S1 Vår 2012

Vi setter uttrykkene på felles brøkstrek. Legg merke til at $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, konjugatsetningen:

Vi skriver $99=100-1$ og $101=100+1$ og bruker konjugatsetningen $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

Vi bruker at ${(x+y)}^2=x^2+2xy+y^2$:

De mulige kombinasjonene av to terninger som gir sum $10$ er $(\mathrm{4,6})$, $(\mathrm{5,5})$ og $(\mathrm{6,4})$, altså $3$ av totalt $6\cdot 6=36$ utfall:

Vi merker oss at $x\ne 1$ og $x\ne -1$, og at $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Vi multipliserer alle ledd med $(x-1)(x+1)$:

Vi bruker abc-formelen:

Dette gir $x=2$ eller $x=-6$. Begge er gyldige siden ingen av dem er $1$ eller $-1$.

Vi løser likningen $2\lg (x+1)=4$ ved først å dele på $2$:

Vi skriver om begge potensene med samme eksponent. Siden $\text{sfd}(\mathrm{75,50})=25$:

Siden $9>8$, er $9^{25}>8^{25}$, altså er $3^{50}$ størst.

La $v$ være antall voksne og $b$ være antall barn. Siden salen er fullsatt med $80$ seter:

Billettinntektene var $6000$ kroner, med $100$ kroner per voksenbillett og $60$ kroner per barnebillett:

Fra den første likningen får vi $b=80-v$. Vi setter dette inn i den andre likningen:

Da er $b=80-30=50$.

Styret har $6$ medlemmer, $2$ jenter og $4$ gutter. Vi trekker $2$ tilfeldig og bruker hypergeometrisk fordeling:

Vi finner nullpunktene ved å løse $f(x)=0$:

Vi faktoriserer ut $x$:

Et produkt er null når minst én av faktorene er null:

Nullpunktene til $f$ er $\underline{\underline{x=0\text{ og }x=2}}$.

Den deriverte til $f$ er

Vi setter $f^{\prime }(x)=0$ og løser med hensyn på $x$:

Fortegnslinjen til $f^{\prime }(x)$:

Siden $f^{\prime }(x)$ går fra positiv til negativ i $x=1$, har grafen til $f$ et toppunkt der. Vi finner $y$-verdien:

Grafen til $f$ har dermed et $\underline{\underline{\text{toppunkt i }(1,1)}}$.

c og d

Vi tegner grafen til $f$ for $x\in ⟨-3,3⟩$ (grønn) og grafen til $g(x)=2x-4$ (rød) i samme koordinatsystem, med skjæringspunktene $A$ og $B$ markert.

Skjæringspunktene finner vi ved å løse likningen $f(x)=g(x)$:

Vi trekker $2x-4$ fra begge sider:

Dette gir

Vi setter $x$-verdiene inn i $g(x)=2x-4$ for å finne $y$-verdiene:

Skjæringspunktene mellom $f$ og $g$ er $\underline{\underline{(-2,-8)\text{ og }(2,0)}}$, som stemmer med punktene $A$ og $B$ på grafen.

Det er tre kopper, og Lars gjetter tilfeldig hvilken som inneholder kaffemerket A. Alle tre koppene er like sannsynlige å velge, så

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{1}{3}}}}$

For at gjentatte forsøk skal være et binomisk forsøk, må følgende krav være oppfylt:

• Det gjøres et fast antall forsøk ($n=5$).
• Hvert forsøk er uavhengig av de andre — utfallet i én test påvirker ikke utfallet i de neste, siden koppene stokkes på nytt hver gang.
• Det er bare to mulige utfall i hvert forsøk: Lars velger riktig kopp eller feil kopp.
• Sannsynligheten for å velge riktig kopp er den samme i hvert forsøk, $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$, siden Lars (uten evnen) bare gjetter hver gang.

Alle disse kravene er oppfylt, så testen er et binomisk forsøk.

Vi lar $X$ være antall ganger Lars velger riktig kaffemerke av $5$ forsøk. Dersom Lars bare gjetter, er $X$ binomisk fordelt med $n=5$ og $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Vi skal finne $P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)$:

Beregnet i GeoGebra CAS:

Dette betyr at dersom Lars bare gjetter, er det om lag $\mathrm{4,5}\%$ sjanse for at han velger riktig kaffemerke minst fire av fem ganger. Siden dette er en lav sannsynlighet, tyder Lars sitt gode resultat på at han faktisk kan ha evnen til å kjenne igjen kaffemerke A.

$\underline{\underline{P(X\ge 4)={\displaystyle \frac{11}{243}}\approx \mathrm{4,5}\%}}$

Likningen $x^2+bx+25=0$ har nøyaktig én løsning når diskriminanten er lik null:

Vi løser likningen i GeoGebra CAS.

Fra utklippet ser vi at

Vi skal løse likningssystemet

Fra den første likningen får vi $y=22-2x$, som vi setter inn i den andre likningen. Det gir andregradslikningen $x(22-2x)=60$, altså $-2x^2+22x-60=0$. Vi løser likningssystemet direkte i GeoGebra CAS (se linje 2 i utklippet over).

Fra CAS-utklippet ser vi løsningene

Begge løsningene kan kontrolleres: $2\cdot 6+10=22$ og $6\cdot 10=60$, samt $2\cdot 5+12=22$ og $5\cdot 12=60$.

Vi bruker logaritmeregnereglene $\lg (pq)=\lg p+\lg q$, $\lg \left({\displaystyle \frac{p}{q}}\right)=\lg p-\lg q$ og $\lg (p^n)=n\lg p$:

Kontrollert i GeoGebra CAS, se linje 1 i utklippet under.

Vi deler begge sider på $2\cdot 5^x$:

Tar $\lg$ på begge sider og bruker $\lg (p^n)=n\lg p$:

Dette stemmer med linje 2 i CAS-utklippet over, som gir $x={\displaystyle \frac{-\ln 2}{\ln 5-\ln 7}}={\displaystyle \frac{\lg 2}{\lg (7/5)}}\approx \mathrm{2,06}$.

Svar: $\underline{\underline{x\approx \mathrm{2,06}}}$

1) Er implikasjonene riktige?

Denne implikasjonen er $\text{riktig}$. Hvis $x=3$ og $y=7$, følger det direkte av addisjon at $x+y=3+7=10$. Det finnes ingen mulighet for at $x=3$ og $y=7$ er sanne samtidig som $x+y\ne 10$.

Denne implikasjonen er $\text{uriktig}$. Venstresiden er sann når $x=2$, $x=0$ eller $x=-3$ (nullproduktsetningen), men implikasjonen påstår at $x$ da må være $-3$. Et moteksempel er $x=2$: da er $(2-2)\cdot 2\cdot (2+3)=0\cdot 2\cdot 5=0$, altså er venstresiden sann, mens $x=-3$ er usann.

2) Er de motsatte (omvendte) implikasjonene riktige?

Motsatt implikasjon av den første:

Denne er $\text{uriktig}$. Et moteksempel er $x=1$ og $y=9$: da er $x+y=10$, men $x\ne 3$.

Motsatt implikasjon av den andre:

Denne er $\text{riktig}$. Hvis $x=-3$, blir faktoren $(x+3)=0$, og da blir hele produktet $0$ uansett hva de andre faktorene er verdt.

Vi legger prispunktene $(p,x)$ inn i GeoGebra og kjører lineær regresjon på datasettet. Regresjonen gir

Dette stemmer godt med modellen vi bruker videre i oppgaven, $x=-40p+1600$ (se punktene sammen med denne linja i figuren under).

Fra modellen $x=-40p+1600$ løser vi ut prisen $p$ som funksjon av $x$:

Inntekten ved salg av $x$ enheter er pris multiplisert med antall solgte enheter:

Vi setter $x=1000$ inn i inntektsfunksjonen $I$ og kostnadsfunksjonen $K$:

Overskuddet er inntekt minus kostnad:

Siden dette er negativt, får bedriften ikke overskudd ved å produsere og selge $1000$ enheter — de går med et underskudd på $\underline{\underline{1000\mathrm{kr}}}$.

Vi tegner grafene til $K(x)=\mathrm{0,002}{x}^2+10x+4000$ (rød) og $I(x)=-\mathrm{0,025}{x}^2+40x$ (blå) i samme koordinatsystem, for $x\in ⟨0,1200⟩$.

Grafene skjærer hverandre for $x\approx 155$ og $x\approx 956$. Mellom disse verdiene ligger inntektsgrafen over kostnadsgrafen, og bedriften har overskudd.

Overskuddet er inntekt minus kostnad, $O(x)=I(x)-K(x)$:

$O(x)$ er en parabel som vender grenene nedover ($-\mathrm{0,027}<0$), så toppunktet gir maksimalt overskudd. Vi deriverer og løser $O^{\prime }(x)=0$ i CAS.

Fra utklippet er $O^{\prime }(x)=-\mathrm{0,054}x+30$, og

Dette gir maksimalt overskudd. Prisen som gir dette antallet solgte enheter finner vi fra sammenhengen i b):

For at overskuddet skal bli størst mulig, må prisen per enhet være $\underline{\underline{p\approx 26\mathrm{kr}}}$ (maksimalt overskudd blir da omtrent $4333\mathrm{kr}$).

Funksjonen er $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Vi deriverer:

I punktet $x=a$ er $f(a)={\displaystyle \frac{1}{a}}$ og stigningstallet til tangenten er $f^{\prime }(a)=-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$.

Likningen for tangenten i punktet $(a,f(a))$ er gitt ved

Vi utvider parentesen:

som er det vi skulle vise.

Punktet $A$ er der tangenten skjærer $x$-aksen, altså der $y=0$:

Dette gir $A=(2a,0)$.

Punktet $B$ er der tangenten skjærer $y$-aksen, altså der $x=0$:

Dette gir $B=(0,{\displaystyle \frac{2}{a}})$.

Trekanten $△OAB$ er rettvinklet, med de to katetene langs $x$-aksen og $y$-aksen. Lengden av katetene er $|OA|=|2a|$ og $|OB|=\left|{\displaystyle \frac{2}{a}}\right|$. Arealet blir da

Arealet av $△OAB$ er altså $\underline{\underline{2}}$ for alle verdier av $a\ne 0$. Arealet er med andre ord konstant og uavhengig av hvilket punkt på grafen vi legger tangenten i.

Vi setter opp ulikhetene ut fra arbeidskapasiteten i de tre avdelingene. La $x$ være antall stoler og $y$ antall bord som produseres per dag. Siden man ikke kan produsere et negativt antall, må $x\ge 0$ og $y\ge 0$.

Monteringsavdelingen bruker $3$ min per stol og $50$ min per bord, og har $2525$ min tilgjengelig:

Kontrollavdelingen bruker $2$ min per stol og $8$ min per bord, og har $480$ min tilgjengelig:

Pakkeavdelingen bruker $4$ min per stol og $10$ min per bord, og har $810$ min tilgjengelig:

Dette gir nettopp de oppgitte ulikhetene.

Inntekten er $I(x,y)=300x+1600y$, og vi skal maksimere denne innenfor det området som ulikhetene fra a) definerer.

Vi tegner de tre linjene $f(x)=-\mathrm{0,06}x+\mathrm{50,5}$, $g(x)=-\mathrm{0,25}x+60$ og $h(x)=-\mathrm{0,4}x+81$ i GeoGebra og markerer det tillatte området (skjæringen av alle ulikhetene). Grenselinjen til området går gjennom hjørnene $(0,\mathrm{50,5})$, $A$, $B$ og $(\mathrm{202,5},0)$, der $A$ og $B$ er skjæringspunktene mellom de aktive linjene:

Fra figuren ser vi at $A=(50,\mathrm{47,5})$ (skjæring mellom $f$ og $g$) og $B=(140,25)$ (skjæring mellom $g$ og $h$).

Maksimum av en lineær objektfunksjon over et slikt område finnes alltid i et av hjørnene. Vi regner ut inntekten i hvert hjørne:

Størst inntekt får vi i hjørnet $A=(50,\mathrm{47,5})$, der

Men bedriften kan ikke produsere et halvt bord, så $x$ og $y$ må være hele tall. Vi leter derfor etter heltallspunkter i det tillatte området nær $A$ og regner ut inntekten:

Punktet $(53,47)$ er ikke tillatt, fordi kontrollbetingelsen gir $2\cdot 53+8\cdot 47=482>480$. Og $y=48$ er ikke mulig for noen $x\ge 0$ med $x\le 50$ uten å bryte monteringsbetingelsen ($3x+50\cdot 48\le 2525$ gir $x\le 41$, og da blir $I\le 300\cdot 41+1600\cdot 48=89100\mathrm{kr}$).

Bedriften bør altså produsere $\underline{\underline{52\text{ stoler og }47\text{ bord}}}$ per dag, og den maksimale inntekten er da $\underline{\underline{90800\mathrm{kr}}}$ per dag.

Vi sjekker hvor mye av arbeidskapasiteten som faktisk brukes ved produksjonen $(x,y)=(52,47)$.

Montering:

Kapasiteten er $2525$ min, så $2525-2506=19$ min er ledig.

Kontroll:

Dette er nøyaktig hele kapasiteten på $480$ min — ingen ledig tid.

Pakking:

Kapasiteten er $810$ min, så $810-678=132$ min er ledig.

Den samlede arbeidskapasiteten kan derfor reduseres med

uten at det påvirker produksjonen. Svaret er $\underline{\underline{151\min }}$ per dag.

(Bruker vi i stedet hjørnet $A=(50;\mathrm{47,5})$ fra b), er montering og kontroll fullt utnyttet, og bare pakkeavdelingen har ledig kapasitet: $810-675=135$ min.)

Med ny pris blir inntekten $I(x,y)=400x+1600y$. Stigningstallet til denne objektfunksjonen, skrevet som $y=-\frac{400}{1600}x+\frac{I}{1600}=-\mathrm{0,25}x+\frac{I}{1600}$, er $-\mathrm{0,25}$ — nøyaktig det samme som stigningstallet til $g(x)=-\mathrm{0,25}x+60$ (kontrollbetingelsen).

Det betyr at objektfunksjonens nivålinjer er parallelle med kantlinjen $g$ i det tillatte området, altså hele linjestykket fra $A=(50,\mathrm{47,5})$ til $B=(140,25)$.

Vi sjekker inntekten i begge endepunktene:

Begge gir samme inntekt, $\underline{\underline{96000\mathrm{kr}}}$, og siden nivålinjen til $I$ er parallell med $g$ mellom $A$ og $B$, gir alle punkter $(x,y)$ på linjestykket $AB$ (det vil si $y=60-\mathrm{0,25}x$ for $50\le x\le 140$) samme maksimale inntekt på $96000$ kr. Det finnes derfor uendelig mange produksjonsmengder som gir denne maksimale inntekten.