Vektorer til å bestemme sidekanter og vinkler i trekant

I trekanten $ABC$ er $A(3, 1)$ , $B(2, -2)$ og $C(5, 2)$ .

Avgjør ved hjelp av vektorregning hvilken side av trekanten som er kortest.

Avgjør ved hjelp av vektorregning om noen av vinklene er $90\degree$ .

Fasit

$AC$ er kortest ( $|AC| = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ )

Nei, ingen av vinklene er $90\degree$ .

Løsningsforslag

Vi finner lengden til alle tre sidene ved å beregne de tre sidevektorene.

\vec{AB} = B - A = (2-3, \; -2-1) = (-1, -3)

|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} \approx 3{,}16

\vec{AC} = C - A = (5-3, \; 2-1) = (2, 1)

|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \approx 2{,}24

\vec{BC} = C - B = (5-2, \; 2-(-2)) = (3, 4)

|\vec{BC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5

Vi sammenligner: $\sqrt{5} < \sqrt{10} < 5$ , det vil si $|AC| < |AB| < |BC|$ .

$AC$ er den korteste siden med lengde $\underline{\underline{\sqrt{5} \approx 2{,}24}}$ .

En vinkel i trekanten er $90\degree$ hvis og bare hvis de to sidevektorene ut fra det hjørnet er ortogonale, det vil si at prikkproduktet er null.

Vinkel i $A$ — vektorene $\vec{AB}$ og $\vec{AC}$ :

\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot 2 + (-3) \cdot 1 = -2 - 3 = -5 \neq 0

Ikke $90\degree$ i $A$ .

Vinkel i $B$ — vektorene $\vec{BA} = -\vec{AB} = (1, 3)$ og $\vec{BC} = (3, 4)$ :

\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 3 + 12 = 15 \neq 0

Ikke $90\degree$ i $B$ .

Vinkel i $C$ — vektorene $\vec{CA} = -\vec{AC} = (-2, -1)$ og $\vec{CB} = -\vec{BC} = (-3, -4)$ :

\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-2) \cdot (-3) + (-1) \cdot (-4) = 6 + 4 = 10 \neq 0

Ikke $90\degree$ i $C$ .

Siden intet prikkprodukt er null, er ingen av vinklene $\underline{\underline{90\degree}}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

Svar uten bruk av vektorregning gir ingen uttelling. Riktig utregning av lengden til en av sidene, kan gi 1 poeng.

2 poeng

Svar uten bruk av vektorregning gir ingen uttelling. For å få full uttelling må kandidaten argumentere for at ingen av vinklene er 90 grader.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2023, del 1, oppgave 3
Poeng: 4
Temaer: vektorer
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet