S1 Høst 2021

Vi flytter alle ledd over på én side og forkorter med $2$:

Vi faktoriserer andregradsuttrykket. Vi trenger to tall som gir $-6$ når de multipliseres, og $-1$ når de adderes: tallene er $-3$ og $2$.

Et produkt er null når minst én faktor er null, så

Det gir $\underline{\underline{x=3\text{ eller }x=-2}}$.

Vi skriver $25$ som en potens med grunntall $5$, slik at begge sider har samme grunntall:

Når grunntallene er like, må eksponentene være like:

Vi løser likningen for $x$:

Det gir $\underline{\underline{x={\displaystyle \frac{8}{3}}}}$.

Vi bruker logaritmeregelen $\lg a+\lg b=\lg (a\cdot b)$ på venstre side:

Siden $\lg$ er en injektiv funksjon, må argumentene være like:

Vi løser andregradslikningen:

Det gir $x=-4$ eller $x=3$. Siden $\lg (x)$ bare er definert for $x>0$, er $x=-4$ en falsk løsning som må forkastes. Igjen krever $\lg (x+1)$ at $x+1>0$, som stemmer for $x=3$.

Det gir $\underline{\underline{x=3}}$.

Vi bruker kvadratsetningene ${(x-y)}^2=x^2-2xy+y^2$ og ${(x+y)}^2=x^2+2xy+y^2$ på de to kvadratleddene, og ganger ut det midterste leddet:

Vi trekker sammen like ledd. $x^2$-leddene kansellerer, $xy$-leddene blir $-2xy+2xy-2xy=-2xy$, og $y^2$-leddene blir $y^2+2y^2-y^2=2y^2$:

Det gir $\underline{\underline{2y^2-2xy}}$.

Vi bruker logaritmereglene $\lg (a\cdot b)=\lg a+\lg b$, $\lg (a^n)=n\lg a$ og $\lg \left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)=\lg a-\lg b$ på hvert av de tre leddene:

Vi setter dette inn i det opprinnelige uttrykket og trekker sammen:

Det gir $\underline{\underline{8\lg a}}$.

Hvis de seks skulle stått på en rekke, ville det vært $6!=720$ måter å plassere dem på. I en ring finnes det ingen fast startplass — dreier vi hele ringen ett hakk, får vi den samme plasseringen, bare “sett fra et annet sted”. Det er $6$ mulige dreininger som gir samme plassering rundt treet, så vi må dele på $6$:

Vi kan også tenke på det slik: siden ringen kan dreies fritt, spiller det ingen rolle hvor akkurat Siv står — vi kan tenke oss at plassen hennes er fast. Da gjenstår det å plassere de $5$ andre personene i de $5$ resterende plassene, og det finnes $5!=120$ måter å gjøre det på.

Det er dermed $\underline{\underline{120}}$ ulike måter de seks kan plassere seg på i ringen.

Vi fikser Sivs plass i ringen (som i a). Da er det $5!=120$ like sannsynlige måter å plassere de fem andre personene på.

For at Siv skal holde Audun i hånden, må Audun stå i en av de to plassene rett ved siden av Siv — én på hver side. Det gir $2$ gunstige plasser for Audun, og de resterende $4$ personene kan plasseres på de $4$ andre plassene på $4!$ måter. Antall gunstige plasseringer blir dermed

Sannsynligheten for at Siv får holde Audun i hånden er

På en rekke er det $6!=720$ mulige plasseringer av de seks personene.

Vi teller plasseringene der Audun og Siv står ved siden av hverandre ved å tenke på de to som én enhet (en “blokk”). Da skal $5$ enheter — blokken og de $4$ andre personene — plasseres på en rekke, noe som kan gjøres på $5!$ måter. I tillegg kan Audun og Siv bytte plass innad i blokken (Audun–Siv eller Siv–Audun), som gir en ekstra faktor $2$. Antall gunstige plasseringer blir dermed

Sannsynligheten for at Audun og Siv står ved siden av hverandre på bildet er

Stigningstallet til $f$ i punktet $(1,f(1))$ er det samme som stigningstallet til tangenten som er tegnet inn på figuren.

Vi leser av to punkter på den røde tangentlinja. Linja går gjennom det markerte punktet $(1,4)$, og den skjærer $x$-aksen omtrent ved $x\approx \mathrm{3,3}$, altså i punktet $(\mathrm{3,3},0)$.

Stigningstallet blir da

$\underline{\underline{f^{\prime }(1)\approx -\mathrm{1,7}}}$

Siden svaret bygger på en avlesning, er det en viss usikkerhet i tallet. Alle svar mellom omtrent $-\mathrm{1,7}$ og $-\mathrm{1,8}$ er rimelige her. (Den eksakte verdien er $f^{\prime }(1)=-{\displaystyle \frac{4}{\ln 10}}\approx -\mathrm{1,74}$, men den kan vi ikke regne ut i Del 1.)

Vi leser av grafen til $f$ i punktet der $x=5$. Grafen viser at $f(5)\approx \mathrm{1,2}$.

Siden $f(x)=4-4\lg x$, får vi

Vi bruker regnereglene for logaritmer, $\lg 500=\lg (5\cdot 100)=\lg 5+\lg 100=\lg 5+2$:

$\underline{\underline{\lg 500\approx \mathrm{2,7}}}$

Bedriften går ikke med underskudd så lenge $O(x)\ge 0$. Vi setter inn uttrykket for $O(x)$ og løser ulikheten:

Dette stemmer med grafen, som viser at $f(x)=0$ nettopp ved $x=10$ — for $x\ge 10$ er $f(x)\le 0$, slik at $O(x)=-200\cdot f(x)\ge 0$.

Bedriften må altså produsere og selge minst $10$ enheter per dag for ikke å gå med underskudd.

$\underline{\underline{x\ge 10\text{enheter}}}$

Vi leser av hjørnene i trekanten $T$ på figuren: $(1,4)$, $(5,0)$ og $(1,-2)$.

Den venstre siden av trekanten er en loddrett linje gjennom $x=1$, og hele området $T$ ligger til høyre for denne linja. Det gir ulikheten

Den øvre siden går gjennom punktene $(1,4)$ og $(5,0)$. Stigningstallet er

Linja har da likningen $y=-x+5$, og siden $T$ ligger under denne linja, blir ulikheten

Den nedre siden går gjennom punktene $(1,-2)$ og $(5,0)$. Stigningstallet er

Linja har likningen $y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$ (funnet ved å sette inn punktet $(\mathrm{5,0})$), og siden $T$ ligger over denne linja, blir ulikheten

$\underline{\underline{x\ge 1,y\le -x+5,y\ge \frac{1}{2}x-\frac{5}{2}}}$

Siden $S=\frac{1}{2}x-2y$ er en lineær funksjon av $x$ og $y$, må den største (og minste) verdien av $S$ i det avgrensede området $T$ opptre i et av hjørnene i trekanten. Vi regner ut $S$ i alle de tre hjørnene:

Den største verdien er $S=\mathrm{4,5}$, og den oppnås i hjørnet $(1,-2)$.

$\underline{\underline{S_{\text{maks}}=\mathrm{4,5}\text{ i }(1,-2)}}$

Ulikheten $y\ge k+x$ skal legges til de tre ulikhetene fra oppgave a). Skal $F$ bli det samme området som $T$, må denne ulikheten være automatisk oppfylt for alle punkter som allerede ligger i $T$ — den skal altså ikke skjære bort noe av trekanten.

Det betyr at vi trenger

Siden $y-x$ er en lineær funksjon, er det nok å sjekke hjørnene i trekanten:

Den minste verdien av $y-x$ i trekanten er $-5$, og den forekommer i hjørnet $(5,0)$. Skal $y-x\ge k$ gjelde for hele trekanten, må $k$ være mindre enn eller lik denne minsteverdien:

Grenselinja $y=x-5$ (som svarer til $k=-5$) går akkurat gjennom hjørnet $(5,0)$ uten å skjære bort noe av trekanten, mens en linje med $k>-5$ ville kuttet av hjørnet ved $(\mathrm{5,0})$.

$\underline{\underline{k\le -5}}$

Punktet $(-1,0)$ ligger på grafen. Da må telleren i $h(x)={\displaystyle \frac{ax-2}{bx+c}}$ være null når $x=-1$:

Asymptotene skjærer hverandre i $(4,-2)$. Den vertikale asymptoten er der nevneren er null, altså $x=-{\displaystyle \frac{c}{b}}$. Denne skal være $x=4$:

Den horisontale asymptoten til en rasjonal funksjon av typen ${\displaystyle \frac{ax-2}{bx+c}}$ (teller og nevner av samme grad) er $y={\displaystyle \frac{a}{b}}$. Denne skal være $y=-2$:

Da blir

$\underline{\underline{a=-2,b=1,c=-4}}$

Vi kontrollerer: $h(x)={\displaystyle \frac{-2x-2}{x-4}}$. For $x=-1$ gir dette $h(-1)={\displaystyle \frac{2-2}{-5}}=0$, som stemmer. Nevneren er null når $x=4$, og ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{-2}{1}}=-2$, som også stemmer med de oppgitte asymptotene.

Med $a=-2$, $b=1$ og $c=-4$ er

Vi finner de viktigste punktene og linjene til grafen:

• Vertikal asymptote: $x=4$ (der nevneren er null).
• Horisontal asymptote: $y=-2$ (stigningsforholdet mellom telleren og nevneren når $x$ blir svært stor eller svært liten).
• Nullpunkt: $x=-1$, altså punktet $(-1,0)$ (oppgitt i oppgave a).
• Skjæring med $y$-aksen: $h(0)={\displaystyle \frac{-2\cdot 0-2}{0-4}}={\displaystyle \frac{-2}{-4}}=\mathrm{0,5}$, altså punktet $(0,\mathrm{0,5})$.

Grafen består av to grener som begge stiger mot høyre: den venstre grenen kommer fra den horisontale asymptoten $y=-2$ langt til venstre, går gjennom $(-1,0)$ og $(0;\mathrm{0,5})$, og stiger mot $+\infty$ når $x$ nærmer seg $4$ fra venstre. Den høyre grenen kommer fra $-\infty$ like til høyre for $x=4$ og flater ut mot den horisontale asymptoten $y=-2$ når $x$ blir stor.

Vi lar $x$ være verdien av lakseeksporten i 2019 og $y$ være verdien av ørreteksporten i 2019, begge i milliarder kroner.

I 2019 var summen av eksportene $\mathrm{76,2}$ milliarder kroner:

Verdien av lakseeksporten i 2018 var $\mathrm{4,8}$ milliarder kroner lavere enn i 2019, altså $x-\mathrm{4,8}$. Verdien av ørreteksporten i 2018 var $24\%$ lavere enn i 2019. Siden $y$ er verdien etter en økning på $24\%$ fra 2018-verdien, må 2018-verdien være ${\displaystyle \frac{y}{\mathrm{1,24}}}$. I 2018 var summen av eksportene $\mathrm{70,7}$ milliarder kroner:

Likningssystemet blir dermed

Vi løser likningssystemet med innsettingsmetoden. Fra den første likningen uttrykker vi $y$ ved $x$:

Dette setter vi inn i den andre likningen:

For å bli kvitt brøken multipliserer vi hvert ledd med $\mathrm{1,24}$:

Vi setter $x$ tilbake i $y=\mathrm{76,2}-x$:

Kontroll: Lakseeksporten i 2018 var $\mathrm{72,58}-\mathrm{4,8}=\mathrm{67,78}$ milliarder kroner, og ørreteksporten i 2018 var $\mathrm{3,62}/\mathrm{1,24}\approx \mathrm{2,92}$ milliarder kroner. Summen $\mathrm{67,78}+\mathrm{2,92}=\mathrm{70,7}$ milliarder kroner stemmer med opplysningen i oppgaven.

Verdien av lakseeksporten i 2019 var altså om lag $\mathrm{72,6}$ milliarder kroner.

La $A$ være hendelsen at kulen havner på det grønne tallet i minst 1 av 10 spilleomganger. Sannsynligheten for at kulen ikke havner på grønt i én omgang, er ${\displaystyle \frac{36}{37}}$, siden 36 av de 37 tallene ikke er grønne.

Med komplementsetningen er

Dette gir, se PSannsynlighetA i utklippet,

$\underline{\underline{P(A)\approx \mathrm{24,0}\%}}$ Det betyr at det er om lag 24 % sjanse for at kulen havner på det grønne tallet minst én gang i løpet av 10 spilleomganger.

Vi lar $n$ være antall spilleomganger, og krever at sannsynligheten for minst ett grønt tall skal være mer enn $50\%$:

Vi løser likningen ${\left({\displaystyle \frac{36}{37}}\right)}^n=\mathrm{0,5}$ med CAS (se Løs(...) i utklippet), som gir

Siden ${\left(\frac{36}{37}\right)}^n$ er avtagende i $n$, må vi runde opp for at ulikheten skal være oppfylt. Vi sjekker de to nærmeste heltallene:

• $n=25$: $1-{\left(\frac{36}{37}\right)}^{25}\approx \mathrm{0,4959}$ (mindre enn $50\%$)
• $n=26$: $1-{\left(\frac{36}{37}\right)}^{26}\approx \mathrm{0,5095}$ (mer enn $50\%$)

$\underline{\underline{n=26}}$ Vi må altså spille minst 26 ganger for at sannsynligheten for minst ett grønt tall skal være over 50 %.

La $X$ være antall røde tall av 10 spilleomganger. I hver omgang er sannsynligheten for rødt $p={\displaystyle \frac{18}{37}}$, og omgangene er uavhengige av hverandre med samme sannsynlighet i hver omgang. Da er $X$ binomisk fordelt med $n=10$ og $p={\displaystyle \frac{18}{37}}$.

Sannsynligheten for at $X$ er minst 7, er summen av sannsynlighetene for $X=7,8,9$ og $10$:

Se PC i CAS-utklippet:

$\underline{\underline{P(X\ge 7)\approx \mathrm{0,151}}}$

Åtte venner spiller uavhengig av hverandre, og for hver venn er sannsynligheten for å få rødt i minst 7 av 10 omganger den samme, $p\approx \mathrm{0,1506}$ (fra c). La $Y$ være antall av de 8 vennene som oppnår dette. Da er $Y$ binomisk fordelt med $n=8$ og $p\approx \mathrm{0,1506}$.

Sannsynligheten for at nøyaktig 3 av de 8 vennene får rødt i minst 7 av 10 omganger, er

Se PD i CAS-utklippet:

$\underline{\underline{P(Y=3)\approx \mathrm{8,5}\%}}$ Det betyr at det er om lag 8,5 % sjanse for at nøyaktig 3 av de 8 vennene får rødt i minst 7 av sine 10 spilleomganger.

Vi leser av totalverdien (fiskeri + havbruk) på toppen av hver søyle i diagrammet, med $x$ som antall år etter 2012:

Vi legger inn punktene i GeoGebra og bruker lineær regresjon (Regresjon) til å finne en rette linje som passer best med punktene:

der $\mathrm{7,95}$ er stigningstallet (gjennomsnittlig årlig vekst i milliarder kroner) og $\mathrm{53,34}$ er verdien av eksporten i 2012 ifølge modellen.

Vi tegner grafen til $f(x)=55\cdot {\mathrm{1,11}}^x$ i GeoGebra:

Vi skal finne når $f(x)>200$:

Siden $x=\mathrm{12,37}$ ikke er et helt år, sjekker vi de to nærmeste årene:

Verdien passerer altså $200$ milliarder kroner et sted mellom $x=12$ og $x=13$. Ifølge modellen $f$ er verdien av sjømateksporten for første gang større enn $200$ milliarder kroner i år $2012+13=2025$.

Den gjennomsnittlige årlige verdiøkningen fra 2012 ($x=0$) til 2020 ($x=8$) finner vi som stigningstallet til sekantlinjen mellom punktene $(0,f(0))$ og $(8,f(8))$:

Ifølge modellen $f$ økte altså verdien av sjømateksporten i gjennomsnitt med

i perioden 2012–2020.

Den momentane vekstfarten er den deriverte av $f$:

Vi skal finne når $f^{\prime }(x)>20$:

Vi kontrollerer de to nærmeste hele årene:

Den årlige økningen passerer altså $20$ milliarder kroner per år et sted mellom $x=11$ og $x=12$. Ifølge modellen $f$ vil verdien av sjømateksporten for første gang øke med mer enn $20$ milliarder kroner per år i $2012+12=2024$.

Vi skal markere området som oppfyller alle de fem ulikhetene samtidig:

De to første ulikhetene sier at $x$ og $y$ ikke kan være negative, så området ligger i første kvadrant. De tre siste tegnes som rette linjer (ved å skrive dem på formen $y=\dots$), og vi skraverer den siden av hver linje som ulikheten peker mot:

Fellesområdet for alle fem ulikhetene er en femkant (pentagon) med hjørner i $(\mathrm{0,0})$, $(0,1500)$, $(1000,1000)$, $(1500,250)$ og $(1600,0)$, der de to midterste hjørnene er skjæringspunktene mellom linjeparene $\mathrm{1,5}x+y=2500$ og $\mathrm{0,5}x+y=1500$ (gir $(\mathrm{1000,1000})$), og mellom $\mathrm{1,5}x+y=2500$ og $x+\mathrm{0,4}y=1600$ (gir $(\mathrm{1500,250})$).

Overskuddet er (salgspris − produksjonskostnad) per enhet, ganger antall solgte enheter, minus faste kostnader:

Siden $O(x,y)$ er en lineær funksjon, blir det største (eller minste) overskuddet alltid i et av hjørnene i det avgrensede området fra a). Vi setter inn koordinatene til hvert hjørnepunkt:

Det største overskuddet får bedriften i hjørnepunktet $(1000,1000)$, altså ved å produsere $1000$ hengekøyer av type A og $1000$ av type B. Det månedlige overskuddet blir da $410000$ kroner.

$\underline{\underline{1000\text{ hengekøyer av hver type gir størst overskudd, }410000\mathrm{kr}\text{ per måned}}}$

Ulikhetene i oppgaven kommer fra at tiden som brukes i hver avdeling, ikke kan overstige kapasiteten til avdelingen. Vi ganger opp hver ulikhet med et passende tall for å få den om til minutter/timer og sammenligner med tabellen.

Tilskjæring: Type A bruker $36$ minutter, og ulikheten for tilskjæring er $\mathrm{1,5}x+y\le 2500$. Vi ganger ulikheten med tallet som gjør at koeffisienten foran $x$ blir lik $36$:

Her ser vi at type B bruker $24$ minutter i tilskjæring, og at kapasiteten er $60000$ minutter $=1000$ timer, som stemmer med tabellen. Den tomme ruten (tid per enhet type B, tilskjæring) er altså $24$ minutter.

Sammenstilling: Type A bruker $18$ minutter, og ulikheten for sammenstilling er $\mathrm{0,5}x+y\le 1500$. Vi ganger med

Dette stemmer med at type B bruker $36$ minutter i sammenstilling (som allerede står i tabellen), og kapasiteten blir $54000$ minutter $={\displaystyle \frac{54000}{60}}=900$ timer. Den tomme ruten (kapasitet per måned, sammenstilling) er altså $900$ timer.

$\underline{\underline{\text{Tid per enhet type B i tilskjæring: }24\min .\text{Kapasitet i sammenstilling: }900\mathrm{timer}}}$