S1 Høst 2012

Vi løser andregradslikningen ved å samle alt på én side og faktorisere.

Vi leter etter to tall som ganger sammen gir $-8$ og summert gir $2$: dette er $4$ og $-2$.

Vi skriver om $27$ som en potens med grunntall $3$, slik at begge sider får samme grunntall.

Siden grunntallene er like, må eksponentene være like.

Vi isolerer logaritmeuttrykket og bruker definisjonen av $\lg$.

Definisjonen av briggske logaritmer gir at $\lg (x+1)=2$ betyr $x+1={10}^2$.

Vi sjekker at $x+1=100>0$, så løsningen er gyldig.

Nullpunkter

Vi setter $f(x)=0$ og faktoriserer ved å sette $x$ utenfor parentes.

Dette gir enten $x=0$ eller $x^2-3=0$, altså $x^2=3$.

Topp- og bunnpunkt

Vi deriverer $f$ og finner hvor den deriverte er null.

Vi lager et fortegnsskjema for $f^{\prime }(x)=3x^2-3$. Siden dette er en oppoverbue-parabel, er $f^{\prime }(x)>0$ for $x<-1$, $f^{\prime }(x)<0$ for $-1<x<1$ og $f^{\prime }(x)>0$ for $x>1$.

Da vokser $f$, avtar, og vokser igjen — altså er $x=-1$ et toppunkt og $x=1$ et bunnpunkt.

Toppunkt: $(-1,2)$. Bunnpunkt: $(1,-2)$.

Grafen er en tredjegradskurve som stiger, flater ut og synker mellom $x=-1$ og $x=1$, og stiger igjen for $x>1$. Den krysser $x$-aksen i $x=-\sqrt{3}\approx -\mathrm{1,7}$, $x=0$ og $x=\sqrt{3}\approx \mathrm{1,7}$, har et toppunkt i $(-1,2)$ og et bunnpunkt i $(1,-2)$, og er symmetrisk om origo (siden $f$ er en oddetallsfunksjon: $f(-x)=-f(x)$).

Vi bruker logaritmereglene $\lg (u\cdot v)=\lg u+\lg v$, $\lg \left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)=\lg u-\lg v$ og $\lg (u^n)=n\lg u$:

Samler like ledd:

Vi ganger ut hvert av leddene:

Setter inn og samler like ledd:

De åtte første radene i Pascals trekant, der hver rad starter og slutter på 1, og hvert tall inni er summen av de to tallene over:

Binomialkoeffisienten ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$ finner vi i rad $n$ (der raden med bare tallet 1 er rad 0), som tall nummer $k$ (der første tall i raden er tall nummer 0). Vi leser av trekanten fra a):

Vi skal lage tresifrede tall ved å trekke tre av de åtte lappene etter tur, uten tilbakelegging. Til det første sifferet har vi 8 mulige lapper å velge mellom. Når den er tatt ut, gjenstår 7 lapper til det andre sifferet, og deretter 6 lapper til det tredje sifferet.

Antall ulike tresifrede tall blir da:

Vi skal finne sannsynligheten for å få $2$ gule (av $7$), $1$ rød (av $8$) og $1$ hvit (av $5$). Antall gunstige utvalg er

Sannsynligheten blir da

$\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,1734}}}$, altså omtrent $\mathrm{17,3}\%$ sjanse.

Vi skal finne sannsynligheten for at alle fire kajakkene er gule. Antall gunstige utvalg er $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{4}\right)$, siden alle fire må velges blant de $7$ gule.

$\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,0072}}}$, altså omtrent $\mathrm{0,7}\%$ sjanse.

Vi skal finne sannsynligheten for at ingen av de fire kajakkene er gule, altså at alle fire er enten røde eller hvite. Det er $8+5=13$ kajakker som ikke er gule, så antall gunstige utvalg er $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{13}{4}\right)$.

$\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,1476}}}$, altså omtrent $\mathrm{14,8}\%$ sjanse.

Skjæringspunkt med $y$-aksen finner vi ved å sette $x=0$:

Grafen skjærer $y$-aksen i $(0,0)$.

Skjæringspunkt med $x$-aksen finner vi ved å løse $f(x)=0$. Vi faktoriserer ut $x^2$:

Dette gir $x^2=0$ eller ${\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}=0$:

Grafen skjærer $x$-aksen i $(0,0)$ og $(\mathrm{4,5},0)$.

Svar: Grafen til $f$ skjærer koordinataksene i $\underline{\underline{(0,0)\text{ og }(\mathrm{4,5},0)}}$.

Grafen til $f$ for $x\in ⟨-2,5⟩$ er tegnet i GeoGebra, med skjæringspunktene fra a) og bunnpunktet fra c) markert:

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[0,3]$ er stigningstallet til sekanten gjennom punktene $(0,f(0))$ og $(3,f(3))$:

Svar: Den gjennomsnittlige vekstfarten i $[0,3]$ er $\underline{\underline{-\mathrm{1,5}}}$.

Vi deriverer $f$:

Eventuelle topp- og bunnpunkter finner vi der $f^{\prime }(x)=0$:

For å avgjøre hva slags ekstremalpunkter dette er, ser vi på fortegnet til $f^{\prime }(x)=x(x-3)$:

• For $x<0$: $f^{\prime }(x)>0$ (voksende)
• For $0<x<3$: $f^{\prime }(x)<0$ (avtagende)
• For $x>3$: $f^{\prime }(x)>0$ (voksende)

Ved $x=0$ går $f^{\prime }$ fra positiv til negativ, så dette er et toppunkt: $f(0)=0$, altså $(0,0)$.

Ved $x=3$ går $f^{\prime }$ fra negativ til positiv, så dette er et bunnpunkt: $f(3)=-\mathrm{4,5}$ (beregnet i b), altså $(3,-\mathrm{4,5})$.

Svar: Grafen har toppunkt $\underline{\underline{(0,0)}}$ og bunnpunkt $\underline{\underline{(3,-\mathrm{4,5})}}$.

Den momentane vekstfarten er gitt ved $f^{\prime }(x)$. Vi løser likningen $f^{\prime }(x)=-\mathrm{1,5}$:

Bruker abc-formelen med $a=1$, $b=-3$, $c=\mathrm{1,5}$:

Dette gir

Svar: Den momentane vekstfarten er $-\mathrm{1,5}$ for $\underline{\underline{x\approx \mathrm{0,63}}}$ og $\underline{\underline{x\approx \mathrm{2,37}}}$.

Prisen per enhet er $\mathrm{5,00}$ kroner. Siden $x$ er antall hundre produserte enheter, er antall solgte enheter $100x$. Inntekten blir da

Grafene til $f$ og $g$ for $x\in [0,22]$ er tegnet med GeoGebra:

Driften går i balanse når inntekt er lik kostnad, altså $f(x)=g(x)$:

Dette er en likning som ikke lar seg løse algebraisk, så vi løser den numerisk med CAS (se skjæringspunktene $A$ og $B$ på grafen over). Vi finner to løsninger:

Siden $x$ er antall hundre enheter, tilsvarer dette henholdsvis

Svar: Driften går i balanse ved omtrent $\underline{\underline{401\text{ enheter og }2052\text{ enheter}}}$. Mellom disse to verdiene er inntekten større enn kostnaden (overskudd), utenfor er kostnaden størst (underskudd).

Overskuddet $P(x)$ er differansen mellom inntekt og kostnad:

For å finne størst overskudd deriverer vi og setter $P^{\prime }(x)=0$:

Løst numerisk med CAS gir dette

Dette er et maksimum siden $P^{\prime }(x)>0$ for $x<\mathrm{16,01}$ og $P^{\prime }(x)<0$ for $x>\mathrm{16,01}$ (overskuddet vokser først, og avtar deretter). Vi setter inn i $P(x)$:

Siden $x$ er antall hundre enheter, tilsvarer $x\approx \mathrm{16,01}$ omtrent $1601$ enheter.

Svar: Overskuddet er størst når det produseres og selges om lag $\underline{\underline{1601\text{ enheter}}}$, og det maksimale overskuddet er da omtrent $\underline{\underline{4869\mathrm{kr}}}$.

Vi forenkler de fire ulikhetene før vi tegner dem:

Vi tegner de fire grenselinjene i et koordinatsystem og finner skjæringspunktene mellom linjene. Ved å sjekke hvilken side av hver linje som oppfyller ulikheten, finner vi at det gjennomførbare området er en firkant med hjørnepunktene

Det blåfargede området på figuren viser mengden av alle $(x,y)$ som oppfyller alle de fire ulikhetene samtidig.

Salgsinntekten er gitt ved

Siden $I$ er en lineær funksjon av $x$ og $y$, vet vi at maksimums- og minimumsverdien til $I$ over det gjennomførbare området må ligge i et av hjørnepunktene i figuren fra a). Vi setter derfor inn koordinatene til hvert hjørnepunkt:

Den største verdien finner vi i hjørnepunktet $D=(26,6)$.

Bedriften bør produsere og selge $\underline{\underline{26}}$ enheter av vare A og $\underline{\underline{6}}$ enheter av vare B, noe som gir en maksimal inntekt på $\underline{\underline{I=30840\mathrm{kr}}}$.

Fra utregningen i b) ser vi at den minste av verdiene til $I$ i hjørnepunktene er

Siden $I$ er lineær, vil minimumsverdien over hele det gjennomførbare området ligge i et av hjørnepunktene, og vi har regnet ut $I$ i alle fire. Dermed er $19440\mathrm{kr}$ den minste inntekten som er mulig innenfor de gitte begrensningene, uansett hvordan bedriften velger å produsere.

Vi har dermed vist at bedriften er sikret en minsteinntekt på $\underline{\underline{19440\mathrm{kr}}}$.

Sylinderen har radius $x$, så diameteren er $d=2x$. Siden $d+h=6$, er høyden

Volumet av en sylinder er $V=\pi r^{2}h$, altså

som er det vi skulle vise.

For at sylinderen skal kunne lages, må både radius og høyde være positive. Radius $x>0$, og høyden må også være positiv:

Dermed må $\underline{\underline{x\in ⟨0,3⟩}}$.

Vi deriverer $V(x)$ ved hjelp av CAS.

Fra linje 2 i utklippet er

Fortegnsskjema for $V^{\prime }(x)$ på $⟨0,3⟩$: siden $-6\pi x<0$ for $x>0$, avhenger fortegnet til $V^{\prime }(x)$ av faktoren $(x-2)$ med motsatt fortegn:

• for $0<x<2$ er $V^{\prime }(x)>0$ (voksende)
• for $2<x<3$ er $V^{\prime }(x)<0$ (avtagende)

Dermed har $V$ et toppunkt, og dermed maksimum, ved $x=2$ (linje 4 i utklippet).

Vi setter $x=2$ inn i $V(x)$:

som stemmer med linje 5 i CAS-utklippet. Det største volumet sylinderen kan få, er dermed