S1 Vår 2016

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Vår 2016 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Andregrads- og logaritmelikning	—
2	Forenkling av algebraiske uttrykk	—
3	Rektangel med areal og omkrets	—
4	Andregradsulikhet ved fortegnsskjema	—
5	Pascals trekant og binomialkoeffisient	—
6	Pinkoder med fire siffer	—
7	Rasjonal funksjon fra asymptote og skjæringspunkter	—
8	Kostnadsfunksjon vekstfart og grensekostnad	—
9	Tredjegradsfunksjon med nullpunkt og tangent	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Terningspill med minst en sekser	—
2	Eksponentiell modell for oppdrettslaks	—
3	Lineær optimering av fiskekakeproduksjon	—
4	Inntektsoptimering for fiskesalg	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Andregrads- og logaritmelikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

x^2 - 3x + 2 = 0

\lg(4x + 3) = \lg 7

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Andregradslikning, Logaritmelikning

Oppgave 1-2 : Forenkling av algebraiske uttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv uttrykkene så enkelt som mulig

(2x - 3)^2 - 3(x - 2)^2 + (x - 1)(x + 1)

\frac{a^2 b^3}{(a^3 b)^{-2}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Algebra, Potensregler, Kvadratsetninger

Oppgave 1-3 : Rektangel med areal og omkrets

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et rektangel med sider $x$ og $y$ har areal $6$ og omkrets $11$ .

Sett opp et likningssystem som svarer til opplysningene ovenfor.

Bestem lengden av sidene i rektangelet ved å løse likningssystemet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Geometri

Oppgave 1-4 : Andregradsulikhet ved fortegnsskjema

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ulikheten

-5x + x^2 \le 0

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Andregradsulikhet

Oppgave 1-5 : Pascals trekant og binomialkoeffisient

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv opp de 7 første radene i Pascals talltrekant. Bestem $\binom{7}{4}$ .

Beskriv en praktisk situasjon der du får bruk for $\binom{7}{4}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kombinatorikk, Pascals trekant, Binomialkoeffisient

Oppgave 1-6 : Pinkoder med fire siffer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En type pinkode består av fire siffer. Det er ikke lov å la koden begynne med 0.

Hvor mange slike pinkoder finnes det?

Hvor mange pinkoder finnes det som ikke bruker samme siffer flere ganger?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Kombinatorikk, Multiplikasjonsprinsippet

Oppgave 1-7 : Rasjonal funksjon fra asymptote og skjæringspunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = \frac{ax + b}{x + c}

Følgende opplysninger er gitt om grafen til $g$ :

Den har vertikal asymptote $x = -1$ .
Den skjærer $x$ -aksen i $x = 2$ .
Den skjærer $y$ -aksen i $y = -4$ .

Bestem funksjonsuttrykket til $g$ .

Tegn grafen til $g$ med asymptoter i et koordinatsystem.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rasjonal funksjon, Asymptoter, Graftegning

Oppgave 1-8 : Kostnadsfunksjon vekstfart og grensekostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer en vare. De regner med at kostnadene $K$ ved å produsere $x$ enheter av varen per dag er

K(x) = 0{,}1x^2 + 30x + 1000 \quad , \quad 0 \le x \le 300

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $K$ i intervallet $[0, 100]$ . Hva forteller dette svaret oss?

Bestem $K'(100)$ . Hva forteller dette svaret oss?

Bedriften selger varen for 60 kroner per enhet til en butikk som kjøper alt bedriften klarer å produsere.

Hvor mange enheter må bedriften produsere per dag for å få størst mulig overskudd?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Grensekostnad, Optimering

Oppgave 1-9 : Tredjegradsfunksjon med nullpunkt og tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 \quad , \quad -1 < x < 5

Bestem nullpunktene til $f$ .

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Bestem likningen for linjen som tangerer grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Tangent

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Terningspill med minst en sekser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fire personer deltar i et terningspill. Hver av deltakerne kaster en terning tre ganger i første runde.

Sannsynligheten for at en bestemt deltaker får minst én sekser i løpet av de tre kastene, er $p$ .

Vis at $p \approx 0{,}4213$ .

Bestem sannsynligheten for at bare de to første deltakerne får minst én sekser i løpet av første runde.

Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av deltakerne får minst én sekser i løpet av første runde.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Binomisk fordeling

Oppgave 2-2 : Eksponentiell modell for oppdrettslaks

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser produksjonen av norsk oppdrettslaks i noen år fra 1997 til 2013.

Årstall	1997	2001	2005	2009	2013
Produsert laks, i tonn (t)	335 000	435 000	585 000	863 000	1 170 000

La $x$ være antall år etter 1997. Framstill tallene i tabellen ovenfor i et koordinatsystem. Bestem en eksponentiell modell som passer bra med tallene i tabellen. Hvor mange prosent vokser produksjonen per år?

I resten av oppgaven vil vi bruke modellen $f(x) = 324000 \cdot 1{,}083^x$

Når vil produksjonen passere $2\,000\,000 \mathrm{~t}$ ?

Når vil produksjonsveksten for første gang være større enn $100\,000 \mathrm{~t}$ per år?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentiell modell, Regresjon, Vekstfart

Oppgave 2-3 : Lineær optimering av fiskekakeproduksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fiskebutikk lager fiskekaker av typene A og B. Tabellen nedenfor viser mengden av torsk og sei per kilogram fiskekaker for hver av de to typene.

Type	Torsk	Sei
A	0,6 kg	0,2 kg
B	0,4 kg	0,4 kg

En uke har butikken tilgang til 300 kg torsk og 200 kg sei. De vet fra tidligere erfaringer at de ikke får solgt mer enn 550 kg fiskekaker. La $x$ være antall kilogram de produserer av type A, og $y$ antall kilogram de produserer av type B.

Begrunn at ulikhetene nedenfor passer med opplysningene.

\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 550 \\ 0{,}6x + 0{,}4y \le 300 \\ 0{,}2x + 0{,}4y \le 200 \end{cases}

Skraver det området ulikhetene avgrenser, i et koordinatsystem.

Ved innkjøp betaler butikken 55 kroner per kilogram for torsk og 35 kroner per kilogram for sei. Butikken har i tillegg faste kostnader på 5000 kroner per uke.

Fiskekakene selges for 70 kroner per kilogram for type A og 61 kroner per kilogram for type B.

Butikken lager og selger $x$ kg av type A og $y$ kg av type B. Forklar at fortjenesten er gitt ved

30x + 25y - 5000

Hva er den største fortjenesten butikken kan få?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Lineær optimering, Ulikhetsområde

Oppgave 2-4 : Inntektsoptimering for fiskesalg

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Salgsprisen $P$ i kroner per kilogram for et bestemt fiskeslag er gitt ved

P(x) = 0{,}5x^2 - 10x + 60 \quad , \quad 0 \le x \le 8

der $x$ er antall tonn fisk som selges per uke.

Forklar at den totale inntekten $I$ fra fiskesalget en uke er gitt ved

I(x) = 1000 \cdot x \cdot P(x)

Bruk graftegner til å bestemme hvilken fiskemengde som gir størst inntekt. Hvor stor er inntekten da?

En annen modell $F$ for prisen per kilogram er gitt ved

F(x) = 0{,}5x^2 - ax + 60 \quad , \quad 0 \le x \le 8

der $a$ er et positivt tall.

For en bestemt verdi av $a$ blir inntektene størst når det selges 3 t.

Bruk CAS til å bestemme denne verdien av $a$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Inntektsfunksjon, Optimering, CAS

Sync på tvers av enheter

S1 Vår 2016

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Andregrads- og logaritmelikning

Oppgave 1-2 : Forenkling av algebraiske uttrykk

Oppgave 1-3 : Rektangel med areal og omkrets

Oppgave 1-4 : Andregradsulikhet ved fortegnsskjema

Oppgave 1-5 : Pascals trekant og binomialkoeffisient

Oppgave 1-6 : Pinkoder med fire siffer

Oppgave 1-7 : Rasjonal funksjon fra asymptote og skjæringspunkter

Oppgave 1-8 : Kostnadsfunksjon vekstfart og grensekostnad

Oppgave 1-9 : Tredjegradsfunksjon med nullpunkt og tangent

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Terningspill med minst en sekser

Oppgave 2-2 : Eksponentiell modell for oppdrettslaks

Oppgave 2-3 : Lineær optimering av fiskekakeproduksjon

Oppgave 2-4 : Inntektsoptimering for fiskesalg

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave