S1 Høst 2017

LK06 12 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Høst 2017 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Tre likninger med logaritme og brøk	—
2	Forenkle potens- og logaritmeuttrykk	—
3	Likningssett med andregradsledd	—
4	Løs en andregradsulikhet	—
5	Fotballbilletter til to supportergrupper	—
6	Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge	—
7	Ulikheter for fotballstadion	—
8	Postrull med størst volum	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Rektangel under fallende andregradsgraf	—
2	Vekt av laks ved potensregresjon	—
3	Spilleliste med Kygo binomisk fordeling	—
4	Sofaproduksjon med lineær optimering	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Tre likninger med logaritme og brøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

x^2 + 2x - 8 = 0

\frac{5x - 1}{2} + \frac{2x - 5}{3} = 1

\lg(x^2) + 2 = 4

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 6
Temaer: Likninger, Logaritmer, Andregradslikning

Oppgave 1-2 : Forenkle potens- og logaritmeuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{2a^7 (a^{-1}b^2)^3}{(2ab)^2}

\frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x - 1}

4\lg(2x) - \lg(x^2) - 2\lg\left(\frac{x}{2}\right)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Potensregning, Logaritmer, Rasjonale uttrykk

Oppgave 1-3 : Likningssett med andregradsledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssettet

\begin{cases} x^2 + 2y = 5 \\ 2x + y = 4 \end{cases}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Andregradslikning

Oppgave 1-4 : Løs en andregradsulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ulikheten

x^2 + 2x \geq 3

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Ulikheter, Andregradsulikhet

Oppgave 1-5 : Fotballbilletter til to supportergrupper

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Til en fotballkamp ble det solgt 1400 billetter. Supporterne til hjemmelaget kjøpte fire ganger så mange billetter som supporterne til bortelaget. Hvor mange billetter ble solgt til hjemmelagets supportere? Begrunn svaret.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Likninger, Tekstoppgave

Oppgave 1-6 : Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En nøkkelboks er en boks med plass til nøkler. Noen slike bokser har kodelås.

For én type nøkkelboks lages en kode ved å stille inn fire tall. Hvert tall velges blant tallene 0 til 9. Et tall kan velges flere ganger. Tallene må være stilt inn i en bestemt rekkefølge.

Nøkkelboks type 1 (Master Lock)

Hvor mange ulike koder finnes det for denne typen nøkkelboks?

For en annen type nøkkelboks lages en kode ved å velge et bestemt antall forskjellige tall blant tallene 0 til 9. Tallene trenger ikke å være stilt inn i en bestemt rekkefølge.

Nøkkelboks type 2 (med knapper)

Hvor mange ulike koder finnes for denne typen nøkkelboks dersom koden skal bestå av fire forskjellige tall?

Hvor mange tall må koden bestå av for at antallet mulige koder skal bli størst mulig? Hvor mange mulige koder er det da?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet

Oppgave 1-7 : Ulikheter for fotballstadion

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fotballklubb skal bygge et fotballstadion. For å tilfredsstille Norges Fotballforbunds regler, må tribunene ha en kapasitet på minst 1000 tilskuere. Av disse må minst 800 være sitteplasser, og høyst 40 % av plassene kan være ståplasser.

La $x$ være antall sitteplasser og $y$ antall ståplasser.

Sett opp ulikheter som beskriver situasjonen ovenfor.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Ulikheter, Lineær optimering, Modellering

Oppgave 1-8 : Postrull med størst volum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Når du skal sende en rull med Posten, må rullen ikke være for stor. Posten stiller følgende krav til størrelsen på rullen:

La $x$ være radien, og la $y$ være lengden (i cm) på en rull som skal sendes.

Bruk opplysningene ovenfor til å forklare at $x$ og $y$ må tilfredsstille ulikhetene

0 < y \leq 90 \quad \text{og} \quad 4x + y \leq 104

Begrunn at en rull som skal sendes, må ha radius mindre enn $26\ \mathrm{cm}$ .

Vi ønsker å lage en rull der summen av lengden og to diametere er $104\ \mathrm{cm}$ .

Vis at volumet $V$ må tilfredsstille

V(x) = 104\pi x^2 - 4\pi x^3

Hvilken radius vil gi størst volum?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Ulikheter, Derivasjon, Optimering, Sylinder

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Rektangel under fallende andregradsgraf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{1}{2}(x - 4)^2 \quad , \quad 0 < x < 4

Under grafen til $f$ er det tegnet inn et rektangel $OBCD$ , slik som figuren nedenfor viser.

Rektangel OBCD under grafen til f

Vis at arealet til rektangelet er gitt ved

A(x) = \frac{1}{2}x^3 - 4x^2 + 8x \quad , \quad 0 < x < 4

Bruk CAS til å bestemme $x$ slik at arealet til rektangelet blir $4$ .

Bruk CAS til å bestemme $x$ slik at arealet til rektangelet blir størst mulig. Hva er det største arealet rektangelet kan ha?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Arealfunksjon, Optimering, CAS

Oppgave 2-2 : Vekt av laks ved potensregresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt av laks i et vassdrag.

Lengde (i cm)	50	55	60	65	70	75	80	85	90
Vekt (i gram)	1402	1905	2494	3202	3806	4600	5610	6760	8041

Bruk regresjon til å bestemme en potensfunksjon $g$ som viser vekten til en laks som funksjon av lengden på laksen.

I et annet vassdrag viser det seg at en god modell $f$ for vekten (i gram) til en $x$ cm lang laks er gitt ved

f(x) = 0{,}015 x^{2{,}93} \quad , \quad 50 \leq x \leq 130

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Hvor mye veier en laks som er $100\ \mathrm{cm}$ lang, ifølge modellen $f$ ?

Hvor lang er en laks som veier $15\ \mathrm{kg}$ , ifølge modellen $f$ ?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Regresjon, Potensfunksjon, Modellering

Oppgave 2-3 : Spilleliste med Kygo binomisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jakob har en spilleliste med 20 sanger på mobilen sin. Fire av sangene på spillelisten er med artisten Kygo. Programmet spiller av sangene i tilfeldig rekkefølge (shuffle) med tilbakelegging. Det vil si at samme sang kan bli spilt av flere ganger etter hverandre.

Forklar at sannsynligheten alltid er $p = 0{,}2$ for at neste sang som blir spilt, er med Kygo.

Jakob vil høre på fem avspillinger fra spillelisten. Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av sangene han spiller, er med Kygo.

Hvor mange avspillinger må han høre på for at sannsynligheten for å få høre minst én sang med Kygo skal være større enn 90 %?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Sofaproduksjon med lineær optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer to typer sofaer, A og B. La $x$ være antall sofaer av type A og $y$ antall sofaer av type B som blir produsert per dag. Sofaene må innom tre avdelinger før de er ferdige.

Produksjonen av én sofa av type A tar 1 time i avdeling I, 2 timer i avdeling II og 2 timer i avdeling III.
Produksjonen av én sofa av type B tar 3 timer i avdeling I, 3 timer i avdeling II og 1 time i avdeling III.
Avdeling I har en maksimal kapasitet på 14 timer per dag.
Avdeling II har en maksimal kapasitet på 16 timer per dag.
Avdeling III har en maksimal kapasitet på 12 timer per dag.

Forklar at opplysningene ovenfor gir oss ulikhetene

\begin{cases} x + 3y \leq 14 \\ 2x + 3y \leq 16 \\ 2x + y \leq 12 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}

Skraver det området i planet som er avgrenset av disse ulikhetene.

Fortjenesten i kroner når bedriften produserer og selger $x$ enheter av type A og $y$ enheter av type B, er gitt ved

F(x, y) = 4500x + 6000y

Hvor stor er fortjenesten på én sofa av type A og på én sofa av type B?

Hvor mange enheter av type A og type B må bedriften produsere per dag for at fortjenesten skal bli størst mulig?

Ledelsen i bedriften har funnet ut at det er ressurser til å utvide kapasiteten i én av de tre avdelingene med 1 time.

I hvilken avdeling bør de øke kapasiteten?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Modellering

Sync på tvers av enheter

S1 Høst 2017

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Tre likninger med logaritme og brøk

Oppgave 1-2 : Forenkle potens- og logaritmeuttrykk

Oppgave 1-3 : Likningssett med andregradsledd

Oppgave 1-4 : Løs en andregradsulikhet

Oppgave 1-5 : Fotballbilletter til to supportergrupper

Oppgave 1-6 : Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Oppgave 1-7 : Ulikheter for fotballstadion

Oppgave 1-8 : Postrull med størst volum

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Rektangel under fallende andregradsgraf

Oppgave 2-2 : Vekt av laks ved potensregresjon

Oppgave 2-3 : Spilleliste med Kygo binomisk fordeling

Oppgave 2-4 : Sofaproduksjon med lineær optimering

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave