S2 Vår 2015

S2 Vår 2015 – oversikt over oppgavene
№	Navn	Nivå	LF	Status
Del 1 uten hjelpemidler
1-7	Normalfordelte hjortebukker		KI

Vekten $X$ av voksne hjortebukker i en kommune er normalfordelt med forventningsverdi $\mu = 100$ kg og med standardavvik $\sigma=20$ kg.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mindre enn 90 kg.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mellom 90 og 110 kg.

Fasit

$P(X < 90) \approx \mathbf{0{,}31}$

$P(90 < X < 110) \approx \mathbf{0{,}38}$

Løsningsforslag

$X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 100$ og $\sigma = 20$ .

Vi standardiserer ved å bruke $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ .

Vi finner $P(X < 90)$ :

P(X < 90) = P\!\left(Z < \frac{90 - 100}{20}\right) = P(Z < -0{,}5) = \Phi(-0{,}5)

Fra normalfordelingstabellen leser vi av:

\Phi(-0{,}5) \approx 0{,}3085

$P(X < 90) \approx \underline{\underline{0{,}31}}$

Vi finner $P(90 < X < 110)$ :

P(90 < X < 110) = P\!\left(\frac{90-100}{20} < Z < \frac{110-100}{20}\right) = P(-0{,}5 < Z < 0{,}5)

= \Phi(0{,}5) - \Phi(-0{,}5)

Vi bruker symmetrien i normalfordelingen: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ , så $\Phi(-0{,}5) = 1 - \Phi(0{,}5)$ . Da kan vi skrive:

\Phi(0{,}5) - \Phi(-0{,}5) = \Phi(0{,}5) - (1 - \Phi(0{,}5)) = 2\cdot\Phi(0{,}5) - 1

Fra tabellen er $\Phi(0{,}5) \approx 0{,}6915$ , og vi får:

2 \cdot 0{,}6915 - 1 = 0{,}3830

$P(90 < X < 110) \approx \underline{\underline{0{,}38}}$

Oppgavedata

Temaer: standard normalfordeling, normalfordeling, sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen

Sync på tvers av enheter