2P Vår 2012

Vi bruker frekvenstabellen: $20$ elever fordelt på antall datamaskiner $1,2,3,4,5,6$ med frekvens $3,4,3,6,2,2$.

Variasjonsbredden er forskjellen mellom høyeste og laveste verdi:

Typetallet er verdien med høyest frekvens. Det er $4$ datamaskiner, som $6$ elever har:

Medianen finner vi ved å sortere de $20$ svarene og se på det $10.$ og $11.$ tallet. Kumulativ frekvens viser at det $10.$ tallet er $3$ (kumulativ frekvens $3+4+3=10$) og det $11.$ tallet er $4$ (neste gruppe):

Gjennomsnittet finner vi ved å summere verdi ganger frekvens og dele på $20$:

Vi ganger tallfaktorene og legger sammen eksponentene hver for seg:

Siden $12$ ikke er mellom $1$ og $10$, skriver vi om til standardform:

Bilens verdi avtar med $15\%$ hvert år, så vekstfaktoren per år er

Etter $10$ år er verdien ganget med denne vekstfaktoren $10$ ganger, altså opphøyd i $10.$ Regnestykke $1$ er feil fordi det trekker fra samme kronebeløp hvert år (lineær nedgang), og regnestykke $2$ mangler den opprinnelige verdien $250000$ som faktor foran ${\mathrm{0,15}}^{10}$ og bruker feil vekstfaktor. Riktig regnestykke er derfor

altså regnestykke $3$.

Den likesidede trekanten har alle sider like lange, $3$. Omkretsen er

Den rettvinklede trekanten $DEF$ har rett vinkel i $D$, med $DE=2$ og hypotenusen $EF=4$. Vi finner den ukjente kateten $DF$ med Pythagoras’ setning:

Omkretsen av trekant $DEF$ er da

Siden $\mathrm{9,46}>9$, er det $\underline{\underline{\text{trekant }DEF}}$ som har størst omkrets.

Kroneverdien forteller hvor mye én krone i februar 2009 er verd målt i kroneverdien fra basisåret. En kroneverdi på $\mathrm{0,8}$ betyr at $1$ krone i februar 2009 bare tilsvarte $\mathrm{0,8}$ kroner i basisårets kjøpekraft.

For å finne hvor mange kroner (i februar 2009) som tilsvarte $100$ kroner fra basisåret, løser vi likningen

Trekanten er innskrevet i sirkelen med én side (grunnlinjen) som går gjennom sentrum $S$ — denne siden er dermed en diameter, $\mathrm{8,0}$. Høyden fra det motstående hjørnet ned til $S$ har lengde lik radius, $\mathrm{4,0}$, siden dette hjørnet ligger på sirkelen.

Areal av trekanten:

Areal av sirkelen med $\pi \approx \mathrm{3,0}$ og $r=\mathrm{4,0}$:

Det mørke arealet er sirkelens areal minus trekantens areal:

1) Av $20$ elever spiller $15$ fotball og $10$ håndball, og $1$ elev spiller verken fotball eller håndball. Da spiller $20-1=19$ elever minst én av idrettene. La $x$ være antallet som spiller begge deler:

Fotball alene: $15-6=9$. Håndball alene: $10-6=4$.

2) Vi skal finne sannsynligheten for at eleven spiller håndball, gitt at eleven spiller fotball. Av de $15$ som spiller fotball, spiller $6$ også håndball:

Merket på posen viser at $30\mathrm{g}$ potetskiver inneholder $150\text{kcal}$. Hele posen veier $150\mathrm{g}$, altså

ganger så mye. Energiinnholdet i hele posen blir da

Torbjørn får altså i seg $750$ kcal når han spiser hele posen.

Vi bruker formelen $E=(P+K)\cdot 4+F\cdot 9$ for $30\mathrm{g}$ potetskiver, med $E=150$, $P=2$ og $F=8$, og løser for $K$:

Det er altså omtrent $\mathrm{17,5}$ gram karbohydrater i $30$ gram potetskiver.

Egenkapitalen på $230000\mathrm{kr}$ utgjør $20\%$ av kjøpesummen. Vi finner kjøpesummen ved å dele egenkapitalen på $20\%=\mathrm{0,20}$:

Lånet er de resterende $80\%$ av kjøpesummen:

$\underline{\underline{\text{Sofie og Christer kan altså låne }920000\mathrm{kr}\text{ i banken.}}}$

Verdiøkningen er $\mathrm{7,0}\%$ per år, og vekstfaktoren blir da $1+\mathrm{0,070}=\mathrm{1,07}$.

Verdien etter ett år finner vi ved å multiplisere kjøpesummen med vekstfaktoren:

Verdien etter ti år finner vi ved å multiplisere kjøpesummen med vekstfaktoren opphøyd i $10$:

$\underline{\underline{\text{Etter ett år er leiligheten verdt ca. }1230500\mathrm{kr},\text{ og etter ti år ca. }2262224\mathrm{kr}.}}$

Vi tegner grafen til $f(x)=-\mathrm{0,05}{x}^2+\mathrm{2,60}x+\mathrm{0,50}$ for $0\le x\le 25$ i GeoGebra.

For å finne vekten ved fødselen setter vi inn $x=0$:

En gris veier $\underline{\underline{\mathrm{0,50}\mathrm{kg}}}$ ved fødselen.

Vi leser av grafen der kurven krysser linjen $y=20$. Det grønne punktet viser at dette skjer ved $x\approx \mathrm{9,09}$.

Vi kan også løse likningen $f(x)=20$ algebraisk:

GeoGebra gir løsningen $x\approx \mathrm{9,09}\text{ måneder}$.

Grisen er cirka $\underline{\underline{\mathrm{9,09}\text{ måneder}}}$ gammel når vekten passerer $20\mathrm{kg}$.

For å finne gjennomsnittlig vektøkning per måned frem til da regner vi ut:

Den gjennomsnittlige vektøkningen er $\underline{\underline{\approx \mathrm{2,15}\mathrm{kg}}}$ per måned frem til grisen veier $20\mathrm{kg}$.

Karen har 2 rosa sokker. Antall måter å velge begge de 2 rosa sokkene er:

Det er bare én måte å få to rosa sokker på.

Sannsynligheten er:

Vi kan også tenke på det slik: sannsynligheten for at den første sokken er rosa, er $\frac{2}{10}$. Gitt at den første var rosa, er sannsynligheten for at den andre også er rosa, $\frac{1}{9}$ (det er nå 1 rosa igjen av 9 sokker).

Sannsynligheten for at Karen tar to rosa sokker er ${\displaystyle \frac{1}{45}}$.

Karen har 2 rosa sokker og 8 sokker som ikke er rosa.

Antall måter å velge 1 rosa sokk av 2 rosa: $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{1}\right)=2$

Antall måter å velge 1 ikke-rosa sokk av 8: $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{1}\right)=8$

Antall gunstige utfall: $2\cdot 8=16$

Sannsynligheten er:

Vi kan også tenke trinnvis: enten tar hun rosa først og deretter en annen farge, eller omvendt.

Sannsynligheten for at Karen tar én rosa sokk og én sokk i en annen farge er ${\displaystyle \frac{16}{45}}$.

Det er 5 farger, og det finnes 2 sokker av hver farge. Antall måter å velge 2 sokker med samme farge av én bestemt farge er $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{2}\right)=1$.

Siden det er 5 farger, er det totale antallet gunstige utfall $5\cdot 1=5$.

Sannsynligheten er:

Vi kan også beregne dette trinnvis: sannsynligheten for at den andre sokken har samme farge som den første, er alltid $\frac{1}{9}$ (uansett hvilken farge den første sokken hadde, er det 1 sokk igjen av samme farge blant de resterende 9).

Sannsynligheten for at Karen tar to sokker med samme farge er ${\displaystyle \frac{1}{9}}$.

Vi vet at grafen til $y=ax+b$ går gjennom punktene $(10,2300)$ og $(16,3200)$.

Vi setter opp to likninger ved å sette inn punktene:

Vi trekker likning (1) fra likning (2) for å finne $a$:

Vi setter $a=150$ inn i likning (1) for å finne $b$:

Den lineære modellen er $\underline{\underline{y=150x+800}}$.

$a=150$ er stigningstallet. Det betyr at prisen øker med $\underline{\underline{150\mathrm{kr}}}$ for hvert tonn sand som legges til billasset.

$b=800$ er konstantleddet. Det betyr at grunnprisen for å få kjørt billasset er $\underline{\underline{800\mathrm{kr}}}$, uavhengig av hvor mye sand som er på lasset. Dette kan for eksempel være betaling for selve kjøreturen (frakt/oppmøte).

Vi legger sammen alle seks målingene og deler på 6:

For standardavviket regner vi ut avviket fra gjennomsnittet for hver måling, kvadrerer, tar gjennomsnittet av kvadratene og tar kvadratroten:

Gjennomsnittet er $\approx \mathrm{0,467}\mathrm{s}$ og standardavviket er $\approx \mathrm{0,026}\mathrm{s}$.

Vi sjekker om målingen til elev 5 ($\mathrm{0,52}\mathrm{s}$) avviker mer enn $\mathrm{1,4}$ standardavvik fra gjennomsnittet.

Avviket til elev 5:

Grensen for forkasting:

Vi sammenligner:

Avviket er større enn grensen. Måleresultatet til elev 5 kan forkastes etter regelen til læreren.

Dette betyr at $\mathrm{0,52}\mathrm{s}$ mest sannsynlig skyldes en målefeil og ikke er en representativ måling av falltiden.

Vi beregner gjennomsnitt og standardavvik for de fem gjenværende målingene (uten $\mathrm{0,52}\mathrm{s}$):

Gjennomsnittet er $\approx \mathrm{0,456}\mathrm{s}$ og standardavviket er $\approx \mathrm{0,010}\mathrm{s}$.

Sammenlignet med alle seks målinger har gjennomsnittet sunket fra $\mathrm{0,467}\mathrm{s}$ til $\mathrm{0,456}\mathrm{s}$, og standardavviket har sunket kraftig fra $\mathrm{0,026}\mathrm{s}$ til $\mathrm{0,010}\mathrm{s}$. Dette virker rimelig: $\mathrm{0,52}\mathrm{s}$ var den eneste høye verdien, og når vi fjerner den, trekkes gjennomsnittet ned og spredningen i målingene blir mye mindre.

Vi lar $x$ være antall år etter 1998, slik at $1998$ tilsvarer $x=0$, $1999$ tilsvarer $x=1$, osv. Punktene fra tabellen plottes i et koordinatsystem, og vi bruker regresjon (lineær modell) til å finne en rett linje som passer best med punktene.

Regresjonen gir modellen

der $x$ er antall år etter 1998 og $f(x)$ er konsumprisindeksen.

År $2030$ tilsvarer $x=2030-1998=32$. Vi setter $x=32$ inn i modellen fra a):

Ifølge den lineære modellen vil konsumprisindeksen i 2030 være omtrent $\underline{\underline{\mathrm{172,8}}}$.

I 2001 var konsumprisindeksen $\mathrm{108,7}$. Fra 2001 til 2030 går det $2030-2001=29\text{år}$. Med en årlig vekst på $\mathrm{2,5}\%$ er vekstfaktoren $\mathrm{1,025}$, og vi får

Dersom konsumprisindeksen hadde steget med $\mathrm{2,5}\%$ per år fra 2001, ville den i 2030 vært omtrent $\underline{\underline{\mathrm{222,4}}}$.

Dette er betydelig høyere enn resultatet fra den lineære modellen i b) ($\mathrm{172,8}$). Grunnen er at en fast prosentvis vekst gir en eksponentiell utvikling, mens den lineære modellen legger til et fast tallmessig tillegg hvert år. Over lang tid vil derfor eksponentiell vekst gi en klart høyere verdi enn lineær vekst, selv om forskjellen er liten i starten av perioden.

Hver sideflate i pyramiden er en likebeint trekant med to like sider på $17\mathrm{cm}$ og grunnlinje $10\mathrm{cm}$. Høyden i denne trekanten deler grunnlinjen på midten, slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus $17\mathrm{cm}$ og en katet på ${\displaystyle \frac{10}{2}}=5\mathrm{cm}$. Fra Pytagoras’ setning:

$\underline{\underline{\text{Høyden i sidetrekantene er ca. }16\mathrm{cm},\text{ som skulle vises.}}}$

Overflaten består av den kvadratiske grunnflaten pluss de fire sidetrekantene. Grunnflaten har areal:

Hver sidetrekant har areal ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot h$ med grunnlinje $g=10\mathrm{cm}$ og høyde $h\approx \mathrm{16,25}\mathrm{cm}$:

Overflaten blir da:

$\underline{\underline{O\approx 425{\mathrm{cm}}^2}}$

For å finne høyden $H$ til selve pyramiden ser vi på den rettvinklede trekanten som apex, midtpunktet av grunnflaten og midtpunktet av en grunnkant danner. Hypotenusen i denne trekanten er sidehøyden fra a), $h\approx \mathrm{16,25}\mathrm{cm}$, og den ene kateten er avstanden fra grunnflatens midtpunkt til midtpunktet av en kant, som er $5\mathrm{cm}$ (halve sidekanten). Med Pytagoras’ setning:

$\underline{\underline{\text{Pyramidekortet er ca. }15\mathrm{cm}\text{ høyt, som skulle vises.}}}$

Rammen legger seg $10\mathrm{cm}$ over grunnflaten. Tverrsnittet av pyramiden i denne høyden er et kvadrat som er formlikt med grunnflaten, fordi pyramiden smalner jevnt inn mot toppunktet.

Vi ser på den vertikale trekanten gjennom toppunktet og grunnflatens midtpunkt. Fra toppunktet og ned til grunnflaten er avstanden hele høyden $H\approx \mathrm{15,5}\mathrm{cm}$, og halve grunnkanten er $5\mathrm{cm}$. I høyden $10\mathrm{cm}$ over grunnflaten er avstanden ned til toppunktet $H-10\approx \mathrm{5,5}\mathrm{cm}$. Siden trekantene er formlike, er forholdet mellom halve sidelengden $x$ i tverrsnittet og halve grunnkanten $5\mathrm{cm}$ det samme som forholdet mellom avstandene til toppunktet:

Sidelengden i hullet blir da det dobbelte:

$\underline{\underline{\text{Hullet i rammen må ha en sidelengde på ca. }\mathrm{3,5}\mathrm{cm}\text{ (areal ca. }\mathrm{12,5}{\mathrm{cm}}^2\text{).}}}$