R1 Vår 2017

LK06 11 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 11 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2017 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Deriver tre funksjoner med eksponential og rot R1 V17	—
2	Forenkle rasjonalt uttrykk og logaritmeuttrykk	—
3	Vektorer mellom tre punkter og ukjent punkt D	—
4	Tredjegradsfunksjon vendepunkt faktorisering og eksponentiallikning	—
5	Medianer i trekant med vektorer og skjæringspunkt	—
6	Lyspærproduksjon sannsynlighet og Bayes setning	—
7	Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og utledning av Pytagoras	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Kortspill kombinatorikk med fem kort fra kortstokk	—
2	Partikkel med posisjonsvektor fart og akselerasjon	—
3	Stige mot vegg korteste avstand fra fot til stige	—
4	Tre tangenter til kubisk funksjon gjennom eksternt punkt	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner med eksponential og rot R1 V17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 2x^3 - 5x + 4

g(x) = x^2 e^x

h(x) = \sqrt{x^2 - 3}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen

Oppgave 1-2 : Forenkle rasjonalt uttrykk og logaritmeuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\dfrac{x^2-3}{x^2-9}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{5}{x-3}

2\ln(a^{-3}b^2)-3\ln\!\left(\dfrac{b}{a^2}\right)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Algebra, Rasjonale funksjoner, Logaritmer

Oppgave 1-3 : Vektorer mellom tre punkter og ukjent punkt D

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre punkt $A(-1,\, 6)$ , $B(2,\, 1)$ og $C(4,\, 4)$ er gitt.

Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ .

Et punkt $D$ er gitt slik at

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \vec{0}

Bestem koordinatene til $D$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri

Oppgave 1-4 : Tredjegradsfunksjon vendepunkt faktorisering og eksponentiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $P$ er gitt ved

P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 2x + 6

Begrunn at $(1,\, 0)$ er et vendepunkt på grafen til $P$ .

Faktoriser $P(x)$ i lineære faktorer.

Løs likningen

2e^{3x} - 6e^{2x} - 2e^x + 6 = 0

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Faktorisering, Eksponentialfunksjoner, Likninger

Oppgave 1-5 : Medianer i trekant med vektorer og skjæringspunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hjørnene i en trekant er $A(1,\, 0)$ , $B(6,\, 2)$ og $C(3,\, 5)$ .

Midtpunktene på sidene i trekanten er $D$ , $E$ og $F$ . Se figuren.

Trekant med midtpunkter D, E, F og skjæringspunkt T

Forklar at koordinatene til punktene $D$ , $E$ og $F$ er

D\!\left(\frac{9}{2},\, \frac{7}{2}\right), \quad E\!\left(2,\, \frac{5}{2}\right) \quad \text{og} \quad F\!\left(\frac{7}{2},\, 1\right)

Skjæringspunktet mellom medianene i trekanten er $T$ .

Forklar at vi kan skrive $\overrightarrow{AT}$ på to måter:

\overrightarrow{AT} = s \cdot \overrightarrow{AD}

\overrightarrow{AT} = \overrightarrow{AB} + t \cdot \overrightarrow{BE}

der $s$ og $t$ er reelle tall.

Bruk vektorlikningene i oppgave b) til å bestemme $s$ og $t$ . Bestem koordinatene til $T$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Geometri, Bevis

Oppgave 1-6 : Lyspærproduksjon sannsynlighet og Bayes setning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fabrikk produserer lyspærer. Alle lyspærene blir kontrollert. I kontrollen blir 8,0 % av lyspærene forkastet. Nærmere undersøkelser viser at

92,0 % av de forkastede lyspærene er defekte
2,0 % av de godkjente lyspærene er defekte

Vis at sannsynligheten er 9,2 % for at en tilfeldig produsert lyspære er defekt.

Bruk Bayes’ setning til å bestemme sannsynligheten for at en defekt lyspære blir forkastet i kontrollen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 1-7 : Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og utledning av Pytagoras

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rettvinklet $\triangle ABC$ der $\angle C = 90\degree$ er gitt. Den innskrevne sirkelen har sentrum i $S$ og radius $r$ . Sirkelen tangerer trekanten i punktene $D$ , $E$ og $F$ . Vi setter $AC = b$ , $BC = a$ og $AB = c$ . Du får oppgitt at $BF = BE$ og $AD = AE$ .

Rettvinklet trekant med innskrevet sirkel

Bruk figuren til å forklare at $a = BF + r$ og $b = AD + r$

Av figuren ser vi dessuten at $c = AE + BE$ .

Vis at $a + b - c = 2r$

Forklar at vi kan skrive arealet $T$ av trekanten på to måter:

T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \qquad \text{og} \qquad T = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a+b+c)

Bruk resultatene du fant i oppgavene b) og c) til å utlede Pytagoras’ setning.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Geometri, Sirkel, Bevis, Areal

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Kortspill kombinatorikk med fem kort fra kortstokk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en kortstokk er det 52 kort. Kortene er fordelt på de fire fargene hjerter, ruter, spar og kløver. Hver farge har 13 kort fordelt på verdiene 2 til 10, knekt, dame, konge og ess. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig fem kort fra kortstokken.

Bestem sannsynligheten for at du kommer til å trekke nøyaktig tre kort med verdi 10.

Bestem sannsynligheten for at du kommer til å trekke nøyaktig tre kort med samme verdi.

Bestem sannsynligheten for at alle kortene du kommer til å trekke, har samme farge.

Tre mulige utfall ved trekking av fem kort

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet

Oppgave 2-2 : Partikkel med posisjonsvektor fart og akselerasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonsvektoren til en partikkel er gitt ved

\vec{r}(t) = \left[t^2 - 1,\; t^3 - t\right]

Tegn grafen til $\vec{r}$ når $t \in \left[-\dfrac{3}{2},\, \dfrac{3}{2}\right]$ .

Bestem fartsvektoren $\vec{v}(t)$ og akselerasjonsvektoren $\vec{a}(t)$ .

Bruk CAS til å bestemme den minste banefarten til partikkelen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Parameterframstilling, Derivasjon, Cas

Oppgave 2-3 : Stige mot vegg korteste avstand fra fot til stige

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En stige på $7{,}0 \mathrm{~m}$ er stilt opp langs en vegg. Stigen danner sammen med veggen og bakken en rettvinklet $\triangle ABC$ . Se figuren.

Vi setter $AC = x$ . Den korteste avstanden fra $C$ til stigen er $d$ meter.

Stige langs vegg med trekant ABC og avstand d

Vis at $d = \dfrac{x\sqrt{49 - x^2}}{7}$

Bestem $x$ slik at $d$ blir lengst mulig. Hvor lang er $d$ for denne verdien av $x$ ?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Optimering, Derivasjon

Oppgave 2-4 : Tre tangenter til kubisk funksjon gjennom eksternt punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5x

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Grafen til $f$ har tre tangenter som går gjennom punktet $A(4,\, 3)$ .

Forklar at $x$ -koordinaten til tangeringspunktene må være løsning av likningen

\frac{f(x) - 3}{x - 4} = f'(x)

Bruk CAS til å løse denne likningen. Bestem likningen til hver av tangentene.

La $P(a,\, b)$ være et punkt i planet.

Hva er det maksimale antallet tangenter grafen til $f$ kan ha som går gjennom $P$ ?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Derivasjon, Tangent, Cas, Funksjonsdrøfting

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2017

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner med eksponential og rot R1 V17

Oppgave 1-2 : Forenkle rasjonalt uttrykk og logaritmeuttrykk

Oppgave 1-3 : Vektorer mellom tre punkter og ukjent punkt D

Oppgave 1-4 : Tredjegradsfunksjon vendepunkt faktorisering og eksponentiallikning

Oppgave 1-5 : Medianer i trekant med vektorer og skjæringspunkt

Oppgave 1-6 : Lyspærproduksjon sannsynlighet og Bayes setning

Oppgave 1-7 : Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og utledning av Pytagoras

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Kortspill kombinatorikk med fem kort fra kortstokk

Oppgave 2-2 : Partikkel med posisjonsvektor fart og akselerasjon

Oppgave 2-3 : Stige mot vegg korteste avstand fra fot til stige

Oppgave 2-4 : Tre tangenter til kubisk funksjon gjennom eksternt punkt

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave