R1 Vår 2007

LK06 6 oppgaver 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2007 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 2 oppgaver
1	Derivasjon, ulikhet og vektorfunksjon	—
2	Bevis for periferivinkelsetningen	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver
3	Volleyballag og betinget sannsynlighet	—
4	Rasjonal funksjon med asymptote og komposisjon	—
4	Andregradsfunksjon parameterstudium a b og c	—
5	Mediansetning i trekant ABC med vektorregning	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, ulikhet og vektorfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonen

f(x) = x^2 \cdot e^{2x}

Gitt funksjonen

g(x) = x^4 - 4x^3

Finn eventuelle topp-, bunn- og terrassepunkter på grafen til $g$ .

Finn eventuelle vendepunkter på grafen til $g$ . Tegn grafen.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{x^2 + x}{x^2 - 4} - \frac{2}{4 - 2x}

Vis at $x = 1$ er en løsning på ligningen $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$ .

Bruk dette til å løse ulikheten $x^3 + 2x^2 - x - 2 \leq 0$ .

Posisjonen til en partikkel er gitt ved vektorfunksjonen

\vec{r}(t) = \left[t^2 + 2t,\ \frac{1}{2}t^2\right]

Finn et uttrykk for farts- og akselerasjonsvektoren.

Undersøk om det finnes $t$ -verdier som gjør at fartsvektoren står vinkelrett på akselerasjonsvektoren.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Ulikheter, Vektorer

Oppgave 1-2 : Bevis for periferivinkelsetningen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sirkel med periferivinkel og sentralvinkel

$\angle APB$ , som spenner over buen $AB$ , kaller vi en periferivinkel.

$\angle AOB$ , som spenner over buen $AB$ , kaller vi en sentralvinkel.

Tegn inn en annen periferivinkel som spenner over buen $AB$ .

En setning i geometrien sier:

En periferivinkel er alltid halvparten så stor som den sentralvinkelen som spenner over samme bue.

For å bevise denne setningen tegner vi diameteren $PQ$ .

Forklar at $\triangle POA$ og $\triangle POB$ er likebeinte.

Bruk b) til å forklare at

\angle BOQ = 2 \cdot \angle BPO

\angle AOQ = 2 \cdot \angle APO

Bruk c) til å bevise setningen ovenfor.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Geometri, Sirkel, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Volleyballag og betinget sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en volleyballtrening er det 23 elever, 9 gutter og 14 jenter. Det skal velges et lag på 6 elever.

Hva er sannsynligheten for at det blir like mange gutter som jenter på laget, dersom elevene trekkes ut tilfeldig?

I idrettslaget er det 736 medlemmer, 348 gutter og 388 jenter. Av disse er det 63 gutter og 47 jenter som spiller volleyball.

En person trekkes ut tilfeldig. La $A$ og $B$ være de to hendelsene

$A$ : Personen er en gutt $\qquad$ $B$ : Personen spiller volleyball

Forklar med ord hva vi mener med $P(A \cap B)$ . Finn denne sannsynligheten.

Finn sannsynlighetene $P(B)$ og $P(B|A)$ . Er de to hendelsene $A$ og $B$ uavhengige?

En avis ønsker å intervjue to personer i idrettslaget, én som spiller og én som ikke spiller volleyball. De trekker tilfeldig ut én volleyballspiller og én som ikke spiller volleyball.

Hva er sannsynligheten for at de to personene er jenter?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Rasjonal funksjon med asymptote og komposisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

En funksjon $f$ er definert ved

f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \,, \quad x \neq -1 \text{ og } x \neq 1

Undersøk ved regning om grenseverdiene $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x)$ og $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$ eksisterer.

Forklar hvorfor grafen til $f$ bare har én vertikal asymptote. Finn ligningen for den vertikale asymptoten til grafen.

Vis ved regning at

f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-1)^2}

Bruk den deriverte til å finne koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem $f''(x)$ ved regning. Bruk den andrederiverte til å avgjøre hvor grafen til $f$ vender den hule siden opp og hvor grafen vender den hule siden ned.

Tegn grafen til $f$ .

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = f\!\left(e^x\right) = \frac{e^{3x} + 1}{e^{2x} - 1} \,, \quad x \neq 0

Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Grenseverdi, Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjoner

Oppgave 2-4 : Andregradsfunksjon parameterstudium a b og c

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

Alle andregradsfunksjoner kan skrives på formen $f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$ . I denne oppgaven skal vi se på hvordan parameterne $a$ , $b$ , og $c$ endrer grafen til $f$ .

Vi starter med å studere betydningen av parameteren $c$ .

Skisser grafene til $f(x) = x^2 + 2x + c$ for $c$ -verdiene $c \in \{-4,\,-2,\,0,\,2,\,4\}$ i samme koordinatsystem. Sammenlign grafene og kommenter.

Så studerer vi betydningen av parameteren $a$ .

Skisser grafene til $f(x) = a \cdot x^2 + 2x + 1$ for $a$ -verdiene $a \in \{-4,\,-2,\,0,\,2,\,4\}$ i samme koordinatsystem. Sammenlign grafene og kommenter.

Til slutt studerer vi betydningen av parameteren $b$ .

Skisser grafene til $f(x) = x^2 + b \cdot x + 1$ for $b$ -verdiene $b \in \{-8,\,-4,\,-2,\,0,\,2,\,4,\,8\}$ i samme koordinatsystem. Sammenlign grafene og kommenter.

Finn koordinatene til bunnpunktet på hver av grafene i c). Hvilken kurve ser det ut til at bunnpunktene ligger på?

Finn formelen for den kurven som bunnpunktene ligger på.

Gjenta det du gjorde i c), d) og e) for funksjonen $f(x) = -2x^2 + b \cdot x - 8$ for $b$ -verdiene $b \in \{-8,\,-4,\,-2,\,0,\,2,\,4,\,8\}$ . Gi et forslag til hvilken kurve bunn- eller toppunktene til grafen til $f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$ ligger på.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Andregradsfunksjon, Funksjoner, Graf

Oppgave 2-5 : Mediansetning i trekant ABC med vektorregning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En median er et linjestykke som går fra et hjørne i en trekant til midtpunktet på motstående side.

En setning i geometrien sier at de tre medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Denne setningen heter mediansetningen.

En trekant $ABC$ er plassert i et koordinatsystem som vist på figuren. Ved å bruke vektorregning skal vi vise at mediansetningen gjelder for denne trekanten.

Trekant ABC med medianer og skjæringspunkt S

$M_1$ er midtpunktet på siden $AB$ , og $M_2$ er midtpunktet på siden $AC$ .

Skriv opp koordinatene til $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{BC}$ .

Vis ved regning at koordinatene til punktet $M_1$ er $(2,\, 0)$ , og punktet $M_2$ er $\left(\dfrac{1}{2},\, 2\right)$ .

Vi kaller skjæringspunktet mellom $CM_1$ og $BM_2$ for $S$ . En metode for å finne koordinatene til $S$ består i å skrive $\overrightarrow{CS}$ på to måter. To ulike veier fra $C$ til $S$ gir

\overrightarrow{CS} = k \cdot \overrightarrow{CM_1} \quad \text{og} \quad \overrightarrow{CS} = \overrightarrow{CB} + t \cdot \overrightarrow{BM_2}

Dette gir oss følgende vektorligning:

k \cdot \overrightarrow{CM_1} = \overrightarrow{CB} + t \cdot \overrightarrow{BM_2}

Sett inn koordinatene til $\overrightarrow{CM_1}$ , $\overrightarrow{CB}$ og $\overrightarrow{BM_2}$ , og vis at vektorligningen kan skrives som

\left[k,\; -4k\right] = \left[3 - \frac{7t}{2},\; -4 + 2t\right]

Løs vektorligningen i c).

Bestem $\overrightarrow{CS}$ og koordinatene til punktet $S$ .

Vis at den tredje medianen går gjennom punktet $S$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Vektorer, Geometri, Bevis

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2007

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, ulikhet og vektorfunksjon

Oppgave 1-2 : Bevis for periferivinkelsetningen

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Volleyballag og betinget sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Rasjonal funksjon med asymptote og komposisjon

Oppgave 2-4 : Andregradsfunksjon parameterstudium a b og c

Oppgave 2-5 : Mediansetning i trekant ABC med vektorregning

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave