S1 Vår 2022

Oppgave 1-1Andregradslikning, tierpotenslikning og kvadrert lg-likning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

{(x + 1)}^{2} - 16 = 0

2 \cdot 10^{- 3 x} + 3 = 2003

{(\lg x)}^{2} + 2 \lg x = \lg x^{2} + 1

Fasit

$x = 3 \lor x = - 5$

$x = - 1$

$x = 10 \lor x = 0,1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi flytter $16$ over på høyre side og tar kvadratroten på begge sider.

\begin{matrix} {(x + 1)}^{2} - 16 & = 0 \\ {(x + 1)}^{2} & = 16 \\ x + 1 & = \pm \sqrt{16} \\ x + 1 & = \pm 4 \end{matrix}

Dette gir to løsninger:

x = 4 - 1 = 3 eller x = - 4 - 1 = - 5

$x = 3 \lor x = - 5$

Vi isolerer tierpotensen $10^{- 3 x}$ .

\begin{matrix} 2 \cdot 10^{- 3 x} + 3 & = 2003 \\ 2 \cdot 10^{- 3 x} & = 2000 \\ 10^{- 3 x} & = 1000 \end{matrix}

Siden $1000 = 10^{3}$ , må eksponentene være like:

- 3 x = 3 \Rightarrow x = - 1

$x = - 1$

Vi bruker logaritmeregelen $\lg x^{2} = 2 \lg x$ på høyre side.

\begin{matrix} {(\lg x)}^{2} + 2 \lg x & = \lg x^{2} + 1 \\ {(\lg x)}^{2} + 2 \lg x & = 2 \lg x + 1 \end{matrix}

Vi trekker $2 \lg x$ fra begge sider:

{(\lg x)}^{2} = 1

Dette gir $\lg x = 1$ eller $\lg x = - 1$ , altså

x = 10^{1} = 10 eller x = 10^{- 1} = 0,1

Begge løsningene er positive, så de ligger i definisjonsmengden til $\lg x$ .

$x = 10 \lor x = 0,1$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 6
Temaer: Andregradslikninger, Logaritmer, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Kvadratsetninger og brøkuttrykk med konjugatnevner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv uttrykkene så enkelt som mulig.

4 {(a + b)}^{2} - {(2 b - a)}^{2} - 3 a (a + 2 b)

\frac{4 x}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2} + \frac{2}{x - 2}

Fasit

$6 a b$

$\frac{4}{x - 2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker kvadratsetningene ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ og ${(2 b - a)}^{2} = 4 b^{2} - 4 a b + a^{2}$ , og ganger ut det siste leddet.

\begin{matrix} 4 {(a + b)}^{2} - {(2 b - a)}^{2} - 3 a (a + 2 b) & = 4 (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - (4 b^{2} - 4 a b + a^{2}) - (3 a^{2} + 6 a b) \\ = 4 a^{2} + 8 a b + 4 b^{2} - 4 b^{2} + 4 a b - a^{2} - 3 a^{2} - 6 a b \end{matrix}

Vi samler ledd av samme type. For $a^{2}$ -leddene: $4 a^{2} - a^{2} - 3 a^{2} = 0$ . For $b^{2}$ -leddene: $4 b^{2} - 4 b^{2} = 0$ . For $a b$ -leddene: $8 a b + 4 a b - 6 a b = 6 a b$ .

4 {(a + b)}^{2} - {(2 b - a)}^{2} - 3 a (a + 2 b) = 6 a b

$6 a b$

Vi kjenner igjen $x^{2} - 4$ som en konjugatsetning: $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ . Dette er fellesnevneren for alle tre brøkene.

\frac{4 x}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} = \frac{4 x}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}

Vi setter sammen til én brøk og forenkler telleren.

= \frac{4 x - 2 (x - 2) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{4 x - 2 x + 4 + 2 x + 4}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{4 x + 8}{(x + 2) (x - 2)}

Vi faktoriserer telleren og forkorter med $(x + 2)$ .

\frac{4 x + 8}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{4 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{4}{x - 2}, x \neq 2, x \neq - 2

$\frac{4}{x - 2}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kvadratsetninger, Rasjonale uttrykk, Konjugatsetningen, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Magnes sommerjobb med overtidsbetaling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Magne har sommerjobb. Han tjener $150$ kroner per time. Dersom han arbeider overtid, tjener han $250$ kroner per time. En måned arbeider han til sammen $70$ timer og tjener $13 500$ kroner.

Hvor mange timer overtid jobber Magne denne måneden?

Fasit

$30 timer$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $n$ være antall vanlige timer og $t$ være antall overtidstimer Magne jobber denne måneden.

Til sammen jobber han $70$ timer:

n + t = 70

Han tjener $150$ kroner per vanlig time og $250$ kroner per overtidstime, til sammen $13 500$ kroner:

150 n + 250 t = 13 500

Fra den første likningen får vi $n = 70 - t$ . Vi setter dette inn i den andre likningen.

\begin{matrix} 150 (70 - t) + 250 t & = 13 500 \\ 10 500 - 150 t + 250 t & = 13 500 \\ 10 500 + 100 t & = 13 500 \end{matrix}

Vi trekker $10 500$ fra begge sider og deler med $100$ .

\begin{matrix} 100 t & = 3000 \\ t & = 30 \end{matrix}

Magne jobber altså $30$ timer overtid denne måneden (og dermed $40$ vanlige timer).

$30 timer$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Andregradsulikhet med felles faktor x-3

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ulikheten

x^{2} - 9 \leq x - 3

Fasit

$- 2 \leq x \leq 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi flytter alle ledd over på venstre side, slik at vi får en andregradsulikhet på formen $\leq 0$ .

\begin{matrix} x^{2} - 9 & \leq x - 3 \\ x^{2} - 9 - x + 3 & \leq 0 \\ x^{2} - x - 6 & \leq 0 \end{matrix}

Vi faktoriserer venstre side. Vi søker to tall som har produkt $- 6$ og sum $- 1$ : dette er $- 3$ og $2$ .

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

Ulikheten blir dermed

(x - 3) (x + 2) \leq 0

Uttrykket $(x - 3) (x + 2)$ er $0$ når $x = 3$ eller $x = - 2$ . Dette er nullpunktene til et andregradsuttrykk med positiv ledende koeffisient, altså en parabel som vender grenene oppover. Parabelen er negativ eller null mellom nullpunktene og positiv utenfor. Vi setter opp en fortegnslinje for å bekrefte dette:

Fortegnslinje for (x+2)(x-3)

Ulikheten $(x - 3) (x + 2) \leq 0$ er oppfylt der produktet er negativt eller null, altså for $- 2 \leq x \leq 3$ .

$- 2 \leq x \leq 3$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Andregradsulikhet, Faktorisering, Fortegnslinje
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Grafskisse av forskjøvet hyperbel med asymptoter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Lag en skisse av grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{2}

Ta med eventuelle asymptoter på skissen.

Fasit

Vertikal asymptote $x = - 1$ , horisontal asymptote $y = - \frac{1}{2}$ , $y$ -skjæringspunkt $(0, \frac{3}{2})$ og $x$ -skjæringspunkt $(3, 0)$ .

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen

f (x) = \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{2}

er en forskjøvet hyperbel av typen $\frac{a}{x}$ : grafen til $\frac{2}{x}$ er flyttet $1$ enhet mot venstre og $\frac{1}{2}$ enhet nedover.

Asymptoter

Den vertikale asymptoten finner vi der nevneren er null:

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

Den horisontale asymptoten finner vi ved å se hva som skjer når $x$ blir svært stor (positiv eller negativ). Da går brøken $\frac{2}{x + 1}$ mot $0$ , så

f (x) \to - \frac{1}{2}

Dette gir asymptotene $x = - 1$ og $y = - \frac{1}{2}$ .

Skjæringspunkter med aksene

$y$ -aksen ( $x = 0$ ):

f (0) = \frac{2}{0 + 1} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

$x$ -aksen ( $f (x) = 0$ ):

\begin{matrix} \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{2} & = 0 \\ \frac{2}{x + 1} & = \frac{1}{2} \\ x + 1 & = 4 \\ x & = 3 \end{matrix}

Dette gir punktene $(0, \frac{3}{2})$ og $(3, 0)$ .

Skisse

Grafen består av to grener, én på hver side av den vertikale asymptoten $x = - 1$ . For $x > - 1$ synker grafen fra $+ \infty$ ned mot asymptoten $y = - \frac{1}{2}$ og passerer gjennom $(0, \frac{3}{2})$ og $(3,0)$ . For $x < - 1$ ligger grafen under den horisontale asymptoten og synker mot $- \infty$ når $x \to - 1^{-}$ .

Skisse av grafen til f med asymptoter

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graf
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Trekke tre talere blant fire menn og tre kvinner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et selskap er det fire menn og tre kvinner. Det blir bestemt at tre av de sju personene skal holde tale. De tre skal trekkes ut tilfeldig.

Hva er sannsynligheten for at to menn og én kvinne trekkes ut?

Inga og Tore er to av deltakerne i selskapet.

Hva er sannsynligheten for at nøyaktig én av dem blir trukket ut?

Fasit

$P = \frac{18}{35}$

$P = \frac{4}{7}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal trekke tre av de sju personene, og vi ønsker at to av de tre skal være menn og én skal være kvinne.

Antall måter å velge tre av sju personer på, uten hensyn til rekkefølge, er

(\binom{7}{3}) = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = 35

Antall måter å velge to menn av fire menn er $(\binom{4}{2}) = 6$ , og antall måter å velge én kvinne av tre kvinner er $(\binom{3}{1}) = 3$ . Antall gunstige utfall er da

(\binom{4}{2}) \cdot (\binom{3}{1}) = 6 \cdot 3 = 18

Sannsynligheten for at to menn og én kvinne trekkes ut, blir dermed

P (2 menn og 1 kvinne) = \frac{(\binom{4}{2}) \cdot (\binom{3}{1})}{(\binom{7}{3})} = \frac{18}{35}

Sannsynligheten for at to menn og én kvinne blir trukket ut, er $\frac{18}{35}$ .

Vi ser på de to bestemte personene Inga og Tore, og ønsker at nøyaktig én av dem er blant de tre uttrukne.

Det er $(\binom{2}{1}) = 2$ måter å velge hvem av Inga og Tore som blir trukket ut. De to resterende plassene blant de tre uttrukne skal fylles av personer blant de fem øvrige (verken Inga eller Tore), og det kan gjøres på $(\binom{5}{2}) = 10$ måter.

Antall gunstige utfall blir

(\binom{2}{1}) \cdot (\binom{5}{2}) = 2 \cdot 10 = 20

Sannsynligheten er da

P (nøyaktig én av Inga og Tore) = \frac{20}{(\binom{7}{3})} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}

Sannsynligheten for at nøyaktig én av Inga og Tore blir trukket ut, er $\frac{4}{7}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Hypergeometrisk fordeling, Sannsynlighet, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Torgeirs kryptoinvestering med logaritmemodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Torgeir har investert i kryptovaluta. Funksjonen $B$ gitt ved

B (x) = 36 000 \cdot \lg (\frac{x + 2}{2}) + 72 000

er en modell for verdien (i kroner) av investeringen, $x$ måneder etter at han gjorde investeringen.

Hva er verdien av investeringen etter $18$ måneder ifølge modellen?

Hvor lang tid vil det ta før verdien av investeringen har doblet seg, ifølge modellen?

Fasit

$B (18) = 108 000 kr$

$x = 198 måneder$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 18$ inn i uttrykket for $B (x)$ :

B (18) = 36 000 \cdot \lg (\frac{18 + 2}{2}) + 72 000 = 36 000 \cdot \lg (10) + 72 000

Siden $\lg (10) = 1$ , får vi

B (18) = 36 000 \cdot 1 + 72 000 = 108 000

Ifølge modellen er investeringen verdt $108 000 kr$ etter $18$ måneder.

Vi finner først startverdien av investeringen, altså $B (0)$ :

B (0) = 36 000 \cdot \lg (\frac{0 + 2}{2}) + 72 000 = 36 000 \cdot \lg (1) + 72 000

Siden $\lg (1) = 0$ , blir startverdien

B (0) = 72 000

Verdien er doblet når $B (x) = 2 \cdot 72 000 = 144 000$ . Vi løser likningen:

\begin{matrix} 36 000 \cdot \lg (\frac{x + 2}{2}) + 72 000 & = 144 000 \\ 36 000 \cdot \lg (\frac{x + 2}{2}) & = 72 000 \\ \lg (\frac{x + 2}{2}) & = 2 \end{matrix}

Vi bruker definisjonen av $\lg$ (logaritme med grunntall $10$ ) til å fjerne logaritmen:

\frac{x + 2}{2} = 10^{2} = 100

x + 2 = 200

x = 198

Ifølge modellen vil det ta $198 måneder$ før verdien av investeringen har doblet seg.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Logaritmer, Logaritmelikning, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Lineær optimering med fem ulikheter og parameter k

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

La $F$ være området begrenset av de fem ulikhetene nedenfor.

\begin{matrix} y & \leq 5 - x \\ y & \leq 3 - \frac{1}{3} x \\ y & \geq 1 - \frac{1}{2} x \\ x & \geq 0 \\ y & \geq 0 \end{matrix}

Et uttrykk $G$ er gitt ved

G = - 3 x + 2 y

Bestem den største verdien $G$ kan ha når $(x, y)$ er med i området $F$ .

Et uttrykk $H$ er gitt ved

H = - k \cdot x + 3 y

der $k \in ℝ$ .

Hvilke verdier av $k$ gjør at $H$ får sin største verdi i punktet $(3, 2)$ , når $(x, y)$ skal ligge i området $F$ ?

Fasit

$G_{maks} = 6$ , i punktet $(0, 3)$

$- 3 \leq k \leq - 1$

LøsningsforslagKI-generert

Området $F$ er avgrenset av fem rette linjer, så $F$ er en femkant (et polygon med fem hjørner). Siden $G = - 3 x + 2 y$ er en lineær funksjon av $x$ og $y$ , vet vi at den største (og minste) verdien til $G$ på et slikt område alltid oppnås i et av hjørnene til $F$ . Vi finner derfor hjørnene ved å se hvilke av de fem grenselinjene som møtes.

Hjørnet mellom $x = 0$ og $y = 1 - \frac{1}{2} x$ :

x = 0 \Rightarrow y = 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 1 \Rightarrow (0, 1)

Hjørnet mellom $x = 0$ og $y = 3 - \frac{1}{3} x$ :

x = 0 \Rightarrow y = 3 - \frac{1}{3} \cdot 0 = 3 \Rightarrow (0, 3)

Hjørnet mellom $y = 5 - x$ og $y = 3 - \frac{1}{3} x$ :

\begin{matrix} 5 - x & = 3 - \frac{1}{3} x \\ 5 - 3 & = x - \frac{1}{3} x \\ 2 & = \frac{2}{3} x \\ x & = 3 \end{matrix}

som gir $y = 5 - 3 = 2$ , altså punktet $(3, 2)$ .

Hjørnet mellom $y = 5 - x$ og $y = 0$ :

5 - x = 0 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow (5, 0)

Hjørnet mellom $y = 1 - \frac{1}{2} x$ og $y = 0$ :

1 - \frac{1}{2} x = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow (2, 0)

Området $F$ har altså hjørnene $(0,1)$ , $(0,3)$ , $(3,2)$ , $(5,0)$ og $(2,0)$ , slik figuren under viser.

Skisse av området F med hjørnene markert

Vi setter inn hvert hjørne i uttrykket $G = - 3 x + 2 y$ :

Hjørne	$(0, 1)$	$(0, 3)$	$(3, 2)$	$(5, 0)$	$(2, 0)$
$G=-3x+2y$	$2$	$\textcolor{seagreen}{6}$	$-5$	$-15$	$-6$

Hjørne

$(0, 1)$

$(0, 3)$

$(3, 2)$

$(5, 0)$

$(2, 0)$

$G=-3x+2y$

$2$

$\textcolor{seagreen}{6}$

$-5$

$-15$

$-6$

Den største verdien av $G$ er $G_{maks} = 6$ , og den oppnås i hjørnet $(0, 3)$ .

Uttrykket $H = - k x + 3 y$ skal ha sin største verdi i hjørnet $(3, 2)$ . I femkanten $F$ er $(3,2)$ nabo til hjørnene $(0,3)$ og $(5,0)$ (se figuren i a)). Siden $H$ er en lineær funksjon over et konvekst område, holder det å kreve at verdien i $(3,2)$ er minst like stor som verdien i de to nabohjørnene — da kan ikke noe annet hjørne gi en større verdi.

Vi regner ut $H$ i de tre hjørnene:

H (3,2) = - 3 k + 6 H (0,3) = 9 H (5,0) = - 5 k

Betingelse 1: $H (3,2) \geq H (0,3)$

\begin{matrix} - 3 k + 6 & \geq 9 \\ - 3 k & \geq 3 \\ k & \leq - 1 \end{matrix}

(Vi snudde ulikhetstegnet fordi vi delte med et negativt tall.)

Betingelse 2: $H (3,2) \geq H (5,0)$

\begin{matrix} - 3 k + 6 & \geq - 5 k \\ 2 k & \geq - 6 \\ k & \geq - 3 \end{matrix}

Begge betingelsene må være oppfylt samtidig, så

- 3 \leq k \leq - 1

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Lineære funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Sommerdekk på feil plass

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Mari skal skifte fra vinterdekk til sommerdekk på bilen sin. Uheldigvis har hun glemt å merke sommerdekkene med hvor de skal plasseres på bilen (høyre foran, venstre foran, høyre bak og venstre bak).

På hvor mange måter kan hun plassere de fire sommerdekkene på bilen?

Bestem sannsynligheten for at hun plasserer nøyaktig tre av dekkene på feil plass.

Fasit

$24 måter$

$P = \frac{1}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

De fire sommerdekkene skal fordeles på fire ulike plasser (høyre foran, venstre foran, høyre bak og venstre bak). Dette er en ren permutasjon av fire objekter: det første dekket kan plasseres på $4$ måter, det andre på $3$ gjenværende måter, det tredje på $2$ måter, og det siste dekket har bare $1$ plass igjen. Antall måter blir dermed

4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

Mari kan plassere de fire sommerdekkene på $24$ ulike måter.

Vi skal finne sannsynligheten for at nøyaktig tre av de fire dekkene havner på feil plass, det vil si at ett dekk havner på riktig plass og de tre andre havner på feil plass.

Telle gunstige utfall. Vi kan velge hvilket av de fire dekkene som havner på riktig plass på $4$ måter. De tre resterende dekkene skal da fordeles på de tre resterende plassene slik at ingen av dem havner på riktig plass.

For å telle på hvor mange måter tre dekk (kall dem $1, 2, 3$ , med tilhørende riktige plasser $1, 2, 3$ ) kan fordeles slik at ingen havner på riktig plass, lister vi opp alle $3! = 6$ mulige fordelinger og sjekker hvilke som ikke har noen dekk på riktig plass:

Fordeling	Dekk 1	Dekk 2	Dekk 3	Noen på riktig plass?
1	plass 1	plass 2	plass 3	Ja (alle)
2	plass 1	plass 3	plass 2	Ja (dekk 1)
3	plass 2	plass 1	plass 3	Ja (dekk 3)
4	plass 2	plass 3	plass 1	Nei
5	plass 3	plass 1	plass 2	Nei
6	plass 3	plass 2	plass 1	Ja (dekk 2)

Bare fordeling $4$ og $5$ har alle tre dekkene på feil plass, altså $2$ av $6$ fordelinger.

Antall gunstige utfall for at nøyaktig tre av fire dekk havner på feil plass, er dermed

4 \cdot 2 = 8

Sannsynlighet. Totalt antall måter å fordele de fire dekkene på er $24$ (fra a)). Sannsynligheten blir

P (nøyaktig 3 dekk på feil plass) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}

Sannsynligheten for at Mari plasserer nøyaktig tre av dekkene på feil plass, er $\frac{1}{3}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser et rektangel som er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant. Trekanten har hjørner i $(- 2, 0)$ , $(2, 0)$ og $(0, 2)$ . Arealet $T$ av rektangelet er avhengig av hvor på kateten punktet $P (a, b)$ blir plassert.

Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant

Bestem den største verdien $T$ kan ha.

Fasit

$T = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Høyre side av trekanten går fra $(2, 0)$ til $(0, 2)$ . Stigningstallet er $\frac{2 - 0}{0 - 2} = - 1$ , så linjen har ligningen $y = - x + 2$ .

Punktet $P (a, b)$ ligger på denne linjen, det vil si $b = - a + 2$ .

Rektangelet er symmetrisk om $y$ -aksen, så bredden er $2 a$ og høyden er $b$ .

Arealet til rektangelet er

T (a) = 2 a \cdot b = 2 a (- a + 2) = - 2 a^{2} + 4 a

der $a \in (0, 2)$ .

Vi finner maksimum ved å derivere og sette lik null:

T^{'} (a) = - 4 a + 4 = 0 ⟹ a = 1

Siden $T^{''} (a) = - 4 < 0$ , er $a = 1$ et maksimumspunkt.

Når $a = 1$ er $b = - 1 + 2 = 1$ , og det største arealet er

T (1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 2-1Gårdsbruk i Norge med eksponentiell modell og tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser antall gårdsbruk i Norge for noen årstall.

År	1969	1989	1999	2009	2020
Antall gårdsbruk	$154 977$	$99 382$	$68 539$	$47 688$	$38 633$

Krever PC

Bestem med utgangspunkt i tabellen en modell for antall gårdsbruk i Norge fra 1969 og framover. Begrunn ditt valg av modell.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bruk modellen din til å finne hvor mange gårdsbruk det vil være i Norge i 2060. Vurder svaret.

En modell $f$ for antall gårdsbruk i Norge $x$ år etter 1999 er gitt ved

f (x) = 68 900 \cdot {0,982}^{x}

Krever PC

Tegn grafen til $f$ for $x \in [0, 90]$ .

Kalkulator

Når vil, ifølge modellen $f$ , antall gårdsbruk i Norge være 40 prosent lavere enn i 1999?

Krever PC

Tegn tangenten til grafen til $f$ i punktet $(22, f (22))$ . Gi en praktisk tolkning av stigningstallet til denne tangenten.

Fasit

$N (x) \approx 160 845 \cdot {0,97193}^{x}$ , eksponentiell modell

$N (91) \approx 12 100 gårdsbruk$

Se graf

$x \approx 28,1$ , altså i løpet av 2027

$f^{'} (22) \approx - 839$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall år etter 1969, slik at tabellen gir datapunktene

(0, 154 977), (20, 99 382), (30, 68 539), (40, 47 688), (51, 38 633)

Vi ser at forholdet mellom antall gårdsbruk i to påfølgende perioder er ganske stabilt (nedgangen er om lag $2$ – $3 %$ per år hele veien), mens nedgangen målt i antall gårdsbruk blir mindre og mindre jo lenger ut i tidsperioden vi kommer ( $154 977 \to 99 382$ er et fall på over $55 000$ , mens $47 688 \to 38 633$ bare er et fall på om lag $9 000$ ). Dette er typisk for en eksponentiell avtaking, ikke en lineær. En lineær modell ville dessuten gitt et negativt (og dermed meningsløst) antall gårdsbruk noen tiår fram i tid, siden en rett linje med negativt stigningstall til slutt krysser $x$ -aksen.

Vi velger derfor en eksponentiell modell $N (x) = a \cdot b^{x}$ og bruker regresjon i GeoGebra (RegEksp) på de fem datapunktene:

N (x) \approx 160 845 \cdot {0,97193}^{x}

Regresjon: datapunkter og eksponentialfunksjonen N(x)

Grafen viser at modellen passer godt med alle de fem datapunktene. Siden $b \approx 0,97193 = 1 - 0,02807$ , avtar antall gårdsbruk med omtrent $2,8 %$ per år ifølge modellen.

$N (x) \approx 160 845 \cdot {0,97193}^{x}$ — en eksponentielt avtakende modell, siden nedgangen skjer med en tilnærmet konstant prosentandel per år.

År 2060 svarer til $x = 2060 - 1969 = 91$ . Vi setter $x = 91$ inn i modellen fra a):

N (91) = 160 845 \cdot {0,97193}^{91} \approx 12 100

Ifølge modellen vil det være om lag $12 100 gårdsbruk$ i Norge i 2060.

Dette svaret må imidlertid tolkes med forsiktighet: vi ekstrapolerer modellen $40$ år utover det siste datapunktet vi har ( $x = 51$ ). Modellen forutsetter at antall gårdsbruk fortsetter å avta med samme relative takt som i perioden 1969–2020, men i virkeligheten kan strukturendringer i landbruket, ny politikk, teknologiutvikling og lignende endre utviklingen betydelig. I tillegg er det trolig en nedre grense for hvor få gårdsbruk landet kan ha og fortsatt produsere mat. Tallet $12 100$ bør derfor bare oppfattes som en grov indikasjon, ikke en presis prognose.

Vi tegner grafen til $f (x) = 68 900 \cdot {0,982}^{x}$ for $x \in [0, 90]$ i GeoGebra (samme figur brukes videre i d og e):

Grafen til f(x) = 68 900 · 0,982^x på [0, 90], med tangenten i x = 22

Antall gårdsbruk var $68 900$ i 1999. At antallet er $40 %$ lavere, betyr at det er igjen

(1 - 0,40) \cdot 68 900 = 0,6 \cdot 68 900 = 41 340

gårdsbruk. Vi setter $f (x) = 41 340$ og løser med hensyn på $x$ :

\begin{matrix} 68 900 \cdot {0,982}^{x} & = 41 340 \\ {0,982}^{x} & = \frac{41 340}{68 900} = 0,6 \\ x & = \frac{\ln 0,6}{\ln 0,982} \approx 28,1 \end{matrix}

Siden $x$ regnes fra 1999, gir $x \approx 28,1$ at antallet passerer $40 %$ nedgang i løpet av $1999 + 28 = 2027$ .

Vi finner $f (22)$ og stigningstallet til tangenten, $f^{'} (22)$ :

f (22) = 68 900 \cdot {0,982}^{22} \approx 46 203

Fra GeoGebra-figuren i c) er tangenten $t$ i punktet $P = (22, f (22))$ tegnet inn (den grønne linjen). Stigningstallet til tangenten er

f^{'} (22) \approx - 839

Praktisk tolkning: I 2021 ( $1999 + 22$ ) avtok antall gårdsbruk i Norge ifølge modellen med omtrent $839$ gårdsbruk per år.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering, Tangent
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Førerprøve for gutter og jenter med binomisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Statistikk viser at $74$ prosent av alle oppkjøringer til førerkort klasse B blir bestått.

17. juni 2022 skal $7$ gutter og $5$ jenter fra en videregående skole ha oppkjøring til førerkort klasse B.

For hånd

Hva må vi gå ut fra i denne situasjonen for å kunne se på dette som et binomisk forsøk?

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at minst $8$ av de $12$ elevene består oppkjøringen?

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at akkurat $5$ av guttene består oppkjøringen?

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at akkurat $5$ av guttene og akkurat $4$ av jentene består oppkjøringen?

Ved en annen videregående skole var det flere elever som hadde oppkjøring 10. mai 2022. Alle disse elevene besto oppkjøringen. Sannsynligheten for at dette skulle skje, er mindre enn $2$ prosent.

Kalkulator

Hvor mange elever ved denne skolen må minst ha hatt oppkjøring denne dagen?

Fasit

Se løsningsforslag

$P (X \geq 8) \approx 0,821 \approx 82,1 %$

$P (G = 5) \approx 0,315 \approx 31,5 %$

$P (G = 5 og J = 4) \approx 0,123 \approx 12,3 %$

$n = 13$

LøsningsforslagKI-generert

For at situasjonen skal kunne regnes som et binomisk forsøk, må vi gå ut fra at

det er et fast antall forsøk, her $n = 12$ elever,
hvert forsøk (hver elev) bare har to mulige utfall: bestå eller ikke bestå,
sannsynligheten for å bestå er den samme i hvert forsøk, $p = 0,74$ ,
forsøkene (elevene) er uavhengige av hverandre — om én elev består, påvirker ikke sannsynligheten for at en annen elev består.

Det siste kravet er egentlig en forenkling: elevene går på samme skole og kan ha hatt samme kjørelærer eller øvingsforhold, slik at resultatene i praksis ikke er helt uavhengige. I denne oppgaven ser vi likevel bort fra dette og regner alle 12 elevene som uavhengige forsøk.

La $X$ være antall av de 12 elevene som består oppkjøringen. Da er $X$ binomisk fordelt med $n = 12$ og $p = 0,74$ .

Vi skal finne $P (X \geq 8)$ , altså sannsynligheten for at minst 8 av de 12 består. Dette regner vi ut i CAS som summen av enkeltsannsynlighetene for $X = 8, 9, 10, 11, 12$ :

P (X \geq 8) = \sum_{k = 8}^{12} (\binom{12}{k}) \cdot {0,74}^{k} \cdot {0,26}^{12 - k}

CAS-utregning

Fra utklippet (linje 1, PX) ser vi at $P (X \geq 8) \approx 0,82103$ .

Svar: Sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består oppkjøringen, er $P (X \geq 8) \approx 82,1 %$ .

La $G$ være antall av de 7 guttene som består. Da er $G$ binomisk fordelt med $n = 7$ og $p = 0,74$ .

P (G = 5) = (\binom{7}{5}) \cdot {0,74}^{5} \cdot {0,26}^{2}

Fra utklippet i CAS (linje 2, PG5) er $P (G = 5) \approx 0,31501$ .

Svar: $P (G = 5) \approx 31,5 %$ .

La $J$ være antall av de 5 jentene som består. Da er $J$ binomisk fordelt med $n = 5$ og $p = 0,74$ .

P (J = 4) = (\binom{5}{4}) \cdot {0,74}^{4} \cdot 0,26

Fra utklippet (linje 3, PJ4) er $P (J = 4) \approx 0,38983$ .

Guttene og jentene har oppkjøring uavhengig av hverandre, så $P (G = 5 og J = 4) = P (G = 5) \cdot P (J = 4)$ . Fra utklippet (linje 4, PGJ) er

P (G = 5 og J = 4) \approx 0,31501 \cdot 0,38983 \approx 0,1228

Svar: $P (G = 5 og J = 4) \approx 12,3 %$ .

Alle elevene ved den andre skolen bestod. Hvis det var $n$ elever, er sannsynligheten for at alle består ${0,74}^{n}$ (siden alle må lykkes uavhengig av hverandre). Vi vet at denne sannsynligheten er mindre enn $2 %$ , altså

{0,74}^{n} < 0,02

I CAS løser vi ulikheten ved å ta logaritmen på begge sider:

n > \frac{\ln (0,02)}{\ln (0,74)}

CAS-utregning

Fra utklippet (linje 5, n0) er $\frac{\ln (0,02)}{\ln (0,74)} \approx 12,99$ . Siden $n$ må være et helt tall, betyr dette at $n \geq 13$ .

Kontroll: ${0,74}^{12} \approx 0,0270$ (over $2 %$ ), mens ${0,74}^{13} \approx 0,0200$ (akkurat under $2 %$ ). Det bekrefter at minst 13 elever må ha hatt oppkjøring den dagen.

Svar: Det må ha vært minst $n = 13$ elever ved skolen den dagen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Even og Odd sykler mot hverandre

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Even og Odd liker begge å sykle. De bor på hvert sitt sted. Avstanden mellom der de bor, er $230$ kilometer. En dag syklet de mot hverandre. De startet samtidig. Fra de startet til de møttes, hadde Even en gjennomsnittsfart på $22 k m / h$ , mens Odd hadde en gjennomsnittsfart på $33 k m / h$ .

Hvor langt fra hjemstedet til Even møttes de?

Fasit

$92 km$ fra hjemstedet til Even.

LøsningsforslagKI-generert

Even og Odd sykler mot hverandre fra hvert sitt sted, og til sammen tilbakelegger de hele strekningen på $230 km$ når de møtes.

Siden de sykler mot hverandre samtidig, kan vi legge sammen fartene deres for å finne hvor fort avstanden mellom dem minker:

22 k m / h + 33 k m / h = 55 k m / h

Tiden $t$ det tar før de møtes, finner vi ved å dele strekningen på denne samlede farten:

t = \frac{230 km}{55 k m / h} = \frac{46}{11} h \approx 4,18 h

Det tilsvarer omtrent $4$ timer og $11$ minutter.

I løpet av denne tiden har Even syklet med sin gjennomsnittsfart på $22 k m / h$ . Strekningen Even har tilbakelagt er da

s_{Even} = 22 k m / h \cdot \frac{46}{11} h = 92 km

Kontroll: Odd har på samme tid syklet $s_{Odd} = 33 \cdot \frac{46}{11} = 138 km$ . Til sammen er dette $92 + 138 = 230 km$ , som stemmer med den totale avstanden. ✓

Even og Odd møttes altså

92 km

fra hjemstedet til Even.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Likninger, Proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Papirfabrikker A og B med lineær optimering av kostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift har to fabrikker, A og B, som produserer papir. Tabellen nedenfor viser hvor mange ruller av de ulike papirtypene hver av de to fabrikkene produserer hver dag.

	Bokpapir	Avispapir	Magasinpapir
Fabrikk A	$400$	$180$	$240$
Fabrikk B	$260$	$200$	$384$

Bedriften mottar en bestilling på

$40 000$ ruller med bokpapir
$24 000$ ruller med avispapir
$38 400$ ruller med magasinpapir

De planlegger å bruke begge fabrikkene til å produsere papir til denne bestillingen. La $x$ være antall dager fabrikk A produserer til denne bestillingen, og $y$ antall dager fabrikk B produserer til bestillingen.

For hånd

Forklar at $x$ og $y$ må tilfredsstille ulikhetene

\begin{matrix} x & \geq 0 \\ y & \geq 0 \\ x + 0,65 y & \geq 100 \\ 0,9 x + y & \geq 120 \\ x + 1,6 y & \geq 160 \end{matrix}

De daglige kostnadene når fabrikkene produserer for fullt, er $40 000$ kroner for fabrikk A og $30 000$ kroner for fabrikk B. Et uttrykk for bedriftens daglige kostnader knyttet til produksjonen er da gitt ved

K = 40 000 x + 30 000 y

Kalkulator

Hva er den laveste mulige produksjonskostnaden for denne bestillingen?

Ledelsen i fabrikk B ønsker at hele produksjonen til denne bestillingen skal gjøres hos dem. De vet at de da må redusere de daglige kostnadene.

Kalkulator

Hvor mye må fabrikk B redusere de daglige kostnadene dersom det skal lønne seg at de produserer hele bestillingen?

Fasit

Se løsningsforslag.

$K_{\min} \approx 4 289 157 kr$ , ved $x \approx 53$ dager i fabrikk A og $y \approx 72$ dager i fabrikk B.

$minst ca. 2 120 kr$ per dag.

LøsningsforslagKI-generert

Vi viser at hver ulikhet følger av at produksjonen i fabrikk A og fabrikk B til sammen må dekke bestillingen.

Bokpapir. Fabrikk A produserer $400$ ruller bokpapir per dag, fabrikk B produserer $260$ ruller bokpapir per dag. Produseres det i $x$ dager i A og $y$ dager i B, blir den samlede produksjonen $400 x + 260 y$ ruller. Denne skal være minst $40 000$ ruller:

400 x + 260 y \geq 40 000

Vi deler begge sider på $400$ :

x + 0,65 y \geq 100

Avispapir. På samme måte gir kravet om minst $24 000$ ruller avispapir

180 x + 200 y \geq 24 000

Deler vi på $200$ , får vi

0,9 x + y \geq 120

Magasinpapir. Kravet om minst $38 400$ ruller magasinpapir gir

240 x + 384 y \geq 38 400

Deler vi på $240$ , får vi

x + 1,6 y \geq 160

Til slutt kan ikke antall produksjonsdager være negativt, så $x \geq 0$ og $y \geq 0$ . Dette er nettopp de fem ulikhetene i oppgaven.

Vi skal finne den minste verdien av $K = 40 000 x + 30 000 y$ blant alle $(x, y)$ som oppfyller ulikhetene fra a). Siden alle ulikhetene er « $\geq$ », ligger det tillatte området over alle de tre skrå linjene, og området er ubegrenset oppover. Fordi koeffisientene til $K$ er positive, må minimumsverdien derfor ligge i et av hjørnene på den nedre randen av området.

Vi tegner grenselinjene i GeoGebra:

\begin{matrix} l_{1} : & x + 0,65 y = 100 \\ l_{2} : & 0,9 x + y = 120 \\ l_{3} : & x + 1,6 y = 160 \end{matrix}

Grenselinjene for de tre ulikhetene, med skjæringspunktene markert

Legg merke til at skjæringspunktet mellom $l_{1}$ (blå) og $l_{3}$ (grønn) ligger i $(58,95; 63,16)$ , men dette punktet oppfyller ikke $0,9 x + y \geq 120$ (vi får $0,9 \cdot 58,95 + 63,16 \approx 116,2 < 120$ ). Punktet ligger dermed utenfor det tillatte området og er ikke et hjørne der.

De fire hjørnene på randen av det tillatte området er $(0; 153,85)$ , $(53,01; 72,29)$ , $(72,73; 54,55)$ og $(160; 0)$ . Vi setter dem inn i $K = 40 000 x + 30 000 y$ :

Hjørne	$K$
$(0; 153,85)$	$4 615 385$
$(53,01; 72,29)$	$𝟒 𝟐𝟖𝟗 𝟏𝟓𝟕$
$(72,73; 54,55)$	$4 545 455$
$(160; 0)$	$6 400 000$

Den laveste kostnaden finner vi i hjørnet $(53,01; 72,29)$ , som er skjæringspunktet mellom $l_{1}$ og $l_{2}$ .

Den laveste mulige produksjonskostnaden er $K_{\min} \approx 4 289 157 kr$ , når fabrikk A produserer i ca. $53$ dager og fabrikk B i ca. $72$ dager.

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Vi tegner grenselinjene for hånd på ruteark ved å finne skjæringspunktene med aksene:

\begin{matrix} l_{1} : x + 0,65 y = 100 & skjærer aksene i (100; 0) og (0; 153,85) \\ l_{2} : 0,9 x + y = 120 & skjærer aksene i (133,3; 0) og (0; 120) \\ l_{3} : x + 1,6 y = 160 & skjærer aksene i (160; 0) og (0; 100) \end{matrix}

Det tillatte området er der alle tre ulikhetene er oppfylt samtidig, altså over alle tre linjene. Hjørnene på den nedre randen finner vi ved å løse likningssystemer for to og to linjer om gangen.

Skjæring mellom $l_{1}$ og $l_{2}$ : Fra $l_{1}$ har vi $x = 100 - 0,65 y$ . Setter vi dette inn i $l_{2}$ :

\begin{matrix} 0,9 (100 - 0,65 y) + y & = 120 \\ 90 - 0,585 y + y & = 120 \\ 0,415 y & = 30 \\ y & \approx 72,29 \end{matrix}

og $x = 100 - 0,65 \cdot 72,29 \approx 53,01$ .

Skjæringen mellom $l_{2}$ og $l_{3}$ løses på samme måte og gir $(72,73; 54,55)$ . Skjæringen mellom $l_{1}$ og $l_{3}$ , $(58,95; 63,16)$ , oppfyller ikke $0,9 x + y \geq 120$ og er derfor ikke et hjørne i det tillatte området — det må vi sjekke for hvert kandidatpunkt.

Vi setter de fire gjenværende hjørnepunktene inn i $K = 40 000 x + 30 000 y$ på kalkulatoren:

Hjørne	$K$
$(0; 153,85)$	$4 615 385$
$(53,01; 72,29)$	$4 289 157$
$(72,73; 54,55)$	$4 545 455$
$(160; 0)$	$6 400 000$

Laveste kostnad er $K \approx 4 289 157$ kr, i punktet $(53,01; 72,29)$ — samme svar som over.

Skal fabrikk B produsere hele bestillingen alene, må $x = 0$ . Vi setter $x = 0$ inn i de tre ulikhetene fra a):

\begin{matrix} 0,65 y & \geq 100 & \Rightarrow y & \geq 153,85 \\ y & \geq 120 \\ 1,6 y & \geq 160 & \Rightarrow y & \geq 100 \end{matrix}

Det strengeste kravet er $y \geq 153,85$ (fra bokpapirulikheten), så fabrikk B trenger minst ca. $153,85$ dager for å klare hele bestillingen alene.

For at det skal lønne seg at fabrikk B tar hele produksjonen, kan den nye totalkostnaden $p \cdot y$ (der $p$ er den reduserte dagskostnaden) høyst være like stor som minimumskostnaden fra b):

p \cdot 153,85 \leq 4 289 157

p \leq \frac{4 289 157}{153,85} \approx 27 880

Reduksjonen i dagskostnad blir da

30 000 - 27 880 = 2 120

Fabrikk B må altså redusere de daglige kostnadene med $minst ca. 2 120 kr$ , det vil si fra $30 000$ kr til ca. $27 880$ kr per dag, for at det skal lønne seg at fabrikk B tar hele produksjonen alene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 10 oppgaver · 33 poeng

Oppgave 1-1Andregradslikning, tierpotenslikning og kvadrert lg-likning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Kvadratsetninger og brøkuttrykk med konjugatnevner

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Magnes sommerjobb med overtidsbetaling

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Andregradsulikhet med felles faktor x-3

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Grafskisse av forskjøvet hyperbel med asymptoter

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Trekke tre talere blant fire menn og tre kvinner

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Torgeirs kryptoinvestering med logaritmemodell

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Lineær optimering med fem ulikheter og parameter k

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-9Sommerdekk på feil plass

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-10Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1Gårdsbruk i Norge med eksponentiell modell og tangent

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Førerprøve for gutter og jenter med binomisk fordeling

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Even og Odd sykler mot hverandre

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Papirfabrikker A og B med lineær optimering av kostnad

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 10 oppgaver · 33 poeng

Oppgave 1-1·Andregradslikning, tierpotenslikning og kvadrert lg-likning

Oppgave 1-2·Kvadratsetninger og brøkuttrykk med konjugatnevner

Oppgave 1-3·Magnes sommerjobb med overtidsbetaling

Oppgave 1-4·Andregradsulikhet med felles faktor x-3

Oppgave 1-5·Grafskisse av forskjøvet hyperbel med asymptoter

Oppgave 1-6·Trekke tre talere blant fire menn og tre kvinner

Oppgave 1-7·Torgeirs kryptoinvestering med logaritmemodell

Oppgave 1-8·Lineær optimering med fem ulikheter og parameter k

Oppgave 1-9·Sommerdekk på feil plass

Oppgave 1-10·Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Gårdsbruk i Norge med eksponentiell modell og tangent

Oppgave 2-2·Førerprøve for gutter og jenter med binomisk fordeling

Oppgave 2-3·Even og Odd sykler mot hverandre

Oppgave 2-4·Papirfabrikker A og B med lineær optimering av kostnad

Temaer

Oppgave 1-1Andregradslikning, tierpotenslikning og kvadrert lg-likning

Oppgave 1-2Kvadratsetninger og brøkuttrykk med konjugatnevner

Oppgave 1-3Magnes sommerjobb med overtidsbetaling

Oppgave 1-4Andregradsulikhet med felles faktor x-3

Oppgave 1-5Grafskisse av forskjøvet hyperbel med asymptoter

Oppgave 1-6Trekke tre talere blant fire menn og tre kvinner

Oppgave 1-7Torgeirs kryptoinvestering med logaritmemodell

Oppgave 1-8Lineær optimering med fem ulikheter og parameter k

Oppgave 1-9Sommerdekk på feil plass

Oppgave 1-10Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant

Oppgave 2-1Gårdsbruk i Norge med eksponentiell modell og tangent

Oppgave 2-2Førerprøve for gutter og jenter med binomisk fordeling

Oppgave 2-3Even og Odd sykler mot hverandre

Oppgave 2-4Papirfabrikker A og B med lineær optimering av kostnad