S1 Vår 2017

Oppgave 1-1Løs tre likninger med logaritme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

x^{2} - 5 x = 0

3 \cdot 10^{x} = 3000

4 \lg (x + 15) = 8

Fasit

$x = 0 eller x = 5$

$x = 3$

$x = 85$

LøsningsforslagKI-generert

Vi faktoriserer venstre side ved å sette $x$ utenfor parentes.

x^{2} - 5 x = 0

x (x - 5) = 0

Et produkt er null når minst én av faktorene er null.

x = 0 eller x - 5 = 0

x = 0 eller x = 5

Vi deler først begge sider med $3$ .

3 \cdot 10^{x} = 3000

10^{x} = 1000

Siden $1000 = 10^{3}$ , må eksponenten være $3$ .

x = 3

Vi deler begge sider med $4$ .

4 \lg (x + 15) = 8

\lg (x + 15) = 2

Definisjonen av $10$ -logaritmen gir at $x + 15 = 10^{2}$ .

x + 15 = 100

x = 85

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Likninger, Logaritmer, Eksponentiallikning
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Forenkle tre algebraiske uttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{a + 1}{a b}

\frac{4 a^{6} b^{- 2} a^{4}}{{(2 a b^{- 1})}^{2}}

\lg 3 a - \lg a^{3} + 2 \lg a

Fasit

$\frac{b + 1}{a b}$

$a^{8}$

$\lg 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter alle leddene på fellesnevner $a b$ .

\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{a + 1}{a b}

= \frac{b}{a b} - \frac{a}{a b} + \frac{a + 1}{a b}

Vi slår sammen brøkene og forenkler telleren.

= \frac{b - a + (a + 1)}{a b} = \frac{b + 1}{a b}

\frac{b + 1}{a b}

Vi forenkler først teller og nevner hver for seg.

\frac{4 a^{6} b^{- 2} a^{4}}{{(2 a b^{- 1})}^{2}}

I telleren slår vi sammen potensene av $a$ : $a^{6} \cdot a^{4} = a^{10}$ .

= \frac{4 a^{10} b^{- 2}}{4 a^{2} b^{- 2}}

Vi forkorter $4$ , $b^{- 2}$ og $a^{2}$ .

= a^{10 - 2} = a^{8}

a^{8}

Vi bruker logaritmereglene $\lg (A) - \lg (B) = \lg (\frac{A}{B})$ og $2 \lg a = \lg (a^{2})$ .

\lg 3 a - \lg a^{3} + 2 \lg a

= \lg 3 a - \lg a^{3} + \lg a^{2}

= \lg (\frac{3 a \cdot a^{2}}{a^{3}}) = \lg (\frac{3 a^{3}}{a^{3}})

= \lg 3

\lg 3

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Algebra, Potenser, Logaritmer
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Kinobilletter for to familier

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To familier skal på kino. Familien Hansen kjøper tre barnebilletter og to voksenbilletter. De betaler 290 kroner for billettene. Familien Sørensen kjøper fem barnebilletter og tre voksenbilletter. De betaler 460 kroner.

Sett opp to likninger som kan brukes til å bestemme prisen på én barnebillett og én voksenbillett.

Hvor mye koster én barnebillett, og hvor mye koster én voksenbillett?

Fasit

$3 b + 2 v = 290$ og $5 b + 3 v = 460$

$b = 50 kr$ , $v = 70 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $b$ være prisen på én barnebillett og $v$ være prisen på én voksenbillett, begge i kroner.

Familien Hansen kjøper $3$ barnebilletter og $2$ voksenbilletter for $290$ kroner:

3 b + 2 v = 290

Familien Sørensen kjøper $5$ barnebilletter og $3$ voksenbilletter for $460$ kroner:

5 b + 3 v = 460

3 b + 2 v = 290 og 5 b + 3 v = 460

Vi løser likningssystemet med addisjonsmetoden. Vi ganger den første likningen med $3$ og den andre med $2$ , slik at $v$ -leddene får samme koeffisient.

3 b + 2 v = 290 | \cdot 3 \Rightarrow 9 b + 6 v = 870

5 b + 3 v = 460 | \cdot 2 \Rightarrow 10 b + 6 v = 920

Vi trekker den første nye likningen fra den andre for å eliminere $v$ .

10 b + 6 v - (9 b + 6 v) = 920 - 870

b = 50

Vi setter $b = 50$ inn i den første likningen for å finne $v$ .

3 \cdot 50 + 2 v = 290

150 + 2 v = 290

2 v = 140

v = 70

En barnebillett koster $50$ kroner, og en voksenbillett koster $70$ kroner.

b = 50 kr, v = 70 kr

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Løs andregradsulikhet S1 V17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ulikheten

x^{2} - 2 x \geq 3

Fasit

$x \leq - 1 eller x \geq 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi flytter alt over på venstre side slik at ulikheten har $0$ på høyre side.

x^{2} - 2 x \geq 3

x^{2} - 2 x - 3 \geq 0

Vi finner nullpunktene til $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ved å faktorisere. Vi leter etter to tall som ganget gir $- 3$ og summert gir $- 2$ : tallene er $- 3$ og $1$ .

x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)

Nullpunktene er dermed $x = 3$ og $x = - 1$ .

Grafen til $f (x)$ er en oppadåpnet parabel (positiv koeffisient foran $x^{2}$ ), så $f (x) \geq 0$ utenfor nullpunktene og $f (x) < 0$ mellom dem.

x \leq - 1 eller x \geq 3

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Ulikheter, Andregradsulikhet
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Pascals trekant og hypergeometrisk trekning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv opp de sju første radene i Pascals trekant.

Bestem $(\binom{6}{3})$ og $(\binom{4}{2})$ .

I elevrådet er det fire jenter og to gutter. Blant disse skal det trekkes ut tilfeldig tre personer som skal representere skolen.

Bestem sannsynligheten for at det blir to jenter og én gutt som skal representere skolen.

Du kan få bruk for denne formelen:

Hypergeometrisk fordeling:

P (X = k) = \frac{(\binom{m}{k}) \cdot (\binom{n - m}{r - k})}{(\binom{n}{r})}

$m$ elementer i $D$ . $n - m$ elementer i $\overline{D}$ . $r$ elementer trekkes tilfeldig. $X$ er antall elementer som trekkes fra $D$ .

Fasit

Se Pascals trekant i løsningsforslaget

$(\binom{6}{3}) = 20$ , $(\binom{4}{2}) = 6$

$P = 0,6$

LøsningsforslagKI-generert

Hver rad i Pascals trekant starter og slutter på $1$ , og hvert tall inni raden er summen av de to tallene rett over. De sju første radene (rad $0$ til rad $6$ ) er:

\begin{matrix} 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\ 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 \end{matrix}

Tallene i Pascals trekant er nettopp binomialkoeffisientene. Fra rad $6$ leser vi av at det fjerde tallet (som tilsvarer $(\binom{6}{3})$ ) er $20$ , og fra rad $4$ leser vi av at det tredje tallet (som tilsvarer $(\binom{4}{2})$ ) er $6$ .

(\binom{6}{3}) = 20 (\binom{4}{2}) = 6

I elevrådet er det totalt $n = 6$ personer, hvorav $m = 4$ jenter og $2$ gutter. Vi trekker $r = 3$ personer, og vi vil finne sannsynligheten for at $k = 2$ av de trukne er jenter (og dermed $1$ er gutt).

Vi bruker formelen for hypergeometrisk fordeling.

P (X = 2) = \frac{(\binom{4}{2}) \cdot (\binom{2}{1})}{(\binom{6}{3})}

Vi setter inn $(\binom{4}{2}) = 6$ , $(\binom{2}{1}) = 2$ og $(\binom{6}{3}) = 20$ .

P (X = 2) = \frac{6 \cdot 2}{20} = \frac{12}{20} = 0,6

Sannsynligheten for at det blir to jenter og én gutt som representerer skolen, er $60 %$ .

P = 0,6

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Pascals trekant, Kombinatorikk, Hypergeometrisk fordeling, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Lineær optimering med tre ulikheter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et område i planet er avgrenset av de tre ulikhetene

\begin{matrix} 2 y + x & \geq 1 \\ y - x & \geq - 4 \\ y & \leq 0 \end{matrix}

Skraver området i et koordinatsystem.

Bestem den minste verdien størrelsen $2 y - x$ kan ha dersom $(x, y)$ skal ligge i det skraverte området.

Fasit

Se figur i løsningsforslaget.

$- 5$ (i punktet $(3, - 1)$ )

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner grenselinjene til de tre ulikhetene:

2 y + x = 1 y - x = - 4 y = 0

Det skraverte området er der alle tre ulikhetene er oppfylt samtidig. Vi finner hjørnene i området ved å sette grenselinjene parvis lik hverandre.

Linje 1 og linje 3 ( $y = 0$ ): $2 (0) + x = 1 \Rightarrow x = 1$ , altså $A = (1, 0)$ .

Linje 2 og linje 3 ( $y = 0$ ): $0 - x = - 4 \Rightarrow x = 4$ , altså $B = (4, 0)$ .

Linje 1 og linje 2: $2 y + x = 1$ og $y = x - 4$ gir $2 (x - 4) + x = 1 \Rightarrow 3 x = 9 \Rightarrow x = 3$ , $y = - 1$ , altså $C = (3, - 1)$ .

Det skraverte området er trekanten med hjørner $A (1,0)$ , $B (4,0)$ og $C (3, - 1)$ :

Skravert område avgrenset av de tre ulikhetene

Størrelsen $2 y - x$ er en lineær funksjon av $(x, y)$ . På et område avgrenset av rette linjer (en polygon) vil en lineær størrelse alltid ha sin minste (og største) verdi i et av hjørnene. Vi regner ut $2 y - x$ i alle tre hjørnene:

\begin{matrix} A (1,0) & : 2 \cdot 0 - 1 = - 1 \\ B (4,0) & : 2 \cdot 0 - 4 = - 4 \\ C (3, - 1) & : 2 \cdot (- 1) - 3 = - 5 \end{matrix}

Den minste verdien er $- 5$ , og den oppnås i punktet $(3, - 1)$ .

$Minste verdi av 2 y - x er - 5$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Andregradsfunksjon med tangent fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til andregradsfunksjonen f med tangenten t i punktet (2, f(2))

Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon $f$ sammen med tangenten $t$ til grafen i punktet $(2, f (2))$ .

Bestem $f (0)$ og $f (4)$ .

Bestem likningen til tangenten $t$ .

Bestem $f^{'} (1)$ og $f^{'} (2)$ .

Bestem funksjonsuttrykket til $f$ .

Fasit

$f (0) = 4, f (4) = 0$

$t : y = - x + 6$

$f^{'} (1) = 0, f^{'} (2) = - 1$

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + 4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser rett av grafen til $f$ (den blå kurven). Kurven skjærer $y$ -aksen i $y = 4$ , og den skjærer $x$ -aksen ved $x = 4$ :

f (0) = 4 f (4) = 0

Tangenten $t$ (den røde linja) er rett linje, og vi leser av to punkter den går gjennom: $(0, 6)$ og $(6, 0)$ .

Stigningstallet blir

a_{t} = \frac{0 - 6}{6 - 0} = - 1

Konstantleddet er $y$ -verdien der linja skjærer $y$ -aksen, altså $6$ . Likningen til tangenten er dermed

t : y = - x + 6

Toppunktet til parabelen $f$ ligger ved $x = 1$ (avlest av grafen). I et toppunkt er tangenten horisontal, så

f^{'} (1) = 0

Tangenten $t$ er tangent til $f$ i punktet $(2, f (2))$ , så stigningstallet til $f$ i $x = 2$ er lik stigningstallet til $t$ :

f^{'} (2) = a_{t} = - 1

Siden $f$ er en andregradsfunksjon, kan vi skrive $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , med $f^{'} (x) = 2 a x + b$ .

Fra a) vet vi $f (0) = c = 4$ .

Fra c) vet vi

\begin{matrix} f^{'} (1) & = 2 a + b = 0 \\ f^{'} (2) & = 4 a + b = - 1 \end{matrix}

Vi trekker den første likningen fra den andre:

(4 a + b) - (2 a + b) = - 1 - 0 \Rightarrow 2 a = - 1 \Rightarrow a = - \frac{1}{2}

Innsatt i $2 a + b = 0$ :

2 \cdot (- \frac{1}{2}) + b = 0 \Rightarrow b = 1

Funksjonsuttrykket blir dermed

f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + 4

Vi kontrollerer mot a): $f (4) = - \frac{1}{2} \cdot 16 + 4 + 4 = - 8 + 4 + 4 = 0$ , som stemmer.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Andregradsfunksjon, Derivasjon, Tangent, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Tre ulikheter fra skravert område

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et område er skravert i koordinatsystemet.

Et skravert trekantet område i et koordinatsystem

Bestem tre ulikheter som til sammen avgrenser dette området.

Fasit

$y \leq x + 3, x + 2 y \geq 5, x \leq 4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner likningene til de tre linjene som avgrenser det skraverte området, og hvilken vei ulikhetstegnet skal peke ved å sjekke et punkt inni området.

Den øvre linja går gjennom punktene $(0,3)$ og $(4,7)$ . Stigningstallet er

a = \frac{7 - 3}{4 - 0} = 1

Linja skjærer $y$ -aksen i $3$ , så likningen er $y = x + 3$ . Det skraverte området ligger under denne linja, så ulikheten blir

y \leq x + 3

Den nedre linja går gjennom punktene $(1,2)$ og $(4, 0,5)$ (avlest av grafen). Stigningstallet er

a = \frac{0,5 - 2}{4 - 1} = \frac{- 1,5}{3} = - \frac{1}{2}

Vi bruker punktet $(1,2)$ til å finne konstantleddet:

y = - \frac{1}{2} x + b \Rightarrow 2 = - \frac{1}{2} \cdot 1 + b \Rightarrow b = \frac{5}{2}

Linja er dermed $y = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$ , som vi kan skrive om ved å gange med $2$ :

2 y = - x + 5 \Rightarrow x + 2 y = 5

Det skraverte området ligger over denne linja, så ulikheten blir

x + 2 y \geq 5

Den høyre linja er den vertikale linja $x = 4$ . Det skraverte området ligger til venstre for denne linja, så ulikheten blir

x \leq 4

Kontroll: Punktet $(2,3)$ ligger tydelig inni det skraverte området. Vi sjekker: $3 \leq 2 + 3 = 5$ ✓, $2 + 2 \cdot 3 = 8 \geq 5$ ✓, $2 \leq 4$ ✓.

De tre ulikhetene som til sammen avgrenser området er

y \leq x + 3 x + 2 y \geq 5 x \leq 4

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Ulikheter, Lineære funksjoner, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Rasjonal funksjon fra asymptoter og graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser grafen til en rasjonal funksjon $f$ . Grafen har asymptotene $x = 1$ og $y = 3$ .

Grafen til en rasjonal funksjon med asymptotene x=1 og y=3

Funksjonsuttrykket til $f$ kan skrives på formen

f (x) = \frac{a x + b}{c x - 1}

Bestem $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

$a = 3, b = - 6, c = 1$

LøsningsforslagKI-generert

Den vertikale asymptoten til $f$ finner vi der nevneren er null:

c x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{c}

Vi vet at den vertikale asymptoten er $x = 1$ , så

\frac{1}{c} = 1 \Rightarrow c = 1

Den horisontale asymptoten finner vi ved å se hva $f (x)$ nærmer seg når $x$ blir stor. Da dominerer leddene med høyest grad i teller og nevner, så

f (x) = \frac{a x + b}{c x - 1} \to \frac{a}{c} når x \to \pm \infty

Vi vet at den horisontale asymptoten er $y = 3$ , så

\frac{a}{c} = 3 \Rightarrow a = 3 c = 3

Funksjonen er dermed på formen $f (x) = \frac{3 x + b}{x - 1}$ . For å finne $b$ leser vi av ett punkt på grafen. Grafen viser at kurven skjærer $y$ -aksen i $y = 6$ , altså $f (0) = 6$ :

f (0) = \frac{3 \cdot 0 + b}{0 - 1} = - b = 6 \Rightarrow b = - 6

Kontroll: Med $a = 3$ , $b = - 6$ , $c = 1$ blir $f (x) = \frac{3 x - 6}{x - 1} = \frac{3 (x - 2)}{x - 1}$ . Da er $f (2) = 0$ , som stemmer med at grafen krysser $x$ -aksen ved $x = 2$ .

a = 3, b = - 6, c = 1

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 2-1CO2-konsentrasjon og regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi antar at konsentrasjonen av CO $_{2}$ i lufta var 280 ppm (parts per million) i året 1800. Siden den gang har konsentrasjonen økt. Tabellen nedenfor viser utviklingen av CO $_{2}$ -konsentrasjonen for noen utvalgte år mellom 1870 og 2000.

År	1870	1890	1930	1950	1970	2000
CO $_{2}$ -konsentrasjon (ppm)	285	287	295	305	325	365
Hvor mye CO $_{2}$ -konsentrasjonen har økt siden 1800 (i ppm)	5	7	15	25	45	85

La $x$ være antall år etter 1870.

Krever PC

Bruk regresjon til å bestemme en funksjon som tilnærmet beskriver hvordan CO $_{2}$ -konsentrasjonen har økt siden 1870.

En modell for konsentrasjonen av CO $_{2}$ i lufta $x$ år etter 1870 er gitt ved

K (x) = 280 + 5,0 \cdot {1,022}^{x}

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $K$ .

Kalkulator

Bestem konsentrasjonen av CO $_{2}$ i 2050 dersom utviklingen følger modellen $K$ .

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme når CO $_{2}$ -konsentrasjonen blir 425 ppm, dersom utviklingen følger modellen $K$ .

Kalkulator

Bestem den momentane vekstfarten til $K$ for $x = 120$ . Hva forteller dette svaret oss?

Fasit

$g (x) \approx 4,55 \cdot {1,0224}^{x}$

Se graf i løsningsforslaget.

$K (180) \approx 531 ppm$

$x \approx 154,7 år etter 1870, altså i løpet av år 2024$

$K^{'} (120) \approx 1,48 ppm/år$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall år etter 1870, og $y$ være hvor mye CO $_{2}$ -konsentrasjonen har økt siden 1800 (i ppm). Fra tabellen har vi datapunktene

(0,5), (20,7), (60,15), (80,25), (100,45), (130,85)

Punktene ligger tilnærmet på en eksponentiell kurve, siden $y$ -verdiene vokser stadig raskere. Vi bruker eksponentiell regresjon på graftegneren og får

g (x) \approx 4,55 \cdot {1,0224}^{x}

Datapunkter og regresjonskurven g(x)

Siden CO $_{2}$ -konsentrasjonen var $280 ppm$ i 1800, blir en modell for selve konsentrasjonen

K (x) = 280 + 4,55 \cdot {1,0224}^{x}

Videre i oppgaven bruker vi den forenklede modellen som er oppgitt i oppgaveteksten,

K (x) = 280 + 5,0 \cdot {1,022}^{x}

Vi tegner grafen til $K$ med graftegner. Grafen viser en jevnt stigende, eksponentiell utvikling i CO $_{2}$ -konsentrasjonen.

Grafen til K(x), med punktet for x = 180 (år 2050) markert

Året 2050 tilsvarer $x = 2050 - 1870 = 180$ . Vi setter $x = 180$ inn i $K$ , eller leser av punktet på grafen (se P2050 i utklippet over):

K (180) \approx 531 ppm

Dersom utviklingen følger modellen $K$ , vil CO $_{2}$ -konsentrasjonen i 2050 være om lag $531 ppm$ .

Vi skal finne $x$ slik at $K (x) = 425$ :

280 + 5 \cdot {1,022}^{x} = 425 \Rightarrow 5 \cdot {1,022}^{x} = 145

Vi løser likningen med CAS:

CAS-løsning av 5·1,022^x = 145

x \approx 154,7

Siden $x$ er antall år etter 1870, tilsvarer dette året $1870 + 154,7 \approx 2024,7$ .

Dersom utviklingen følger modellen $K$ , når CO $_{2}$ -konsentrasjonen $425 ppm$ i løpet av $2024$ .

Den momentane vekstfarten til $K$ for $x = 120$ er den deriverte $K^{'} (120)$ . Vi bruker CAS til å finne uttrykket for den deriverte:

CAS: K(x) og den deriverte K'(x)

Fra utklippet er $K^{'} (x) = 0,10881 \cdot e^{0,02176 x}$ . Setter vi inn $x = 120$ :

K^{'} (120) \approx 1,48

Siden $x = 120$ svarer til året $1870 + 120 = 1990$ , forteller dette svaret oss at i 1990 økte CO $_{2}$ -konsentrasjonen med om lag $1,5 ppm$ per år, ifølge modellen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering, Momentan vekstfart
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Grønt lys i ti lyskryss binomisk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Simon passerer 10 lyskryss på vei til skolen. Lyskryssene virker uavhengig av hverandre. Det er grønt lys i 24 s hvert minutt i hvert av lyskryssene.

For hånd

Begrunn at vi kan se på dette som et binomisk forsøk med $p = 0,40$ .

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at Simon får grønt lys i nøyaktig fem kryss.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at Simon får grønt lys oftere enn rødt lys.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at han får grønt lys i tre kryss etter hverandre og rødt lys i alle de andre kryssene.

Fasit

Binomisk forsøk med $p = 0,40$ og $n = 10$

$P (X = 5) \approx 0,2007$

$P (X \geq 6) \approx 0,1662$

$P \approx 0,0143$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på de 10 lyskryssene som 10 forsøk. I hvert lyskryss er det bare to mulige utfall for Simon når han kommer til krysset: han får $grønt lys$ eller $rødt lys$ .

Siden lyssignalene virker uavhengig av hverandre, er sannsynligheten for grønt lys den samme i hvert kryss, og resultatet i ett kryss påvirker ikke resultatet i de andre. Det er grønt lys i $24$ av $60$ sekunder i hvert kryss, så sannsynligheten for grønt lys i et kryss er

p = \frac{24}{60} = 0,40

Vi har dermed $n = 10$ uavhengige forsøk, med to mulige utfall og samme sannsynlighet $p = 0,40$ for «suksess» (grønt lys) i hvert forsøk. Dette er nettopp definisjonen av et binomisk forsøk.

La $X$ være antall lyskryss av de 10 der Simon får grønt lys. Da er $X$ binomisk fordelt med $n = 10$ og $p = 0,40$ .

Vi skal finne $P (X = 5)$ :

P (X = 5) = (\binom{10}{5}) \cdot {0,40}^{5} \cdot {0,60}^{5}

Beregning i GeoGebra CAS

Fra utklippet (linje 1) ser vi at $P_{5} \approx 0,20066$ .

P (X = 5) \approx 0,2007

Simon får grønt lys oftere enn rødt lys når han får grønt lys i minst $6$ av de $10$ kryssene, altså $X \geq 6$ :

P (X \geq 6) = \sum_{k = 6}^{10} (\binom{10}{k}) \cdot {0,40}^{k} \cdot {0,60}^{10 - k}

Fra utklippet (linje 2) ser vi at $P_{g e 6} \approx 0,16624$ .

P (X \geq 6) \approx 0,1662

Vi skal finne sannsynligheten for at Simon får grønt lys i nøyaktig tre kryss på rad (etterfulgt/omgitt av rødt lys i alle de andre kryssene). Blokken med de tre grønne kryssene kan plasseres på $8$ forskjellige måter blant de $10$ kryssene (start i kryss 1, 2, 3, …, eller 8):

GGG □ □ □ □ □ □ □, □ GGG □ □ □ □ □ □, \dots, □ □ □ □ □ □ □ GGG

For hver slik plassering er sannsynligheten ${0,40}^{3} \cdot {0,60}^{7}$ (tre grønne og sju røde). Total sannsynlighet blir dermed

P = 8 \cdot {0,40}^{3} \cdot {0,60}^{7}

Fra utklippet (linje 3) ser vi at $P_{d} \approx 0,01433$ .

P \approx 0,0143

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Kennel med hunder og katter optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kennel tar imot både hunder og katter. De har plass til 20 hunder og 30 katter. Hver hund krever 45 min med stell hver dag. Hver katt krever 30 min med stell hver dag. Kennelen kan høyst bruke 24 arbeidstimer per dag til stell av dyrene.

La $x$ være antall hunder og $y$ antall katter som er i kennelen en dag.

Krever PC

Sett opp ulikheter som beskriver situasjonen ovenfor. Skraver området som tilfredsstiller ulikhetene, i et koordinatsystem.

De daglige utgiftene til mat er 100 kroner for en hund og 50 kroner for en katt. Kennelen tar 350 kroner per døgn for en hund og 200 kroner per døgn for en katt.

Krever PC

Hvor mange hunder og hvor mange katter bør kennelen ha i opphold per døgn for å få maksimal fortjeneste? Hvor stor er fortjenesten da?

Fasit

$0 \leq x \leq 20, 0 \leq y \leq 30, 3 x + 2 y \leq 96$

$20 hunder og 18 katter, fortjeneste 7700 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Kennelen har plass til høyst 20 hunder og 30 katter, så

0 \leq x \leq 20 og 0 \leq y \leq 30

Hver hund krever $45$ minutter stell og hver katt $30$ minutter stell. Kennelen kan bruke høyst $24$ arbeidstimer $= 1440$ minutter per døgn til stell. Det gir ulikheten

45 x + 30 y \leq 1440

Vi deler begge sider med $15$ og får den enklere ulikheten

3 x + 2 y \leq 96

Området som tilfredsstiller alle ulikhetene er et femkantet område (et polygon) med hjørner i

(0,0), (0,30), (12,30), (20,18), (20,0)

der $(12,30)$ og $(20,18)$ er skjæringspunktene mellom linja $3 x + 2 y = 96$ og henholdsvis $y = 30$ og $x = 20$ . Området er skravert (blått) på figuren under, med $x$ langs førsteaksen (antall hunder) og $y$ langs andreaksen (antall katter).

Skravert løsningsområde for kennel-oppgaven

Fortjenesten per døgn er inntekt minus utgifter. En hund gir en inntekt på $350 kr$ og koster $100 kr$ i mat, altså en fortjeneste på $350 - 100 = 250$ kroner per hund. En katt gir en inntekt på $200 kr$ og koster $50 kr$ i mat, altså en fortjeneste på $200 - 50 = 150$ kroner per katt. Fortjenestefunksjonen blir dermed

F (x, y) = 250 x + 150 y

Siden $F$ er lineær, vil maksimum av $F$ over det skraverte området fra a) inntreffe i ett av hjørnene i polygonet. Vi setter inn hjørnene:

Hjørne $(x, y)$	$F (x, y) = 250 x + 150 y$
$(0,0)$	$0$
$(0,30)$	$4500$
$(12,30)$	$7500$
$(20,18)$	$7700$
$(20,0)$	$5000$

Størst fortjeneste får vi i hjørnet $(20,18)$ , markert med rødt på figuren over.

Svar: Kennelen bør ha $20 hunder og 18 katter$ i opphold per døgn. Da blir den maksimale fortjenesten $7700 kr$ per døgn.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Tredjegradsfunksjon med toppunkt og ukjente

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = - 24 x^{3} + a x^{2} - b^{2} x - 27

Grafen til $f$ har et toppunkt i $(3, 3)$ .

For hånd

Vis at dette gir oss likningene

\begin{matrix} 6 a - b^{2} & = 648 \\ 9 a - 3 b^{2} & = 678 \end{matrix}

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme $a$ og $b$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$a = \frac{422}{3} \approx 140,67, b = \pm 14$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen til $f$ har et toppunkt i $(3, 3)$ . Det betyr at

$f (3) = 3$ (punktet ligger på grafen)
$f^{'} (3) = 0$ (toppunkt gir stigningstall null)

Vi deriverer $f (x) = - 24 x^{3} + a x^{2} - b^{2} x - 27$ :

f^{'} (x) = - 72 x^{2} + 2 a x - b^{2}

Betingelse 1: $f^{'} (3) = 0$

- 72 \cdot 3^{2} + 2 a \cdot 3 - b^{2} = 0

- 648 + 6 a - b^{2} = 0

6 a - b^{2} = 648

Betingelse 2: $f (3) = 3$

- 24 \cdot 3^{3} + a \cdot 3^{2} - b^{2} \cdot 3 - 27 = 3

- 648 + 9 a - 3 b^{2} - 27 = 3

9 a - 3 b^{2} = 3 + 27 + 648

9 a - 3 b^{2} = 678

Dette er de to likningene vi skulle vise.

Vi løser likningssystemet

\begin{matrix} 6 a - b^{2} & = 648 \\ 9 a - 3 b^{2} & = 678 \end{matrix}

med CAS. Siden $b$ kun opptrer som $b^{2}$ , setter vi $u = b^{2}$ og løser det lineære systemet $6 a - u = 648$ , $9 a - 3 u = 678$ for $a$ og $u$ :

CAS-løsning av likningssystemet

CAS gir $a = \frac{422}{3}$ og $u = b^{2} = 196$ , altså $b = \pm \sqrt{196} = \pm 14$ .

a = \frac{422}{3} \approx 140,67 b = \pm 14

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Tredjegradsfunksjon, Likningssystem, CAS
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Løs tre likninger med logaritme

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Forenkle tre algebraiske uttrykk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Kinobilletter for to familier

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Løs andregradsulikhet S1 V17

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Pascals trekant og hypergeometrisk trekning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Lineær optimering med tre ulikheter

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Andregradsfunksjon med tangent fra graf

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Tre ulikheter fra skravert område

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-9Rasjonal funksjon fra asymptoter og graf

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1CO2-konsentrasjon og regresjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Grønt lys i ti lyskryss binomisk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Kennel med hunder og katter optimering

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Tredjegradsfunksjon med toppunkt og ukjente

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Løs tre likninger med logaritme

Oppgave 1-2·Forenkle tre algebraiske uttrykk

Oppgave 1-3·Kinobilletter for to familier

Oppgave 1-4·Løs andregradsulikhet S1 V17

Oppgave 1-5·Pascals trekant og hypergeometrisk trekning

Oppgave 1-6·Lineær optimering med tre ulikheter

Oppgave 1-7·Andregradsfunksjon med tangent fra graf

Oppgave 1-8·Tre ulikheter fra skravert område

Oppgave 1-9·Rasjonal funksjon fra asymptoter og graf

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·CO2-konsentrasjon og regresjon

Oppgave 2-2·Grønt lys i ti lyskryss binomisk

Oppgave 2-3·Kennel med hunder og katter optimering

Oppgave 2-4·Tredjegradsfunksjon med toppunkt og ukjente

Temaer

Oppgave 1-1Løs tre likninger med logaritme

Oppgave 1-2Forenkle tre algebraiske uttrykk

Oppgave 1-3Kinobilletter for to familier

Oppgave 1-4Løs andregradsulikhet S1 V17

Oppgave 1-5Pascals trekant og hypergeometrisk trekning

Oppgave 1-6Lineær optimering med tre ulikheter

Oppgave 1-7Andregradsfunksjon med tangent fra graf

Oppgave 1-8Tre ulikheter fra skravert område

Oppgave 1-9Rasjonal funksjon fra asymptoter og graf

Oppgave 2-1CO2-konsentrasjon og regresjon

Oppgave 2-2Grønt lys i ti lyskryss binomisk

Oppgave 2-3Kennel med hunder og katter optimering

Oppgave 2-4Tredjegradsfunksjon med toppunkt og ukjente