S1 Høst 2013

LK06 17 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 17 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Høst 2013 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 10 oppgaver · 24 poeng
1	Andregradsderiverte beregnet i punkt S1 H13	—
2	Andregrads- og eksponentlikning uten hjelpemidler S1 H13	—
3	Likningssystem med parabel og rett linje S1 H13	—
4	Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon S1 H13	—
5	Forenkle potensuttrykk og vis logaritmeidentitet S1 H13	—
6	Andradssulikhet løst ved faktorisering S1 H13	—
7	Pascals talltrekant likningssystem x og y S1 H13	—
8	Tredjegradsfunksjon nullpunkter og skisse S1 H13	—
9	Rasjonal funksjon bestem parametre fra graf S1 H13	—
10	Vis at den deriverte til x² er 2x fra definisjonen S1 H13	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Defekte lyspærer hypergeometrisk sannsynlighet S1 H13	—
2	Lyspærfabrikk binomisk sannsynlighet og garantigrense S1 H13	—
3	Eksponentlikning med to baser bestem k S1 H13	—
4	Rektangel innskrevet under parabel areal og omkrets S1 H13	—
5	Implikasjon og kontraposisjon andregradslikhet S1 H13	—
6	Bakeri kakeproduksjon regresjon og overskudd S1 H13	—
7	Syltetøyproduksjon lineær optimering og sukkerpriser S1 H13	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 10 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Andregradsderiverte beregnet i punkt S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 3x^2 - 3x + 1, \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem $f'(2)$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Andregradspolynomer

Oppgave 1-2 : Andregrads- og eksponentlikning uten hjelpemidler S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

x(x+5) - 10 = 4

10^{3x} - 100000 = 0

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Andregradslikninger, Logaritmer, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-3 : Likningssystem med parabel og rett linje S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssettet ved regning

\left[\begin{array}{l} y = x^2 + 2 \\ y + x^2 = 4 \end{array}\right]

Løs likningssettet ved regning.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Andregradslikninger

Oppgave 1-4 : Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bevegelse foregår langs en rett linje. Startfarten var $v_0$ , og akselerasjonen er konstant lik $a$ . Etter tida $t$ er farten $v$ blitt $v = v_0 + at$ .

Bestem en formel for $t$ uttrykt ved $v$ , $v_0$ og $a$ .

Hvor lang tid tar det før farten $v$ er blitt 25 når akselerasjonen $a = 3$ og startfarten $v_0 = 1$ ?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Likninger, Formler

Oppgave 1-5 : Forenkle potensuttrykk og vis logaritmeidentitet S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\dfrac{9^2 \cdot a^2 \cdot b^3}{(3ab^2)^2}

Vis at

\lg\!\left(\dfrac{a^2}{b^2}\right) + \lg\!\left(\dfrac{b^2}{a}\right) + \lg(a+b) = \lg(a^2 + ab)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Potenser, Logaritmer

Oppgave 1-6 : Andradssulikhet løst ved faktorisering S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ulikheten

x^2 + 2x \geq x + 6

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Ulikheter, Andregradslikninger

Oppgave 1-7 : Pascals talltrekant likningssystem x og y S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser et utsnitt av tre påfølgende rader av Pascals talltrekant.

Utsnitt av Pascals talltrekant med ukjente x og y

Bruk figuren til å bestemme $x$ og $y$ ved å sette opp og løse et likningssystem.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Pascals talltrekant, Likningssystem, Kombinatorikk

Oppgave 1-8 : Tredjegradsfunksjon nullpunkter og skisse S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2x^3 - 6x^2, \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem nullpunktene til $f$ .

Bruk $f'(x)$ til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter

Oppgave 1-9 : Rasjonal funksjon bestem parametre fra graf S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til funksjonen $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx - 1}$ er tegnet nedenfor.

Graf til rasjonal funksjon med asymptoter

Bruk figuren til å bestemme verdiene til $a$ , $b$ og $c$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graf

Oppgave 1-10 : Vis at den deriverte til x² er 2x fra definisjonen S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = x^2, \quad D_f = \mathbb{R}

Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f'(x) = 2x$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Derivasjon, Grenseverdi

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Defekte lyspærer hypergeometrisk sannsynlighet S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en eske ligger 50 lyspærer. Av disse er 7 defekte.

Du velger tilfeldig ut 10 lyspærer fra esken.

Bestem sannsynligheten for at akkurat 2 av lyspærene er defekte.

Bestem sannsynligheten for at du velger ut minst 3 defekte lyspærer.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet

Oppgave 2-2 : Lyspærfabrikk binomisk sannsynlighet og garantigrense S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fabrikk produserer lyspærer. Fabrikken garanterer at det er 75 % sannsynlighet for at en lyspære vil lyse i 1000 h (timer).

En kunde kjøper 20 slike lyspærer.

Bestem sannsynligheten for at akkurat 18 lyspærer lyser når det er gått 1000 h.

Bestem sannsynligheten for at minst 15 lyspærer lyser i 1000 h.

Kunden ønsker at det skal være en sannsynlighet på 95 % eller mer for at minst 15 av 20 lyspærer fremdeles lyser når det er gått 1000 h.

Bestem hvilken sannsynlighet hver lyspære da må ha for å lyse i 1000 h.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Oppgave 2-3 : Eksponentlikning med to baser bestem k S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt likningen

900 \cdot 1{,}10^x = 1500 \cdot k^x

Bestem $k$ slik at $x = 10$ er en løsning av likningen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Likninger, Vekstfaktor

Oppgave 2-4 : Rektangel innskrevet under parabel areal og omkrets S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 6 - \dfrac{1}{2}x^2, \quad D_f = \mathbb{R}

Rektangel ABCD innskrevet under parabelgraf

Under grafen og over x-aksen er det skrevet inn et rektangel $ABCD$ slik figuren viser. Punktene $A$ og $B$ ligger på x-aksen, og $C$ og $D$ ligger på grafen. Punktet $B$ har førstekoordinaten $x$ , der $x > 0$ .

Forklar at arealet $F$ av rektangelet kan skrives som en funksjon av $x$ gitt ved

F(x) = 12x - x^3

Bestem $D_F$ .

Det fins to verdier av $x$ som gjør at arealet av rektangelet blir lik 9. Bestem disse to verdiene.

Bestem den verdien av $x$ som gjør at arealet av rektangelet blir størst mulig. Hva blir det største arealet?

Bestem et uttrykk for omkretsen av rektangelet. Bestem den verdien av $x$ som gjør at omkretsen av rektangelet blir størst mulig. Kommenter svaret.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Optimering, Derivasjon, Areal, Andregradspolynomer

Oppgave 2-5 : Implikasjon og kontraposisjon andregradslikhet S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Avgjør om implikasjonen nedenfor er riktig.

x^2 < 4 \Rightarrow x > -2

Avgjør om den motsatte implikasjonen er riktig.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logikk, Ulikheter

Oppgave 2-6 : Bakeri kakeproduksjon regresjon og overskudd S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et bakeri lager $x$ kaker per dag, i tillegg til andre bakervarer. Bakeriet har funnet ut at de totale kostnadene $K(x)$ i kroner ved kakeproduksjonen avhenger av antall kaker, slik tabellen viser.

Antall kaker $x$	0	50	90	150	180	250
Totale kostnader $K(x)$	0	900	1000	1100	1500	4400

Bruk regresjon til å bestemme en polynomfunksjon av tredje grad som passer best mulig med tallene i tabellen.

I resten av oppgaven vil vi bruke kostnadsfunksjonen $K$ gitt ved

K(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}3x^2 + 30x, \quad x \in [0,\, 250]

Bakeriet selger alle kakene for 15 kroner per stykk. Inntektsfunksjonen $I$ er da gitt ved

I(x) = 15x

Tegn grafene til $K$ og $I$ i samme koordinatsystem. Bestem hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilke som gir underskudd.

Bruk derivasjon til å bestemme hvor mange kaker som bør produseres dersom overskuddet skal bli størst mulig. Hva er det største overskuddet bakeriet kan oppnå per dag når vi bare ser på kakeproduksjonen?

Som et ekstra tilbud til kundene vurderer bakeriet å sette ned prisen per kake.

La prisen per kake være $p$ kroner. Bestem den minste verdien $p$ kan ha dersom det skal være mulig å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter. Hvor mange kaker bør lages og selges per dag når $p$ har denne verdien?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Økonomi

Oppgave 2-7 : Syltetøyproduksjon lineær optimering og sukkerpriser S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Silje lager to typer syltetøy.

Type 1 inneholder 90 % bær og 10 % sukker. Type 2 inneholder 40 % bær og 60 % sukker.

Syltetøyet skal fylles på glass, og et fullt glass skal inneholde 1 kg syltetøy.

Hun har 20 kg bær og 5 kg sukker som hun skal lage syltetøy av.

Hvor mange glass av hver type må hun lage for å få brukt opp 20 kg bær og 5 kg sukker?

Hun kan selge syltetøyet av type 1 for 80 kroner per glass og syltetøyet av type 2 for 40 kroner per glass. Hvilken inntekt får hun i dette tilfellet?

Forklar ved å bruke lineær optimering at dette er den største inntekten hun kan oppnå.

Helsemyndighetene foreslår å øke sukkerprisen slik at syltetøy av type 2 blir dyrest.

Når Silje skal lage mer syltetøy, kjøper hun bær for 30 kroner per kilogram. Det skal koste 5 kroner mer per glass å lage syltetøy av type 2 enn av type 1.

Undersøk hva prisen per kilogram sukker da må være.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Lineær optimering, Likningssystem, Økonomi

Sync på tvers av enheter

S1 Høst 2013

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 10 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Andregradsderiverte beregnet i punkt S1 H13

Oppgave 1-2 : Andregrads- og eksponentlikning uten hjelpemidler S1 H13

Oppgave 1-3 : Likningssystem med parabel og rett linje S1 H13

Oppgave 1-4 : Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon S1 H13

Oppgave 1-5 : Forenkle potensuttrykk og vis logaritmeidentitet S1 H13

Oppgave 1-6 : Andradssulikhet løst ved faktorisering S1 H13

Oppgave 1-7 : Pascals talltrekant likningssystem x og y S1 H13

Oppgave 1-8 : Tredjegradsfunksjon nullpunkter og skisse S1 H13

Oppgave 1-9 : Rasjonal funksjon bestem parametre fra graf S1 H13

Oppgave 1-10 : Vis at den deriverte til x² er 2x fra definisjonen S1 H13

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Defekte lyspærer hypergeometrisk sannsynlighet S1 H13

Oppgave 2-2 : Lyspærfabrikk binomisk sannsynlighet og garantigrense S1 H13

Oppgave 2-3 : Eksponentlikning med to baser bestem k S1 H13

Oppgave 2-4 : Rektangel innskrevet under parabel areal og omkrets S1 H13

Oppgave 2-5 : Implikasjon og kontraposisjon andregradslikhet S1 H13

Oppgave 2-6 : Bakeri kakeproduksjon regresjon og overskudd S1 H13

Oppgave 2-7 : Syltetøyproduksjon lineær optimering og sukkerpriser S1 H13

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave