S2 Høst 2016

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner (s2 h16)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = x^{3} - 5 x

g (x) = 5 {(x^{2} + 1)}^{7}

h (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}

Fasit

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 5$

$g^{'} (x) = 70 x {(x^{2} + 1)}^{6}$

$h^{'} (x) = \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

f (x) = x^{3} - 5 x

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 5

g (x) = 5 {(x^{2} + 1)}^{7}

Vi bruker kjerneregelen med $u = x^{2} + 1$ :

g^{'} (x) = 5 \cdot 7 {(x^{2} + 1)}^{6} \cdot {(x^{2} + 1)}^{'} = 35 {(x^{2} + 1)}^{6} \cdot 2 x = 70 x {(x^{2} + 1)}^{6}

h (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}

Vi bruker kvotientregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ med $u = e^{x}$ og $v = e^{x} + 1$ :

h^{'} (x) = \frac{e^{x} \cdot (e^{x} + 1) - e^{x} \cdot e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} = \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Løs rasjonale og logaritmiske likninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ligningene

\frac{3 x}{x - 2} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}

\ln (x^{2} + 2 x - 14) = 0

Fasit

$x = 0$ eller $x = - 3$

$x = - 5$ eller $x = 3$

LøsningsforslagKI-generert

\frac{3 x}{x - 2} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}

Vi merker at $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , så fellesnevneren er $(x - 2) (x + 2)$ . Nevneren er null for $x = 2$ og $x = - 2$ , så disse er ugyldige løsninger.

Multipliserer begge sider med $(x - 2) (x + 2)$ :

3 x (x + 2) = x^{2}

3 x^{2} + 6 x = x^{2}

2 x^{2} + 6 x = 0

2 x (x + 3) = 0

x = 0 eller x = - 3

Begge løsningene er gyldige siden ingen av dem gjør nevneren null.

\ln (x^{2} + 2 x - 14) = 0

Siden $\ln (1) = 0$ , får vi:

x^{2} + 2 x - 14 = 1

x^{2} + 2 x - 15 = 0

(x + 5) (x - 3) = 0

x = - 5 eller x = 3

Vi sjekker at argumentet $x^{2} + 2 x - 14$ er positivt for begge løsningene:

$x = - 5$ : $25 - 10 - 14 = 1 > 0$ ✓
$x = 3$ : $9 + 6 - 14 = 1 > 0$ ✓

Begge løsningene er gyldige.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Likninger, Logaritmer, Rasjonale funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 32

Begrunn at divisjonen $f (x) : (x + 2)$ går opp, uten å utføre divisjonen.

Bestem nullpunktene til $f$ .

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

$f (- 2) = 0$ , så $(x + 2)$ er en faktor og divisjonen går opp.

$x = - 2$ og $x = 4$

Toppunkt $(0, 32)$ , bunnpunkt $(4, 0)$

Vendepunkt $(2, 16)$

Se skisse i løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

Vi beregner $f (- 2)$ :

f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 6 \cdot {(- 2)}^{2} + 32 = - 8 - 24 + 32 = 0

Siden $f (- 2) = 0$ , er $x = - 2$ et nullpunkt for $f$ . Ifølge faktorteoremet betyr dette at $(x + 2)$ er en faktor i $f (x)$ , og divisjonen $f (x) : (x + 2)$ går opp uten rest.

Vi utfører polynomdivisjon:

f (x) : (x + 2) = x^{2} - 8 x + 16 = {(x - 4)}^{2}

Dermed kan $f (x)$ faktoriseres som:

f (x) = (x + 2) {(x - 4)}^{2}

Nullpunktene er der $f (x) = 0$ :

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$
${(x - 4)}^{2} = 0 \Rightarrow x = 4$

Nullpunktene er $(- 2, 0)$ og $(4, 0)$ .

Vi deriverer $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 32$ :

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x = 3 x (x - 4)

Stasjonære punkter der $f^{'} (x) = 0$ :

3 x (x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 eller x = 4

Vi bruker andrederivert for å klassifisere:

f^{''} (x) = 6 x - 12

$x = 0$ : $f^{''} (0) = - 12 < 0$ — toppunkt. $f (0) = 32$ .

$x = 4$ : $f^{''} (4) = 12 > 0$ — bunnpunkt. $f (4) = 0$ .

Grafen til $f$ har toppunkt $(0, 32)$ og bunnpunkt $(4, 0)$ .

Vendepunkt der $f^{''} (x) = 0$ :

6 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2

Fortegnet til $f^{''} (x)$ skifter fra negativ til positiv i $x = 2$ , så dette er et vendepunkt.

f (2) = 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 32 = 8 - 24 + 32 = 16

Grafen har vendepunkt $(2, 16)$ .

Fra drøftingen vet vi:

Nullpunkter: $(- 2, 0)$ og $(4, 0)$
Toppunkt: $(0, 32)$
Bunnpunkt: $(4, 0)$ — merk at bunnpunktet faller sammen med nullpunktet i $x = 4$ , og $x = 4$ er et dobbelt nullpunkt, så grafen er tangent til $x$ -aksen der
Vendepunkt: $(2, 16)$

Skisse av f(x) = x^3 - 6x^2 + 32

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Funksjonsdrøfting, Polynomdivisjon, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Kostnadsfunksjon og ligningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer en vare. De totale kostnadene $K$ ved produksjon av $x$ enheter kan skrives på formen

K (x) = a x^{2} + b x + c

Vi får vite at

kostnadene er 3000 når det produseres 10 enheter
kostnadene er 8000 når det produseres 20 enheter
grensekostnadene ved produksjon av 10 enheter er 350

Forklar at dette gir oss ligningssystemet

100 a + 10 b + c = 3000

400 a + 20 b + c = 8000

20 a + b = 350

Løs ligningssystemet.

Fasit

$K (x) = 15 x^{2} + 50 x + 1000$

LøsningsforslagKI-generert

$K^{'} (x) = 2 a x + b$ , så $K^{'} (10) = 20 a + b$ .

Vi setter inn de tre opplysningene i $K (x) = a x^{2} + b x + c$ :

K (10) = 3000 ⟹ 100 a + 10 b + c = 3000

K (20) = 8000 ⟹ 400 a + 20 b + c = 8000

K^{'} (10) = 350 ⟹ 20 a + b = 350

Dette gir ligningssystemet vist i oppgaven.

Vi trekker ligning 1 fra ligning 2 for å eliminere $c$ :

300 a + 10 b = 5000 (L_{2} - L_{1})

Fra ligning 3 er $b = 350 - 20 a$ . Vi setter dette inn:

300 a + 10 (350 - 20 a) = 5000

300 a + 3500 - 200 a = 5000

100 a = 1500

a = 15

Dermed er $b = 350 - 20 \cdot 15 = 350 - 300 = 50$ .

Vi setter $a = 15$ og $b = 50$ inn i ligning 1:

100 \cdot 15 + 10 \cdot 50 + c = 3000

1500 + 500 + c = 3000

c = 1000

Kostnadsfunksjonen er

K (x) = 15 x^{2} + 50 x + 1000

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Likningssystem, Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Aritmetisk rekke og figurtall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk sumformelen for en aritmetisk rekke til å finne et uttrykk for summen

1 + 2 + 3 + \dots + n

Vis hvordan du kan argumentere for resultatet i oppgave a) ved å bruke figuren nedenfor.

Figurtall med røde og grå kuler

Fasit

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$

Figuren viser et rektangel med $n$ rader og $n + 1$ kolonner. De røde kulene utgjør summen $1 + 2 + \dots + n$ , og de grå kulene er en speilvendt kopi av det samme. Til sammen fyller de hele rektangelet med $n (n + 1)$ kuler, så $1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $1 + 2 + 3 + \dots + n$ er en aritmetisk rekke med

a_{1} = 1, a_{n} = n, og n ledd.

Sumformelen for en aritmetisk rekke er

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Vi setter inn:

S_{n} = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n (n + 1)}{2}

Figuren viser et rektangel med $n$ rader og $n + 1$ kolonner, totalt $n (n + 1)$ kuler.

En trappelinje deler rektangelet i to like store deler:

De røde kulene danner et trappemønster der rad 1 har 1 kule, rad 2 har 2 kuler, …, rad $n$ har $n$ kuler. Antall røde kuler er $1 + 2 + 3 + \dots + n$ .
De grå kulene er en speilvendt kopi av de røde og har nøyaktig like mange kuler.

Siden røde og grå kuler til sammen fyller hele rektangelet, har vi

2 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + n) = n (n + 1)

og dermed

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

Dette stemmer med svaret i oppgave a).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rekker, Figurtall, Argumentasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Diskret sannsynlighetsfordeling (s2 h16)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel $X$ er gitt ved denne tabellen:

$t$	$r$	$- 1$	$0$	$2$
$P (X = t)$	$0,1$	$0,3$	$0,2$	$p$

Forklar hvorfor $p$ må være lik $0,4$ .

Bestem $r$ dersom $E (X) = 1$ .

Vi setter nå $r = - 5$ . Bestem $E (X)$ og $Var (X)$ .

Fasit

$p = 0,4$

$r = 5$

$E (X) = 0$ , $Var (X) = 4,4$

LøsningsforslagKI-generert

Summen av alle sannsynligheter i en sannsynlighetsfordeling må være lik 1:

0,1 + 0,3 + 0,2 + p = 1

0,6 + p = 1

p = 0,4

Forventningsverdien er gitt ved $E (X) = \sum t \cdot P (X = t)$ . Vi setter inn de kjente verdiene og bruker at $E (X) = 1$ :

0,1 \cdot r + 0,3 \cdot (- 1) + 0,2 \cdot 0 + 0,4 \cdot 2 = 1

0,1 r - 0,3 + 0 + 0,8 = 1

0,1 r + 0,5 = 1

0,1 r = 0,5

r = 5

Med $r = - 5$ ser sannsynlighetsfordelingen slik ut:

$t$	$- 5$	$- 1$	$0$	$2$
$P (X = t)$	$0,1$	$0,3$	$0,2$	$0,4$

Forventningsverdi:

E (X) = 0,1 \cdot (- 5) + 0,3 \cdot (- 1) + 0,2 \cdot 0 + 0,4 \cdot 2

= - 0,5 - 0,3 + 0 + 0,8 = 0

Varians:

Var (X) = \sum P (X = t) \cdot {(t - E (X))}^{2}

= 0,1 \cdot {(- 5 - 0)}^{2} + 0,3 \cdot {(- 1 - 0)}^{2} + 0,2 \cdot {(0 - 0)}^{2} + 0,4 \cdot {(2 - 0)}^{2}

= 0,1 \cdot 25 + 0,3 \cdot 1 + 0,2 \cdot 0 + 0,4 \cdot 4

= 2,5 + 0,3 + 0 + 1,6 = 4,4

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Kostnadsgraf med tangenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren har vi tegnet grafen til en kostnadsfunksjon $K$ (blå graf) og en inntektsfunksjon $I$ (rød graf). Her er $K (x)$ de daglige kostnadene ved å produsere og selge $x$ enheter, og $I (x)$ er de daglige inntektene ved å selge $x$ enheter. Både kostnader og inntekter er regnet i kroner.

Kostnadsgraf K og inntektsgraf I med tangenter g og h

På samme figur har vi også tegnet inn to tangenter til grafen til $K$ . Disse er gitt ved

g (x) = 100 x - 2613

h (x) = 62,5 x + 3850

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge daglig for at den skal ha et overskudd?

Bestem grensekostnaden ved produksjon og salg av 100 enheter.

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?

Fasit

Bedriften har overskudd når den produserer mellom 100 og 400 enheter daglig.

$K^{'} (100) = 62,5$ kr per enhet.

Overskuddet er størst ved produksjon av 250 enheter.

LøsningsforslagKI-generert

Bedriften har overskudd når inntektene er større enn kostnadene, det vil si når $I (x) > K (x)$ .

Fra grafen ser vi at den røde grafen $I$ ligger over den blå grafen $K$ mellom skjæringspunktene $A$ og $C$ . Vi leser av at $A$ ligger ved $x = 100$ og $C$ ved $x = 400$ .

Bedriften har overskudd når den produserer og selger mellom 100 og 400 enheter daglig, altså for $x \in ⟨ 100, 400 ⟩$ .

Grensekostnaden ved $x = 100$ er det samme som den deriverte $K^{'} (100)$ , som er lik stigningstallet til tangenten til $K$ i punktet $x = 100$ .

Fra grafen ser vi at punkt $A$ ved $x = 100$ er berøringspunktet for tangenten $h (x) = 62,5 x + 3850$ .

Stigningstallet til $h$ er $62,5$ , så

K^{'} (100) = 62,5

Grensekostnaden ved produksjon av 100 enheter er 62,5 kr per enhet.

Overskuddet $O (x) = I (x) - K (x)$ er størst der grafen for $I$ og grafen for $K$ har størst avstand. Dette skjer når de to grafene har samme stigningstall, det vil si der tangenten til $K$ er parallell med $I$ .

Fra grafen ser vi at $I (x)$ er en rett linje med stigningstall $100$ (tangenten $g (x) = 100 x - 2613$ er parallell med $I$ ). Overskuddet er størst der tangenten til $K$ også har stigningstall $100$ , og dette er i berøringspunktet til $g$ på grafen til $K$ .

Vi leser av punkt $B$ på grafen og ser at dette skjer ved $x = 250$ .

Bedriften må produsere og selge 250 enheter daglig for å få størst mulig overskudd.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Tilnærming med normalfordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.

Vi har to stokastiske forsøk:

På en flervalgsprøve med 32 oppgaver er det tre alternative svar til hver oppgave. Bare ett svar er riktig. Ole har ikke øvd til prøven, så han krysser av et tilfeldig svar på hver oppgave. La $X_{1}$ være antall rette Ole får.
En frøpakke består av 100 frø. Spireevnen er oppgitt til å være 80 %. Lise sår alle de 100 frøene. La $X_{2}$ være antall frø som spirer.

Nedenfor er det tegnet inn fire normalfordelinger.

Fire normalfordelinger A, B, C og D

Avgjør hvilken som gir best tilnærming til $X_{1}$ og hvilken som gir best tilnærming til $X_{2}$ . Begrunn svarene dine.

Fasit

$X_{1}$ : figur D. $X_{2}$ : figur A.

LøsningsforslagKI-generert

Flervalgsprøven ( $X_{1}$ )

$X_{1}$ er binomisk fordelt med $n = 32$ og $p = \frac{1}{3}$ .

Forventningsverdi og standardavvik:

μ_{1} = n p = 32 \cdot \frac{1}{3} \approx 10,67

σ_{1} = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{32 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3} \approx 2,67

Vi leter etter en figur med sentrum nær 10–11 og relativt liten spredning. Det passer figur D.

Frøscenarioet ( $X_{2}$ )

$X_{2}$ er binomisk fordelt med $n = 100$ og $p = 0,8$ .

Forventningsverdi og standardavvik:

μ_{2} = n p = 100 \cdot 0,8 = 80

σ_{2} = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{100 \cdot 0,8 \cdot 0,2} = \sqrt{16} = 4

Vi leter etter en figur med sentrum nær 80 og liten spredning (σ = 4 er lite i forhold til μ = 80). Figur A har sentrum ved 80 og er smal og symmetrisk. Det passer figur A.

(Figur B har også sentrum rundt 80, men er svært bred og skjev — den representerer ikke en normalfordeling med σ = 4.)

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling, Binomisk fordeling, Sentralgrenseteoremet
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 2-1Optimering av materialkostnader for skap

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift skal produsere et skap formet som et rett prisme. Skapet skal ha kvadratisk bunn, og volumet skal være 800 L.

Materialet til sideflatene og toppen koster $230 {kroner/m}^{2}$ . Materialet til bunnen koster $450 {kroner/m}^{2}$ .

Rett prisme med kvadratisk bunn og sidelengde x

For hånd

Vis at de totale materialkostnadene er gitt ved

K (x) = 680 x^{2} + \frac{736}{x}, x > 0

der $x$ er lengden på sidene i bunnen, målt i meter.

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $K$ .

Kalkulator

Bestem $x$ slik at materialkostnadene blir lavest mulig.

Fasit

Se løsningsforslag.

$x \approx 0,815 m$ , $K \approx 1355 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være sidelengden i den kvadratiske bunnen (i meter) og $h$ være høyden på skapet (i meter).

Volumkravet gir:

x^{2} \cdot h = 800 L = 0,8 m^{3} ⟹ h = \frac{0,8}{x^{2}}

Materialkostnadene beregnes for hver flate:

Bunn: $x^{2} \cdot 450$ kr
Topp: $x^{2} \cdot 230$ kr
Fire sidevegger: $4 \cdot (x \cdot h) \cdot 230$ kr

Totalt:

K (x) = 450 x^{2} + 230 x^{2} + 4 \cdot x \cdot \frac{0,8}{x^{2}} \cdot 230

K (x) = 680 x^{2} + \frac{4 \cdot 0,8 \cdot 230}{x} = 680 x^{2} + \frac{736}{x}

Grafen til $K (x) = 680 x^{2} + \frac{736}{x}$ for $x > 0$ :

Graf av K(x) = 680x² + 736/x

Grafen har et bunnpunkt (minimumspunkt) for $x \approx 0,815$ m.

Vi deriverer og setter den deriverte lik null:

K^{'} (x) = 1360 x - \frac{736}{x^{2}}

K^{'} (x) = 0 ⟹ 1360 x = \frac{736}{x^{2}} ⟹ x^{3} = \frac{736}{1360} = \frac{46}{85}

x = \sqrt[3]{\frac{46}{85}} \approx 0,815 m

Vi sjekker at dette er et minimum ved å kontrollere fortegnskiftet til $K^{'}$ : $K^{'} (x) < 0$ for $x < 0,815$ og $K^{'} (x) > 0$ for $x > 0,815$ , så dette er et minimum.

Den laveste materialkostnaden er:

K (0,815) = 680 \cdot {0,815}^{2} + \frac{736}{0,815} \approx 451,7 + 903,1 \approx 1355 kr

Materialkostnadene blir lavest mulig når $x \approx 0,815$ m (dvs. ca. 81,5 cm), og den laveste kostnaden er ca. 1355 kr.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Kostnadsfunksjon, Volum
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Binomisk fordeling og hypotesetest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en trafikkstasjon er sannsynligheten $p = 0,52$ for at en tilfeldig person består teoriprøven for førerkort.

Kalkulator

En dag skal 10 personer ta teoriprøven. Bestem sannsynligheten for at minst 7 av disse greier prøven.

Kalkulator

En uke skal 100 personer ta teoriprøven. Bestem sannsynligheten for at minst 70 av disse greier prøven.

Myndighetene har mistanke om at elever fra en bestemt kjøreskole jukser. Av de 100 siste elevene fra denne kjøreskolen besto 60 teoriprøven.

Kalkulator

Bruk hypotesetesting til å avgjøre om disse tallene støtter mistanken om juks. Bruk signifikansnivå på 5 %.

Fasit

$P (X_{1} \geq 7) \approx 0,2067$

$P (X_{2} \geq 70) \approx 0,0002$

P-verdi $\approx 0,066 > 0,05$ — kan ikke forkaste $H_{0}$ ; ikke grunnlag for å si at andelen har økt

LøsningsforslagKI-generert

La $X_{1}$ være antall personer som består teoriprøven blant de 10.

$X_{1}$ er binomisk fordelt med $n = 10$ og $p = 0,52$ .

Vi ønsker $P (X_{1} \geq 7)$ :

P (X_{1} \geq 7) = P (X_{1} = 7) + P (X_{1} = 8) + P (X_{1} = 9) + P (X_{1} = 10)

Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren (binomisk, $n = 10$ , $p = 0,52$ ) og leser av:

P (X_{1} \geq 7) \approx 𝟎,𝟐𝟎𝟔𝟕

Sannsynligheten for at minst 7 av de 10 personene greier prøven er omtrent $20,7 %$ .

La $X_{2}$ være antall personer som består teoriprøven blant de 100.

$X_{2}$ er binomisk fordelt med $n = 100$ og $p = 0,52$ .

Vi kan bruke sannsynlighetskalkulatoren direkte (binomisk, $n = 100$ , $p = 0,52$ ):

P (X_{2} \geq 70) \approx 𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟐

Alternativt med normalapproksimering:

Siden $n = 100$ er stort, kan $X_{2}$ tilnærmes med en normalfordeling. Vi beregner forventning og standardavvik:

μ = n p = 100 \cdot 0,52 = 52

σ = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{100 \cdot 0,52 \cdot 0,48} = \sqrt{24,96} \approx 5,0

$X_{2}$ er tilnærmet normalfordelt med $μ = 52$ og $σ \approx 5,0$ .

Med heltallskorreksjon:

P (X_{2} \geq 70) \approx P (X_{2} \geq 69,5) \approx 0,0002

Sannsynligheten for at minst 70 av de 100 personene greier prøven er omtrent $0,02 %$ .

Vi setter opp en hypotesetest.

Hypoteser:

H_{0} : p = 0,52 H_{1} : p > 0,52

Vi har observert at 60 av 100 elever fra den aktuelle kjøreskolen besto teoriprøven.

Testobservator: $X = 60$

Under $H_{0}$ er $X$ binomisk fordelt med $n = 100$ og $p = 0,52$ .

P-verdien er sannsynligheten for å observere et resultat minst like ekstremt som det observerte, gitt at $H_{0}$ er sann:

P-verdi = P (X \geq 60 | p = 0,52)

Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren (binomisk, $n = 100$ , $p = 0,52$ ) og leser av:

P-verdi \approx 0,066

Konklusjon:

Siden p-verdien $\approx 0,066 > 0,05$ (signifikansnivået), kan vi ikke forkaste $H_{0}$ .

$Det er ikke statistisk grunnlag for å si at andelen som består har økt for elever fra denne kjøreskolen.$

Resultatet (60 av 100) er ikke uvanlig nok til å utelukke tilfeldigheter ved et signifikansnivå på $5 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Binomisk fordeling, Hypotesetest, Normalfordeling
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Etterspørsel, inntekt og overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. Bedriften regner med at den daglige etterspørselen $x = E (p)$ er gitt ved

E (p) = 341 - p^{2} for p \in [4, 16]

der $p$ er prisen i kroner per enhet.

Kalkulator

Bestem inntekten $I$ uttrykt ved $p$ .

Kalkulator

Hvilken pris gir høyest inntekt?

De daglige kostnadene ved å produsere og selge $x$ enheter er $K (x)$ kroner. Tabellen nedenfor viser kostnadene for noen $x$ -verdier.

$x$	50	100	150	200	250	300
$K (x)$	792	1065	1329	1601	1867	2136

Kalkulator

Bruk blant annet tallene i tabellen til å vise at en god modell for overskuddsfunksjonen er gitt ved

O (p) = - p^{3} + 5,37 p^{2} + 341 p - 2356

Kalkulator

Bestem den prisen som gir størst overskudd. Hvor mange enheter må bedriften produsere da?

Fasit

$I (p) = - p^{3} + 341 p$

$p \approx 10,66$ kr gir høyest inntekt

Lineær regresjon gir $K (x) \approx 5,37 x + 525,2$ , slik at $O (p) = - p^{3} + 5,37 p^{2} + 341 p - 2356$

$p \approx 12,6$ kr, antall enheter $x \approx 182$

LøsningsforslagKI-generert

Inntekten er pris multiplisert med antall enheter solgt:

I (p) = p \cdot E (p) = p \cdot (341 - p^{2}) = 341 p - p^{3}

Altså er $I (p) = - p^{3} + 341 p$ .

Vi finner maksimum ved å derivere og sette lik null:

I^{'} (p) = - 3 p^{2} + 341

Setter $I^{'} (p) = 0$ :

- 3 p^{2} + 341 = 0 ⟹ p^{2} = \frac{341}{3} ⟹ p = \sqrt{\frac{341}{3}} \approx 10,66

Vi sjekker at dette gir maksimum: $I^{''} (p) = - 6 p < 0$ for $p > 0$ . ✓

Siden $p \approx 10,66 \in [4, 16]$ , gir $p \approx 10,66$ kr høyest inntekt.

Steg 1: Finn $K (x)$ ved lineær regresjon

Fra tabellen bruker vi lineær regresjon (grad 1) på datapunktene:

$x$	50	100	150	200	250	300
$K (x)$	792	1065	1329	1601	1867	2136

Regresjonen gir:

K (x) \approx 5,37 x + 525,2

Vi kan verifisere: for $x = 100$ gir modellen $K (100) = 5,37 \cdot 100 + 525,2 = 1062,2 \approx 1065$ ✓

Steg 2: Uttrykk $K$ som funksjon av $p$

Siden $x = E (p) = 341 - p^{2}$ setter vi inn:

K (E (p)) = 5,37 (341 - p^{2}) + 525,2 = 1832,17 - 5,37 p^{2} + 525,2 = 2357,37 - 5,37 p^{2}

Steg 3: Sett opp overskuddsfunksjonen

O (p) = I (p) - K (E (p)) = (- p^{3} + 341 p) - (2357,37 - 5,37 p^{2})

O (p) = - p^{3} + 5,37 p^{2} + 341 p - 2357,37

Avrunder vi konstantleddet til $- 2356$ , får vi:

O (p) \approx - p^{3} + 5,37 p^{2} + 341 p - 2356

Dette er i samsvar med den oppgitte modellen. ✓

Vi maksimerer $O (p) = - p^{3} + 5,37 p^{2} + 341 p - 2356$ på $[4, 16]$ .

Deriverer:

O^{'} (p) = - 3 p^{2} + 10,74 p + 341

Setter $O^{'} (p) = 0$ :

- 3 p^{2} + 10,74 p + 341 = 0

Med CAS (eller andregradsformelen) løser vi:

p = \frac{- 10,74 \pm \sqrt{{10,74}^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 341}}{- 6} \approx 12,6 eller p \approx - 9,0

Siden $p \in [4, 16]$ er $p \approx 12,6$ den eneste aktuelle løsningen.

Vi sjekker: $O^{''} (p) = - 6 p + 10,74$ , og $O^{''} (12,6) = - 6 \cdot 12,6 + 10,74 = - 64,86 < 0$ . Dette er et maksimum. ✓

Antall enheter:

x = E (12,6) = 341 - {12,6}^{2} = 341 - 158,76 \approx 182 enheter

Den prisen som gir størst overskudd er $p \approx 12,6$ kr, og bedriften må da produsere og selge omtrent $182$ enheter.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Etterspørsel, Optimering, Modellering, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Annuitetslån med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Remine skal kjøpe leilighet. Hun må låne 1 000 000 kroner. Banken tilbyr henne et annuitetslån med årlig rente på 2,40 % og en nedbetalingstid på 25 år. Det er én termin per år. Første terminbeløp skal betales ett år etter at hun får lånet.

Kalkulator

Bestem terminbeløpet.

Remine frykter en renteøkning. Hun kan klare å betale et terminbeløp på maksimalt 60 000 kroner.

Oppsett for hånd

Bruk CAS til å bestemme hvor høy renten kan være dersom Remine skal klare å betjene lånet.

Hun vurderer å betale ned lånet på kortere tid.

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme antall terminer dersom den årlige renten er 2,40 % og terminbeløpet er 60 000 kroner.

Fasit

$t \approx 53 657$ kr

Renten kan være opptil ca. $3,4 %$

Remine betaler ned lånet på ca. $21,5$ år ( $\approx 22$ terminer)

LøsningsforslagKI-generert

Et annuitetslån med lånebeløp $L$ , rentefaktor $r$ og $a$ terminer gir terminbeløpet

t = \frac{L \cdot r^{a} \cdot (r - 1)}{r^{a} - 1}

Vi setter inn $L = 1 000 000$ , $r = 1,024$ og $a = 25$ :

t = \frac{1 000 000 \cdot {1,024}^{25} \cdot 0,024}{{1,024}^{25} - 1}

I CAS skriver vi:

NLøs(t = 1000000 * 1.024^25 * (1.024 - 1) / (1.024^25 - 1))

eller evaluerer uttrykket direkte:

1000000 * 1.024^25 * 0.024 / (1.024^25 - 1)

CAS gir $t \approx 53 657$ .

Terminbeløpet er ca. 53 657 kr.

Vi setter $t = 60 000$ , $L = 1 000 000$ , $a = 25$ og løser for $r$ :

60 000 = \frac{1 000 000 \cdot r^{25} \cdot (r - 1)}{r^{25} - 1}

I CAS:

NLøs(60000 = 1000000 * r^25 * (r - 1) / (r^25 - 1), r)

CAS gir $r \approx 1,034$ , det vil si en rente på ca. $3,4 %$ .

Renten kan være opptil ca. 3,4 %.

Vi setter $t = 60 000$ , $L = 1 000 000$ , $r = 1,024$ og løser for $a$ :

60 000 = \frac{1 000 000 \cdot {1,024}^{a} \cdot 0,024}{{1,024}^{a} - 1}

I CAS:

NLøs(60000 = 1000000 * 1.024^a * (1.024 - 1) / (1.024^a - 1), a)

CAS gir $a \approx 21,54$ .

Siden Remine betaler én termin per år og $a$ må være et helt antall terminer, betyr dette at hun betaler ned lånet i løpet av 22 terminer (ca. 21,5 år).

Med terminbeløp 60 000 kr og rente 2,40 % er nedbetalingstiden ca. 21,5 år (22 terminer).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Annuitetslån, Rente, CAS
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner (s2 h16)

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Løs rasjonale og logaritmiske likninger

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Kostnadsfunksjon og ligningssystem

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Aritmetisk rekke og figurtall

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Diskret sannsynlighetsfordeling (s2 h16)

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Kostnadsgraf med tangenter

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Tilnærming med normalfordeling

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1Optimering av materialkostnader for skap

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Binomisk fordeling og hypotesetest

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Etterspørsel, inntekt og overskudd

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Annuitetslån med CAS

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av tre funksjoner (s2 h16)

Oppgave 1-2·Løs rasjonale og logaritmiske likninger

Oppgave 1-3·Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-4·Kostnadsfunksjon og ligningssystem

Oppgave 1-5·Aritmetisk rekke og figurtall

Oppgave 1-6·Diskret sannsynlighetsfordeling (s2 h16)

Oppgave 1-7·Kostnadsgraf med tangenter

Oppgave 1-8·Tilnærming med normalfordeling

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Optimering av materialkostnader for skap

Oppgave 2-2·Binomisk fordeling og hypotesetest

Oppgave 2-3·Etterspørsel, inntekt og overskudd

Oppgave 2-4·Annuitetslån med CAS

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner (s2 h16)

Oppgave 1-2Løs rasjonale og logaritmiske likninger

Oppgave 1-3Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-4Kostnadsfunksjon og ligningssystem

Oppgave 1-5Aritmetisk rekke og figurtall

Oppgave 1-6Diskret sannsynlighetsfordeling (s2 h16)

Oppgave 1-7Kostnadsgraf med tangenter

Oppgave 1-8Tilnærming med normalfordeling

Oppgave 2-1Optimering av materialkostnader for skap

Oppgave 2-2Binomisk fordeling og hypotesetest

Oppgave 2-3Etterspørsel, inntekt og overskudd

Oppgave 2-4Annuitetslån med CAS