S1 Høst 2016

Vi multipliserer alle ledd med fellesnevneren $12$ for å bli kvitt brøkene.

Vi bruker definisjonen av logaritme: $\lg (a)=2$ betyr at $a={10}^2$.

Vi sjekker definisjonsmengden: $2x-6>0$ gir $x>3$. Siden $53>3$, er løsningen gyldig.

Vi ganger ut parentesene.

Vi forenkler telleren og nevneren for seg med potensregler.

Vi bruker logaritmereglene $\lg (x)+\lg (y)=\lg (xy)$ og $\lg (x)-\lg (y)=\lg \left(\frac{x}{y}\right)$.

La $p$ være antall kroner Per hadde på mandag, og $o$ antall kroner Ola hadde på mandag.

Til sammen hadde de $200$ kroner på mandag:

Dagen etter har Per brukt halvparten av pengene sine, altså har han ${\displaystyle \frac{p}{2}}$ igjen. Ola har brukt $10$ kroner, altså har hun $o-10$ igjen. Til sammen har de nå $110$ kroner:

Vi løser likningssystemet ved innsetting. Fra den første likningen får vi $o=200-p$. Vi setter dette inn i den andre likningen.

Per hadde altså $\underline{\underline{160\mathrm{kr}}}$ på mandag (og Ola hadde $40\mathrm{kr}$).

De seks billettene skal deles ut til seks personer. Dette er en ordning av $6$ elementer, altså $6$ fakultet.

Det er $\underline{\underline{720}}$ måter å dele ut billettene på.

Vi må finne sannsynligheten for at Line og Lars begge får en av de to billettene til rad $9$.

Vi tenker oss at billettene deles ut én og én. Sannsynligheten for at Line får en av de to rad 9-billettene som første trekning er ${\displaystyle \frac{2}{6}}$. Gitt at Line har fått en rad 9-billett, er det igjen $5$ billetter, hvorav $1$ er den siste rad 9-billetten. Sannsynligheten for at Lars får denne er da ${\displaystyle \frac{1}{5}}$.

Sannsynligheten for at Line og Lars begge får billett på rad $9$ er $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{1}{15}}}}$.

$S(t)=17t-\mathrm{0,5}{t}^2$ er en andregradsfunksjon med negativ ledende koeffisient, så grafen er en parabel som vender grenene nedover, med toppunkt ved

Siden definisjonsmengden er $t\in [0,8]$, ligger toppunktet utenfor intervallet vi skal tegne. På hele intervallet $[0,8]$ er grafen derfor stigende, men den flater gradvis ut (blir mindre bratt) etter hvert som $t$ nærmer seg $8$.

Noen nøkkelpunkter til skissen:

Skissen skal altså vise en kurve som starter i origo, stiger gjennom $(4,60)$ og ender i $(8,104)$, med avtagende stigningstall hele veien.

Den gjennomsnittlige vekstfarten i $[0,4]$ er stigningstallet til sekantlinja mellom $(0,S(0))$ og $(4,S(4))$:

Dette betyr at Per i gjennomsnitt satte sammen $15\text{ stoler per time}$ i løpet av de fire første timene.

Vi deriverer $S(t)$:

Dette betyr at akkurat idet Per har jobbet i $4$ timer, setter han sammen stoler med en momentan hastighet på $13\text{ stoler per time}$.

Etter $4$ timer har Per satt sammen $S(4)=60$ stoler (fra b)). Han får $10$ kroner per stol, så inntekten hans blir

Den gjennomsnittlige timelønnen er total inntekt delt på antall timer:

Vi sjekker: $S(6)=17\cdot 6-\mathrm{0,5}\cdot 36=102-18=84$ stoler, som gir inntekt $10\cdot 84=840\mathrm{kr}$, og $840/6=140\mathrm{kr}$ per time. Dette stemmer.

Per jobbet altså $\underline{\underline{t=6\text{ timer}}}$ denne dagen.

Vi ganger ut hvert av de tre alternativene og sammenligner med $f(x)=x^3-8x^2+5x+14$.

Kun $P_3(x)$ stemmer overens med $f(x)$ ledd for ledd. Svaret er

Vi bruker faktoriseringen fra a) og setter $f(x)=0$:

Dette gir enten

eller, ved bruk av abc-formelen på $x^2-6x-7=0$:

Nullpunktene til $f$ er

Topp- og bunnpunkter finner vi der den deriverte er null. Vi deriverer $f(x)=x^3-8x^2+5x+14$:

Vi løser $f^{\prime }(x)=0$ med abc-formelen:

For å avgjøre hva slags ekstremalpunkter dette er, ser vi på $f^{\prime \prime }(x)=6x-16$:

Grafen til $f$ har toppunkt ved $\underline{\underline{x=\frac{1}{3}}}$ og bunnpunkt ved $\underline{\underline{x=5}}$.

Vi setter hver ulikhet til likhet for å finne grenselinjene:

Skjæringspunktene mellom grenselinjene gir hjørnene i det skraverte området:

• $y-5x=9$ og $5y-x=-3$: setter $y=5x+9$ inn i den andre likningen: $5(5x+9)-x=-3\Rightarrow 24x=-48\Rightarrow x=-2,y=-1$. Punkt $A=(-2,-1)$.
• $y-5x=9$ og $x+y=3$: setter $y=3-x$ inn: $(3-x)-5x=9\Rightarrow -6x=6\Rightarrow x=-1,y=4$. Punkt $B=(-1,4)$.
• $5y-x=-3$ og $x+y=3$: setter $x=3-y$ inn: $5y-(3-y)=-3\Rightarrow 6y=0\Rightarrow y=0,x=3$. Punkt $C=(3,0)$.

Området er trekanten med hjørner $A(-2,-1)$, $B(-1,4)$ og $C(3,0)$ — punktene som samtidig oppfyller alle tre ulikhetene.

Vi undersøker verdien av $3x+y$ i de tre hjørnene:

Siden $3x+y$ er en lineær funksjon på et sammenhengende (konvekst) område, tar den alle verdier mellom minsteverdien $-7$ og størsteverdien $9$ et sted i området. Fordi $5$ ligger mellom $-7$ og $9$, må det finnes punkter i det skraverte området der $3x+y=5$.

Vi kan finne et konkret eksempel ved å se hvor linja $3x+y=5$ skjærer randen $BC$ (linja $x+y=3$):

Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi $2x=2$, altså $x=1$ og $y=2$. Punktet $(1,2)$ ligger på randen av området (se figuren) og oppfyller $3\cdot 1+2=5$.

Svar: $\underline{\underline{\text{Ja}}}$, det finnes punkter i det skraverte området som oppfyller $3x+y=5$, for eksempel $(x,y)=(1,2)$.

La $x$ være prisen på én elevbillett og $y$ prisen på én lærerbillett, begge i kroner.

Regning 1 gjelder $23$ elever og $4$ lærere, til sammen $1760$ kroner. Det gir likningen

Regning 2 gjelder $13$ elever og $7$ lærere, til sammen $1445$ kroner. Det gir likningen

Siden begge likningene beskriver de samme to ukjente prisene $x$ og $y$, kan de settes sammen til et likningssystem som brukes til å finne billettprisene.

Likningssystemet løses med CAS.

CAS gir løsningen $x=60$ og $y=95$.

Prisen på en elevbillett er $\underline{\underline{60\mathrm{kr}}}$, og prisen på en lærerbillett er $\underline{\underline{95\mathrm{kr}}}$.

Av de $34$ kulene er $9$ stykker nummerert med et tall $\text{mindre enn }10$ (tallene $1,2,\dots ,9$), og $25$ stykker er nummerert med et tall $\text{større enn eller lik }10$ (tallene $10,11,\dots ,34$).

Vi skal trekke $7$ kuler totalt, uten tilbakelegging. Antall måter å velge nøyaktig $4$ av de $9$ «små» tallene på er $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{4}\right)$, og de resterende $3$ vinnertallene må da komme fra de $25$ «store» tallene, noe som kan gjøres på $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{25}{3}\right)$ måter. Ved multiplikasjonsprinsippet er antall gunstige utfall

Det totale antallet måter å trekke $7$ kuler av $34$ på (uten hensyn til rekkefølge) er $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{34}{7}\right)$. Siden alle utfall er like sannsynlige, blir sannsynligheten for nøyaktig $4$ vinnertall mindre enn $10$

som er det som skulle vises. Dette er en hypergeometrisk sannsynlighet, siden trekningen skjer uten tilbakelegging fra en populasjon delt i to grupper («mindre enn 10» og «minst 10»).

Vi skal finne sannsynligheten for at $3$ eller færre av vinnertallene er mindre enn $10$, altså $P(X\le 3)$ der $X$ er antall vinnertall mindre enn $10$. Ved samme resonnement som i a) er

Vi summerer for $j=0,1,2,3$:

Beregnet i GeoGebra CAS:

Vi ser fra linje 1 at $\text{SannsynlighetB}\approx \mathrm{0,93871}$, altså

La $p$ være sannsynligheten for at tallet $11$ ikke er blant de $7$ vinnertallene i en spilleomgang. Da må alle $7$ vinnertallene trekkes blant de $33$ andre tallene, mens totalt antall måter å trekke $7$ tall av $34$ på fortsatt er $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{34}{7}\right)$. Dette gir

Fra linje 2 i CAS-utklippet over ser vi at $p\approx \mathrm{0,79412}$. Vi kan også forenkle uttrykket eksakt:

Dermed er

som skulle vises.

Utfallet i hver spilleomgang er uavhengig av de andre omgangene, og sannsynligheten for at tallet $11$ ikke trekkes ut i én omgang er $p=\frac{27}{34}$. Sannsynligheten for at tallet $11$ ikke trekkes ut i noen av de $10$ første omgangene, blir dermed

Fra linje 3 i CAS-utklippet ser vi at $\text{SannsynlighetD}\approx \mathrm{0,09974}$, altså

Sannsynligheten for at tallet $11$ skal utebli i alle de $10$ første spilleomgangene, er dermed omtrent $\mathrm{9,97}\%$.

Vi lar $x$ være antall år etter 2010, slik at punktene fra tabellen blir

Vi utfører eksponentiell regresjon på disse punktene med GeoGebra (RegEksp). Det gir modellen

der $x$ er antall år etter 2010, og $f(x)$ er antall registrerte elbiler.

Vi skal finne når $f(x)=200000$, altså løse likningen

Løser vi dette (for eksempel med CAS eller graftegner), får vi

Vi kan illustrere dette ved å tegne $f$ sammen med den vannrette linja $y=200000$ og markere skjæringspunktet.

Skjæringspunktet $\mathrm{PB}=(\mathrm{6,28},200000)$ viser at $f(x)=200000$ for $x\approx \mathrm{6,28}$.

Siden $x=6$ tilsvarer 2016 og $x=\mathrm{6,28}$ er litt inn i det året, betyr dette at antallet registrerte elbiler ifølge modellen passerer $200000$ i løpet av 2016.

Vi tegner grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem, for eksempel for $0\le x\le 12$, sammen med datapunktene fra tabellen.

Grafen til $f$ (antall elbiler) vokser eksponentielt, mens grafen til $g$ (antall bensin-/dieselbiler) er tilnærmet flat/svakt avtagende i dette intervallet. Vi ser at kurvene krysser hverandre i punktet $\mathrm{PCD}$ merket på grafen.

Vi skal finne når $f(x)=g(x)$, altså løse likningen

Fra grafen i c) leser vi av skjæringspunktet

som gir $x\approx \mathrm{9,51}$.

Siden $x=9$ tilsvarer 2019, betyr dette at det ifølge modellene i løpet av 2019 vil bli flere registrerte elbiler enn privatbiler som går på bensin eller diesel.

• Antall biler og busser kan ikke være negativt, så $x\ge 0$ og $y\ge 0$.
• Parkeringsplassen tar imot maksimalt 60 kjøretøy totalt, altså $x+y\le 60$.
• Hver bil bruker $12{\mathrm{m}}^2$ og hver buss $50{\mathrm{m}}^2$, og totalarealet er $1000{\mathrm{m}}^2$. Det gir $12x+50y\le 1000$, som forkortet med $2$ blir $6x+25y\le 500$.

Vi tegner de fire ulikhetene i GeoGebra. Grenselinjene er $x+y=60$ (gjennom $(\mathrm{0,60})$ og $(\mathrm{60,0})$) og $6x+25y=500$ (gjennom $(\mathrm{0,20})$ og $(1000/12,0)\approx (\mathrm{83,3},0)$, men avgrenset av $x+y\le 60$ før den). Det lovlige området er skjæringen mellom halvplanene, altså firkanten med hjørner $(\mathrm{0,0})$, $(\mathrm{60,0})$, skjæringspunktet mellom de to linjene, og $(\mathrm{0,20})$:

Inntekten er

Siden $I$ er en lineær funksjon, vil maksimum over det skraverte området oppnås i et av hjørnene i firkanten. Vi finner først skjæringspunktet mellom $x+y=60$ og $6x+25y=500$:

Vi sjekker inntekten i alle fire hjørnene:

Det matematiske maksimumet ligger altså i hjørnet $(\mathrm{52,6};\mathrm{7,4})$, men siden $x$ og $y$ må være hele tall (antall kjøretøy), er ikke dette punktet en gyldig løsning. Vi må derfor lete etter det heltallspunktet i det lovlige området som gir størst inntekt, og siden $y$-koeffisienten ($100$) er størst per bruk av areal, undersøker vi heltallige $y$-verdier nær $\mathrm{7,4}$ og finner størst mulig $x$ for hver $y$ (begrenset av begge ulikhetene):

For $y=8$ gir $6x+25\cdot 8\le 500$ at $x\le 50$, og dette oppfyller også $x+y=58\le 60$. Punktet $(50,8)$ ligger inni det lovlige området (se figur) og gir den høyeste inntekten av alle heltallspunkter i nærheten av det teoretiske maksimumet.

Kontroll: $6\cdot 50+25\cdot 8=300+200=500\le 500$ ✓ og $50+8=58\le 60$ ✓.

Inntekten blir

Parkeringsplassen bør altså ha plass til 50 biler og 8 busser samtidig, noe som gir en maksimal timeinntekt på $2300\mathrm{kr}$.