S1 Høst 2014

Vi ganger ut høyresiden og samler alle ledd på venstre side.

Vi faktoriserer andregradsuttrykket. Vi trenger to tall som har produkt $10$ og sum $-7$, altså $-2$ og $-5$.

Et produkt er null når minst én av faktorene er null, så

Vi bruker definisjonen av logaritme: $\lg (u)=v\iff u={10}^v$.

Vi deriverer $f(x)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+x^2+2$ ledd for ledd:

Vi finner mulige topp- og bunnpunkter ved å løse $f^{\prime }(x)=0$:

For å avgjøre hva slags ekstremalpunkter dette er, setter vi opp fortegnslinje for $f^{\prime }(x)=-2x(x-1)$:

• For $x<0$, for eksempel $x=-1$: $f^{\prime }(-1)=-2(-1)(-2)=-4<0$
• For $0<x<1$, for eksempel $x=\mathrm{0,5}$: $f^{\prime }(\mathrm{0,5})=-2(\mathrm{0,5})(-\mathrm{0,5})=\mathrm{0,5}>0$
• For $x>1$, for eksempel $x=2$: $f^{\prime }(2)=-2(2)(1)=-4<0$

$f^{\prime }$ skifter fra negativ til positiv i $x=0$, så dette er et bunnpunkt. $f^{\prime }$ skifter fra positiv til negativ i $x=1$, så dette er et toppunkt.

Vi finner funksjonsverdiene:

Grafen til $f$ har altså et bunnpunkt i $(0,2)$ og et toppunkt i $(1,\frac{7}{3})$.

Vi regner ut:

Fra b) vet vi at $f$ er

• avtagende for $x<0$, ned til bunnpunktet $(0,2)$
• voksende for $0<x<1$, opp til toppunktet $(1,\frac{7}{3})$
• avtagende for $x>1$

Siden bunnpunktverdien $f(0)=2$ er positiv, er $f(x)\ge 2>0$ for alle $x\le 1$ — grafen kan derfor ikke krysse x-aksen der. For $x>1$ er $f$ avtagende, uten flere topp- eller bunnpunkter. Siden $f(1)=\frac{7}{3}>0$ og $f(3)=-7<0$, må grafen krysse x-aksen nøyaktig én gang mellom $x=1$ og $x=3$.

Dermed har $f$ bare ett nullpunkt.

Vi skal velge tre bokstaver etter hverandre, og samme bokstav kan brukes flere ganger. Da har vi $4$ mulige valg til hver av de tre plassene:

Det finnes $64$ ulike koder.

Nå kan hver bokstav bare brukes én gang. Til første plass har vi $4$ mulige bokstaver, til andre plass står det da $3$ igjen, og til tredje plass $2$ igjen:

Det finnes $24$ ulike koder.

Vi skal telle kodene som har minst to like bokstaver. Det er enklere å bruke komplement: alle koder ($64$ stykker, fra a) består enten av tre helt like/delvis like bokstaver (minst to like), eller av tre helt forskjellige bokstaver ($24$ stykker, fra b).

Det finnes $40$ koder med minst to like bokstaver.

Vi setter $x=200$ inn i uttrykket for enhetskostnaden:

Enhetskostnaden er altså $2100$ kroner per enhet.

Den samlede produksjonskostnaden finner vi ved å multiplisere enhetskostnaden med antall enheter:

Samlet produksjonskostnad er $420000$ kroner.

Bedriften selger alt den produserer for $2000$ kroner per enhet, så inntekten ved $x$ enheter er

Den samlede produksjonskostnaden ved $x$ enheter er enhetskostnaden multiplisert med $x$:

Overskuddet er inntekt minus kostnad:

Dette stemmer med det oppgitte uttrykket.

Vi deriverer overskuddsfunksjonen og setter den lik null:

Siden $O^{\prime \prime }(x)=-8<0$, er dette et toppunkt (maksimum).

Produksjonsmengden som gir størst overskudd, er $x=100$ enheter.

Den momentane vekstfarten i et punkt $(x,f(x))$ er gitt ved den deriverte $f^{\prime }(x)$. Vi finner først $f^{\prime }(x)$:

Momentan vekstfart i punktet $(2,f(2))$:

Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[1,3]$ er gitt ved

Vi regner ut $f(3)=3^2+3\cdot 3-5=13$ og $f(1)=1^2+3\cdot 1-5=-1$, som gir

Den momentane vekstfarten i $x=2$ og den gjennomsnittlige vekstfarten i $[1,3]$ er altså begge $\underline{\underline{7}}$.

Momentan vekstfart i punktet $(a,f(a))$:

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[a-1,a+1]$ er

Vi regner ut telleren:

Nevneren er $(a+1)-(a-1)=2$, så

Vi ser at den momentane vekstfarten $f^{\prime }(a)=2a+3$ og den gjennomsnittlige vekstfarten over $[a-1,a+1]$ er $2a+3$ er like store, uansett hvilken verdi $a$ har.

Dette er ikke tilfeldig: siden $f$ er en andregradsfunksjon, er den deriverte $f^{\prime }(x)=2x+3$ en lineær funksjon. For et intervall $[a-1,a+1]$ som ligger symmetrisk rundt $a$, er den gjennomsnittlige vekstfarten (stigningstallet til sekanten) lik verdien av den (lineære) deriverte funksjonen i midtpunktet $a$. Resultatet i a) er et spesialtilfelle av dette: intervallet $[1,3]$ er symmetrisk om $x=2$, så gjennomsnittlig og momentan vekstfart blir like der også.

Beløpet vokser med vekstfaktoren $\mathrm{1,04}$ hvert år. Etter 3 år er saldoen

Vi løser dette i GeoGebra CAS.

Linje 1 gir $K=\mathrm{11248,64}$.

$\underline{\underline{K=\mathrm{11248,64}\mathrm{kr}}}$

Vi skal finne antall år $n$ fra pengene ble satt inn til saldoen er $25000$ kr:

Se linje 2 i skjermbildet, som gir $n\approx \mathrm{23,36}$.

Det vil altså gå litt over $23$ år fra Per satte inn pengene til han har $25000$ kroner på kontoen.

$\underline{\underline{n\approx \mathrm{23,4}\text{ år}}}$

Nå er det gått 3 år siden Per satte inn de første $10000$ kronene. Han setter inn et tilleggsbeløp $x$ i dag, og vi ser 7 år fram i tid. På det tidspunktet har de første $10000$ kronene stått på kontoen i $3+7=10$ år, mens tilleggsbeløpet $x$ har stått i $7$ år. Summen skal da være $25000$ kr:

Se linje 3 i skjermbildet, som gir $x\approx \mathrm{7749,31}$.

Per må altså sette inn omtrent $7749$ kroner i dag.

$\underline{\underline{x\approx \mathrm{7749,31}\mathrm{kr}}}$

Turen tar nøyaktig $23$ min når $20+X=23$, altså når $X=3$. Vi beregner

i GeoGebra CAS, se PX3 i utklippet.

Dette gir $P(X=3)\approx \mathrm{0,2150}$.

$\underline{\underline{P(X=3)\approx \mathrm{0,2150}}}$

Turen tar mindre enn $25$ min når $20+X<25$, altså når $X<5$, det vil si $X\in \{0,1,2,3,4\}$. Vi beregner

i GeoGebra CAS, se PXunder5 i utklippet over.

Dette gir $P(X<5)\approx \mathrm{0,6331}$.

$\underline{\underline{P(X<5)\approx \mathrm{0,6331}}}$

Her er situasjonen hypergeometrisk fordelt: blant de $30$ passasjerene er det $4$ uten billett, og $5$ passasjerer velges ut til kontroll.

Vi finner sannsynligheten for at minst én av de fire uten billett blir kontrollert ved å ta komplementet av at ingen av de fire blir kontrollert. Da må alle $5$ kontrollerte være valgt blant de $26$ passasjerene som har billett:

i GeoGebra CAS, se PC i utklippet over.

Dette gir $P\approx \mathrm{0,5384}$.

$\underline{\underline{P(\text{minst en kontrollert})\approx \mathrm{0,5384}}}$

Vi plotter punktene fra tabellen $(1,\mathrm{3,3}),(2,\mathrm{4,2}),(4,\mathrm{5,2}),(6,\mathrm{6,0}),(8,\mathrm{6,6}),(10,\mathrm{7,1})$ i et koordinatsystem og bruker potensregresjon i GeoGebra til å finne en funksjon på formen $h(t)=a\cdot t^b$ som passer med punktene:

GeoGebra gir

Pumpen fyller $18{\mathrm{m}}^3$ vann i timen, og det tappes ikke vann ut av tanken. Vi finner tidspunktet der vannstanden er $h=\mathrm{10,0}\mathrm{m}$ (full tank) ved å skjære grafen til $h(t)$ med linjen $y=10$ (se figuren over, punktet $S$):

Det tar altså om lag $\underline{\underline{t\approx \mathrm{28,1}\mathrm{timer}}}$ før tanken er full.

Siden pumpen fyller med konstant hastighet $18{\mathrm{m}}^3$ per time, og det ikke tappes vann ut, er volumet i tanken etter $t$ timer gitt ved $V(t)=18\cdot t$ uansett formen på tanken. Da blir volumet når tanken er full

Den nye tanken har samme form som den gamle, altså samme forhold mellom radius og høyde. For en kjegle er volumet proporsjonalt med høyden i tredje potens, $V=k\cdot h^3$, der $k$ er den samme konstanten for begge tankene siden formen er lik.

Fra tank 1 (b) vet vi at $h=\mathrm{10,0}\mathrm{m}$ gir $V\approx 506{\mathrm{m}}^3$, så

For den nye tanken skal $V=1000{\mathrm{m}}^3$, og høyden blir da

Fylletiden er uavhengig av tankens form, siden volumet øker med konstant hastighet $18{\mathrm{m}}^3$ per time:

Bilen fra A starter ved $t=0$ og kjører med konstant fart $60\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$. Avstanden $s$ fra A ved tiden $t$ er derfor

Bilen fra B starter først $20\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{h}$ senere, altså ved $t={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Den kjører med farten $40\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ fra B mot A, det vil si at avstanden fra A minker med $40$ km per time etter at bilen har startet. Avstanden fra A til denne bilen ved tiden $t$ er dermed

siden bilen har kjørt i $(t-\frac{1}{3})$ timer når klokken viser $t$.

Idet de to bilene møtes, er de like langt fra A, altså har de samme verdi av $s$. Derfor kan likningssystemet

brukes til å finne møtestedet.

Løser likningssystemet fra a) i CAS.

CAS (Løs) gir $s=128$ og $t={\displaystyle \frac{32}{15}}$.

Bilene møtes altså $\underline{\underline{128\mathrm{km}}}$ fra A.

Skal bilene møtes midt mellom byene, er avstanden fra A lik $100\mathrm{km}$.

Bilen fra A bruker da

på å nå møtestedet. Bilen fra B starter ved $t={\displaystyle \frac{1}{3}}$ og må da tilbakelegge $200-100=100\mathrm{km}$ i løpet av

Farten $v$ bilen fra B trenger, er dermed

Se skjermbildet over (v-linjen), som viser $v=75$.

Bilen fra B må altså holde en fart på $\underline{\underline{75\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}}}$ for at bilene skal møtes midt mellom A og B.

Pakkebåndet har lengde $8x+4y=900$. Vi løser med hensyn på $y$:

Volumet av det rette prismet (lengde $x$, bredde $y$, høyde $x$) er

Setter vi inn uttrykket for $y$, får vi

som var det vi skulle vise.

Vi finner ekstremalpunktene til $V(x)=-2x^3+225x^2$ ved å derivere og sette den deriverte lik null:

Se utregningen i GeoGebra CAS:

Siden $y=225-2x$ må være positiv, må $x<\mathrm{112,5}$, så $x=75$ ligger i det gyldige området. $V^{\prime }(x)$ er positiv for $0<x<75$ og negativ for $x>75$, så $x=75$ gir et maksimum ($x=0$ gir $V=0$ og er ikke et aktuelt maksimum).

Vi finner $y$ når $x=75$:

Dette betyr at pakken blir en terning med sidekant $75\mathrm{cm}$.

Det største volumet er

Svar: Volumet blir størst når $\underline{\underline{x=y=75\mathrm{cm}}}$ (pakken blir en terning), og det største volumet er $\underline{\underline{V_{\text{maks}}=\mathrm{421,875}{\mathrm{dm}}^3}}$.

Kjøttdeig og mel er begrensede ressurser, og butikken kan ikke bruke mer enn det de har tilgjengelig.

Av tabellen går det fram at 1 kg kjøttkake av type A bruker $\mathrm{0,40}$ kg kjøttdeig og $\mathrm{0,60}$ kg mel, mens 1 kg av type B bruker $\mathrm{0,80}$ kg kjøttdeig og $\mathrm{0,20}$ kg mel.

Med $x$ kg av type A og $y$ kg av type B brukes det totalt

Siden det bare er tilgang på $1000$ kg kjøttdeig og $800$ kg mel per uke, må

I tillegg kan ikke produsert mengde være negativ, så $x\ge 0$ og $y\ge 0$.

Ulikhetsområdet (det blåfargede området) er vist i figuren under, med grenselinjene $\mathrm{0,60}x+\mathrm{0,20}y=800$ (mel) og $\mathrm{0,40}x+\mathrm{0,80}y=1000$ (kjøttdeig):

Salgsinntekten er

I et lineært optimeringsproblem vil maksimum av en lineær målfunksjon alltid oppnås i et hjørnepunkt i det tillatte området. Hjørnepunktene i området fra a) er

der $(\mathrm{1333,33},0)$ er skjæringen mellom mel-linja og $x$-aksen, $(0,1250)$ er skjæringen mellom kjøttdeig-linja og $y$-aksen, og $(1100,700)$ er skjæringspunktet mellom de to grenselinjene (funnet ved likningssettet $\mathrm{0,60}x+\mathrm{0,20}y=800$ og $\mathrm{0,40}x+\mathrm{0,80}y=1000$).

Vi setter hjørnepunktene inn i $I(x,y)$:

Størst inntekt får vi i hjørnepunktet $(1100,700)$, markert med rødt i figuren over, der inntektslinja $70x+110y=154000$ tangerer det tillatte området.

Butikken må altså produsere $\underline{\underline{1100\mathrm{kg}}}$ av type A og $\underline{\underline{700\mathrm{kg}}}$ av type B for å få størst mulig salgsinntekt, som blir $\underline{\underline{154000\mathrm{kr}}}$.

Nå kommer det en ny betingelse: den ukentlige produksjonen kan høyst være $1500$ kg til sammen, altså

Punktet fra b), $(1100,700)$, gir $x+y=1800>1500$ og er derfor ikke lenger tillatt. Vi må finne det nye tillatte området, som er området fra a) snittet med $x+y\le 1500$.

Den nye grenselinja $x+y=1500$ skjærer de to andre grenselinjene i nye hjørnepunkter:

• Skjæring med mel-linja ($\mathrm{0,60}x+\mathrm{0,20}y=800$): $(1250,250)$
• Skjæring med kjøttdeig-linja ($\mathrm{0,40}x+\mathrm{0,80}y=1000$): $(500,1000)$

Det nye tillatte området har dermed hjørnepunktene

Vi setter inn i $I(x,y)=70x+110y$:

Størst inntekt gir nå hjørnepunktet $(500,1000)$, vist i figuren under:

Denne uken må butikken derfor produsere $\underline{\underline{500\mathrm{kg}}}$ av type A og $\underline{\underline{1000\mathrm{kg}}}$ av type B, og får en salgsinntekt på $\underline{\underline{145000\mathrm{kr}}}$.