S1 Vår 2013

LK06 12 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Vår 2013 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 24 poeng
1	Logaritmelikning og andregradslikning	—
2	Likningssystem parabola og linje	—
3	Forenkling av potens- og logaritmeuttrykk	—
4	Rasjonal funksjon skisse og gjennomsnittlig veksthastighet	—
5	Pascals talltrekant og hypergeometrisk fordeling	—
6	Tredjegradsfunksjon derivasjon og fortegnslinje	—
7	To tog fart og tid med likningssystem	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 36 poeng
1	Epledyrker binomisk og hypergeometrisk sannsynlighet	—
2	Lufttrykk og høyde eksponentiell regresjon	—
3	Fjerdegradsfunksjon drøfting og parabel gjennom bunnpunkter	—
4	Laksefôr lineær optimering	—
5	Kostnadsfunksjon overskudd og tangentbetingelse	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Logaritmelikning og andregradslikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

2\lg x + 3 = 5

2x^2 + 2x = 12

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Andregradslikninger, Likninger

Oppgave 1-2 : Likningssystem parabola og linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssystemet ved regning

\begin{bmatrix} y = 6 - x^2 \\ y + 4 = -3x \end{bmatrix}

Løs likningssystemet ved regning.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Andregradslikninger, Lineære funksjoner

Oppgave 1-3 : Forenkling av potens- og logaritmeuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\dfrac{2^{-3} \cdot a^{0} \cdot (a \cdot b)^{2}}{2^{-4} \cdot a^{-1} \cdot b^{2}}

\lg(a \cdot b)^{2} - \lg\!\left(\dfrac{a^{3}}{b^{2}}\right) + \lg(a \cdot b^{2})

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Potenser, Logaritmer

Oppgave 1-4 : Rasjonal funksjon skisse og gjennomsnittlig veksthastighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \dfrac{3x - 1}{x - 3}

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Bestem gjennomsnittlig veksthastighet for funksjonen fra $x = 4$ til $x = 7$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Vekstfart

Oppgave 1-5 : Pascals talltrekant og hypergeometrisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv opp de ni første radene av Pascals talltrekant.

Bruk Pascals talltrekant til å bestemme binomialkoeffisientene $\binom{2}{0}$ , $\binom{3}{1}$ , $\binom{5}{2}$ og $\binom{8}{3}$ .

I oppgavene nedenfor kan du få bruk for denne formelen:

\text{Hypergeometrisk fordeling:} \quad P(X = k) = \dfrac{\dbinom{m}{k} \cdot \dbinom{n-m}{r-k}}{\dbinom{n}{r}}

$m$ elementer i $D$ . $\; n - m$ elementer i $\bar{D}$ . $\; r$ elementer trekkes tilfeldig. $X$ er antall elementer som trekkes fra $D$ .

Fra en gruppe med 3 gutter og 5 jenter skal det velges en komité på 3 elever ved loddtrekning.

Bestem sannsynligheten for at det blir 1 gutt og 2 jenter i komiteen.

Fra en gruppe med 8 elever skal det velges en komité. Du får vite at komiteen kan settes sammen på 28 ulike måter.

Hvor mange elever kan det være i komiteen?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Binomisk fordeling

Oppgave 1-6 : Tredjegradsfunksjon derivasjon og fortegnslinje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \dfrac{2}{3}x^3 + x^2 - 12x + 1

Bestem $f'(x)$ .

Tegn fortegnslinjen til $f'(x)$ . Bruk denne til å avgjøre hvor grafen til $f$ stiger, og hvor den synker.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-7 : To tog fart og tid med likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tog A og tog B starter samtidig fra stasjon 1. De kjører på hvert sitt spor til stasjon 2. Kjørelengden er 120 km for begge togene.

Gjennomsnittsfarten til tog A er $v$ km/h, og dette toget bruker $t$ timer på strekningen mellom stasjonene.

Gjennomsnittsfarten til tog B er 20 km/h større enn til tog A, og tog B bruker én time kortere tid enn tog A.

Forklar at vi kan sette opp likningssystemet

\begin{bmatrix} v \cdot t = 120 \\ (v + 20) \cdot (t - 1) = 120 \end{bmatrix}

Bestem gjennomsnittsfarten til hvert av togene.

Forklar at vi kan sette opp likningssystemet over, og bestem gjennomsnittsfarten til hvert av togene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Andregradslikninger

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Epledyrker binomisk og hypergeometrisk sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En epledyrker har funnet ut at 80 % av eplene han plukker, har god nok kvalitet til at de kan selges til vanlig forbruk. Resten går til produksjon av eplesaft, syltetøy og lignende.

En dag plukker han 70 epler. Bestem sannsynligheten for at akkurat 60 av disse kan selges til vanlig forbruk.

Bestem sannsynligheten for at minst 60 av disse eplene kan selges til vanlig forbruk.

Epledyrkeren selger epler fra en kasse som inneholder 80 epler av sort A og 100 epler av sort B. Eplene er lagt tilfeldig ned i kassen.

En kunde kjøper 20 epler. Bestem sannsynligheten for at kunden får akkurat 10 av hver sort når eplene trekkes ut tilfeldig.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet, Kombinatorikk

Oppgave 2-2 : Lufttrykk og høyde eksponentiell regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom høyden over havet målt i kilometer og lufttrykket målt i hektopascal (hPa), under visse betingelser.

Høyde $x$ (km over havet)	0	1,10	2,10	4,20	6,00
Lufttrykk $p(x)$ (hPa)	1013	900	800	600	500

Bruk eksponentiell regresjon til å bestemme en modell $p(x)$ som viser lufttrykket som funksjon av høyden $x$ over havet.

Titicacasjøen ligger 3,8 km over havet på grensen mellom Peru og Bolivia. Bruk modellen $p(x)$ og bestem lufttrykket i denne høyden.

Bestem ved regning hvor høyt vi er over havet når vi måler lufttrykket til 700 hPa.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer

Oppgave 2-3 : Fjerdegradsfunksjon drøfting og parabel gjennom bunnpunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^4 - 4x^2

Tegn grafen til $f$ når $x \in \langle -2{,}5,\; 2{,}5 \rangle$ .

Bestem ved regning grafens skjæringspunkter med koordinataksene.

Bruk $f'(x)$ til å avgjøre hvor grafen til $f$ stiger, og hvor den synker. Bestem koordinatene til topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

En annen funksjon $g$ er gitt ved

g(x) = ax^2, \text{ der } a \text{ er en konstant.}

Grafen til $g$ skal gå gjennom de to bunnpunktene på grafen til $f$ .

Bestem $a$ .

Tegn grafen til $g$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 10
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Andregradslikninger

Oppgave 2-4 : Laksefôr lineær optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer to typer laksefôr, Godlaks og Gladlaks. Begge fôrtypene inneholder stoffene A og B.

For å lage 1 tonn av fôret Godlaks blandes 300 kg av stoffet A og 700 kg av stoffet B.
For å lage 1 tonn av fôret Gladlaks blandes 600 kg av stoffet A og 400 kg av stoffet B.
Bedriften kan hver uke få kjøpt inntil 20 tonn av stoffet A og inntil 18 tonn av stoffet B.
Den maksimale produksjonsmengden er inntil 35 tonn laksefôr per uke.

Bedriften produserer $x$ tonn av fôret Godlaks og $y$ tonn av fôret Gladlaks hver uke.

Forklar at $x$ og $y$ må oppfylle ulikhetene

x \geq 0,\; y \geq 0

0{,}3x + 0{,}6y \leq 20

0{,}7x + 0{,}4y \leq 18

x + y \leq 35

Marker det området som $x$ og $y$ må tilhøre i et koordinatsystem.

Bedriften selger hele produksjonen. Salgsprisen for fôret Godlaks er 5 000 kroner per tonn, mens fôret Gladlaks selges for 8 500 kroner per tonn.

Hvor mye må bedriften produsere av hver fôrtype for at salgsinntekten per uke skal bli størst mulig? Bestem denne salgsinntekten.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Ulikheter, Lineære funksjoner

Oppgave 2-5 : Kostnadsfunksjon overskudd og tangentbetingelse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift har funnet ut at de samlede kostnadene $f$ ved å produsere $x$ enheter av en vare er gitt ved

f(x) = 55 + 0{,}01x^2

De samlede kostnadene må ikke overstige 200. Hvor mange enheter kan bedriften da høyst produsere?

Hele produksjonen blir solgt. Salgsinntekten $g$ er gitt ved

g(x) = 1{,}6x

Hvilke produksjonsmengder gir overskudd for bedriften? Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd? Hvor stort er dette overskuddet?

Hvis prisen per enhet er $p$ , kan salgsinntekten skrives som

h(x) = p \cdot x

Bedriften vil undersøke hvor lavt prisen kan settes dersom det skal være mulig å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter.

Grafen til f og h med tangeringspunktet T

Forklar at vi kan bestemme denne minsteprisen når grafen til $h$ tangerer grafen til $f$ . Se figuren.

Det kan vises at den minste prisen som vil gi balanse, er $p \approx 1{,}48$ .

Forklar at prisen er minst når $p = f'(a)$ , der $a$ er førstekoordinaten til tangeringspunktet $T$ på figuren. Bruk dette til å bestemme hvor mange enheter det produseres og selges når prisen er minst.

Likningen $f(x) = h(x)$ kan omformes til $0{,}01x^2 - px + 55 = 0$ . Bestem en verdi for $p$ som gjør at denne likningen har bare én løsning. Forklar hvorfor denne verdien er den minste prisen som vil gi balanse.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 9
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Andregradslikninger, Optimering

Sync på tvers av enheter

S1 Vår 2013

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Logaritmelikning og andregradslikning

Oppgave 1-2 : Likningssystem parabola og linje

Oppgave 1-3 : Forenkling av potens- og logaritmeuttrykk

Oppgave 1-4 : Rasjonal funksjon skisse og gjennomsnittlig veksthastighet

Oppgave 1-5 : Pascals talltrekant og hypergeometrisk fordeling

Oppgave 1-6 : Tredjegradsfunksjon derivasjon og fortegnslinje

Oppgave 1-7 : To tog fart og tid med likningssystem

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Epledyrker binomisk og hypergeometrisk sannsynlighet

Oppgave 2-2 : Lufttrykk og høyde eksponentiell regresjon

Oppgave 2-3 : Fjerdegradsfunksjon drøfting og parabel gjennom bunnpunkter

Oppgave 2-4 : Laksefôr lineær optimering

Oppgave 2-5 : Kostnadsfunksjon overskudd og tangentbetingelse

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave