S1 Vår 2021

Uttrykket $x^2-4x+4$ er et kvadratsetningsuttrykk på formen $a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2$, med $a=x$ og $b=2$:

Likningen blir dermed

Siden faktoren $(x-2)$ opptrer to ganger, er $x=2$ en dobbel rot.

$\underline{\underline{x=2}}$

Et produkt er null når minst én av faktorene er null:

$\underline{\underline{x=-2\vee x=0\vee x=3}}$

Vi bruker definisjonen av $\lg$: $\lg u=2$ betyr $u={10}^2$.

Vi sjekker at løsningen er innenfor definisjonsområdet til logaritmen ($3-x>0$, altså $x<3$): $-97<3$, så løsningen er gyldig.

$\underline{\underline{x=-97}}$

Vi bruker potensreglene ${(x^m)}^n=x^{mn}$, $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$, ${\displaystyle \frac{x^m}{x^n}}=x^{m-n}$ og $x^0=1$.

Telleren:

Nevneren:

Uttrykket blir dermed

$\underline{\underline{1}}$

Vi bruker logaritmereglene $\lg p-\lg q=\lg \left({\displaystyle \frac{p}{q}}\right)$ og $\lg p+\lg q=\lg (pq)$.

Vi slår først sammen de to første leddene:

Deretter legger vi til det siste leddet:

$\underline{\underline{\lg a}}$

Vi finner nullpunktene ved å faktorisere $g(x)$. Vi ser at $x^2$ er en fellesfaktor i begge leddene:

Et produkt er null når minst én av faktorene er null:

Den første likningen gir $x=0$. Den andre gir $x^2=2$, altså $x=\pm \sqrt{2}$.

$\underline{\underline{x=-\sqrt{2},x=0\text{og}x=\sqrt{2}}}$

Den momentane vekstfarten i et punkt er verdien av den deriverte i punktet. Vi deriverer $g$:

Setter inn $x=-2$:

Den momentane vekstfarten til $g$ når $x=-2$ er $\underline{\underline{-24}}$. Siden verdien er negativ, er grafen til $g$ synkende i $x=-2$.

Topp- og bunnpunkter finner vi der $g^{\prime }(x)=0$. Vi faktoriserer det deriverte uttrykket fra b):

Dette er null når $x=0$, $x=1$ eller $x=-1$. Vi setter opp en fortegnslinje for $g^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)$ med disse tre nullpunktene:

Der $g^{\prime }(x)$ skifter fra negativ til positiv, har vi et bunnpunkt. Der $g^{\prime }(x)$ skifter fra positiv til negativ, har vi et toppunkt:

• $x=-1$: $g^{\prime }$ skifter fra $-$ til $+$ → bunnpunkt
• $x=0$: $g^{\prime }$ skifter fra $+$ til $-$ → toppunkt
• $x=1$: $g^{\prime }$ skifter fra $-$ til $+$ → bunnpunkt

Vi finner funksjonsverdiene:

Grafen til $g$ har toppunkt $\underline{\underline{(0,0)}}$ og bunnpunkter $\underline{\underline{(-1,-1)}}$ og $\underline{\underline{(1,-1)}}$.

Vi bruker resultatene fra a) og c) til å skissere grafen: $g$ er en jevn (symmetrisk om $y$-aksen) fjerdegradsfunksjon med positiv ledende koeffisient, så grafen vender oppover i begge ender. Den har nullpunkter i $x=-\sqrt{2}\approx -\mathrm{1,41}$, $x=0$ og $x=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$, toppunkt i $(0,0)$ og bunnpunkter i $(-1,-1)$ og $(1,-1)$.

Det er 10 lodd totalt, og 2 av dem gir gevinst, altså 8 lodd som ikke gir gevinst. Mathilde tar 2 lodd, uten tilbakelegging. Vi skal finne sannsynligheten for at ingen av de 2 loddene hun tar, er blant de 2 gevinstloddene — altså at begge loddene hun trekker, er blant de 8 nitteloddene.

Antall måter å velge 2 nittelodd av de 8 på er ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{2}\right)}$, og antall måter å velge 2 lodd av alle 10 på er ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{2}\right)}$:

Sannsynligheten for at hun ikke vinner er dermed

Sannsynligheten for at Mathilde ikke vinner noe når hun tar 2 lodd, er $\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{28}{45}}}}$.

Vi skal finne sannsynligheten for at Mathilde vinner minst én av gevinstene når hun tar 4 lodd. Det er lettere å regne ut sannsynligheten for det motsatte utfallet — at hun ikke vinner noe i det hele tatt — og så bruke komplementsetningen.

At hun ikke vinner noe med 4 lodd, betyr at alle 4 loddene hun trekker, er blant de 8 nitteloddene:

Ved komplementsetningen er sannsynligheten for minst én gevinst

Sannsynligheten for at Mathilde vinner minst én av gevinstene når hun tar 4 lodd, er $\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{2}{3}}}}$.

Vi kaller hjørnene $A(3,6)$, $B(2,1)$ og $C(4,3)$, og tegner dem inn i et koordinatsystem:

Området $T$ er avgrenset av de tre linjene gjennom hjørnene. Vi finner likningen for hver linje.

Linjen gjennom $A$ og $B$: Stigningstallet er

Med punktet $B(2,1)$ får vi

Vi setter inn det tredje hjørnet $C(\mathrm{4,3})$ for å se hvilken side av linjen $T$ ligger på: $5\cdot 4-9=11$, og siden $3<11$ ligger $C$ under linjen. Ulikheten som avgrenser $T$ mot denne siden, er derfor $y\le 5x-9$.

Linjen gjennom $A$ og $C$: Stigningstallet er

Med punktet $C(4,3)$ får vi

Vi setter inn $B(2,1)$: $-3\cdot 2+15=9$, og siden $1<9$ ligger $B$ under linjen. Ulikheten blir $y\le -3x+15$.

Linjen gjennom $B$ og $C$: Stigningstallet er

Med punktet $B(2,1)$ får vi

Vi setter inn $A(3,6)$: $3-1=2$, og siden $6>2$ ligger $A$ over linjen. Ulikheten blir $y\ge x-1$.

Området $T$ er altså gitt ved

$S=-2x+3y$ er en lineær størrelse, så den største (og minste) verdien i et sammenhengende, begrenset område må ligge i et av hjørnene til $T$. Vi regner ut $S$ i alle tre hjørnene:

Den største verdien er $S=12$, og den oppnås i hjørnet $(3,6)$.

$\underline{\underline{S_{\text{maks}}=12}}$

Også $D=-ax+3y$ er lineær i $x$ og $y$, så minsteverdien av $D$ over $T$ må ligge i et av hjørnene $A(\mathrm{3,6})$, $B(\mathrm{2,1})$ eller $C(\mathrm{4,3})$. Vi skal finne for hvilke verdier av $a$ minimum ligger nettopp i $B(2,1)$. Det betyr at $D(B)$ må være mindre enn eller lik $D$ i de to andre hjørnene.

Vi regner ut $D$ i alle tre hjørnene, som funksjoner av $a$:

Betingelse 1: $D(\mathrm{2,1})\le D(\mathrm{3,6})$

Betingelse 2: $D(\mathrm{2,1})\le D(\mathrm{4,3})$

Begge betingelsene må være oppfylt samtidig. Siden $a\le 3$ er den strengeste av de to, er det denne som avgjør:

(Ved $a=3$ er $D$ konstant langs hele siden mellom $B$ og $C$, siden $D(\mathrm{2,1})=D(\mathrm{4,3})=-3$ nettopp da. For $a<3$ er $B$ det eneste hjørnet med minst $D$-verdi.)

For at alle de $6$ som trekkes ut skal være fra Høyre, må vi velge $6$ personer blant de $12$ fra Høyre. Antall gunstige utfall er dermed $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{12}{6}\right)$, og sannsynligheten blir forholdet mellom gunstige og mulige utfall (se linje 2–3 i CAS-utklippet):

Svar: $\underline{\underline{P(A)\approx \mathrm{0,0238}\approx \mathrm{2,4}\%}}$. Sannsynligheten for at alle de seks utvalgte ministrene er fra Høyre, er altså om lag $\mathrm{2,4}\%$.

Vi kan tenke på trekningen som at hver av de $20$ ministrene har lik sjanse til å bli en av de $6$ som trekkes ut. Da er sannsynligheten for at en bestemt minister (statsministeren) er blant de $6$ utvalgte, rett og slett andelen som trekkes ut:

Vi kan kontrollere svaret med komplementmetoden: sannsynligheten for at statsministeren ikke blir trukket ut, er sannsynligheten for at alle $6$ kommer fra de $19$ andre ministrene (linje 4–5 i CAS-utklippet):

Begge metodene gir samme svar.

Svar: $\underline{\underline{P(B)=\mathrm{0,30}=30\%}}$. Sannsynligheten for at statsministeren er blant de seks som blir trukket ut, er $30\%$.

For at $2$ skal komme fra Høyre, $2$ fra Venstre og $2$ fra Kristelig Folkeparti, må vi velge $2$ av de $12$ fra Høyre, $2$ av de $4$ fra Venstre og $2$ av de $4$ fra Kristelig Folkeparti. Antall gunstige utfall er produktet av disse tre binomialkoeffisientene (linje 6 i CAS-utklippet):

Sannsynligheten blir da (linje 7 i CAS-utklippet):

Svar: $\underline{\underline{P(C)\approx \mathrm{0,0613}\approx \mathrm{6,1}\%}}$. Sannsynligheten for at nøyaktig $2$ fra hvert av de tre partiene blir trukket ut, er om lag $\mathrm{6,1}\%$.

Vi lar $k$ være den årlige vekstfaktoren. Etter $25$ år har verdien blitt multiplisert med $k$ 25 ganger, så

Vi løser likningen i CAS (se linje 1 i utklippet).

CAS gir $k\approx \mathrm{1,08393}$. Den gjennomsnittlige årlige veksten i prosent er da

$\underline{\underline{\text{Den gjennomsnittlige årlige veksten har vært ca. }\mathrm{8,4}\%}}$

Vi lar $x$ være antall år etter starten av 1993, og bruker den avrundede vekstfaktoren fra a). Startverdien er $300000$ kroner, så

Høyresiden i likningen er den gjennomsnittlige vekstfarten over hele perioden:

Vi deriverer $f$ og løser likningen $f^{\prime }(x)=78000$ i CAS (se linje 3–5 i utklippet over).

CAS gir $f^{\prime }(x)=24\mathrm{169,69}\cdot {\mathrm{1,0839}}^x$ (tilnærmet $24179\cdot {\mathrm{1,0839}}^x$ med avrundingen fra a)), og løsningen av $f^{\prime }(x)=78000$ blir

Tolkning: Etter ca. $\mathrm{14,5}$ år fra kjøpet — altså i løpet av 2007 — vokste verdien av leiligheten momentant med samme fart som gjennomsnittet for hele 25-årsperioden, det vil si $78000$ kroner per år. Før dette tidspunktet vokste verdien saktere enn gjennomsnittet per år, og etter dette tidspunktet vokste den raskere enn gjennomsnittet.

Mariam kjøper leiligheten for $2250000$ kroner i 2018, og forventer en årlig vekst på $\mathrm{7,0}\%$, altså vekstfaktor $\mathrm{1,07}$. Vi lar $n$ være antall år etter 2018 og løser likningen

i CAS (se linje 6 i utklippet over). CAS gir

Siden Mariam kjøpte leiligheten i 2018, kan hun forvente å oppnå $3000000$ kroner for leiligheten $\underline{\underline{\text{i løpet av }2022}}$ ($2018+\mathrm{4,25}\approx 2022$).

I hver avdeling kan ikke den totale tidsbruken til produksjon av Steinbukken og Elgen overstige kapasiteten i avdelingen. Antall par sko kan heller ikke være negativt, så $x\ge 0$ og $y\ge 0$.

Tilskjæring: Å lage $x$ par Steinbukken tar $\mathrm{0,50}x$ timer, og $y$ par Elgen tar $\mathrm{0,35}y$ timer. Til sammen kan ikke dette overstige $2700$ timer:

Vi deler begge sider med $\mathrm{0,5}$:

Sammensetting: Tilsvarende bruker $x$ par Steinbukken $\mathrm{0,40}x$ timer og $y$ par Elgen $\mathrm{0,50}y$ timer, og kapasiteten er $2800$ timer:

Deling med $\mathrm{0,5}$ gir

Ferdiggjøring: Her bruker $x$ par Steinbukken $\mathrm{0,25}x$ timer og $y$ par Elgen $\mathrm{0,10}y$ timer, med kapasitet $1200$ timer:

Deling med $\mathrm{0,25}$ gir

Dette er nøyaktig de fem ulikhetene i oppgaveteksten.

Vi skal maksimere fortjenesten

over området som er avgrenset av ulikhetene i a). Ved lineær optimering vet vi at maksimum må ligge i et hjørnepunkt i det tillatte området. Vi tegner området i GeoGebra og finner hjørnepunktene som skjæringspunkt mellom de begrensende linjene:

Hjørnepunktene og fortjenesten i hvert av dem er:

Den største fortjenesten fås i hjørnet der linjene $x+\mathrm{0,7}y=5400$ (tilskjæring) og $\mathrm{0,8}x+y=5600$ (sammensetting) skjærer hverandre, i punktet $(\mathrm{3363,6},\mathrm{2909,1})$.

Siden antall par sko må være et helt tall, kan bedriften ikke produsere nøyaktig dette antallet. Nærmeste heltallige løsning som ligger i det tillatte området, $x=3363$ og $y=2909$, gir en fortjeneste på $2049750\mathrm{kr}$, som er svært nær maksimum.

Svar: Bedriften bør produsere om lag $\underline{\underline{3364}}$ par Steinbukken og $\underline{\underline{2909}}$ par Elgen per uke. Da blir fortjenesten $\underline{\underline{F\approx 2050000\mathrm{kr}}}$ per uke.

Kapasiteten i tilskjæringsavdelingen økes med $100$ timer, til $2800$ timer. Kapasiteten i sammensettingsavdelingen reduseres med $100$ timer, til $2700$ timer. Ferdiggjøringsavdelingen er uendret.

De nye ulikhetene for tilskjæring og sammensetting blir, etter samme divisjon som i a):

mens ferdiggjøring fortsatt er $x+\mathrm{0,4}y\le 4800$.

Vi tegner det nye området i GeoGebra:

Den nye grensen for tilskjæring ($x+\mathrm{0,7}y=5600$, stiplet i figuren) ligger nå så langt unna at den ikke lenger begrenser området — den nye grensen for sammensetting ($\mathrm{0,8}x+y=5400$) og ferdiggjøring bestemmer nå det tillatte området alene. Hjørnepunktene er $(\mathrm{0,0})$, $(0,5400)$, skjæringspunktet mellom sammensetting og ferdiggjøring, og $(4800,0)$.

Fortjenesten i hvert hjørne:

Den nye maksimale fortjenesten er altså om lag $2047059\mathrm{kr}$ per uke, i punktet $(\mathrm{3882,4},\mathrm{2294,1})$. Med hele antall par, $x=3882$ og $y=2294$, blir fortjenesten $2046900\mathrm{kr}$.

Dette er lavere enn den opprinnelige maksimale fortjenesten på ca. $2050000\mathrm{kr}$ — en reduksjon på om lag

per uke.

Svar: Endringen er $\underline{\underline{\text{ikke en lønnsom beslutning}}}$. Selv om tilskjæringsavdelingen får mer kapasitet, taper bedriften mer fortjeneste på den reduserte kapasiteten i sammensettingsavdelingen, slik at maksimal fortjeneste går ned med ca. $2941\mathrm{kr}$ per uke.