (sidekanten er 1000 m) til å lese av hvordan møllene står. Det kvadratiske området er delt inn i fire mindre kvadrater med sidelengde

1000 m \div 2 = 500 m

I hvert hjørne av de fire små kvadratene står det en vindmølle. Det gir et rutenett med $3 \cdot 3 = 9$ møller, med 500 m mellom naboene langs kantene. I tillegg står det én vindmølle midt i hvert av de fire små kvadratene, altså 4 møller til. Totalt blir det $9 + 4 = 13$ vindmøller i planen, slik figuren viser.

De møllene som står nærmest hverandre, er en midtmølle og hjørnemøllene rundt den. Fra midten av et $500 m \times 500 m$ -kvadrat til et hjørne dannes en rettvinklet trekant med katetene 250 m og 250 m (halve sidelengden i hver retning). Vi bruker Pytagoras’ setning til å finne denne avstanden:

\begin{matrix} d^{2} & = 250^{2} + 250^{2} \\ d^{2} & = 62 500 + 62 500 \\ d^{2} & = 125 000 \\ d & = \sqrt{125 000} \\ d & \approx 353,6 m \end{matrix}

Siden $353,6 m < 360 m$ , er avstanden mellom en midtmølle og hjørnemøllene rundt den for liten.

Vindmølleparken kan derfor ikke bygges akkurat slik den er vist på figuren — noen av møllene står for tett. Det finnes andre plasseringer som oppfyller minstekravet, for eksempel med færre møller eller med større avstand mellom dem, så det er ikke bare ett riktig svar på hvordan en gyldig park kan se ut. Planen som er vist her, oppfyller uansett ikke kravet.

Vingespissen beveger seg i en sirkelbane med radius lik vingelengden, $r = 60 m$ . Omkretsen av denne sirkelen er

O = 2 π r = 2 \cdot π \cdot 60 m \approx 376,99 m

Vindmøllen roterer 20 ganger i minuttet, så vingespissen tilbakelegger

20 \cdot 376,99 m \approx 7539,82 m

per minutt. For å finne farten i km/h ganger vi med 60 (minutter i en time) og gjør om fra meter til kilometer ved å dele på 1000:

7539,82 m \cdot 60 = 452 389 m / h \approx 452,4 k m / h

Den ytterste delen av vindmøllevingen beveger seg med en fart på omtrent $452 k m / h$ — svært raskt, siden en 60 meter lang vinge må rekke rundt en stor sirkel 20 ganger i minuttet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Målestokk, Fart, Sirkel
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Konstruksjon av rettvinklet trekant med innskrevet sirkel

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor er en skisse av en rettvinklet trekant med en innskrevet sirkel. Halveringslinjene til vinklene A, B og C skjærer hverandre i sentrum av sirkelen.

Rettvinklet trekant ABC med rett vinkel i A. Kateten AC er 8,0 og kateten AB er 6,0. Inne i trekanten er det tegnet en sirkel med sentrum P som tangerer alle tre sidene, og stiplede halveringslinjer går fra hvert hjørne inn til P

Tegn (dynamisk geometriprogram) eller konstruer (passer, linjal og blyant) figuren ovenfor ved hjelp av oppgitte mål og verdier.

Dersom du bruker dynamisk geometriprogram, må du oppgi hvilke nødvendige kommandoer/framgangsmåter som er brukt.

Fasit

Trekant $A B C$ med rett vinkel i $A$ , katetene $A C = 8,0$ og $A B = 6,0$ , konstruert med passer og linjal. Halveringslinjene til vinklene møtes i innsenteret $P$ , og den innskrevne sirkelen har senter $P$ og radius lik avstanden fra $P$ til en av sidene.

LøsningsforslagKI-generert

Vi konstruerer trekanten og den innskrevne sirkelen steg for steg med passer, linjal og blyant.

Trekanten

Tegn linjestykket $A B = 6,0$ med linjal.
Konstruer en normal (90°-vinkel) på $A B$ i punktet $A$ : sett passerspissen i $A$ og tegn en bue som skjærer en tenkt linje gjennom $A$ i to punkter, ett på hver side av $A$ . Sett deretter passerspissen i disse to skjæringspunktene, med samme (større) passeråpning, og tegn to buer som skjærer hverandre over $A$ . Linjen gjennom $A$ og dette skjæringspunktet står vinkelrett på $A B$ .
Avsett $A C = 8,0$ langs normalen fra $A$ .
Trekk linjestykket $C B$ . Da er trekant $A B C$ ferdig konstruert. Som kontroll kan hypotenusen måles: ved Pytagoras’ setning skal $B C = \sqrt{{6,0}^{2} + {8,0}^{2}} = \sqrt{100} = 10,0$ .

Halveringslinjene og innsenteret

Konstruer halveringslinjen til vinkel $A$ : sett passerspissen i $A$ og tegn en bue som skjærer både $A B$ og $A C$ . Sett så passerspissen i de to skjæringspunktene (samme åpning) og tegn to buer som skjærer hverandre inne i trekanten. Linjen fra $A$ gjennom dette skjæringspunktet halverer vinkel $A$ .
Gjenta konstruksjonen for vinkel $B$ (eller $C$ ) på samme måte.
De to halveringslinjene skjærer hverandre i punktet $P$ . Siden alle punkter på en vinkelhalveringslinje har lik avstand til de to sidene som danner vinkelen, ligger $P$ i lik avstand fra alle tre sidene i trekanten. Dette punktet kalles innsenteret, og halveringslinjen til $C$ vil også gå gjennom $P$ .

Den innskrevne sirkelen

Konstruer normalen fra $P$ ned på en av sidene, for eksempel $A B$ , og finn foten $F$ (skjæringspunktet mellom normalen og $A B$ ). Avstanden $P F$ er radien $r$ i den innskrevne sirkelen.
Sett passerspissen i $P$ med åpning lik $P F$ , og tegn sirkelen. Denne sirkelen vil tangere alle de tre sidene i trekanten, slik figuren i oppgaven viser.

Alternativ: dynamisk geometriprogram (GeoGebra)

Konstruksjonen kan også gjøres i GeoGebra med disse kommandoene:

Segment(A, B) med $A B = 6,0$
PerpendicularLine(A, Line(A,B)) for å lage normalen i $A$
Legg punktet $C$ på normalen med avstand $8,0$ fra $A$
Polygon(A, B, C) for å lage trekanten
AngleBisector(A, B, C) og AngleBisector(B, C, A) for å konstruere to av halveringslinjene
Intersect(...) for å finne skjæringspunktet $P$ (innsenteret)
PerpendicularLine(P, Line(A,B)) og Intersect(...) for å finne foten $F$ , deretter Circle(P, Distance(P,F)) for å tegne den innskrevne sirkelen

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Konstruksjon, Geometri, Sirkel
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Herons formel og radius i den innskrevne sirkelen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Heron av Alexandria var en ingeniør som fant en formel for sammenhengen mellom arealet av en trekant og lengden av de tre sidene i trekanten.

Rettvinklet trekant med en innskrevet sirkel med sentrum P. Sidene er merket a, b og c, og fra P går det linjestykker merket r vinkelrett ned på hver av de tre sidene

Herons formel:

A = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}

der

s = \frac{a + b + c}{2}

Kalkulator

Sett $a = 10 m$ , $b = 8 m$ , $c = 6 m$ , og bruk Herons formel til å regne ut arealet $A$ av figuren ovenfor.

For hånd

Ta utgangspunkt i figuren ovenfor, og vis at radius i den innskrevne sirkelen på figuren ovenfor kan uttrykkes som $r = \frac{2 A}{a + b + c}$

Fasit

$A = 24 m^{2}$

$r = \frac{2 A}{a + b + c}$ (vist ved å dele trekanten i tre deltrekanter med høyde $r$ )

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $a = 10 m$ , $b = 8 m$ og $c = 6 m$ inn i formelen for $s$ :

s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 8 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12

Deretter setter vi $s = 12$ sammen med $a$ , $b$ og $c$ inn i Herons formel:

\begin{matrix} A & = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)} \\ A & = \sqrt{12 \cdot (12 - 10) \cdot (12 - 8) \cdot (12 - 6)} \\ A & = \sqrt{12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6} \\ A & = \sqrt{576} \\ A & = 24 \end{matrix}

Svar: $A = 24 m^{2}$

Punktet $P$ er innsenteret i trekanten, altså skjæringspunktet mellom de tre vinkelhalveringslinjene. Fra figuren ser vi at $P$ har samme avstand $r$ til alle de tre sidene $a$ , $b$ og $c$ — dette er nettopp radien i den innskrevne sirkelen, siden sirkelen tangerer hver side.

Vi kan dele den store trekanten $A B C$ i tre mindre deltrekanter ved å trekke linjestykker fra $P$ til hvert av hjørnene. Hver deltrekant har én av sidene $a$ , $b$ eller $c$ som grunnlinje, og høyden i alle tre deltrekantene er $r$ (avstanden fra $P$ til den motstående siden).

Arealet av hver deltrekant blir da:

A_{a} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r A_{b} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r A_{c} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r

Det totale arealet $A$ av trekant $A B C$ er summen av de tre deltrekantene:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r + \frac{1}{2} \cdot b \cdot r + \frac{1}{2} \cdot c \cdot r = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a + b + c)

Nå løser vi likningen for $r$ :

\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a + b + c) \\ 2 \cdot A & = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a + b + c) \\ 2 A & = r \cdot (a + b + c) \\ \frac{2 A}{(a + b + c)} & = \frac{r \cdot (a + b + c)}{(a + b + c)} \\ \frac{2 A}{a + b + c} & = r \end{matrix}

Dermed har vi vist at

r = \frac{2 A}{a + b + c}

Som en kontroll kan vi sette inn tallene fra a): $r = \frac{2 \cdot 24}{10 + 8 + 6} = \frac{48}{24} = 2 m$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Areal og omkrets, Geometri, Formler, Argumentasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 20 oppgaver · 30 poeng

Oppgave 1-1·Løpebane i kilometer og samlet pris på tre varer

Oppgave 1-2·Regnerekkefølge med parentes og andrepotens

Oppgave 1-3·Plasser kvadratrot, brøk og pi på tallinja

Oppgave 1-4·Trekke bokstaven S i OSLO og konge eller ess

Oppgave 1-5·Amalie og Lukas på løpetur i gymtimen

Oppgave 1-6·Antall koder med to bokstaver og fire siffer

Oppgave 1-7·Prisavslag på skjorte fra 599 til 510 kroner

Oppgave 1-8·Elever og studenter i Norge 1955-2018

Oppgave 1-9·Finn p i formelen n = 12p + 48

Oppgave 1-10·Forenkling og innsetting i to algebraiske uttrykk

Oppgave 1-11·Kjørelengde på halvannen time i 80 km per time

Oppgave 1-12·Vinkel mellom side og diagonal i en regulær sekskant

Oppgave 1-13·Volum og grunnflate av en pappeske

Oppgave 1-14·Aldersfordeling i en sjakkturnering med 11 deltakere

Oppgave 1-15·Grafen til funksjonsuttrykket y = 0,5x - 2

Oppgave 1-16·Er AB lengre eller kortere enn 9 meter

Oppgave 1-17·Blande saft i forholdet én til ni

Oppgave 1-18·Likning og pris på voksenbillett hos Vy

Oppgave 1-19·Tenk på et tall - fem elevpåstander

Oppgave 1-20·Areal uttrykt ved x og y i en likebeint trekant

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 25 poeng

Oppgave 2-1·CO2-utslipp per innbygger i seks land

Oppgave 2-2·Plast i havet, pant og et tårn av bæreposer

Oppgave 2-3·Ekstrem fattigdom og norsk bistand til Indonesia

Oppgave 2-4·Budsjett for kantina ved Grantoppen ungdomsskole

Oppgave 2-5·Billettpris for konserten til Sceneskrekk

Oppgave 2-6·Vindmøllepark på én kvadratkilometer

Oppgave 2-7·Konstruksjon av rettvinklet trekant med innskrevet sirkel

Oppgave 2-8·Herons formel og radius i den innskrevne sirkelen

Temaer

Oppgave 1-1Løpebane i kilometer og samlet pris på tre varer

Oppgave 1-2Regnerekkefølge med parentes og andrepotens

Oppgave 1-3Plasser kvadratrot, brøk og pi på tallinja

Oppgave 1-4Trekke bokstaven S i OSLO og konge eller ess

Oppgave 1-5Amalie og Lukas på løpetur i gymtimen

Oppgave 1-6Antall koder med to bokstaver og fire siffer

Oppgave 1-7Prisavslag på skjorte fra 599 til 510 kroner

Oppgave 1-8Elever og studenter i Norge 1955-2018

Oppgave 1-9Finn p i formelen n = 12p + 48

Oppgave 1-10Forenkling og innsetting i to algebraiske uttrykk

Oppgave 1-11Kjørelengde på halvannen time i 80 km per time

Oppgave 1-12Vinkel mellom side og diagonal i en regulær sekskant

Oppgave 1-13Volum og grunnflate av en pappeske

Oppgave 1-14Aldersfordeling i en sjakkturnering med 11 deltakere

Oppgave 1-15Grafen til funksjonsuttrykket y = 0,5x - 2

Oppgave 1-16Er AB lengre eller kortere enn 9 meter

Oppgave 1-17Blande saft i forholdet én til ni

Oppgave 1-18Likning og pris på voksenbillett hos Vy

Oppgave 1-19Tenk på et tall - fem elevpåstander

Oppgave 1-20Areal uttrykt ved x og y i en likebeint trekant

Oppgave 2-1CO2-utslipp per innbygger i seks land

Oppgave 2-2Plast i havet, pant og et tårn av bæreposer

Oppgave 2-3Ekstrem fattigdom og norsk bistand til Indonesia

Oppgave 2-4Budsjett for kantina ved Grantoppen ungdomsskole

Oppgave 2-5Billettpris for konserten til Sceneskrekk

Oppgave 2-6Vindmøllepark på én kvadratkilometer

Oppgave 2-7Konstruksjon av rettvinklet trekant med innskrevet sirkel

Oppgave 2-8Herons formel og radius i den innskrevne sirkelen