S1 Vår 2011

Oppgave 1-1Derivasjon, forenkling og likninger S1 V11

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har funksjonen $f (x) = 2 x^{3} - 5 x + 2$

Deriver funksjonen.

Bestem $f^{'} (1)$ . Hva forteller svaret deg om grafen til $f$ ?

Skriv så enkelt som mulig:

\frac{3}{2 x + 4} - \frac{2 - x}{3 x + 6}

Skriv så enkelt som mulig (uttrykket over).

Skriv så enkelt som mulig:

\frac{2^{- 1} \cdot a \cdot b^{- 1}}{4^{- 1} \cdot a^{- 2} \cdot b^{2}}

Skriv så enkelt som mulig (uttrykket over).

Skriv så enkelt som mulig:

\lg (a^{2} \cdot b) + \lg (a \cdot b^{2}) + \lg (\frac{a}{b^{3}})

Skriv så enkelt som mulig (uttrykket over).

En familie på to voksne og to barn betalte til sammen 220 kroner for å komme inn på et arrangement. En annen voksen og tre barn betalte til sammen 190 kroner. Hva kostet én barnebillett, og hva kostet én voksenbillett?

Vi har gitt funksjonene $f (x) = x^{2} - x - 2$ og $g (x) = x + 1$

Regn ut koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og grafen til $g$ .

Vi har gitt sammenhengen $a + a b + b^{2} = 1$

Finn $a$ uttrykt ved $b$ . Skriv svaret så enkelt som mulig.

Løs ulikheten $- 2 x^{2} - 4 x + 6 \geq 0$

Tegn grafen til funksjonen $f (x) = 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x}$ når $x \geq 0$

Fasit

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 5$ , $f^{'} (1) = 1$ — grafen er stigende i $x = 1$

$\frac{2 x + 5}{6 x + 12}$

$\frac{2 a^{3}}{b^{3}}$

$4 \lg a$

Barnebillett $40 kr$ , voksenbillett $70 kr$

$(- 1, 0) og (3, 4)$

$a = 1 - b$

$- 3 \leq x \leq 1$

Se skisse i løsningsforslaget

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = 2 x^{3} - 5 x + 2$ ledd for ledd:

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 5

Setter inn $x = 1$ :

f^{'} (1) = 6 \cdot 1^{2} - 5 = 6 - 5 = 1

Siden $f^{'} (1) = 1 > 0$ , er grafen til $f$ stigende i punktet $x = 1$ .

Vi faktoriserer nevnerne slik at vi finner fellesnevner:

2 x + 4 = 2 (x + 2) 3 x + 6 = 3 (x + 2)

Minste felles nevner er $6 (x + 2)$ . Utvider begge brøkene:

\frac{3}{2 (x + 2)} - \frac{2 - x}{3 (x + 2)} = \frac{3 \cdot 3}{6 (x + 2)} - \frac{2 (2 - x)}{6 (x + 2)} = \frac{9 - (4 - 2 x)}{6 (x + 2)}

Forenkler telleren:

\frac{9 - 4 + 2 x}{6 (x + 2)} = \frac{2 x + 5}{6 (x + 2)} = \frac{2 x + 5}{6 x + 12}

Uttrykket er ikke definert for $x = - 2$ .

Vi bruker potensregler for å samle like faktorer:

\frac{2^{- 1} \cdot a \cdot b^{- 1}}{4^{- 1} \cdot a^{- 2} \cdot b^{2}} = \frac{2^{- 1}}{4^{- 1}} \cdot \frac{a}{a^{- 2}} \cdot \frac{b^{- 1}}{b^{2}}

Regner ut hver faktor for seg:

\frac{2^{- 1}}{4^{- 1}} = \frac{4}{2} = 2 \frac{a}{a^{- 2}} = a^{1 - (- 2)} = a^{3} \frac{b^{- 1}}{b^{2}} = b^{- 1 - 2} = b^{- 3}

Setter sammen:

2 \cdot a^{3} \cdot b^{- 3} = \frac{2 a^{3}}{b^{3}}

Vi bruker logaritmeregelen $\lg (p) + \lg (q) = \lg (p \cdot q)$ og $\lg (p) - \lg (q) = \lg (\frac{p}{q})$ :

\lg (a^{2} b) + \lg (a b^{2}) + \lg (\frac{a}{b^{3}}) = \lg (a^{2} b \cdot a b^{2} \cdot \frac{a}{b^{3}})

Samler eksponentene for $a$ og $b$ inni logaritmen:

a^{2 + 1 + 1} \cdot b^{1 + 2 - 3} = a^{4} \cdot b^{0} = a^{4}

Så uttrykket blir:

\lg (a^{4}) = 4 \lg a

Vi lar $v$ være prisen på en voksenbillett og $b$ være prisen på en barnebillett. Ut fra opplysningene får vi likningssystemet:

{\begin{matrix} 2 v + 2 b = 220 \\ v + 3 b = 190 \end{matrix}

Deler den første likningen på 2:

v + b = 110 \Rightarrow v = 110 - b

Setter dette inn i den andre likningen:

(110 - b) + 3 b = 190

110 + 2 b = 190

2 b = 80

b = 40

Da er $v = 110 - 40 = 70$ .

En barnebillett kostet $40 kr$ , og en voksenbillett kostet $70 kr$ .

Skjæringspunktene finner vi ved å sette $f (x) = g (x)$ :

x^{2} - x - 2 = x + 1

x^{2} - 2 x - 3 = 0

Faktoriserer (eller bruker $a b c$ -formelen):

(x - 3) (x + 1) = 0

Dette gir $x = 3$ eller $x = - 1$ . Setter inn i $g (x) = x + 1$ for å finne $y$ -verdiene:

g (3) = 3 + 1 = 4 g (- 1) = - 1 + 1 = 0

Skjæringspunktene er $(- 1, 0) og (3, 4)$ .

Vi løser $a + a b + b^{2} = 1$ med hensyn på $a$ . Flytter $b^{2}$ over og faktoriserer ut $a$ på venstre side:

a + a b = 1 - b^{2}

a (1 + b) = 1 - b^{2}

Høyresiden er en konjugatsetning, $1 - b^{2} = (1 - b) (1 + b)$ :

a (1 + b) = (1 - b) (1 + b)

Deler begge sider på $(1 + b)$ , forutsatt at $b \neq - 1$ :

a = 1 - b

Vi løser ulikheten $- 2 x^{2} - 4 x + 6 \geq 0$ . Deler begge sider på $- 2$ og snur ulikhetstegnet:

x^{2} + 2 x - 3 \leq 0

Finner nullpunktene ved faktorisering:

(x + 3) (x - 1) = 0 \Rightarrow x = - 3 eller x = 1

Siden andregradsuttrykket $x^{2} + 2 x - 3$ har positiv ledende koeffisient (parabelen vender oppover), er uttrykket $\leq 0$ mellom nullpunktene. Løsningen er:

- 3 \leq x \leq 1

Vi setter opp en verditabell for $f (x) = 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x}$ for noen verdier av $x \geq 0$ :

$x$	0	1	2	3
$f(x)$	4	2	1	0{,}5

Grafen er en avtakende eksponentialkurve som starter i $(0, 4)$ og går mot $0$ når $x$ blir stor (asymptote $y = 0$ ):

Skisse av grafen til f(x) = 4·(1/2)^x

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 18 poeng

Det forventes at eleven setter opp likningssystemet før det løses.

Det er ikke nødvendig at eleven tegner grafene.

Et fullgodt svar må være forkortet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 18
Temaer: Derivasjon, Rasjonale funksjoner, Potenser, Logaritmer, Likningssystem, Andregradslikninger, Ulikheter, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Binomialkoeffisient og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V11

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut binomialkoeffisienten $(\binom{8}{3})$

En gruppe på 8 elever består av like mange gutter som jenter. Vi trekker tilfeldig ut 3 elever.

Hva er sannsynligheten for å trekke ut 2 gutter og 1 jente?

Hva er sannsynligheten for å trekke ut minst 1 jente?

Fasit

$(\binom{8}{3}) = 56$

$P = \frac{3}{7} \approx 0,429$

$P = \frac{13}{14} \approx 0,929$

LøsningsforslagKI-generert

Binomialkoeffisienten $(\binom{8}{3})$ regnes ut med formelen $(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{r! \cdot (n - r)!}$ :

(\binom{8}{3}) = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56

Gruppen består av like mange gutter som jenter, altså $4$ gutter og $4$ jenter. Vi trekker $3$ elever uten tilbakelegging, så dette er hypergeometrisk sannsynlighet. Antall måter å velge $2$ gutter av $4$ og $1$ jente av $4$ er $(\binom{4}{2}) \cdot (\binom{4}{1})$ , og totalt antall måter å trekke $3$ av $8$ elever er $(\binom{8}{3})$ :

P (2 gutter og 1 jente) = \frac{(\binom{4}{2}) \cdot (\binom{4}{1})}{(\binom{8}{3})} = \frac{6 \cdot 4}{56} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} \approx 0,429

Vi bruker komplementhendelsen: «minst 1 jente» er det motsatte av «0 jenter» (altså alle 3 er gutter). Antall måter å trekke $0$ jenter av $4$ og $3$ gutter av $4$ er $(\binom{4}{0}) \cdot (\binom{4}{3})$ :

P (0 jenter) = \frac{(\binom{4}{0}) \cdot (\binom{4}{3})}{(\binom{8}{3})} = \frac{1 \cdot 4}{56} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14}

Da blir sannsynligheten for minst 1 jente:

P (minst 1 jente) = 1 - P (0 jenter) = 1 - \frac{1}{14} = \frac{13}{14} \approx 0,929

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Bruk av Pascals trekanten bør gi full uttelling.

og c) En løsning med opptelling av antall muligheter må også aksepteres.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 2-3Binomisk sannsynlighet for smittet ørret

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Langs en del av kysten regner man med at 30 % av all ørret er smittet av en bestemt sykdom. Vi fanger 5 tilfeldige ørreter.

Kalkulator

Hva må vi anta for å kunne bruke binomiske sannsynligheter i denne situasjonen?

Kalkulator

Finn sannsynligheten for at

alle 5 er smittet

akkurat 3 er smittet

høyst 3 er smittet

minst 1 er smittet

Fasit

Se forutsetninger i løsningsforslaget.

1) $P (X = 5) = 0,00243$ 2) $P (X = 3) = 0,1323$ 3) $P (X \leq 3) = 0,9692$ 4) $P (X \geq 1) = 0,8319$

LøsningsforslagKI-generert

For å kunne bruke binomiske sannsynligheter må følgende være oppfylt:

Vi gjør et fast antall forsøk, her $n = 5$ (vi fanger 5 ørreter).
Hvert forsøk har bare to mulige utfall: ørreten er enten smittet eller ikke smittet.
Sannsynligheten for «smittet» er den samme for hvert forsøk, $p = 0,30$ . Dette forutsetter at bestanden er så stor at det å fange én ørret ikke endrer andelen smittede vesentlig for de neste (eller at fangsten skjer med tilbakelegging).
Forsøkene (fangstene) er uavhengige av hverandre.

La $X$ være antall smittede ørreter blant de 5 vi fanger. Da er $X$ binomisk fordelt med $n = 5$ og $p = 0,30$ :

P (X = k) = (\binom{5}{k}) \cdot {0,30}^{k} \cdot {0,70}^{5 - k}

Vi beregner sannsynlighetene i GeoGebra CAS med kommandoen FordelingBinomial(n, p, k, kumulativ):

GeoGebra CAS-utregning av binomiske sannsynligheter

1) Alle 5 er smittet

P (X = 5) = (\binom{5}{5}) \cdot {0,30}^{5} \cdot {0,70}^{0} = 0,00243

2) Akkurat 3 er smittet

P (X = 3) = (\binom{5}{3}) \cdot {0,30}^{3} \cdot {0,70}^{2} = 0,1323

3) Høyst 3 er smittet

P (X \leq 3) = \sum_{k = 0}^{3} P (X = k) = 0,9692

4) Minst 1 er smittet

Vi bruker komplementsetningen: $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)$ .

P (X \geq 1) = 1 - (\binom{5}{0}) \cdot {0,30}^{0} \cdot {0,70}^{5} = 0,8319

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Både utregning ved formel og bruk av digitalt verktøy må godkjennes.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Bankkonto med eksponentialvekst og gjennomsnittlig vekstfart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et beløp ble satt inn på en bankkonto. Kapitalen $K$ på kontoen $t$ år etter at beløpet ble satt inn, er

K (t) = 30000 \cdot {1,035}^{t}

Kalkulator

Hvor stort beløp ble satt inn?

Hvor mye sto det på kontoen etter 8 år?

Kalkulator

Hvor lang tid tok det før beløpet på kontoen hadde økt til 40 000 kroner?

Kalkulator

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten de 15 første årene.

Fasit

$K (0) = 30 000 kr, K (8) \approx 39 504 kr$

$t \approx 8,36 år$

$gjennomsnittlig vekstfart \approx 1350,70 kr/år$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser oppgaven med GeoGebra CAS.

Utregning i GeoGebra CAS

Startbeløpet er kapitalen ved $t = 0$ :

K (0) = 30000 \cdot {1,035}^{0} = 30000

Altså ble $30 000 kr$ satt inn på kontoen.

Etter $8$ år er kapitalen

K (8) = 30000 \cdot {1,035}^{8} \approx 39 504 kr

(se linje 3 i CAS-utklippet).

Vi må løse likningen $K (t) = 40000$ :

30000 \cdot {1,035}^{t} = 40000

{1,035}^{t} = \frac{4}{3}

t = \frac{\ln (\frac{4}{3})}{\ln (1,035)}

CAS gir (linje 4) $t \approx 8,36$ .

Det tok altså $ca. 8,4 år$ (litt over 8 år og 4 måneder) før beløpet på kontoen hadde økt til $40 000 kr$ .

Den gjennomsnittlige vekstfarten de $15$ første årene er stigningstallet til sekanten gjennom punktene $(0, K (0))$ og $(15, K (15))$ :

gjennomsnittlig vekstfart = \frac{K (15) - K (0)}{15}

Fra CAS (linje 5 og 6) er $K (15) \approx 50 260,46$ , som gir

\frac{50 260,46 - 30 000}{15} \approx 1350,70 kr/år

I gjennomsnitt økte altså kapitalen på kontoen med omtrent $1350,70$ kroner per år i denne perioden.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Også her kan ulike løsningsstrategier godkjennes.

En fullgod besvarelse må ha med benevning.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Geometrisk vekst, Vekstfart, Logaritmer
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Inntekt, kostnad og maksimalt overskudd for bedrift S1 V11

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per uke. De ukentlige produksjonskostnadene $K$ er

K (x) = 0,2 x^{2} + 20 x + 20000, x \in ⟨ 0, 1000 ⟩

Salgsprisen $P$ på varen er

P (x) = 300 - 0,1 x

Både $K (x)$ og $P (x)$ er gitt i kroner.

For hånd

Finn et uttrykk $I (x)$ for bedriftens inntekt $I$ per uke.

Kalkulator

Tegn grafen til kostnadsfunksjonen $K$ og grafen til inntektsfunksjonen $I$ i det samme koordinatsystemet.

Kalkulator

For hvilke verdier av $x$ går bedriften med overskudd?

Kalkulator

Vis at uttrykket for overskuddsfunksjonen $O$ kan skrives $O (x) = - 0,3 x^{2} + 280 x - 20000$

Undersøk hva $x$ må være for at overskuddet skal bli størst mulig.

Hva er prisen for varen når overskuddet er størst? Hvor stort er overskuddet da?

Fasit

$I (x) = 300 x - 0,1 x^{2}$

Se graf i løsningsforslaget.

$77,9 < x < 855,4$

1) Vist i løsningsforslaget. 2) $x = 466,7$ 3) $P \approx 253,33 kr$ , $O_{\max} \approx 45 333,33 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Inntekten er antall solgte enheter multiplisert med prisen per enhet:

I (x) = x \cdot P (x) = x (300 - 0,1 x) = 300 x - 0,1 x^{2}

Vi tegner grafene til $K (x) = 0,2 x^{2} + 20 x + 20000$ (rød) og $I (x) = 300 x - 0,1 x^{2}$ (blå) i samme koordinatsystem.

Kostnadsfunksjon K og inntektsfunksjon I

Grafene skjærer hverandre i to punkter, omtrent $(78, 22774)$ og $(855, 183449)$ .

Bedriften går med overskudd når inntekten er større enn kostnadene, altså når $I (x) > K (x)$ :

300 x - 0,1 x^{2} > 0,2 x^{2} + 20 x + 20000

0 > 0,3 x^{2} - 280 x + 20000

Vi løser andregradslikningen $0,3 x^{2} - 280 x + 20000 = 0$ med abc-formelen:

x = \frac{280 \pm \sqrt{280^{2} - 4 \cdot 0,3 \cdot 20000}}{2 \cdot 0,3} = \frac{280 \pm \sqrt{54400}}{0,6}

x \approx \frac{280 \pm 233,24}{0,6}

Dette gir $x \approx 77,9$ eller $x \approx 855,4$ . Dette stemmer med skjæringspunktene $A$ og $B$ på grafen i b). Siden andregradsuttrykket $0,3 x^{2} - 280 x + 20000$ har positiv koeffisient foran $x^{2}$ , er uttrykket negativt mellom røttene. Bedriften går altså med overskudd når

77,9 < x < 855,4

1) Overskuddet er inntekt minus kostnad:

O (x) = I (x) - K (x) = (300 x - 0,1 x^{2}) - (0,2 x^{2} + 20 x + 20000)

O (x) = 300 x - 0,1 x^{2} - 0,2 x^{2} - 20 x - 20000 = - 0,3 x^{2} + 280 x - 20000

som er uttrykket vi skulle vise.

2) Overskuddsfunksjonen $O$ er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran $x^{2}$ , så grafen er en nedovervendt parabel med et toppunkt. Overskuddet er størst der $O^{'} (x) = 0$ :

O^{'} (x) = - 0,6 x + 280

- 0,6 x + 280 = 0

x = \frac{280}{0,6} \approx 466,7

Siden $O^{''} (x) = - 0,6 < 0$ , er dette et maksimumspunkt.

Overskuddsfunksjonen O

Toppunktet $M$ på grafen bekrefter $x \approx 466,7$ .

3) Prisen når overskuddet er størst finner vi ved å sette $x \approx 466,7$ inn i $P (x)$ :

P (466,7) = 300 - 0,1 \cdot 466,7 \approx 253,33 kr

Det største overskuddet finner vi ved å sette $x \approx 466,7$ inn i $O (x)$ :

O (466,7) = - 0,3 \cdot {466,7}^{2} + 280 \cdot 466,7 - 20000 \approx 45 333,33 kr

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 10 poeng

Grafene skal tegnes i definisjonsområdet.

Svaret bør gis med hele tall.

Også her kan ulike løsningsstrategier godkjennes.

Mange elever har ikke besvart oppgave a) riktig. Dette har fått konsekvenser for resten av oppgaven. Dette bør tas hensyn til ved helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 10
Temaer: Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon, Andregradslikninger
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Lineær optimering for leketøysfabrikk med dukker og lekebiler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du bruke lineær optimering.

En leketøysfabrikk lager to populære leker, en dukke og en lekebil.

Fabrikken har tre avdelinger, én for produksjon, én for maling og én for montering av lekene.

Nedenfor ser du en oversikt over nødvendig tidsbruk per leke og antall arbeidstimer som kan brukes i hver av de tre avdelingene.

Avdeling	Arbeidstimer per dukke	Arbeidstimer per lekebil	Tilgjengelige arbeidstimer
Produksjon	0,5	0,25	700
Maling	1	0,25	1 100
Montering	0,2	0,5	1 200

Hver dukke kan selges for 900 kroner, mens hver lekebil kan selges for 300 kroner. Vi forutsetter at alt som produseres, blir solgt.

Krever PC

Hvor mange av hver leke vil du anbefale fabrikken å lage når de ønsker at den totale inntekten skal bli så høy som mulig? (Denne oppgaven teller som tre delspørsmål.)

Krever PC

Hva er den største inntekten fabrikken kan oppnå?

Fasit

$800 dukker og 1200 lekebiler$

$1 080 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ være antall dukker og $y$ være antall lekebiler som produseres.

Restriksjonene kommer fra at antall arbeidstimer som brukes i hver avdeling, ikke kan overstige det som er tilgjengelig:

{\begin{matrix} 0,5 x + 0,25 y \leq 700 & (produksjon) \\ x + 0,25 y \leq 1100 & (maling) \\ 0,2 x + 0,5 y \leq 1200 & (montering) \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{matrix}

Inntekten som skal maksimeres, er gitt ved objektfunksjonen

I (x, y) = 900 x + 300 y

Vi tegner de tre restriksjonslinjene i et koordinatsystem og finner det tillatte området — området som oppfyller alle restriksjonene samtidig. Det tillatte området er femkanten $A B C D E$ i figuren under, med hjørner i

A (0,0), B (1100,0), C (800,1200), D (250,2300), E (0,2400)

Tillatt område med objektfunksjonslinje gjennom optimalt punkt

Maksimum av en lineær objektfunksjon over et slikt tillatt område finnes alltid i et av hjørnene. Vi setter derfor inn koordinatene til hvert hjørne i $I (x, y)$ :

Hjørne	$I(x,y) = 900x + 300y$
$A(0,0)$	$0 \, \mathrm{kr}$
$B(1100,0)$	$990\,000 \, \mathrm{kr}$
$\textcolor{tomato}{C(800,1200)}$	$\textcolor{tomato}{1\,080\,000 \, \mathrm{kr}}$
$D(250,2300)$	$915\,000 \, \mathrm{kr}$
$E(0,2400)$	$720\,000 \, \mathrm{kr}$

Hjørne

$I(x,y) = 900x + 300y$

$A(0,0)$

$0 \, \mathrm{kr}$

$B(1100,0)$

$990\,000 \, \mathrm{kr}$

$\textcolor{tomato}{C(800,1200)}$

$\textcolor{tomato}{1\,080\,000 \, \mathrm{kr}}$

$D(250,2300)$

$915\,000 \, \mathrm{kr}$

$E(0,2400)$

$720\,000 \, \mathrm{kr}$

Den røde, stiplede linjen i figuren viser objektfunksjonslinjen $900 x + 300 y = 1 080 000$ . Den berører det tillatte området kun i hjørnet $C$ , som stemmer med at inntekten er størst der.

Størst inntekt oppnås altså i punktet $C (800, 1200)$ .

$Fabrikken bør produsere 800 dukker og 1200 lekebiler.$

Fra tabellen over ser vi at den høyeste inntekten oppnås i punktet $C (800,1200)$ :

I (800, 1200) = 900 \cdot 800 + 300 \cdot 1200 = 720 000 + 360 000 = 1 080 000 kr

$Den største inntekten fabrikken kan oppnå, er 1 080 000 kr .$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

Her forventes at eleven definerer variablene, setter opp alle de fem ulikhetene og uttrykket for inntekten.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Lineær optimering
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Tre bakere fordeler hvetemel og bestemmer startmengde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre bakere skal bake brød.

La $x$ være antall kilogram hvetemel som skal brukes.

For hånd

Baker nr. 1 tar halvparten av hvetemelet, pluss et halvt kilogram. Forklar at baker nr. 1 tar $(\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ kg hvetemel, og at det er igjen $(\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ kg hvetemel.

For hånd

Baker nr. 2 tar halvparten av det hvetemelet som er igjen, pluss et halvt kilogram. Forklar at baker nr. 2 tar $(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})$ kg hvetemel, og at det er igjen $(\frac{x}{4} - \frac{3}{4})$ kg hvetemel.

For hånd

Baker nr. 3 tar halvparten av det hvetemelet som er igjen, pluss et halvt kilogram. Forklar at baker nr. 3 tar $(\frac{x}{8} + \frac{1}{8})$ kg hvetemel.

Etter at de tre bakerne har tatt hvetemelet sitt, er det 1 kg hvetemel igjen.

For hånd

Forklar at $(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) + (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{x}{8} + \frac{1}{8}) = x - 1$ . Bestem $x$ .

Fasit

Se forklaring

$x = 15 kg$

LøsningsforslagKI-generert

Baker nr. 1 tar halvparten av hele mengden $x$ , altså $\frac{x}{2}$ , i tillegg til et halvt kilogram. Det han tar er derfor

(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) kg

Det som er igjen, er det han startet med minus det han tok:

x - (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} kg

Etter baker nr. 1 er det $(\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ kg igjen. Baker nr. 2 tar halvparten av dette, pluss et halvt kilogram:

\frac{1}{2} (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} kg

Det som er igjen etter baker nr. 2, er

(\frac{x}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{x}{4} - \frac{3}{4} kg

Etter baker nr. 2 er det $(\frac{x}{4} - \frac{3}{4})$ kg igjen. Baker nr. 3 tar halvparten av dette, pluss et halvt kilogram:

\frac{1}{2} (\frac{x}{4} - \frac{3}{4}) + \frac{1}{2} = \frac{x}{8} - \frac{3}{8} + \frac{1}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} kg

Totalt tar de tre bakerne til sammen $x - 1$ kg hvetemel, siden det er $1$ kg igjen av det opprinnelige melet på $x$ kg. Summen av det de tre bakerne tar, må derfor være lik $x - 1$ :

(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) + (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{x}{8} + \frac{1}{8}) = x - 1

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Løsning av likningen i CAS

For hånd: vi samler leddene på venstre side over fellesnevner $8$ :

\frac{4 x + 4}{8} + \frac{2 x + 1}{8} + \frac{x + 1}{8} = x - 1 \Rightarrow \frac{7 x + 7}{8} = x - 1

Multipliserer med $8$ på begge sider:

7 x + 7 = 8 x - 8

15 = x

$x = 15 kg$

Det vil si at bakerne startet med $15 kg$ hvetemel.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Oppgaven har falt noe uheldig ut. Dette bør tas hensyn til ved helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Likninger, Algebra, Rekker
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon, forenkling og likninger S1 V11

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Binomialkoeffisient og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V11

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-3Binomisk sannsynlighet for smittet ørret

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Bankkonto med eksponentialvekst og gjennomsnittlig vekstfart

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Inntekt, kostnad og maksimalt overskudd for bedrift S1 V11

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Lineær optimering for leketøysfabrikk med dukker og lekebiler

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Tre bakere fordeler hvetemel og bestemmer startmengde

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon, forenkling og likninger S1 V11

Oppgave 1-2·Binomialkoeffisient og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V11

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-3·Binomisk sannsynlighet for smittet ørret

Oppgave 2-4·Bankkonto med eksponentialvekst og gjennomsnittlig vekstfart

Oppgave 2-5·Inntekt, kostnad og maksimalt overskudd for bedrift S1 V11

Oppgave 2-6·Lineær optimering for leketøysfabrikk med dukker og lekebiler

Oppgave 2-7·Tre bakere fordeler hvetemel og bestemmer startmengde

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon, forenkling og likninger S1 V11

Oppgave 1-2Binomialkoeffisient og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V11

Oppgave 2-3Binomisk sannsynlighet for smittet ørret

Oppgave 2-4Bankkonto med eksponentialvekst og gjennomsnittlig vekstfart

Oppgave 2-5Inntekt, kostnad og maksimalt overskudd for bedrift S1 V11

Oppgave 2-6Lineær optimering for leketøysfabrikk med dukker og lekebiler

Oppgave 2-7Tre bakere fordeler hvetemel og bestemmer startmengde