Uendelig geometrisk rekke og brøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tallet $x = 0{,}555\ldots$ består av uendelig mange 5-tall etter komma.

Forklar at vi kan se på dette tallet som summen av den uendelige geometriske rekken

\frac{5}{10} + \frac{5}{10^2} + \frac{5}{10^3} + \cdots

Bruke dette til å skrive $x$ som en brøk.

Tallet $y = 0{,}232323\ldots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å skrive $y$ som en brøk.

Fasit

$x = \dfrac{5}{9}$

$y = \dfrac{23}{99}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver $x = 0{,}555\ldots$ som en sum:

x = \frac{5}{10} + \frac{5}{10^2} + \frac{5}{10^3} + \cdots

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1 = \dfrac{5}{10}$ og kvotient $k = \dfrac{1}{10}$ .

Siden $|k| = \dfrac{1}{10} < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

x = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{\dfrac{5}{10}}{1 - \dfrac{1}{10}} = \frac{\dfrac{5}{10}}{\dfrac{9}{10}} = \frac{5}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{5}{9}

Vi skriver $y = 0{,}232323\ldots$ som en sum:

y = \frac{23}{100} + \frac{23}{100^2} + \frac{23}{100^3} + \cdots

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1 = \dfrac{23}{100}$ og kvotient $k = \dfrac{1}{100}$ .

Siden $|k| = \dfrac{1}{100} < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

y = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{\dfrac{23}{100}}{1 - \dfrac{1}{100}} = \frac{\dfrac{23}{100}}{\dfrac{99}{100}} = \frac{23}{100} \cdot \frac{100}{99} = \frac{23}{99}

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter