S1 Vår 2019

Vi skriver $81$ som en potens med grunntall $3$.

Når grunntallene er like, må eksponentene være like.

Vi faktoriserer andregradsuttrykket. Vi trenger to tall som har produkt $10$ og sum $-7$, altså $-2$ og $-5$.

Et produkt er null når minst én av faktorene er null.

Vi bruker regelen $\lg a-\lg b=\lg \left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)$.

Vi bruker at $\lg y=1$ betyr $y={10}^1=10$.

Vi sjekker definisjonsmengden: $x>0$ og $x+3>0$. Siden $x={\displaystyle \frac{1}{3}}>0$, er løsningen gyldig.

Vi primtallsfaktoriserer alle tallene: $16=2^4$, $27=3^3$, $72=2^3\cdot 3^2$ og $12=2^2\cdot 3$.

Vi samler faktorene i nevner.

Vi merker oss at $x^2-1=(x-1)(x+1)$, så felles nevner er $(x-1)(x+1)$.

Vi ganger ut telleren i de to første brøkene.

Vi setter alt over felles brøkstrek.

Vi faktoriserer telleren og forkorter med $(x+1)$.

Vi bruker at $\lg a+\lg b=\lg (ab)$ og $\lg a-\lg b=\lg \left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)$, og samler alt under én logaritme.

Vi forenkler brøken inni logaritmen.

Vi lar $b$ være prisen for én flaske brus i kroner, og $p$ være prisen for én pølse i kroner.

Den første fredagen kjøpte de 6 brus og 4 pølser for 170 kroner.

Den andre fredagen kjøpte de 5 brus og 10 pølser for 275 kroner.

Likningssystemet blir da

Vi forenkler begge likningene ved å dele på felles faktorer. Vi deler den første likningen på $2$ og den andre på $5$.

Vi trekker den andre likningen fra den første. Da forsvinner $p$-leddet.

Vi setter $b=15$ inn i $b+2p=55$ for å finne $p$.

Vi kontrollerer svaret i den opprinnelige likningen $6b+4p=170$: $6\cdot 15+4\cdot 20=90+80=170$. Stemmer.

Én flaske brus koster $15\mathrm{kr}$, og én pølse koster $20\mathrm{kr}$.

Vi deriverer $f(x)=x^3+3x$ ved hjelp av potensregelen:

Setter vi inn $x=1$, får vi

Dette tallet er stigningstallet til tangenten til grafen i punktet $x=1$, altså den momentane vekstfarten til $f$ i $x=1$. Det betyr at grafen til $f$ stiger med omtrent 6 enheter når $x$ øker med 1 enhet, i nærheten av $x=1$.

Stigningstallet til en vilkårlig tangent til grafen er gitt ved $f^{\prime }(x)=3x^2+3$. Siden $x^2\ge 0$ for alle $x$, har vi at

for alle $x$. Dermed er $f^{\prime }(x)$ alltid positiv, uansett hvilken $x$-verdi vi velger. Dette betyr at alle tangenter til grafen til $f$ har positivt stigningstall.

Vi skal finne $x$ slik at $f^{\prime }(x)=15$:

$\underline{\underline{x=-2\text{ eller }x=2}}$

Av de $10$ deltakerne skal $3$ komme til finalen. Rekkefølgen på hvem som blir plukket ut spiller ingen rolle, så vi bruker kombinasjoner:

Det kan komme $\underline{\underline{120}}$ ulike grupper på tre deltakere til finalen.

En gruppe med flere kvinner enn menn blant $3$ deltakere må enten bestå av $2$ kvinner og $1$ mann, eller av $3$ kvinner (og $0$ menn). Det finnes $5$ kvinner og $5$ menn å velge blant.

$2$ kvinner og $1$ mann:

$3$ kvinner:

Siden de to tilfellene utelukker hverandre, adderer vi dem:

$\underline{\underline{60}}$ av gruppene inneholder flere kvinner enn menn.

Vi leser av de to rette linjene på figuren.

Den slake linja (svakt stigende) skjærer $y$-aksen i $(0,2)$. Den går videre gjennom for eksempel $(4,4)$, så stigningstallet er

Linja er altså $y=\frac{1}{2}x+2$. Det blå området ligger under denne linja, så det gir ulikheten

Den bratte linja (fallende) skjærer $y$-aksen i $(0,6)$ og $x$-aksen i $(3,0)$, så stigningstallet er

Linja er altså $y=-2x+6$. Det blå området ligger også under denne linja, som gir

I tillegg er området avgrenset av koordinataksene, så $x\ge 0$ og $y\ge 0$.

Ulikhetene som avgrenser det blå området er dermed

Siden $3x+y$ er et lineært uttrykk, vil den største verdien i det blå området finnes i et av hjørnene til området. Hjørnene er $(\mathrm{0,0})$, $(\mathrm{3,0})$, $(\mathrm{0,2})$, og skjæringspunktet mellom de to linjene.

Skjæringspunktet finner vi ved å sette de to linjene like:

Vi setter alle hjørnene inn i uttrykket $3x+y$:

Den største verdien er $9$, og den oppnås i punktet $(3,0)$.

Vi skal finne den minste verdien av $a$ slik at uttrykket $y-ax$ har størst verdi nettopp i punktet $(\mathrm{0,2})$.

Siden $y-ax$ er lineært, må den maksimale verdien oppnås i et hjørne av det blå området. Vi sammenligner verdien i $(\mathrm{0,2})$ med verdien i de nabohjørnene, $(\mathrm{0,0})$ og skjæringspunktet $(\mathrm{1,6};\mathrm{2,8})$.

I $(\mathrm{0,2})$: $y-ax=2-a\cdot 0=2$

I $(\mathrm{0,0})$: $y-ax=0$, som alltid er mindre enn $2$ for $a\ge 0$.

I $(\mathrm{1,6};\mathrm{2,8})$: $y-ax=\mathrm{2,8}-\mathrm{1,6}a$

For at $(\mathrm{0,2})$ skal gi den største verdien, må vi ha

Den minste verdien $a$ kan ha, er dermed

Figuren består av to like kvadrater med side $x$ og ett kvadrat med side $y$. Kvadratene med side $x$ er plassert slik at de bare berører det store kvadratet i ett hjørnepunkt hver (øverst til venstre og øverst til høyre på det store kvadratet). Siden kvadratene bare berører hverandre i enkeltpunkter, og ikke deler noen kant, er hele omkretsen av figuren summen av omkretsen til alle de tre kvadratene:

Vi vet at omkretsen er $12$, så

Løser vi denne likningen for $y$:

Det samlede arealet av figuren er summen av arealene til de tre kvadratene:

Vi setter inn $y=3-2x$:

Dette er det vi skulle vise.

Vi skal finne minimumsverdien til andregradsfunksjonen

Grafen til $A$ er en parabel som vender oppover (siden $6>0$), så minimumspunktet er bunnpunktet til parabelen. Vi deriverer og setter den deriverte lik null:

Siden $A^{\prime \prime }(x)=12>0$, er dette et minimumspunkt.

Vi finner tilhørende $y$-verdi ved å sette $x=1$ inn i $y=3-2x$:

Dette gir gyldige lengder ($x=1>0$ og $y=1>0$), så løsningen er innenfor definisjonsmengden.

Det samlede arealet blir da minst mulig når $x=1$ og $y=1$, og det minste arealet er

$\underline{\underline{x=1,y=1}}$

Vi regner om alt til samme enhet (gram), siden ingrediensmengdene i tabellen er oppgitt i gram, mens de tilgjengelige mengdene er oppgitt i kilogram.

Mel: Han har $50\mathrm{kg}=50000\mathrm{g}$ mel. Hver kake av type A bruker $300\mathrm{g}$ mel, og hver kake av type B bruker $500\mathrm{g}$ mel. Totalt melforbruk kan ikke overstige det han har:

Deler vi begge sider med $100$, får vi $3x+5y\le 500$.

Sukker: Han har $7\mathrm{kg}=7000\mathrm{g}$ sukker. Det gir

Deler vi med $50$: $2x+y\le 140$.

Smør: Han har $\mathrm{8,5}\mathrm{kg}=8500\mathrm{g}$ smør. Det gir

Deler vi med $25$: $5x+2y\le 340$.

I tillegg må $x\ge 0$ og $y\ge 0$, siden han ikke kan bake et negativt antall kaker. Dermed må $x$ og $y$ tilfredsstille hele ulikhetssystemet gitt i oppgaven.

Vi tegner de fire grenselinjene $3x+5y=500$ (mel, rød), $2x+y=140$ (sukker, grønn) og $5x+2y=340$ (smør, blå), sammen med aksene $x=0$ og $y=0$. Det tillatte området er skjæringen av alle halvplanene, altså det blåskraverte området på figuren:

Hjørnene i området finner vi ved å løse de tilstøtende grenselikningene parvis:

• $(\mathrm{0,0})$ – origo
• $(\mathrm{0,100})$ – skjæring mellom $x=0$ og sukkerlinja $2x+y=140$
• Skjæring mellom mellinja og sukkerlinja: $3x+5y=500$ og $2x+y=140\Rightarrow y=140-2x$, som satt inn gir $3x+5(140-2x)=500\Rightarrow -7x=-200\Rightarrow x=\frac{200}{7}\approx \mathrm{28,57}$, $y=140-2\cdot \frac{200}{7}=\frac{580}{7}\approx \mathrm{82,86}$. Punktet er altså $(\frac{200}{7},\frac{580}{7})\approx (\mathrm{28,57};\mathrm{82,86})$.
• $(\mathrm{60,20})$ – skjæring mellom sukkerlinja og smørlinja
• $(\mathrm{68,0})$ – skjæring mellom smørlinja og $y=0$

Fortjenesten er gitt ved

Maksimum av en lineær funksjon over et slikt område oppnås alltid i et hjørnepunkt, så vi setter inn alle hjørnene:

Det beste hjørnet, $(\frac{200}{7},\frac{580}{7})$, gir høyest fortjeneste, men $x$ og $y$ må være hele tall (antall kaker). Vi må derfor lete etter det beste heltallspunktet nær dette hjørnet, innenfor det tillatte området.

Vi prøver $(29,82)$:

Alle tre ulikhetene er oppfylt, så $(\mathrm{29,82})$ ligger i det tillatte området. Fortjenesten blir

Til sammenligning gir naboløsningen $(\mathrm{28,83})$:

som er lavere. Dermed er $(\mathrm{29,82})$ den beste heltallige løsningen.

Bakermester Snipp bør bake $29$ kaker av type A og $82$ kaker av type B. Da blir fortjenesten $\underline{\underline{14480\mathrm{kr}}}$.

Den ekstra begrensningen er $y\le 70$ (høyst $70$ kaker av type B). Denne linja er tegnet stiplet i figuren over. Den skjærer det tillatte området i sukkerlinja $2x+y=140$:

Det nye punktet er altså $(\mathrm{35,70})$. Det nye tillatte området har hjørnene $(\mathrm{0,0})$, $(\mathrm{0,70})$, $(\mathrm{35,70})$, $(\mathrm{60,20})$ og $(\mathrm{68,0})$. Vi setter inn i $F(x,y)=160x+120y$ i de hjørnene som er nye eller kan være aktuelle:

Størst fortjeneste får vi i $(\mathrm{35,70})$, og dette punktet har heltallige koordinater, så det er også den beste løsningen i praksis.

Bakermester Snipp bør denne dagen bake $35$ kaker av type A og $70$ kaker av type B. Da blir fortjenesten $\underline{\underline{14000\mathrm{kr}}}$.

Vi legger inn punktene $(100,850)$, $(150,660)$, $(200,490)$, $(250,370)$ og $(300,280)$ i regnearket/CAS og bruker eksponentiell regresjon til å finne funksjonen $Q(x)=a\cdot b^x$ som passer best med tallene. Dette gir

$\underline{\underline{Q(x)\approx 1504\cdot {\mathrm{0,9944}}^x}}$

Vi tegner grafen til

Grafen viser en avtagende, konveks kurve: etterspørselen synker når prisen $x$ øker, slik vi venter for en etterspørselsfunksjon.

Bedriften ønsker å selge mer enn 1000 luer per år, altså $E(x)>1000$. Vi finner først løsningen av likningen $E(x)=1000$ ved å lese av skjæringen mellom grafen til $E$ og linja $y=1000$ (se grafen over):

Siden $E$ er en avtagende funksjon (grunntallet $\mathrm{0,995}<1$), er $E(x)>1000$ for alle $x$ mindre enn dette skjæringspunktet. I tillegg må modellen gjelde, altså $x\ge 50$. Dermed må prisen per lue være

$\underline{\underline{50\le x<\mathrm{80,9}\mathrm{kr}}}$

Bedriften kan altså regne med å selge mer enn 1000 luer per år dersom prisen er lavere enn ca. $81\mathrm{kr}$ (og innenfor modellens gyldighetsområde, minst $50\mathrm{kr}$).

Den årlige inntekten fra salg av luer er pris ganger antall solgte luer,

Bedriften ønsker $I(x)=100000$. Vi tegner grafen til $I$ sammen med linja $y=100000$ og finner skjæringspunktene:

Begge prisene gir altså samme totale inntekt på $100000\mathrm{kr}$, men de svarer til svært ulikt antall solgte luer: ved $x\approx 124\mathrm{kr}$ selges det langt flere luer enn ved $x\approx 300\mathrm{kr}$ (siden $E$ er avtagende). Bedriften bør derfor sette prisen til

$\underline{\underline{x\approx 124\mathrm{kr}\text{ eller }x\approx 300\mathrm{kr}}}$

Velger bedriften den laveste prisen ($124\mathrm{kr}$), selger de flere luer for å oppnå samme inntekt, noe som kan være gunstig for markedsandel og synlighet av produktet.

Det er $20$ personer totalt, $12$ kvinner og $8$ menn. Vi trekker $3$ personer uten tilbakelegging, så antall menn blant vinnerne er hypergeometrisk fordelt.

Vi skal finne sannsynligheten for at nøyaktig to av de tre vinnerne er menn (og dermed én er kvinne). Vi velger $2$ menn av $8$ mulige og $1$ kvinne av $12$ mulige, delt på alle måter å velge $3$ personer av $20$:

Dette stemmer med den oppgitte verdien.

La $X$ være antall av de $12$ lotteriene der nøyaktig to av vinnerne er menn. Siden lotteriene er uavhengige av hverandre, og hvert lotteri har samme sannsynlighet $p\approx \mathrm{0,2947}$ fra a), er $X$ binomisk fordelt med $n=12$ og $p=\mathrm{0,2947}$.

Vi setter opp uttrykket i GeoGebra CAS og beregner $P(X=6)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{12}{6}\right)\cdot p^6\cdot {(1-p)}^6$:

Fra utklippet (linje 2, PX6) ser vi at

Sannsynligheten for at nøyaktig to av vinnerne er menn i akkurat seks av de tolv lotteriene, er altså omtrent $\mathrm{7,45}\%$.

Vi trenger først sannsynligheten $q$ for at flertallet av vinnerne (minst to av tre) er kvinner i ett lotteri. Dette skjer enten ved at nøyaktig to av vinnerne er kvinner (og én er mann), eller ved at alle tre er kvinner:

La $Y$ være antall av de $12$ lotteriene der flertallet av vinnerne er kvinner. Da er $Y$ binomisk fordelt med $n=12$ og $p=\mathrm{0,6561}$. Vi skal finne sannsynligheten for at dette skjer i minst halvparten, altså minst $6$ av de $12$ lotteriene:

Vi beregner summen i CAS (linje 3–4, q og PY i utklippet over):

Sannsynligheten for at flertallet av vinnerne er kvinner i minst halvparten av lotteriene i løpet av året, er altså omtrent $\mathrm{92,24}\%$.

Vi finner først sannsynligheten $s$ for at de tre vinnerne har samme kjønn i ett lotteri. Dette skjer enten ved at alle tre er kvinner, eller ved at alle tre er menn:

Vi bruker komplementmetoden: sannsynligheten for at ingen av de $12$ lotteriene har vinnere med samme kjønn, er ${(1-s)}^{12}$, siden lotteriene er uavhengige. Sannsynligheten for at minst ett av de $12$ lotteriene har vinnere med samme kjønn, blir da

Vi beregner dette i CAS (linje 5–6, s og Pd i utklippet over):

Sannsynligheten for at de tre vinnerne har samme kjønn i minst ett av de tolv lotteriene i løpet av året, er altså omtrent $\mathrm{96,41}\%$.