10. trinn Eksempeloppgave 2022

Vi teller trekanter og kvadrater i de tre figurene vi ser på bildet, og setter opp en tabell for å finne mønsteret.

Figur $n$	Kvadrater	Trekanter
1	1	4
2	2	6
3	3	8

Kvadrater: I figur 1 er det 1 kvadrat, i figur 2 er det 2 kvadrater, og i figur 3 er det 3 kvadrater. Kvadratene ligger på rad, så antall kvadrater er alltid lik figurnummeret.

Trekanter: I hver figur peker det én trekant til venstre og én til høyre, uansett hvor stor figuren er. I tillegg ligger det én trekant på toppen og én på bunnen av hvert kvadrat. Det gir:

Vi sjekker mønsteret mot de tre figurene vi har:

• Figur 1: $2\cdot 1+2=4$ ✓
• Figur 2: $2\cdot 2+2=6$ ✓
• Figur 3: $2\cdot 3+2=8$ ✓

Mønsteret stemmer. For figur nr. 10 setter vi inn $n=10$:

Svar: Figur 10 har $\underline{\underline{22\text{ trekanter}}}$ og $\underline{\underline{10\text{ kvadrater}}}$.

Vi setter inn hvert tallpar i uttrykket ${(a+b)}^2$ og sjekker om vi får 16.

$a=2$ og $b=2$:

Dette stemmer med 16. Ja.

$a=4$ og $b=4$:

Dette stemmer ikke med 16. Nei.

$a=8$ og $b=4$:

Dette stemmer ikke med 16. Nei.

$a=8$ og $b=8$:

Dette stemmer ikke med 16. Nei.

Svar: Bare det første tallparet, $\underline{\underline{a=2\text{ og }b=2}}$, gjør at ${(a+b)}^2=16$ stemmer. De tre andre tallparene gir en for stor sum, slik at kvadratet blir for stort.

Vi har likningen

Begge sider har faktoren 9, så vi kan dele begge sider på 9 for å gjøre tallene mindre:

Så deler vi begge sider på 4 for å finne $x$:

Svar: $\underline{\underline{x=18}}$

Trine sier at grafen er en rett linje, og at den skjærer $y$-aksen i 2. Vi går gjennom de fire uttrykkene og sjekker begge kravene.

• $y=x^2+2$: dette er et andregradsuttrykk, og grafen er en parabel, ikke en rett linje. Passer ikke.
• $y=2x+1$: dette er en rett linje, men konstantleddet er 1, så grafen skjærer $y$-aksen i 1, ikke i 2. Passer ikke.
• $y={\displaystyle \frac{2}{x}}$: her står $x$ i nevneren, så dette er ikke en rett linje. Passer ikke.
• $y=x+2$: dette er en rett linje på formen $y=ax+b$ med $a=1$ og $b=2$. Konstantleddet 2 betyr at grafen skjærer $y$-aksen i 2. Passer med begge kravene.

Svar: $\underline{\underline{y=x+2}}$ er funksjonsuttrykket som passer til Trines beskrivelse.

Først finner vi hvor mye Snorre betaler i alt med alternativ 2.

To år er det samme som 24 måneder. Snorre betaler 550 kr hver måned, så vi ganger:

Med alternativ 2 betaler Snorre altså $13200\mathrm{kr}$ i alt.

Med alternativ 1 betaler han $12000\mathrm{kr}$ med en gang.

For å finne hvor mye dyrere alternativ 2 er, trekker vi alternativ 1 fra alternativ 2:

Mobiltelefonen blir altså $\underline{\underline{1200\mathrm{kr}}}$ dyrere når Snorre velger å betale 550 kr per måned i to år, i stedet for å betale $12000\mathrm{kr}$ med en gang.

Vi kaller den nye radien for $3r$, siden radien blir tre ganger så stor. Vi setter dette inn i formelen for volumet:

Først regner vi ut ${(3r)}^3$:

Vi setter dette inn igjen:

Legg merke til at ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$ er det opprinnelige volumet $V$. Da ser vi at:

Når radien blir tre ganger så stor, blir altså volumet til kula $\underline{\underline{27}}$ ganger så stort.

Først finner vi hvor mange kroner de har til sammen. Arne har 120 kr, og hvert av de fem søsknene har 30 kr:

Til sammen har de $270\mathrm{kr}$. Dette skal deles likt mellom Arne og de fem søsknene, altså på 6 personer:

Hver av de 6 personene skal altså ha $45\mathrm{kr}$.

Hvert søsken har fra før 30 kr, og skal ha 45 kr. Da må hvert søsken få:

Vi kan kontrollere svaret: Arne gir bort 15 kr til hvert av de 5 søsknene, altså $5\cdot 15=75\mathrm{kr}$ i alt. Da sitter Arne igjen med $120-75=45\mathrm{kr}$, som stemmer med det hver person skal ha.

Arne må altså gi $\underline{\underline{15\mathrm{kr}}}$ til hver av søsknene sine.

Olav stryker 2-tallet i telleren mot 2-tallet i nevneren, og får svaret $6x^2$. Dette er feil.

Vi kan bare stryke et tall i telleren mot et tall i nevneren når tallet er en faktor i hele telleren, altså når det er multiplisert med alt som står i telleren. I uttrykket $6x^2+2$ er $6x^2$ og $2$ to ulike ledd som er lagt sammen med et plusstegn. 2-tallet som Olav stryker, er bare en del av det ene leddet — det er ikke en faktor i hele telleren. Derfor er det ikke lov å stryke det.

Vi kan sjekke dette med et konkret tall, for eksempel $x=1$. Riktig verdi av brøken er

mens Olavs framgangsmåte gir

Siden $4\ne 6$, ser vi at Olavs forenkling gir feil svar for $x=1$. Framgangsmåten er altså ikke riktig, uansett hvilken $x$-verdi vi setter inn.

For å forenkle brøken riktig, må vi faktorisere hele telleren først, slik at 2-tallet blir en ekte faktor i hele telleren:

Da blir

Nå kan vi stryke 2-tallet, fordi det er en faktor i hele telleren, ikke bare i ett av leddene.

Kontroll med $x=1$: $3\cdot 1^2+1=4$, som stemmer med den riktige verdien vi regnet ut over.

$\underline{\underline{\text{Olavs framgangsmåte er feil. Riktig forenkling er }3x^2+1.}}$

a)

Vi skriver prisen hos hvert firma som en funksjon av antall minutter $x$: pris $=$ oppstartspris $+$ minuttpris $\cdot$ antall minutter.

$$\begin{array}{cc}\text{Trix:}y& =10+\mathrm{2,50}x\\ \text{Kvikk:}y& =0+\mathrm{3,00}x=\mathrm{3,00}x\\ \text{Lazy:}y& =5+\mathrm{2,50}x\end{array}$$

Trix mot Lazy. Begge har samme minuttpris ($\mathrm{2,50}$ kr), men Lazy har $5\mathrm{kr}$ lavere oppstartspris. Lazy er derfor alltid $5\mathrm{kr}$ billigere enn Trix, uansett hvor lenge du leier. Trix er dermed aldri det billigste alternativet.

Trix mot Kvikk. Vi finner leietiden der de koster det samme, ved å løse likningen $10+\mathrm{2,50}x=\mathrm{3,00}x$:

$$\begin{array}{cc}10+\mathrm{2,50}x& =\mathrm{3,00}x\\ 10+\mathrm{2,50}x-\mathrm{2,50}x& =\mathrm{3,00}x-\mathrm{2,50}x\\ 10& =\mathrm{0,50}x\\ \frac{10}{\mathrm{0,50}}& =\frac{\mathrm{0,50}x}{\mathrm{0,50}}\\ x& =20\end{array}$$

Etter $20$ minutter koster begge $60\mathrm{kr}$. Før $20$ minutter er Kvikk billigst, etter $20$ minutter er Trix billigst (siden Kvikk har høyest minuttpris og tar innpå).

Lazy mot Kvikk. Vi løser $5+\mathrm{2,50}x=\mathrm{3,00}x$ på samme måte:

$$\begin{array}{cc}5+\mathrm{2,50}x& =\mathrm{3,00}x\\ 5+\mathrm{2,50}x-\mathrm{2,50}x& =\mathrm{3,00}x-\mathrm{2,50}x\\ 5& =\mathrm{0,50}x\\ \frac{5}{\mathrm{0,50}}& =\frac{\mathrm{0,50}x}{\mathrm{0,50}}\\ x& =10\end{array}$$

Etter $10$ minutter koster begge $30\mathrm{kr}$.

Oppsummering for $0$ til $30$ minutter:

• $0$–$10$ min: Kvikk er billigst (ingen oppstartspris).
• $10$ min: Kvikk og Lazy koster likt, $30\mathrm{kr}$.
• $10$–$20$ min: Lazy er billigst.
• $20$ min: Trix og Kvikk koster likt, $60\mathrm{kr}$, mens Lazy koster $55\mathrm{kr}$.
• $20$–$30$ min: Lazy er fortsatt billigst, og nå er Trix billigere enn Kvikk.

$$\underline{\underline{\text{Kvikk billigst i }0\text{–}10\text{ min, Lazy billigst i }10\text{–}30\text{ min. Trix er aldri billigst.}}}$$

b)

Firmaet ønsker å være billigst i inntil $25$ minutter, samtidig som de tjener mest mulig penger.

Fra a) vet vi hvilket firma som er billigst hele veien: Kvikk de første $10$ minuttene, og Lazy fra $10$ til $25$ minutter. Kvikk er billigst i starten fordi de ikke har oppstartspris. Skal det nye firmaet garantert konkurrere med Kvikk helt fra start, kan de heller ikke ha noen oppstartspris. Vi setter derfor oppstartspris $=0\mathrm{kr}$.

Da gjenstår det å velge en minuttpris som er så høy som mulig (for å tjene mest), men som likevel holder det nye firmaet billigere enn Lazy helt fram til $25$ minutter. Vi finner grensen ved å kreve at prisen etter $25$ minutter er akkurat lik Lazys pris etter $25$ minutter.

Lazys pris etter $25$ minutter:

$$5+\mathrm{2,50}\cdot 25=5+\mathrm{62,5}=\mathrm{67,5}\mathrm{kr}$$

Vi setter opp likningen $25p=\mathrm{67,5}$, der $p$ er minuttprisen, og løser for $p$:

$$\begin{array}{cc}25p& =\mathrm{67,5}\\ \frac{25p}{25}& =\frac{\mathrm{67,5}}{25}\\ p& =\mathrm{2,70}\end{array}$$

Med minuttpris $\mathrm{2,70}\mathrm{kr}$ koster det nye firmaet nøyaktig det samme som Lazy etter $25$ minutter, og mindre enn Lazy for all kortere leietid. Siden $\mathrm{2,70}<\mathrm{3,00}$, er det nye firmaet også billigere enn Kvikk de første $10$ minuttene.

Forslag: oppstartspris $0\mathrm{kr}$ og minuttpris $\mathrm{2,70}\mathrm{kr}$. Da er det nye firmaet billigst (eller like billig som Lazy) i hele intervallet $0$–$25$ minutter, samtidig som minuttprisen er satt så høyt som mulig for å gi størst mulig inntekt. Andre forslag med litt lavere minuttpris, for eksempel $\mathrm{2,50}\mathrm{kr}$, er også riktige svar, men gir noe lavere inntekt for firmaet.

$$\underline{\underline{\text{Oppstartspris }0\mathrm{kr}\text{ og minuttpris }\mathrm{2,70}\mathrm{kr}}}$$

Vi setter opp et koordinatsystem med origo i det nedre venstre hjørnet av rektangelet. Da går den lange siden (lengde 12) langs $x$-aksen, og den korte siden (bredde 9) langs $y$-aksen.

Finner radien. Hver sirkel tangerer tre sider av rektangelet: toppen, bunnen og én av de korte sidene. Siden sirkelen tangerer både toppen og bunnen, er diameteren til sirkelen lik bredden til rektangelet:

Finner koordinatene til $G$ og $H$. Fordi sirklene tangerer både toppen og bunnen, ligger sentrum i begge sirklene midt mellom topp og bunn, altså i høyden $y=r=\mathrm{4,5}$ for begge.

Den venstre sirkelen (sentrum $G$) tangerer i tillegg venstre kortside, så sentrum ligger en radius unna denne siden:

Den høyre sirkelen (sentrum $H$) tangerer høyre kortside, så sentrum ligger en radius unna den siden:

Finner avstanden $GH$ med Pytagoras. Vi finner først differansen i $x$- og $y$-retning mellom $G$ og $H$:

Siden $G$ og $H$ ligger i samme høyde, blir $\mathrm{\Delta }y=0$, og avstanden mellom dem er en katet i en (degenerert) rettvinklet trekant. Ved Pytagoras’ setning er

Avstanden mellom $G$ og $H$ er altså $3$, som skulle vises.

$\underline{\underline{GH=3}}$

Vi skal finne tallpar $a$ og $b$ som gjør at likningen

stemmer.

Metode. Vi tenker på $(4-a)$ og $(4+b)$ som to tall som ganges sammen og gir $8$. Da kan vi velge et hvilket som helst tallpar med produkt $8$ (for eksempel $1\cdot 8$, $2\cdot 4$ eller $4\cdot 2$), sette det første tallet lik $4-a$ og det andre lik $4+b$, og deretter løse likningene for $a$ og $b$ hver for seg. Siden det finnes uendelig mange slike tallpar, finnes det også uendelig mange løsninger $(a,b)$.

Tallpar 1: $1\cdot 8=8$. Vi setter $4-a=1$ og $4+b=8$.

Kontroll: $(4-3)(4+4)=1\cdot 8=8$. ✓

Tallpar 2: $2\cdot 4=8$. Vi setter $4-a=2$ og $4+b=4$.

Kontroll: $(4-2)(4+0)=2\cdot 4=8$. ✓

Tallpar 3: $4\cdot 2=8$. Vi setter $4-a=4$ og $4+b=2$.

Kontroll: $(4-0)(4-2)=4\cdot 2=8$. ✓

$\underline{\underline{(a,b)=(\mathrm{3,4}),(\mathrm{2,0})\text{ og }(0,-2)\text{ er tre gyldige tallpar.}}}$

Algoritmen leser først inn tre sidelengder: $c$ skal være den lengste siden i trekanten, mens $a$ og $b$ er de to andre sidene. Deretter testes det om

Dette er Pytagoras’ setning. Setningen sier at i en rettvinklet trekant er summen av kvadratene til de to korteste sidene ($a$ og $b$, katetene) lik kvadratet av den lengste siden ($c$, hypotenusen). Det motsatte gjelder også: dersom $a^2+b^2=c^2$ stemmer for sidelengdene i en trekant, må trekanten være rettvinklet.

Algoritmen bruker derfor dette til å teste om trekanten med sidelengder $a$, $b$ og $c$ er rettvinklet:

• Stemmer likningen ($a^2+b^2=c^2$), skriver programmet ut Output_1, altså at trekanten er rettvinklet.
• Stemmer den ikke, skriver programmet ut Output_2, altså at trekanten ikke er rettvinklet.

Eksempel som gir Output_1. Vi velger $a=3$, $b=4$ og $c=5$ (den lengste siden). Vi sjekker om likningen stemmer:

Siden $a^2+b^2=c^2$ (begge er $25$), stemmer testen, og algoritmen gir Output_1. Trekanten med sidene $3$, $4$ og $5$ er altså rettvinklet.

Funksjonsuttrykket $y=\mathrm{10,27}x$ beskriver sammenhengen mellom euro og norske kroner.

• $x$ er antall euro du veksler om. Dette er den frie variabelen, og den leses av langs $x$-aksen på grafen.
• $y$ er antall norske kroner du får igjen for disse euroene. Dette leses av langs $y$-aksen.
• $\mathrm{10,27}$ er stigningstallet til grafen. Det forteller hvor mange norske kroner én euro er verdt, altså valutakursen. For hver euro du veksler inn, får du $\mathrm{10,27}$ kroner mer.

Vi kan sjekke sammenhengen mot grafen: Setter vi inn $x=100$ (100 euro), gir funksjonen

Det stemmer godt med grafen, som viser at kurven når litt over $1000\mathrm{kr}$ ved $100$ euro.

Vi lar

• $x$ = antall små flasker Ali pantet
• $y$ = antall store flasker Ali pantet

Likning 1 — antall flasker. Til sammen pantet Ali 51 flasker:

Likning 2 — pant i kroner. Hver liten flaske gir 2 kr og hver store flaske gir 3 kr, og til sammen fikk han 109 kr:

Vi løser likningssettet med innsettingsmetoden.

Steg 1: Isoler $x$ i likning 1.

Steg 2: Sett uttrykket for $x$ inn i likning 2.

Vi ganger ut parentesen:

Steg 3: Løs for $y$.

Ali pantet altså 7 store flasker.

Steg 4: Sett $y=7$ inn i uttrykket for $x$ fra steg 1.

Ali pantet altså 44 små flasker.

Kontroll. Vi setter $x=44$ og $y=7$ inn i de to opprinnelige likningene:

Begge likningene stemmer, så svaret er riktig.

Ali pantet $\underline{\underline{44\text{ små flasker og }7\text{ store flasker}}}$.

Det grafene har til felles. Ingen av de to $y$-aksene starter på $0$. I den venstre grafen går $y$-aksen bare fra $\mathrm{9,7}\%$ til $\mathrm{10,1}\%$, og i den høyre går den bare fra ca. $3580000$ til $3740000$. Når man kutter av bunnen av aksen på denne måten, fyller selv en liten endring hele høyden av diagrammet. Linjene ser derfor ut som en bratt, dramatisk stigning, selv om den faktiske endringen er ganske liten.

Graf 1 — andel uføretrygdede. Av grafen leser vi av:

År	Andel
2015	$\mathrm{9,7}\%$
2016	$\mathrm{9,7}\%$
2017	$\mathrm{9,8}\%$
2018	$\mathrm{10,1}\%$

Den faktiske endringen fra 2015 til 2018 i prosentpoeng er

Den prosentvise (relative) endringen finner vi ved å dele endringen på startverdien:

Andelen uføretrygdede økte altså med omtrent $\mathrm{4,1}\%$ fra 2015 til 2018 — en forholdsvis moderat økning. Men fordi $y$-aksen bare dekker intervallet $\mathrm{9,7}\%$ til $\mathrm{10,1}\%$, ser det ut som andelen nesten har eksplodert, siden linjen stiger fra helt nederst til helt øverst i diagrammet.

Graf 2 — antall sykemeldinger. Her oppgir teksten i figuren selv at antall sykemeldinger økte med $\mathrm{4,6}\%$ fra 2015 til 2019, mens Norges befolkning i samme periode økte med $\mathrm{3,1}\%$. Vekstfaktorene blir

Justerer vi veksten i antall sykemeldinger for befolkningsveksten, finner vi hvor mye sykemeldingene økte per innbygger:

Det betyr at antall sykemeldinger bare økte med omtrent $\mathrm{1,5}\%$ mer enn det befolkningsveksten alene skulle tilsi. Økningen i antall sykemeldinger henger altså i stor grad sammen med at det rett og slett bor flere mennesker i Norge — ikke med at hver enkelt nordmann blir sykmeldt oftere. Likevel ser linjen i grafen ut som en kraftig, urovekkende stigning, fordi $y$-aksen er kuttet til å starte på ca. $3580000$ i stedet for på $0$.

Konklusjon. Grafene gir ikke et godt bilde av utviklingen. Ved å la $y$-aksene starte langt over $0$, blir små endringer forstørret visuelt, slik at leseren lett får inntrykk av en dramatisk økning som ikke stemmer med de faktiske tallene ($\mathrm{4,1}\%$ og $\mathrm{4,6}\%$ over flere år). I tillegg tar den høyre grafen ikke hensyn til at befolkningen samtidig vokste med $\mathrm{3,1}\%$ — når vi justerer for det, er den reelle økningen i sykemeldinger bare om lag $\mathrm{1,5}\%$. For å gi et rettferdig bilde burde grafene enten latt $y$-aksen starte på $0$, tydelig markert et aksebrudd, eller vist utviklingen direkte i prosent per innbygger.

Dette er en utforskende oppgave. Det finnes ikke ett riktig sett med spørsmål — poenget er å stille egne matematiske spørsmål, undersøke dem med eksempler og beregninger, og generalisere det du finner. Løsningsforslaget under er ett eksempel på en god besvarelse. Velger du andre spørsmål, andre eksempler eller en annen rekkefølge, kan det gi like god uttelling så lenge du viser utregning og begrunner konklusjonene dine.

Spørsmål jeg stiller

• Stemmer de tre påstandene om fem, seks og sju påfølgende heltall?
• Kan jeg vise dette generelt, ikke bare med noen få eksempler?
• Er det et mønster som avgjør om summen av $k$ påfølgende heltall er delelig med $k$?

Påstand 1: Summen av fem påfølgende heltall er alltid delelig med fem

Undersøkelse med eksempler:

• $1+2+3+4+5=15=5\cdot 3$ — delelig med $5$.
• $4+5+6+7+8=30=5\cdot 6$ — delelig med $5$.
• $10+11+12+13+14=60=5\cdot 12$ — delelig med $5$.

Alle eksemplene stemmer med påstanden. For å vise at det gjelder for alle fem påfølgende heltall, ikke bare disse tre eksemplene, generaliserer jeg med algebra.

Generalisering: Siden det er fem tall, har de et midttall. La midttallet være $n$. Da er de fem påfølgende heltallene $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$ og $n+2$.

Summen er alltid $5n$, og $5n$ er delelig med $5$ for ethvert heltall $n$, fordi $5n=5\cdot n$. Dermed er $\underline{\underline{\text{summen av fem påfølgende heltall alltid delelig med }5}}$. Påstand 1 stemmer, og er bevist for alle heltall — ikke bare kontrollert i noen eksempler.

Påstand 2: Summen av seks påfølgende heltall er aldri delelig med seks

Undersøkelse med eksempler:

• $1+2+3+4+5+6=21$. $21:6=\mathrm{3,5}$ — ikke delelig, rest $3$.
• $2+3+4+5+6+7=27$. $27:6=\mathrm{4,5}$ — ikke delelig, rest $3$.
• $10+11+12+13+14+15=75$. $75:6=\mathrm{12,5}$ — ikke delelig, rest $3$.

I alle tre eksemplene er resten $3$. Det er et mønster jeg vil undersøke videre med algebra.

Generalisering: Seks tall har ikke noe midttall, så jeg lar $n$ være det minste heltallet. De seks påfølgende heltallene er da $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$ og $n+5$.

Leddet $6n$ er alltid delelig med $6$, uansett hvilket heltall $n$ er. Da avgjør $15$ om hele summen er delelig med $6$. Siden $15=2\cdot 6+3$, er $15$ ikke delelig med $6$ — resten er $3$. Dermed er summen $6n+15$ aldri delelig med $6$; resten ved deling på $6$ er alltid $3$. $\underline{\underline{\text{Summen av seks påfølgende heltall er aldri delelig med }6}}$. Påstand 2 stemmer, og bevises av at $15$ ikke er delelig med $6$.

Påstand 3: Summen av sju påfølgende heltall er «noen ganger» delelig med sju

Undersøkelse med eksempler:

• $1+2+3+4+5+6+7=28=7\cdot 4$ — delelig med $7$.
• $2+3+4+5+6+7+8=35=7\cdot 5$ — delelig med $7$.
• $10+11+12+13+14+15+16=91=7\cdot 13$ — delelig med $7$.

I alle tre eksemplene er summen delelig med $7$. Det virker ikke som det bare skjer «noen ganger» — jeg undersøker dette videre med algebra, på samme måte som for påstand 1.

Generalisering: Sju er et oddetall, så tallene har et midttall $n$. De sju påfølgende heltallene er $n-3$, $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$.

Summen er alltid $7n$, som alltid er delelig med $7$. $\underline{\underline{\text{Summen av sju påfølgende heltall er alltid delelig med }7}}$ — ikke bare noen ganger.

Kritisk vurdering av påstandene

Beregningene mine viser at påstand 3 er upresist formulert. «Alltid» er strengt tatt et spesialtilfelle av «noen ganger» (skjer det alltid, skjer det jo også noen ganger), så påstanden er ikke direkte usann. Men den er misvisende: den får det til å høres ut som om summen bare av og til er delelig med $7$, mens beviset viser at det gjelder for alle valg av sju påfølgende heltall. En mer presis påstand ville vært: «Summen av sju påfølgende heltall er alltid delelig med sju.»

Generalisering til et vilkårlig antall påfølgende heltall

De tre påstandene gir et mønster: fem tall (oddetall) — alltid delelig, seks tall (partall) — aldri delelig, sju tall (oddetall) — alltid delelig. Det leder til en ny hypotese jeg vil undersøke:

Hypotese: Summen av $k$ påfølgende heltall er alltid delelig med $k$ når $k$ er et oddetall, og aldri delelig med $k$ når $k$ er et partall.

Begrunnelse for oddetall: Er $k$ et oddetall, finnes det alltid et midttall $n$, og de $k$ heltallene er symmetriske rundt $n$ (som i påstand 1 og 3, med henholdsvis $k=5$ og $k=7$). Da kansellerer alle avvikene fra $n$ parvis (for eksempel $-2$ og $+2$, eller $-3$ og $+3$), og summen blir $k\cdot n$, som alltid er delelig med $k$.

Begrunnelse for partall: Er $k$ et partall, finnes det ikke noe midttall. Lar jeg $n$ være det minste heltallet, blir summen (som i påstand 2, med $k=6$):

For $k=6$ ga dette resten $3$ ved deling på $6$, altså $\frac{k}{2}$. Jeg sjekker om dette mønsteret ($\text{rest}=\frac{k}{2}$) også stemmer for $k=4$: $1+2+3+4=10$, og $10:4=\mathrm{2,5}$ — rest $2$, som er $\frac{4}{2}=2$. Det stemmer. Restleddet blir altså aldri $0$ når $k$ er et partall, så summen er aldri delelig med $k$.

Konklusjon på hypotesen: $\underline{\underline{\text{Summen av }k\text{ påfølgende heltall er delelig med }k\text{ nøyaktig når }k\text{ er et oddetall}}}$. Dette forklarer alle de tre opprinnelige påstandene i ett generelt resultat.

Dette er en åpen, utforskende oppgave. Det finnes ikke ett riktig svar — poenget er å stille gode matematiske spørsmål ut fra informasjonen som er gitt, regne dem ut, og gjøre en kritisk vurdering til slutt. Nedenfor viser vi ett mulig løsningsforslag med fire spørsmål. En elev som velger andre spørsmål, andre forutsetninger eller andre avrundinger, skal ha full uttelling så lenge framgangsmåten er god og vurderingen er begrunnet.

Spørsmålene vi stiller

1. Hvor mye koster det totalt for Anne å ta mopedlappen?
2. Hvor mye koster det å eie og bruke mopeden fra hun er 16 til hun er 18 år (kjøp, forsikring og bensin)?
3. Hvor mye kan Anne forvente å få igjen når hun selger mopeden som 18-åring?
4. Var “mopedeventyret” verdt det, sett i lys av hva det egentlig kostet netto?

Forutsetninger

Opplysningene i oppgaven gir ikke svar på alt, så vi må gjøre noen valg. Dette er våre valg — andre, like fornuftige valg, gir andre (men like riktige) svar:

• Anne trenger, som gulboksen sier, 2 ekstra kjøretimer utover de 3 som er inkludert i grunnprisen.
• Anne bruker mopeden til skolen (5 dager i uka, 38 skoleuker i året) og til fotballtrening (3 ganger i uka, 40 uker i året), begge steder 2 km hjemmefra.
• Verditapet det første året settes til 25 % (nedre grense i det oppgitte intervallet $25\text{–}30\%$).

Regneark – budsjett for Anne

Vi setter opp et lite regneark der vi regner ut alle delkostnadene. Kolonne A har beskrivelsen, kolonne B har beløpet eller formelen.

	A: Post	B: Beløp / formel
1	Mopedlappen
2	Opplæring + 3 kjøretimer	$8800$
3	Gebyr teoriprøve	$660$
4	Gebyr utstedelse av førerkort	$310$
5	Fakturagebyr	$65$
6	Pris per ekstra kjøretime	=(B2-6480)/3
7	2 ekstra kjøretimer	=B6*2
8	Sum mopedlappen	=SUMMER(B2:B5)+B7
9	Kjøp, forsikring, bensin
10	Kjøp av moped	$16000$
11	Forsikring per måned	$125$
12	Forsikring i 2 år (24 måneder)	=B11*24
13	Kjørelengde per år (km)	$1240$
14	Bensinkostnad per år	=B13/10*5
15	Bensinkostnad i 2 år	=B14*2
16	Sum kjøp/forsikring/bensin	=B10+B12+B15
17	Verditap og salg
18	Verdi etter 1. år (−25 %)	=B10*(1-0,25)
19	Verdi etter 2. år (−20 %)	=B18*(1-0,20)
20	Totale kostnader	=B8+B16
21	Netto kostnad (kostnader − salgsverdi)	=B20-B19

I celle B6 deler vi de tre inkluderte kjøretimene ut fra opplæringsprisen: grunnkurs + trinnvurdering + sikkerhetskurs trafikk + trinnvurdering + sikkerhetskurs vei koster $1000+700+2040+700+2040=6480\mathrm{kr}$, så de 3 kjøretimene koster $8800-6480=2320\mathrm{kr}$ til sammen, altså ca. $773\mathrm{kr}$ per time. I B14 regner vi om fra km til mil (/10) og ganger med bensinprisen per mil (*5, se utregning under). I B18 og B19 brukes formelen for prosentvis reduksjon, verdi_ny = verdi_gammel · (1 − prosent), to ganger etter hverandre.

Spørsmål 1: Hva koster mopedlappen?

Grunnprisen for opplæring og gebyrer:

Pris per ekstra kjøretime, som forklart over cellen B6:

Anne trenger 2 ekstra kjøretimer:

Totalt for mopedlappen:

$\underline{\underline{\text{Mopedlappen koster ca. }11381\mathrm{kr}}}$ Det tilsvarer over 100 timer med en jobb som betaler $100\mathrm{kr}$/t — en betydelig kostnad før hun i det hele tatt har kjøpt moped.

Spørsmål 2: Hva koster det å eie mopeden i to år?

Bensin. Mopeden bruker $\frac{1}{3}\mathrm{L}$ per mil, og bensin koster $15\mathrm{kr}$ per liter. Kostnad per mil:

Vi antar Anne kjører til skolen 5 dager i uka i 38 uker (tur-retur $2\cdot 2=4\mathrm{km}$ per dag), og til fotballtrening 3 ganger i uka i 40 uker (også tur-retur $4\mathrm{km}$):

Bensinkostnad per år og for to år:

Forsikring. $125\mathrm{kr}$ per måned i 24 måneder:

Kjøp av moped: $16000\mathrm{kr}$ (fra annonsen).

Totalt for kjøp, forsikring og bensin:

$\underline{\underline{\text{Kjøp, forsikring og bensin koster ca. }20240\mathrm{kr}\text{for to år}}}$

Spørsmål 3: Hva kan Anne forvente å få igjen ved salg?

Vi bruker verditapet fra grå boks: $25\%$ det første året, $20\%$ det andre året.

Verdi etter første år:

Verdi etter andre år (verditapet regnes av den nye verdien, ikke av kjøpesummen):

$\underline{\underline{\text{Anne kan forvente å selge mopeden for ca. }9600\mathrm{kr}\text{ved 18 år}}}$ Det samlede verditapet er $16000-9600=6400\mathrm{kr}$ på to år — mopeden mister altså mer enn en tredel av verdien sin.

Spørsmål 4: Var det verdt det? Kritisk vurdering

Vi legger sammen alt Anne har betalt fra hun begynte på mopedlappen til hun selger mopeden:

Når hun selger mopeden, får hun igjen ca. $9600\mathrm{kr}$. Netto kostnad for hele perioden blir da:

$\underline{\underline{\text{Netto kostnad for mopedeventyret er ca. }22021\mathrm{kr}}}$

Noen kritiske vurderinger av modellen:

• Tallet er et grovt anslag, ikke et eksakt svar. Vi har gjort flere valg underveis — hvor mange ekstra kjøretimer Anne trenger, hvor mye hun faktisk kjører per uke, og hvilket verditap innenfor $25\text{–}30\%$ som brukes det første året. Velger vi 30 % i stedet for 25 % det første året, blir salgsverdien lavere og netto kostnad høyere.
• $22000\mathrm{kr}$ er mye penger for en 15–16-åring. Til sammenligning koster en enkeltbillett med buss ofte under $50\mathrm{kr}$ — Anne kunne reist til skole og fotball i to år for en brøkdel av prisen, uten å eie noe å selge etterpå.
• Mopeden gir noe bensinbilletten ikke gir: frihet og fleksibilitet til å komme seg rundt selv, uansett rutetider. Om det er verdt $22000\mathrm{kr}$, er en vurdering — ikke et regnestykke.
• Vedlikehold, dekk, reparasjoner og bensinprissvingninger er ikke tatt med i budsjettet, så det reelle beløpet blir trolig enda høyere enn $22021\mathrm{kr}$.

En annen elev kan velge helt andre spørsmål — for eksempel hvor mange måneder Anne må spare av en deltidsjobb for å ha råd til mopedlappen, eller hvordan kostnadene endrer seg hvis hun selger mopeden allerede etter ett år — og få like god uttelling, så lenge spørsmålene er relevante, utregningen er riktig, og vurderingen er godt begrunnet.