R2 Vår 2018

LK06 12 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2018 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Deriver funksjonene R2 V18	—
2	Bestem integralene R2 V18	—
3	Aritmetisk rekke R2 V18	—
4	Differensiallikning med separasjon	—
5	Areal og omdreiningslegeme R2 V18	—
6	Drøfting av sinusfunksjon	—
7	Kuleflate og plan R2 V18	—
8	Uendelig geometrisk rekke R2 V18	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Areal og tyngdepunkt med CAS	—
2	Trekant og pyramide med vektorer	—
3	Smittsom sykdom og differensiallikning	—
4	Femkanttall og induksjon	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver funksjonene R2 V18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = \cos(\pi x - 2)

g(x) = x \cdot \sin x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Bestem integralene R2 V18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (4x^2 + 3x)\,\mathrm{d}x

\int 4x^2 \cdot \ln x\,\mathrm{d}x

\int_0^{\sqrt{12}} \frac{2x}{x^2 + 4}\,\mathrm{d}x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Integrasjon, Delvis integrasjon, Integrasjon ved substitusjon

Oppgave 1-3 : Aritmetisk rekke R2 V18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en aritmetisk rekke $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ er $a_2 = 4$ og $a_5 = 13$ .

Bestem en eksplisitt formel for summen av denne rekken.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rekker, Tallfølger

Oppgave 1-4 : Differensiallikning med separasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En differensiallikning er gitt ved

y' = (\sin x) \cdot y^2

Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.

Bestem den løsningen av differensiallikningen som er slik at $y(\pi) = 1$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning, Integrasjon

Oppgave 1-5 : Areal og omdreiningslegeme R2 V18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 1 - x^2

Et flatestykke er avgrenset av $x$ -aksen og grafen til $f$ .

Bestem arealet av flatestykket.

Vi får et omdreiningslegeme ved å dreie flatestykket $360\degree$ om x-aksen.

Bestem volumet av omdreiningslegemet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Volum

Oppgave 1-6 : Drøfting av sinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x - 1)\right) \,, \quad x \in \langle 1, 9 \rangle

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem nullpunktene til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Løs likningen $f(x) = \sqrt{3}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Likninger

Oppgave 1-7 : Kuleflate og plan R2 V18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kuleflate er gitt ved

x^2 - 6x + y^2 + 4y + z^2 - 8z - 20 = 0

Vis at sentrum i kulen er $S(3, -2, 4)$ . Bestem radien til kuleflaten.

Et plan er gitt ved

6x - 3y + 2z - 4 = 0

Bestem avstanden fra kulens sentrum $S$ til planet.

Skjæringen mellom kuleflaten og planet er en sirkel.

Bestem arealet av sirkelen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kule, Plan, Romgeometri

Oppgave 1-8 : Uendelig geometrisk rekke R2 V18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

S(x) = 1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + \ldots

Bestem konvergensområdet til rekken.

For hvilke verdier av $a$ har likningen $S(x) = a$ løsning?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Areal og tyngdepunkt med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f(x) = -x^2 + 3x + 3

g(x) = x^2 + 1

Bruk graftegner til å tegne grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem.

Grafene til $f$ og $g$ avgrenser et flatestykke med areal $A$ .

Bestem $A$ ved hjelp av CAS.

Tyngdepunktet $T$ til flatestykket er $\left(\dfrac{M}{A}, \dfrac{N}{A}\right)$ , der $M$ og $N$ er gitt ved

M = \int_a^b x \cdot (f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x

N = \frac{1}{2}\int_a^b (f(x)^2 - g(x)^2)\,\mathrm{d}x

Tallene $a$ og $b$ er $x$ -koordinatene til skjæringspunktene mellom grafene til $f$ og $g$ , der $a < b$ .

Bestem koordinatene til $T$ ved hjelp av CAS.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Bestemt integral, Cas, Graf

Oppgave 2-2 : Trekant og pyramide med vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A(0, 0, 0)$ , $B(1, t+2, 3t)$ , $C(0, 4, t+1)$ og $D(t-3, 8, 1)$ , der $0 \le t \le 10$ .

Bestem arealet av trekanten $ABC$ for $t = 2$ .

Bruk CAS til å bestemme $t$ slik at arealet til trekanten $ABC$ blir lik $6$ .

Bestem $t$ slik at volumet av pyramiden $ABCD$ blir størst mulig.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Cas

Oppgave 2-3 : Smittsom sykdom og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en by med 12 000 innbyggere sprer det seg en smittsom sykdom. Det viser seg at vekstfarten i antall smittede personer til enhver tid er proporsjonal med antall personer som ennå ikke er smittet. Vi lar $k$ være proporsjonalitetskonstanten.

Sett opp en differensiallikning som beskriver antall smittede personer $y(t)$ , der $t$ er antall uker etter at sykdommen ble oppdaget.

Da sykdommen ble oppdaget, var 100 personer smittet.

Vis at $y(t) = 12000 - 11900 \cdot \mathrm{e}^{-kt}$

Etter 10 uker var 4 000 personer smittet.

Bruk dette til å bestemme $k$ .

Ved hvilket tidspunkt var halvparten av innbyggerne i byen smittet av sykdommen?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon

Oppgave 2-4 : Femkanttall og induksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser hvordan femkanttallene er bygd opp.

Femkanttallene P_1=1, P_2=5, P_3=12, P_4=22, P_5=35

Femkanttallene er gitt ved den rekursive formelen

P_{n+1} = P_n + 3n + 1 \,, \quad P_1 = 1

Vis ved induksjon at

P_n = \frac{3n^2 - n}{2}

Mathias observerer at det er mulig å regne ut $P_n$ som summen av tre trekanttall, der trekanttall nummer $n$ er $T_n = 1 + 2 + \cdots + n$ . Se figuren nedenfor. Han brukte dette til å vise at $P_n = \dfrac{3n^2 - n}{2}$ .

Mathias' oppdeling av P_5

Bruk ideen til Mathias til å utlede formelen for $P_n$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Induksjon, Bevis, Tallfølger

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2018

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver funksjonene R2 V18

Oppgave 1-2 : Bestem integralene R2 V18

Oppgave 1-3 : Aritmetisk rekke R2 V18

Oppgave 1-4 : Differensiallikning med separasjon

Oppgave 1-5 : Areal og omdreiningslegeme R2 V18

Oppgave 1-6 : Drøfting av sinusfunksjon

Oppgave 1-7 : Kuleflate og plan R2 V18

Oppgave 1-8 : Uendelig geometrisk rekke R2 V18

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Areal og tyngdepunkt med CAS

Oppgave 2-2 : Trekant og pyramide med vektorer

Oppgave 2-3 : Smittsom sykdom og differensiallikning

Oppgave 2-4 : Femkanttall og induksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave