S1 Høst 2019

Oppgave 1-1Andregradslikning og logaritmelikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene:

x^{2} + 4 x - 12 = 0

\lg (5 - 2 x) = 1

Fasit

$x = 2 eller x = - 6$

$x = - \frac{5}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser andregradslikningen med abc-formelen, der $a = 1$ , $b = 4$ og $c = - 12$ .

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{- 4 \pm 8}{2}

Dette gir de to løsningene

x = \frac{- 4 + 8}{2} = 2 eller x = \frac{- 4 - 8}{2} = - 6

Vi bruker at $\lg (5 - 2 x) = 1$ betyr at $5 - 2 x = 10^{1}$ .

5 - 2 x = 10

- 2 x = 5

x = - \frac{5}{2}

Vi sjekker definisjonsmengden: $5 - 2 x = 5 - 2 \cdot (- \frac{5}{2}) = 10 > 0$ , så løsningen er gyldig.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Andregradslikninger, Logaritmelikning
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Andregradsulikhet uten hjelpemidler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ulikheten:

x^{2} - 2 x < 0

Fasit

$0 < x < 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi faktoriserer venstre side ved å sette $x$ utenfor parentes.

x^{2} - 2 x < 0

x (x - 2) < 0

Uttrykket $x (x - 2)$ er et produkt av to faktorer, og nullpunktene er $x = 0$ og $x = 2$ . Vi setter opp et fortegnsskjema for faktorene $x$ og $x - 2$ .

Fortegnslinje for x(x-2)

Vi ønsker at produktet skal være negativt (mindre enn $0$ ), og det skjer når $0 < x < 2$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Andregradsulikhet, Fortegnslinje
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Likningssystem med andregrad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssystemet:

{\begin{matrix} x^{2} + 4 y = 4 x \\ 4 x - 2 y = 6 \end{matrix}

Fasit

$(x, y) = (2,1) eller (x, y) = (- 6, - 15)$

LøsningsforslagKI-generert

Likningssystemet er

{\begin{matrix} x^{2} + 4 y = 4 x & (1) \\ 4 x - 2 y = 6 & (2) \end{matrix}

Vi løser den lineære likningen $(2)$ med hensyn på $y$ .

4 x - 2 y = 6

- 2 y = 6 - 4 x

y = 2 x - 3

Vi setter dette uttrykket inn for $y$ i likning $(1)$ .

x^{2} + 4 (2 x - 3) = 4 x

x^{2} + 8 x - 12 = 4 x

x^{2} + 4 x - 12 = 0

Vi løser med abc-formelen, der $a = 1$ , $b = 4$ og $c = - 12$ .

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{- 4 \pm 8}{2}

Dette gir $x = 2$ eller $x = - 6$ .

Vi finner tilhørende $y$ -verdier ved å sette inn i $y = 2 x - 3$ .

For $x = 2$ : $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$

For $x = - 6$ : $y = 2 \cdot (- 6) - 3 = - 15$

Løsningene er dermed $(x, y) = (2,1)$ og $(x, y) = (- 6, - 15)$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Andregradslikninger
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Forenkling av algebraiske uttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig:

{(a + 2)}^{3} - a \cdot {(a + 2)}^{2}

\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x + 5}{x^{2} + x - 2}

2 \lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{5}{x}) - \lg (2 x^{3})

Fasit

$2 {(a + 2)}^{2}$

$- \frac{4}{x - 1}$

$1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter ${(a + 2)}^{2}$ utenfor parentes, siden det er en felles faktor i begge ledd.

{(a + 2)}^{3} - a \cdot {(a + 2)}^{2} = {(a + 2)}^{2} \cdot [(a + 2) - a] = {(a + 2)}^{2} \cdot 2 = 2 {(a + 2)}^{2}

Vi legger merke til at $x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)$ , som er den felles nevneren til alle tre brøkene.

\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x + 5}{x^{2} + x - 2} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 2) (x - 1)} - \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 1)} - \frac{x + 5}{(x + 2) (x - 1)}

Vi setter brøkene sammen over felles nevner.

= \frac{(x + 1) (x - 1) - (x + 1) (x + 2) - (x + 5)}{(x + 2) (x - 1)}

Vi regner ut telleren. Vi bruker at $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ og $(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2$ .

(x^{2} - 1) - (x^{2} + 3 x + 2) - (x + 5) = x^{2} - 1 - x^{2} - 3 x - 2 - x - 5 = - 4 x - 8 = - 4 (x + 2)

Dermed blir uttrykket

\frac{- 4 (x + 2)}{(x + 2) (x - 1)} = - \frac{4}{x - 1}

der vi har forkortet med $(x + 2)$ (gyldig for $x \neq - 2$ ).

Vi bruker logaritmereglene $n \lg (a) = \lg (a^{n})$ , $\lg (a) + \lg (b) = \lg (a \cdot b)$ og $\lg (a) - \lg (b) = \lg (\frac{a}{b})$ .

2 \lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{5}{x}) - \lg (2 x^{3}) = \lg ({(2 x^{2})}^{2}) + \lg (\frac{5}{x}) - \lg (2 x^{3})

= \lg (\frac{4 x^{4} \cdot \frac{5}{x}}{2 x^{3}}) = \lg (\frac{20 x^{3}}{2 x^{3}}) = \lg (10) = 1

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Algebra, Rasjonale uttrykk, Logaritmer
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Komité fra to klasser kombinatorikk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en R1-gruppe kommer 7 elever fra klasse A og 5 elever fra klasse B. Blant disse 12 elevene skal det velges tilfeldig en komité som skal bestå av 3 elever fra klasse A og 2 elever fra klasse B.

Hvor mange slike komiteer er det mulig å sette sammen?

Anne og Jens er elever i R1-gruppen. Anne går i klasse A, og Jens går i klasse B.

Bestem sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen.

Bestem sannsynligheten for at bare én av dem blir med i komiteen.

Fasit

$350 komiteer$

$P = \frac{6}{35} \approx 0,171$

$P = \frac{17}{35} \approx 0,486$

LøsningsforslagKI-generert

Komiteen skal bestå av $3$ elever fra klasse A (som har $7$ elever) og $2$ elever fra klasse B (som har $5$ elever). Vi velger de to gruppene uavhengig av hverandre og bruker multiplikasjonsprinsippet sammen med kombinasjoner:

(\binom{7}{3}) \cdot (\binom{5}{2}) = 35 \cdot 10 = 350

Det er mulig å sette sammen $350$ ulike komiteer.

Vi skal finne sannsynligheten for at både Anne (fra klasse A) og Jens (fra klasse B) blir med i komiteen.

Dersom Anne skal være med, må de resterende $2$ plassene fra klasse A fylles av de $6$ gjenværende elevene i klasse A. Dersom Jens skal være med, må den resterende $1$ plassen fra klasse B fylles av de $4$ gjenværende elevene i klasse B. Antall gunstige komiteer blir da

(\binom{6}{2}) \cdot (\binom{4}{1}) = 15 \cdot 4 = 60

Sannsynligheten for at både Anne og Jens er med, blir dermed forholdet mellom gunstige og mulige komiteer:

P (Anne og Jens) = \frac{(\binom{6}{2}) \cdot (\binom{4}{1})}{350} = \frac{60}{350} = \frac{6}{35} \approx 0,171

Sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen, er $\frac{6}{35} \approx 0,171$ .

Vi skal finne sannsynligheten for at bare én av Anne og Jens er med i komiteen. Dette skjer i to disjunkte tilfeller:

Anne er med, Jens er ikke med: De to resterende A-plassene velges blant de $6$ andre A-elevene, og alle $2$ B-plassene velges blant de $4$ B-elevene som ikke er Jens: $(\binom{6}{2}) \cdot (\binom{4}{2}) = 15 \cdot 6 = 90$ .
Jens er med, Anne er ikke med: Alle $3$ A-plassene velges blant de $6$ andre A-elevene, og den resterende B-plassen velges blant de $4$ andre B-elevene: $(\binom{6}{3}) \cdot (\binom{4}{1}) = 20 \cdot 4 = 80$ .

Siden tilfellene utelukker hverandre, adderer vi dem:

P (bare én) = \frac{(\binom{6}{2}) \cdot (\binom{4}{2}) + (\binom{6}{3}) \cdot (\binom{4}{1})}{350} = \frac{90 + 80}{350} = \frac{170}{350} = \frac{17}{35} \approx 0,486

Sannsynligheten for at bare én av Anne og Jens blir med i komiteen, er $\frac{17}{35} \approx 0,486$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Pascals talltrekant utfylling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du et utsnitt av Pascals talltrekant.


☐	11	☐	☐	330	462
☐	12	66	220	495	792

Skriv av tallene, og fyll inn de fire tallene som mangler.

Fasit

$1, 55, 165, 1$

LøsningsforslagKI-generert

I Pascals talltrekant er hvert tall lik summen av de to tallene som står rett over det (Pascals regel). Vi bruker dette til å finne de manglende tallene ved å arbeide oss bakover fra de kjente tallene i tabellen.

\begin{matrix} □ & 11 & □ & □ & 330 & 462 \\ □ & 12 & 66 & 220 & 495 & 792 \end{matrix}

Det andre manglende tallet i øverste rad (mellom 11 og 330):

Vi ser at $66 = 11 + x$ , siden $66$ i nederste rad er summen av $11$ og tallet rett over/ved siden av i raden over. Det gir $x = 66 - 11 = 55$ .

Det tredje manglende tallet i øverste rad:

Tilsvarende er $220 = 55 + y$ , som gir $y = 220 - 55 = 165$ .

Vi sjekker at dette stemmer med resten av raden: $495 = 165 + 330$ ✓ og $792 = 330 + 462$ ✓.

Det første tallet i hver rad:

Det første tallet i enhver rad i Pascals talltrekant er alltid $1$ , siden det ikke finnes noe tall til venstre for det å legge sammen med. Dette gir at begge de første manglende tallene (ett i hver rad) er $1$ .

Alternativt kan vi kjenne igjen at radene er binomialkoeffisientene $(\binom{11}{k})$ og $(\binom{12}{k})$ : $(\binom{11}{0}) = 1$ , $(\binom{11}{2}) = 55$ , $(\binom{11}{3}) = 165$ og $(\binom{12}{0}) = 1$ .

De fire manglende tallene er, i rekkefølge fra tabellen: $𝟏, 𝟓𝟓, 𝟏𝟔𝟓$ (øverste rad) og $𝟏$ (nederste rad).

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Pascals trekant, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7U-hjelp skolegang og barnehjemsplasser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En organisasjon driver u-hjelp. Familien til Kari gir penger til organisasjonen. Pengene går til skolegang og barnehjemsplasser for barn.

En måned ga familien 700 kroner. Dette finansierte skolegang for to barn i én måned og barnehjemsplass for ett barn i én måned.

En annen måned ga de 1700 kroner. Dette finansierte skolegang for fire barn i én måned og barnehjemsplass for tre barn i én måned.

Klassen til Kari bestemmer seg for å støtte organisasjonen slik at 20 barn får skolegang og 20 barn får barnehjemsplass.

Hvor mye penger må de samle inn hver måned?

Fasit

$10 000 k r$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være prisen (i kroner) for skolegang for ett barn i én måned, og $y$ være prisen (i kroner) for barnehjemsplass for ett barn i én måned.

Den første måneden ga familien $700$ kroner, som finansierte skolegang for $2$ barn og barnehjemsplass for $1$ barn. Dette gir likningen

2 x + y = 700

Den andre måneden ga de $1700$ kroner, som finansierte skolegang for $4$ barn og barnehjemsplass for $3$ barn. Dette gir likningen

4 x + 3 y = 1700

Vi løser likningssystemet med addisjonsmetoden. Vi ganger den første likningen med $3$ :

6 x + 3 y = 2100

Vi trekker fra den andre likningen:

(6 x + 3 y) - (4 x + 3 y) = 2100 - 1700

2 x = 400 \Rightarrow x = 200

Vi setter $x = 200$ inn i den første likningen:

2 \cdot 200 + y = 700 \Rightarrow y = 700 - 400 = 300

Skolegang for ett barn koster altså $200$ kroner per måned, og barnehjemsplass for ett barn koster $300$ kroner per måned.

Klassen skal støtte $20$ barn med skolegang og $20$ barn med barnehjemsplass. Beløpet de må samle inn hver måned blir

20 \cdot 200 + 20 \cdot 300 = 4000 + 6000 = 10 000

Klassen må altså samle inn $10 000$ kroner hver måned.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Tekstoppgave
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Grensekostnad overskudd og inntekt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. De totale kostnadene $K$ (i kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter per dag er gitt ved

K (x) = 0,2 x^{2} + 50 x + 2000, 0 \leq x \leq 400

Bestem $K^{'} (100)$ . Hva forteller denne verdien oss?

Overskuddet $O$ (i kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter per dag er gitt ved

O (x) = - 0,3 x^{2} + 90 x - 2000, 0 \leq x \leq 400

Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Bestem inntekten ved produksjon og salg av 100 enheter per dag.

Tøffere konkurranse gjør at inntektene til bedriften endrer seg. Inntekten $I$ (i kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter per dag vil nå være gitt ved

I (x) = - 0,1 x^{2} + a \cdot x

der $a$ er en konstant.

For en verdi av $a$ får bedriften størst overskudd når de produserer og selger 100 enheter per dag.

Bestem denne verdien til $a$ .

Fasit

$K^{'} (100) = 90$

$x = 150$

$I (100) = 13 000 kr$

$a = 110$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $K (x) = 0,2 x^{2} + 50 x + 2000$ :

K^{'} (x) = 0,4 x + 50

Vi setter inn $x = 100$ :

K^{'} (100) = 0,4 \cdot 100 + 50 = 40 + 50 = 90

$K^{'} (100) = 90$ er grensekostnaden ved produksjon av $100$ enheter. Den forteller oss omtrent hvor mye kostnadene øker (i kroner) dersom produksjonen økes fra $100$ til $101$ enheter per dag.

Overskuddet er $O (x) = - 0,3 x^{2} + 90 x - 2000$ . Vi deriverer for å finne eventuelle topp- eller bunnpunkter:

O^{'} (x) = - 0,6 x + 90

Vi setter $O^{'} (x) = 0$ :

- 0,6 x + 90 = 0 \Rightarrow x = \frac{90}{0,6} = 150

Siden $O (x)$ er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran $x^{2}$ , er dette et toppunkt (maksimum). Vi sjekker fortegnet til $O^{'} (x)$ : for $x < 150$ er $O^{'} (x) > 0$ (voksende), og for $x > 150$ er $O^{'} (x) < 0$ (avtagende), så $x = 150$ gir størst overskudd.

Bedriften får størst overskudd ved å produsere og selge $150$ enheter per dag.

Overskuddet er inntekt minus kostnad, altså $O (x) = I (x) - K (x)$ , som gir $I (x) = O (x) + K (x)$ .

Vi finner $O (100)$ og $K (100)$ :

O (100) = - 0,3 \cdot 100^{2} + 90 \cdot 100 - 2000 = - 3000 + 9000 - 2000 = 4000

K (100) = 0,2 \cdot 100^{2} + 50 \cdot 100 + 2000 = 2000 + 5000 + 2000 = 9000

Da blir inntekten

I (100) = O (100) + K (100) = 4000 + 9000 = 13 000

Inntekten ved produksjon og salg av $100$ enheter per dag er $13 000$ kroner.

Det nye overskuddet er $O_{ny} (x) = I (x) - K (x)$ , der $I (x) = - 0,1 x^{2} + a x$ :

O_{ny} (x) = (- 0,1 x^{2} + a x) - (0,2 x^{2} + 50 x + 2000) = - 0,3 x^{2} + (a - 50) x - 2000

Vi deriverer:

O_{ny}^{'} (x) = - 0,6 x + (a - 50)

Bedriften skal få størst overskudd ved $x = 100$ , så $O_{ny}^{'} (100) = 0$ :

- 0,6 \cdot 100 + (a - 50) = 0

- 60 + a - 50 = 0

a = 110

Verdien til $a$ må være $110$ for at bedriften skal få størst overskudd ved produksjon og salg av $100$ enheter per dag.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Overskudd, Optimering
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Lineær optimering av gavepakker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Før jul bestemmer klassen til Kari seg for å lage gavepakker til barnehjemmet de støtter. De har kjøpt inn 70 esker med fargestifter, 72 sprettballer og 60 hoppestrikker.

De ønsker å lage to typer gavepakker.

Pakke A skal inneholde 3 esker med fargestifter, 2 sprettballer og 2 hoppestrikker.
Pakke B skal inneholde 2 esker med fargestifter, 4 sprettballer og 3 hoppestrikker.

La $x$ være antall gavepakker av type A og $y$ antall gavepakker av type B som de kan lage.

Forklar at de mulige verdiene for $x$ og $y$ må ligge i det fargede området nedenfor.

Fargelagt mulighetsområde med tre stiplede begrensningslinjer

Hva er det maksimale antallet gavepakker de til sammen kan lage av type A og B?

Fasit

Se forklaring

$26 g a v e p a k k e r$

LøsningsforslagKI-generert

Antall gavepakker kan aldri være negativt, så vi må ha $x \geq 0$ og $y \geq 0$ . Det betyr at $(x, y)$ må ligge i første kvadrant.

Videre er det tre ressursbegrensninger, siden det bare er kjøpt inn et bestemt antall av hver ting:

Fargestifter: Pakke A bruker $3$ esker og pakke B bruker $2$ esker. Det er kjøpt inn $70$ esker totalt, så

3 x + 2 y \leq 70

Sprettballer: Pakke A bruker $2$ sprettballer og pakke B bruker $4$ sprettballer. Det er kjøpt inn $72$ sprettballer totalt, så

2 x + 4 y \leq 72

Hoppestrikker: Pakke A bruker $2$ hoppestrikker og pakke B bruker $3$ hoppestrikker. Det er kjøpt inn $60$ hoppestrikker totalt, så

2 x + 3 y \leq 60

Alle punkter $(x, y)$ som oppfyller disse tre ulikhetene samtidig (i tillegg til $x \geq 0$ og $y \geq 0$ ), tilfredsstiller alle ressursbegrensningene samtidig. Dette er akkurat det fargede området i figuren, som er fellesmengden (snittet) av de fem halvplanene. Derfor må alle mulige verdier for $x$ og $y$ ligge i dette området.

Vi skal finne det maksimale antallet gavepakker til sammen, altså maksimere $x + y$ , innenfor det fargede området fra a).

Maksimum av en lineær størrelse over et slikt område (en konveks mangekant) finner vi alltid i et av hjørnene. Vi finner hjørnene ved å se hvilke av grenselinjene som skjærer hverandre der det fargede området har et “knekkpunkt”.

Fra figuren ser vi at et av hjørnene er skjæringspunktet mellom linjene $3 x + 2 y = 70$ (fargestifter) og $2 x + 3 y = 60$ (hoppestrikker). Vi løser likningssystemet:

3 x + 2 y = 70

2 x + 3 y = 60

Vi ganger den første likningen med $3$ og den andre med $2$ :

9 x + 6 y = 210

4 x + 6 y = 120

Vi trekker fra:

5 x = 90 \Rightarrow x = 18

Vi setter $x = 18$ inn i $3 x + 2 y = 70$ :

54 + 2 y = 70 \Rightarrow y = 8

Dette hjørnet er altså $(18, 8)$ , som gir $x + y = 18 + 8 = 26$ .

Vi sjekker de andre hjørnene i det fargede området for å være sikre på at dette er størst:

$(0, 0)$ : $x + y = 0$
Skjæring mellom $x$ -aksen og $3 x + 2 y = 70$ : $x = \frac{70}{3} \approx 23,3$ , $y = 0$ , som gir $x + y \approx 23,3$
$(18, 8)$ : $x + y = 26$
Skjæring mellom $2 x + 3 y = 60$ og $x + 2 y = 36$ (sprettballer): $x = 12$ , $y = 12$ , som gir $x + y = 24$
Skjæring mellom $y$ -aksen og $x + 2 y = 36$ : $x = 0$ , $y = 18$ , som gir $x + y = 18$

Størst sum finner vi i hjørnet $(18, 8)$ , og siden $x = 18$ og $y = 8$ begge er hele tall, er dette også en gyldig løsning i praksis (man kan ikke lage en brøkdel av en gavepakke).

De kan altså lage maksimalt $𝟐𝟔$ gavepakker til sammen, med $18$ pakker av type A og $8$ pakker av type B.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 2-1Regresjon for folketallet i Oslo

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser folketallet i Oslo 1. januar i perioden $2012$ – $2017$ .

År	2012	2013	2014	2015	2016	2017
Folketallet i tusen	613,3	624,0	634,4	647,7	658,4	666,8

Krever PC

Bruk regresjon til å bestemme en god modell $g$ for folketallet i Oslo etter 1. januar 2012. La $x$ være antall år etter 1. januar 2012.

En modell $f$ for folketallet (i tusen) i Oslo $x$ år etter 1. januar 2018 er gitt ved

f (x) = 678 \cdot {1,015}^{x}

Krever PC

Bruk en graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Kalkulator

Hvor mange år går det før folketallet i Oslo passerer 1 million, ifølge modellen $f$ ?

januar 2018 var folketallet i Stockholm 961 609. Vi tenker oss at byen får en prosentvis vekst i folketallet på $p$ prosent per år fra og med 2018.

I Oslo tenker vi oss at folketallet følger modellen $f$ ovenfor.

Kalkulator

Hva må $p$ være dersom Oslo skal ha samme folketall som Stockholm i januar 2050?

Fasit

$g (x) \approx 613,6 \cdot {1,0173}^{x}$

Se graf i løsningsforslaget.

$x \approx 26,1 år \Rightarrow i løpet av 2044$

$p \approx 0,40 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall år etter 1. januar 2012, og $y$ være folketallet i Oslo i tusen. Siden folketallsvekst normalt skjer med en fast prosentvis vekstrate, er en eksponentiell modell naturlig å velge fremfor en lineær modell.

Vi taster inn punktene $(0, 613,3), (1, 624,0), (2, 634,4), (3, 647,7), (4, 658,4), (5, 666,8)$ i graftegneren og utfører eksponentiell regresjon:

g (x) \approx 613,6 \cdot {1,0173}^{x}

Regresjonskurve g(x) sammen med datapunktene

Vi ser at kurven passer godt til datapunktene. (Til sammenlikning gir lineær regresjon $g (x) \approx 10,97 x + 613,3$ , som også passer bra i dette korte intervallet — men den eksponentielle modellen er mer realistisk over lengre tid, siden en lineær modell ikke tar hensyn til at veksten typisk er prosentvis.)

Vi tegner grafen til $f (x) = 678 \cdot {1,015}^{x}$ i graftegneren, der $x$ er antall år etter 1. januar 2018.

Grafen til f(x), med horisontal linje y=1000 og skjæringspunktet fra oppgave c

Vi må finne $x$ slik at $f (x) = 1000$ . Fra grafen (skjæringspunktet mellom $f$ og linjen $y = 1000$ i figuren over) leser vi av

x \approx 26,1

Siden $x = 26$ tilsvarer 1. januar 2044 og $x \approx 26,1$ ligger like etter dette tidspunktet, passerer folketallet i Oslo $1$ million i løpet av det $27.$ året etter 2018, altså i løpet av 2044.

$Folketallet passerer 1 million i løpet av 2044$

januar 2018 hadde Stockholm $961 609$ innbyggere. Med en årlig prosentvis vekst på $p %$ er folketallet i Stockholm $x$ år senere gitt ved

S (x) = 961,609 \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{x} (i tusen)

Januar 2050 tilsvarer $x = 32$ . Ifølge modellen $f$ er folketallet i Oslo da

f (32) = 678 \cdot {1,015}^{32} \approx 1091,8

Vi setter $S (32) = f (32)$ og løser med CAS:

961,609 \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{32} = 1091,8

CAS-utregning: f(32) og løsning av likningen for p

CAS gir to løsninger, $p \approx - 200,4$ og $p \approx 0,40$ . Siden folketallet vokser, forkaster vi den negative løsningen.

$p \approx 0,40 %$

Stockholm må altså ha en årlig vekst i folketallet på omtrent $0,40 %$ for å ha samme folketall som Oslo i januar 2050.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Elbiler og bensinbiler med CAS

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bilforhandler selger elbiler og bensinbiler. I $2017$ solgte han til sammen $60$ biler. Året etter økte salget av elbiler med 40 prosent, mens salget av bensinbiler falt med 15 prosent. Han solgte til sammen 62 biler i 2018.

Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å finne antall elbiler og bensinbiler som forhandleren solgte i 2018.

Fasit

I 2018 solgte forhandleren $28 elbiler og 34 b e n s i n b i l e r$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall elbiler og $y$ være antall bensinbiler solgt i 2017.

I 2017 ble det solgt $60$ biler til sammen:

x + y = 60

Salget av elbiler økte med $40 %$ fra 2017 til 2018, altså ble det solgt $1,40 x$ elbiler i 2018. Salget av bensinbiler falt med $15 %$ , altså ble det solgt $0,85 y$ bensinbiler i 2018. Til sammen ble det solgt $62$ biler i 2018:

1,40 x + 0,85 y = 62

Dette gir likningssystemet

{\begin{matrix} x + y = 60 \\ 1,40 x + 0,85 y = 62 \end{matrix}

Vi løser systemet med CAS i GeoGebra.

Løsning av likningssystemet i CAS

Fra utklippet ser vi at $x = 20$ og $y = 40$ . Det betyr at forhandleren solgte $20$ elbiler og $40$ bensinbiler i 2017.

Antall solgte biler i 2018 finner vi ved å sette inn i uttrykkene over, se ElbilerI2018 og BensinbilerI2018 i utklippet:

1,40 \cdot 20 = 28 elbiler 0,85 \cdot 40 = 34 bensinbiler

Forhandleren solgte altså $28 elbiler og 34 b e n s i n b i l e r$ i 2018.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, CAS, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Skiskyting og binomisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I skiskyting skytes det på blink fra stående og liggende stilling. Jonas er skiskytter.

Sannsynligheten for at han treffer blink på et skudd fra stående stilling, er 84 prosent.
Sannsynligheten for at han treffer blink på et skudd fra liggende stilling, er 90 prosent.

Vi antar i denne oppgaven at sannsynligheten for at han treffer blink på et skudd, ikke påvirker sannsynligheten for at han treffer blink på det neste skuddet.

I en konkurranse skal han først skyte 10 skudd fra liggende stilling og deretter 10 skudd fra stående stilling.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at han treffer blink på minst 8 av de 10 skuddene fra liggende stilling.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at Jonas treffer blink på nøyaktig 9 skudd fra liggende stilling og nøyaktig 8 skudd fra stående stilling.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at han treffer blink på minst $19$ av de $20$ skuddene.

Fasit

$P (L \geq 8) \approx 0,9298$

$P (L = 9) \cdot P (S = 8) \approx 0,1106$

$P (minst 19 av 20) \approx 0,2449$

LøsningsforslagKI-generert

La $L$ være antall treff av $10$ skudd fra liggende stilling, og $S$ være antall treff av $10$ skudd fra stående stilling. Siden hvert skudd er uavhengig av de andre og treffsannsynligheten er den samme for alle skudd i samme stilling, er $L$ binomisk fordelt med $n = 10$ og $p = 0,90$ , og $S$ er binomisk fordelt med $n = 10$ og $p = 0,84$ . $L$ og $S$ er uavhengige av hverandre.

Vi skal finne $P (L \geq 8) = P (L = 8) + P (L = 9) + P (L = 10))$ , der

P (L = k) = (\binom{10}{k}) \cdot {0,90}^{k} \cdot {0,10}^{10 - k}

Vi setter opp uttrykket i GeoGebra CAS og summerer for $k = 8, 9, 10$ , se PLminst8 i utklippet under.

Skiskyting og binomisk fordeling CAS

P (L \geq 8) \approx 0,9298

Vi skal finne sannsynligheten for at $L = 9$ og $S = 8$ . Siden $L$ og $S$ er uavhengige, er

P (L = 9 \cap S = 8) = P (L = 9) \cdot P (S = 8)

der

P (L = 9) = (\binom{10}{9}) \cdot {0,90}^{9} \cdot {0,10}^{1} P (S = 8) = (\binom{10}{8}) \cdot {0,84}^{8} \cdot {0,16}^{2}

Se PL9ogS8 i utklippet over.

P (L = 9) \cdot P (S = 8) \approx 0,3874 \cdot 0,2856 \approx 0,1106

Vi skal finne sannsynligheten for minst $19$ treff av totalt $20$ skudd ( $10$ liggende og $10$ stående). Dette skjer på tre disjunkte måter:

$L = 10$ og $S = 10$ (alle $20$ treff)
$L = 10$ og $S = 9$ (bommer ett stående skudd)
$L = 9$ og $S = 10$ (bommer ett liggende skudd)

Siden $L$ og $S$ er uavhengige, blir sannsynligheten for hver kombinasjon produktet av enkeltsannsynlighetene, og siden hendelsene er disjunkte kan vi summere dem:

P (minst 19 av 20) = P (L = 10) \cdot P (S = 10) + P (L = 10) \cdot P (S = 9) + P (L = 9) \cdot P (S = 10)

Se PLminst19av20 i utklippet over.

P (minst 19 av 20) \approx 0,2449

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Tredjegradsfunksjon med parallelle tangenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 3 x

Krever PC

Bruk en graftegner til å tegne grafen til $f$ .

I to punkter $A$ og $B$ på grafen til $f$ er tangenten parallell med $x$ -aksen.

Kalkulator

Bestem koordinatene til $A$ og $B$ .

Grafen til $f$ har to tangenter som er parallelle med linja gitt ved

y = 9 x + 4

Kalkulator

Bestem likningen for hver av de to tangentene.

Funksjonen $g$ er gitt ved

g (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + b^{2} \cdot x

der $a$ og $b$ er konstanter og $a \neq 0$ og $b \neq 0$ .

For hånd

Bestem $a$ slik at grafen til $g$ bare har én tangent som er parallell med $x$ -aksen.

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$A (- 1, 2) og B (1, - 2)$

$y = 9 x - 16 og y = 9 x + 16$

$a = \frac{1}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $f (x) = x^{3} - 3 x$ i en graftegner.

Graf til f med punktene A, B og de to tangentene fra c

I punkter med vannrett tangent er $f^{'} (x) = 0$ . Vi deriverer:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3

Vi løser likningen:

3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1

Vi finner $y$ -verdiene ved å sette $x = - 1$ og $x = 1$ inn i $f$ :

f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 3 \cdot (- 1) = - 1 + 3 = 2

f (1) = 1^{3} - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = - 2

Dette gir punktene

A (- 1, 2) og B (1, - 2)

Linja $y = 9 x + 4$ har stigningstall $9$ . Tangenter parallelle med denne linja må også ha stigningstall $9$ , altså løser vi

f^{'} (x) = 9

3 x^{2} - 3 = 9

3 x^{2} = 12

x^{2} = 4

x = \pm 2

Vi finner funksjonsverdiene:

f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2 = 8 - 6 = 2

f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 3 \cdot (- 2) = - 8 + 6 = - 2

Tangenten i $(2, 2)$ med stigningstall $9$ :

y - 2 = 9 (x - 2) \Rightarrow y = 9 x - 16

Tangenten i $(- 2, - 2)$ med stigningstall $9$ :

y - (- 2) = 9 (x - (- 2)) \Rightarrow y = 9 x + 16

y = 9 x - 16 og y = 9 x + 16

Begge tangentene er tegnet inn i figuren i a).

Grafen til $g$ har vannrett tangent der $g^{'} (x) = 0$ . Vi deriverer:

g^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + b^{2}

Dette er en andregradslikning i $x$ (siden $a \neq 0$ ), så antall løsninger avgjøres av diskriminanten

D = {(2 b)}^{2} - 4 \cdot 3 a \cdot b^{2} = 4 b^{2} - 12 a b^{2}

Grafen til $g$ skal ha nøyaktig én tangent parallell med $x$ -aksen, altså skal $g^{'} (x) = 0$ ha nøyaktig én løsning. Det krever $D = 0$ :

4 b^{2} - 12 a b^{2} = 0

b^{2} (4 - 12 a) = 0

Siden $b \neq 0$ er $b^{2} \neq 0$ , så vi må ha

4 - 12 a = 0

a = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

a = \frac{1}{3}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Derivasjon, Tangent, Tredjegradsfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Andregradslikning og logaritmelikning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Andregradsulikhet uten hjelpemidler

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Likningssystem med andregrad

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Forenkling av algebraiske uttrykk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Komité fra to klasser kombinatorikk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Pascals talltrekant utfylling

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7U-hjelp skolegang og barnehjemsplasser

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Grensekostnad overskudd og inntekt

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-9Lineær optimering av gavepakker

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1Regresjon for folketallet i Oslo

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Elbiler og bensinbiler med CAS

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Skiskyting og binomisk fordeling

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Tredjegradsfunksjon med parallelle tangenter

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Andregradslikning og logaritmelikning

Oppgave 1-2·Andregradsulikhet uten hjelpemidler

Oppgave 1-3·Likningssystem med andregrad

Oppgave 1-4·Forenkling av algebraiske uttrykk

Oppgave 1-5·Komité fra to klasser kombinatorikk

Oppgave 1-6·Pascals talltrekant utfylling

Oppgave 1-7·U-hjelp skolegang og barnehjemsplasser

Oppgave 1-8·Grensekostnad overskudd og inntekt

Oppgave 1-9·Lineær optimering av gavepakker

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Regresjon for folketallet i Oslo

Oppgave 2-2·Elbiler og bensinbiler med CAS

Oppgave 2-3·Skiskyting og binomisk fordeling

Oppgave 2-4·Tredjegradsfunksjon med parallelle tangenter

Temaer

Oppgave 1-1Andregradslikning og logaritmelikning

Oppgave 1-2Andregradsulikhet uten hjelpemidler

Oppgave 1-3Likningssystem med andregrad

Oppgave 1-4Forenkling av algebraiske uttrykk

Oppgave 1-5Komité fra to klasser kombinatorikk

Oppgave 1-6Pascals talltrekant utfylling

Oppgave 1-7U-hjelp skolegang og barnehjemsplasser

Oppgave 1-8Grensekostnad overskudd og inntekt

Oppgave 1-9Lineær optimering av gavepakker

Oppgave 2-1Regresjon for folketallet i Oslo

Oppgave 2-2Elbiler og bensinbiler med CAS

Oppgave 2-3Skiskyting og binomisk fordeling

Oppgave 2-4Tredjegradsfunksjon med parallelle tangenter