R1 Høst 2008

LK06 6 oppgaver 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2008 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 2 oppgaver
1	Derivasjon linje polynom og trekant	—
2	Midtpunktsparallelogram i vilkårlig firkant	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver
3	Sannsynlighet med kort og mynter	—
4	Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt I	—
4	Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt II	—
5	Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon linje polynom og trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 3 \cdot e^{2x}

h(x) = x \cdot \ln x

En rett linje $l$ går gjennom punktene $A(1, 2)$ og $B(3, 7)$ .

Sett opp en parameterframstilling for linja $l$ .

Finn skjæringspunktene mellom $l$ og koordinataksene.

Vi har gitt polynomfunksjonen $f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$

Vis at $f(x)$ er delelig med $x + 1$ . Faktoriser $f(x)$ i førstegradsfaktorer.

Løs ulikheten $f(x) \geq 0$

Hjørnene i trekanten $ABC$ er gitt ved $A(2, 0)$ , $B(4, 1)$ og $C(3, 5)$ .

Bestem lengden av sidene i trekanten.

Undersøk om trekanten er rettvinklet.

Figuren viser grafen til en funksjon $f$ og grafen til den deriverte av funksjonen.

Graf av funksjon og derivert

Forklar hvilken graf som er grafen til funksjonen $f$ og hvilken som er grafen til den deriverte.

Bruk figuren til å tegne fortegnslinjene for $f(x)$ , den førstederiverte og den andrederiverte.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen, Parameterframstilling, Faktorisering, Ulikheter, Rettvinklet trekant, Graftolkning, Fortegnslinje

Oppgave 1-2 : Midtpunktsparallelogram i vilkårlig firkant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal studere en firkant som er vist på figuren nedenfor.

Firkant ABCD med midtpunkter

Hjørnene i firkanten $ABCD$ er gitt ved $A(0, 0)$ , $B(3, 0)$ , $C(4, 3)$ og $D(-1, 5)$ .

Regn ut koordinatene til midtpunktene $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ og $M_4$ i sidekantene i firkanten. Se figuren.

Vis at firkanten $M_1M_2M_3M_4$ er et parallellogram.

Hjørnene i en vilkårlig firkant er gitt ved $E(0, 0)$ , $F(a, 0)$ , $G(b, c)$ og $H(d, e)$ . Midtpunktene i sidekantene i firkanten er $N_1$ , $N_2$ , $N_3$ og $N_4$ .

Vis at firkanten $N_1N_2N_3N_4$ er et parallellogram.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Vektorer, Geometri, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Sannsynlighet med kort og mynter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en bunke med kort er det 16 svarte og 14 røde kort.

Gunhild trekker tilfeldig ut to kort. Hva er sannsynligheten for at de to kortene er svarte?

Ali trekker tilfeldig ut 10 kort. Hva er sannsynligheten for at han trekker ut 7 svarte og 3 røde kort?

I en eske med mynter er 40 % av myntene laget før 1940. Av disse er 45 % kobbermynter og 55 % sølvmynter. Av dem som er laget etter 1940, er 35 % kobbermynter og 65 % sølvmynter. Det trekkes tilfeldig ut én mynt.

Hva er sannsynligheten for at mynten er en kobbermynt?

Mynten som ble trukket ut, var en kobbermynt.

Hva er sannsynligheten for at mynten er laget før 1940?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk, Betinget sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt I

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

Rektangel ABCD mellom to linjer

Firkanten $ABCD$ er et rektangel. Hjørnene $A$ og $B$ ligger på den positive førsteaksen. Hjørnet $C$ ligger på linja $y_1 = -5x + 6$ . Hjørnet $D$ ligger på linja $y_2 = 4x$ . Se figuren.

Vi vil undersøke hvor stort arealet av rektanglet kan bli.

Sett førstekoordinaten til punktet $A$ lik $u$ . Forklar at $D(u, 4u)$ , og at andrekoordinaten til $C$ er $4u$ .

Sett førstekoordinaten til $C$ lik $x$ . Forklar at $x = \dfrac{6 - 4u}{5}$

Vis at arealet av rektanglet er gitt ved

F(u) = -\frac{36}{5}u^2 + \frac{24}{5}u

Finn ved regning hvor stort arealet av rektanglet $ABCD$ kan bli.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Optimering, Derivasjon, Lineære funksjoner, Areal

Oppgave 2-4 : Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt II

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

Rektangel ABCD mellom to linjer

Firkanten $ABCD$ er et rektangel. Hjørnene $A$ og $B$ ligger på den positive førsteaksen. Hjørnet $C$ ligger på linja $y_2 = -x + 6$ . Hjørnet $D$ ligger på linja $y_1 = x - 1$ . Se figuren.

Vi vil undersøke hvor stort arealet av rektanglet kan bli.

Vi ser først på tilfellet $A(2, 0)$ .

Vis at da er $D(2, 1)$ og $C(5, 1)$ .

Vis at arealet av rektanglet er lik 3.

Sett førstekoordinaten til punktet $A$ lik $x$ . Arealet av rektanglet er da $F(x)$ .

Skriv av tabellen i besvarelsen din. Fyll ut tabellen.

Tabell for F(x)

Arealet er en funksjon på formen $F(x) = ax^2 + bx + c$ . Bestem konstantene $a$ , $b$ og $c$ . Finn det største arealet til rektanglet og den tilhørende verdien av $x$ . Bestem koordinatene til alle hjørnene for den $x$ -verdien som gir størst areal.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Optimering, Andregradsfunksjon, Lineære funksjoner, Areal

Oppgave 2-5 : Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rettvinklet trekant med innskrevet sirkel

Trekanten $ABC$ er rettvinklet, med katetene $a$ og $b$ og hypotenusen $c$ . I trekanten er det innskrevet en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$ . Tangeringspunktene mellom sirkelen og sidene i trekanten er $D$ , $E$ og $F$ . Se figuren.

Forklar at $AD = AE$ og at $BF = BE$ .

Vi setter nå $AD = AE = x$ og $BF = BE = y$

Finn sidene i trekanten uttrykt ved $r$ , $x$ og $y$ .

Bruk resultatet i b) til å vise at

a + b - c = 2r

Formuler denne egenskapen ved rettvinklede trekanter med egne ord.

Trekk ei linje fra hvert av hjørnene i trekanten til sentrum $S$ i den innskrevne sirkelen. Forklar at disse linjene halverer $\angle A$ , $\angle B$ og $\angle C$ .

Konstruer en tilsvarende figur som den ovenfor med passer og linjal eller med dynamisk programvare når $r = 2 \text{ cm}$ og $a = 5 \text{ cm}$ . Gi en forklaring på konstruksjonen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Sirkel, Rettvinklet trekant, Bevis, Konstruksjon

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2008

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon linje polynom og trekant

Oppgave 1-2 : Midtpunktsparallelogram i vilkårlig firkant

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Sannsynlighet med kort og mynter

Oppgave 2-4 : Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt I

Oppgave 2-4 : Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt II

Oppgave 2-5 : Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave