10. trinn Vår 2015

Vi runder av $1988$ opp til $2000$, legger sammen, og trekker fra det vi la til for mye:

Svar: $\underline{\underline{395+1988=2383}}$

Vi runder av $479$ opp til $480$, trekker fra, og legger til det vi trakk fra for mye:

Svar: $\underline{\underline{572-479=93}}$

Vi deler opp $102$ i $100+2$ og ganger hver del med $98$:

Svar: $\underline{\underline{102\cdot 98=9996}}$

Vi ganger både $81$ og $\mathrm{0,27}$ med $100$ for å bli kvitt desimaltegnet, og dividerer:

Svar: $\underline{\underline{81:\mathrm{0,27}=300}}$

$1$ mil er $10$ km. Vi deler antall kilometer på $10$ for å finne antall mil:

Svar: $\underline{\underline{98\mathrm{k}\mathrm{m}=\mathrm{9,8}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}}}$

$1$ kg er $10$ hg. Vi ganger antall kilogram med $10$ for å finne antall hektogram:

Svar: $\underline{\underline{\mathrm{12,3}\mathrm{k}\mathrm{g}=123\mathrm{h}\mathrm{g}}}$

$1$ L er $1000$ mL. Vi deler antall milliliter på $1000$ for å finne antall liter:

Svar: $\underline{\underline{800\mathrm{m}\mathrm{L}=\mathrm{0,8}\mathrm{L}}}$

$1$ time er $60$ minutter. Vi gjør om $12$ minutter til timer ved å dele på $60$, og legger til de $4$ hele timene:

Svar: $\underline{\underline{4\mathrm{h}12\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}=\mathrm{4,2}\mathrm{h}}}$

På standardform skal tallet skrives som et tall mellom $1$ og $10$ ganget med en tierpotens. Vi flytter kommaet i $435000$ til det står mellom $4$ og $3$, det vil si $5$ plasser mot venstre:

Svar: $\underline{\underline{435000=\mathrm{4,35}\cdot {10}^5}}$

Vi deler $105$ opp i primtallsfaktorer. Vi starter med minste primtall som går opp i $105$:

$7$ er et primtall, så vi er ferdige. Dermed er

Svar: $\underline{\underline{105=3\cdot 5\cdot 7}}$

Brøkene har allerede samme nevner, så vi legger sammen tellerne:

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{10}}={\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

Fellesnevneren til $12$ og $3$ er $12$. Vi utvider ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ til fjerdedeler av $12$:

Så trekker vi fra:

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{7}{12}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{4}}}}$

Ved multiplikasjon av brøker ganger vi teller med teller og nevner med nevner:

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{8}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}}}$

Vi forkorter først ${\displaystyle \frac{6}{15}}$ til ${\displaystyle \frac{2}{5}}$. Å dividere med en brøk er det samme som å gange med den snudde brøken:

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{4}{5}}:{\displaystyle \frac{6}{15}}=2}}$

Vi samler alle $x$-ledd på venstre side ved å trekke fra $4x$ på begge sider:

Så deler vi begge sider med $2$:

Svar: $\underline{\underline{x=4}}$

Likningen har brøker med nevnerne $2$ og $3$. Fellesnevneren er $6$, så vi ganger begge sider med $6$ for å bli kvitt brøkene:

Vi ganger ut parentesen og trekker sammen:

Til slutt trekker vi $4$ fra begge sider:

Svar: $\underline{\underline{x=2}}$

Vi ganger $-2$ inn i parentesen og trekker sammen leddene:

$\underline{\underline{2-2(2a+1)=-4a}}$

Vi faktoriserer først teller og nevner. I telleren er $2a-2b=2(a-b)$, og i nevneren er $2a+2b=2(a+b)$:

Både i teller og nevner har vi nå faktoren $2(a+b)$. Vi forkorter brøken med denne faktoren (forutsatt at $a+b\ne 0$), og står igjen med

$\underline{\underline{{\displaystyle \frac{(2a-2b)(a+b)}{2a+2b}}=a-b}}$

Thomas har $4$ filmer, og alle er like sannsynlige å trekke. Bare én av dem er Avatar, så sannsynligheten for å trekke akkurat denne filmen er

$\underline{\underline{P(\text{Avatar})=\frac{1}{4}}}$

Vi kaller filmene A (Avatar), H (Hobbiten), G (Gravity) og U (Hunger Games). Thomas trekker $2$ av de $4$ filmene. Vi lister opp alle mulige par (rekkefølgen i paret spiller ingen rolle):

AH, AG, AU, HG, HU, GU

Dette gir $6$ mulige par til sammen. Av disse er det $3$ par som inneholder Gravity: AG, HG og GU.

Sannsynligheten for at Thomas har tatt med Gravity, er da

$\underline{\underline{P(\text{Gravity er med})=\frac{1}{2}}}$

Gjennomsnittsvekten finner vi ved å legge sammen alle vektene og dele på antall spillere.

Gjennomsnittsvekten er $\underline{\underline{\mathrm{86,5}\mathrm{kg}}}$.

Medianen finner vi ved først å sortere vektene fra minst til størst:

Siden det er $4$ spillere (et partall), er medianen gjennomsnittet av de to midterste tallene, $90$ og $91$.

Medianvekten er $\underline{\underline{\mathrm{90,5}\mathrm{kg}}}$.

Vi løser likningssystemet ved innsettingsmetoden. Fra den andre likningen uttrykker vi $x$ ved $y$.

Vi setter dette uttrykket for $x$ inn i den første likningen, $2x+y=5$.

Vi setter $y=3$ inn i uttrykket $x=y-2$.

Vi kontrollerer svaret i begge likningene: $2\cdot 1+3=5$ og $1-3=-2$, som begge stemmer.

Løsningen er $\underline{\underline{x=1,y=3}}$.

For å løse likningssystemet grafisk, tegner vi de to linjene i samme koordinatsystem og leser av skjæringspunktet.

Vi skriver hver likning på formen $y=\dots$ og finner noen punkter på hver linje.

For $2x+y=5$, det vil si $y=-2x+5$:

For $x-y=-2$, det vil si $y=x+2$:

Vi plotter punktene i koordinatsystemet og trekker en rett linje gjennom hvert punktsett. De to linjene krysser hverandre i punktet $(1,3)$, som stemmer med svaret vi fant ved regning i a).

Konstruer en $60°$-vinkel: Tegn en stråle fra $A$. Sett passerspissen i $A$ og slå en bue som skjærer strålen i punktet $P$. Uten å endre passeråpningen settes spissen i $P$, og en ny bue slås som skjærer den første buen i punktet $Q$. Da er $\angle PAQ=60°$, fordi $△APQ$ er likesidet ($AP=AQ=PQ$).

Halver $\angle PAQ$: Sett passerspissen i $P$ og deretter i $Q$ (samme åpning begge ganger) og slå to buer som skjærer hverandre i et punkt $R$ mellom de to strålene. Strålen $AR$ halverer $\angle PAQ$, slik at $\angle PAR=30°$.

Avsett $AB=\mathrm{7,0}$ cm langs strålen $AP$ og $AC=\mathrm{7,0}$ cm langs strålen $AR$. Da er $\angle BAC=30°$, og $△ABC$ er ferdig konstruert. Tegn til slutt $BC$.

Konstruksjon av punktet $D$

Konstruer en linje gjennom $A$ som er parallell med $BC$: Kopier vinkelen $\angle ACB$ ($=75°$) over til punktet $A$, med $AC$ som felles vinkelbein, på motsatt side av $AC$ i forhold til $B$. Dette gjøres ved å slå en bue med sentrum i $C$ som skjærer både $CA$ og $CB$, måle avstanden mellom de to skjæringspunktene med passeren, og deretter overføre både buen (samme radius, sentrum $A$) og den oppmålte avstanden til $A$. Strålen fra $A$ gjennom det nye skjæringspunktet er parallell med $BC$, siden vekselvinklene da blir like store. Dette er linja $AD$.

Konstruer en $90°$-vinkel ved $C$: Reis normalen på $CA$ i punktet $C$ (standard passerkonstruksjon for normal på en linje i et punkt).

Halver denne $90°$-vinkelen på samme måte som i punkt 2, slik at du får en $45°$-vinkel. Strålen skal ligge på motsatt side av $AC$ i forhold til $B$ (samme side som linja fra punkt 4), slik at $\angle ACD=45°$.

Punktet $D$ er skjæringspunktet mellom strålen fra punkt 4 (parallell med $BC$) og strålen fra punkt 6 ($45°$-vinkelen ved $C$). Tegn $AD$ og $CD$. Trapeset $ABCD$ er nå ferdig konstruert, med $AD\parallel BC$ og $\angle ACD=45°$.

$\underline{\underline{\angle A=30°,\angle ABC=\angle ACB=75°,\angle ACD=45°}}$

Vi finner prisen på hver vare Miriam kjøper, og legger sammen.

Poteter, løs vekt: Miriam kjøper $\mathrm{3,5}$ kg, og prisen er $\mathrm{10,00}$ kr per kg.

Blomkål: Miriam kjøper $2$ stk., og prisen er $\mathrm{12,50}$ kr per stykk.

Gulrøtter: Miriam kjøper $1$ sekk med $10$ kg, og prisen er $\mathrm{90,00}$ kr per sekk.

Til sammen må Miriam betale

Miriam må betale $\underline{\underline{\mathrm{150,00}\mathrm{kr}}}$ til sammen.

Gulrøtter i løs vekt koster $\mathrm{12,00}$ kr per kg. Vi lar $x$ være antall kilogram gulrøtter Mikael kjøper. Han kjøper i tillegg ett brett med gårdsegg til $\mathrm{40,00}$ kr, og betaler $\mathrm{100,00}$ kr i alt. Da kan vi sette opp likningen

Vi løser likningen for $x$:

Mikael kjøper $\underline{\underline{5\mathrm{kg}}}$ gulrøtter i løs vekt.

Diameteren til forhjulet er oppgitt i tommer, $d={24}^{\prime \prime }$. Vi regner først om til centimeter ved å bruke at $1^{\prime \prime }\approx \mathrm{2,54}$ cm.

Omkretsen av en sirkel finner vi med formelen $O=\pi \cdot d$.

Omkretsen til forhjulet er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{191,5}\mathrm{cm}}}$.

Når forhjulet ruller $\mathrm{3,0}$ omdreininger, tilbakelegger det en strekning som er $\mathrm{3,0}$ ganger så lang som omkretsen til forhjulet. Vi bruker svaret fra a).

Bakhjulet ruller på den samme strekningen $s$, men bruker $\mathrm{1,7}$ omdreininger. Da er strekningen også lik $\mathrm{1,7}$ ganger omkretsen til bakhjulet:

Vi setter inn $s=\mathrm{574,5}$ og løser for $O_{\text{bak}}$:

Nå finner vi diameteren til bakhjulet ved å snu formelen $O=\pi \cdot d$, altså $d={\displaystyle \frac{O}{\pi }}$:

Til slutt regner vi om fra centimeter til tommer ved å dele på $\mathrm{2,54}$:

Diameteren til bakhjulet er omtrent $\underline{\underline{{\mathrm{42,4}}^{\prime \prime }}}$.

Dette er et serielån: avdraget er likt hvert år, mens restlånet (og dermed rentebeløpet) blir mindre for hvert år som går.

• Avdrag (celle B4) er lånebeløpet delt på antall terminer: =B1/B2
• Restlån i år 1 (celle B8) er lik hele lånebeløpet: =B1
• Restlån i de neste årene (celle B9 og nedover) er restlånet året før minus avdraget: =B8-D8
• Renter (celle C8 og nedover) er restlånet det året multiplisert med rentesatsen: =B8*$B$3 (rentesatsen står fast i B3, derfor $-tegnene)
• Avdrag i tabellen (celle D8 og nedover) er hele tiden det samme, hentet fra B4: =$B$4
• Terminbeløp (celle E8 og nedover) er renter pluss avdrag: =C8+D8
• Summeringsraden (rad 19) bruker =SUMMER(...) over hver kolonne, f.eks. =SUMMER(C8:C17) for sum renter

Med lånebeløp $3600000\mathrm{kr}$, 10 terminer og rente $\mathrm{4,0}\%$ blir avdraget hvert år

Fullført nedbetalingsplan:

Terminbeløpet minker jevnt fra år til år, fordi restlånet (og dermed rentebeløpet) blir mindre mens avdraget er konstant. Et søylediagram er godt egnet til å vise en slik utvikling år for år.

I regnearket markerer vi cellene A7:A17 og E7:E17 (År og Terminbeløp) og setter inn et søylediagram fra menyen “Sett inn → Diagram”.

Med 8 terminer i stedet for 10 blir avdraget hvert år

Vi setter B2 til 8 i regnearket (antall terminer), slik at formlene i tabellen regner om automatisk. Nedbetalingsplanen for 8 terminer blir da:

Sum renter for 10 terminer var $792000\mathrm{kr}$ (fra a). Sum renter for 8 terminer er $648000\mathrm{kr}$. Differansen er

Isak betaler altså $\underline{\underline{144000\mathrm{kr}}}$ mindre i renteutgifter totalt hvis han reduserer nedbetalingstiden fra 10 til 8 år.

Funksjonsuttrykket er

Konstantleddet er tallet som står alene, altså $5$. Det forteller hvor mye lammet veier når $x=0$, det vil si rett etter fødselen.

Et nyfødt lam veier $\underline{\underline{5\mathrm{kg}}}$.

Stigningstallet er tallet foran $x$, altså $\mathrm{0,28}$. Det forteller hvor mye vekten øker for hver dag som går ($x$ øker med $1$).

Vekten til lammet øker med $\underline{\underline{\mathrm{0,28}\mathrm{kg}}}$ per dag.

Vi bruker graftegner til å tegne grafen til $V(x)=\mathrm{0,28}x+5$ for $0\le x\le 150$. Grafen er en rett linje som starter i $(0,5)$ og stiger jevnt.

Vi skal finne hvor mye et lam veier når det er $75$ dager gammelt, altså $V(75)$.

Vi går inn på $x=75$ på grafen, opp til grafen til $V$, og videre bort til $y$-aksen (stiplede linjer i figuren). Der leser vi av $y\approx 26$.

Et lam som er $75$ dager gammelt, veier omtrent $\underline{\underline{26\mathrm{kg}}}$.

Vi kan kontrollere avlesningen med funksjonsuttrykket:

Dette stemmer med avlesningen på grafen.

Et lam slaktes når det veier mer enn $45$ kg. Vi tegner den vannrette linja $y=45$ inn i koordinatsystemet (grønn linje i figuren) og finner skjæringspunktet med grafen til $V$.

Vi går fra skjæringspunktet loddrett ned til $x$-aksen (stiplet linje i figuren) og leser av $x\approx 143$.

Et lam må være minst $\underline{\underline{143\text{dager}}}$ gammelt når det slaktes.

Vi kan kontrollere avlesningen ved å sette $V(x)=45$ i funksjonsuttrykket. GeoGebra gir skjæringspunktet $(\mathrm{142,857}\dots ,45)$. Siden alder telles i hele dager, og lammet må veie mer enn $45$ kg, må det være minst $143$ dager gammelt.