2P Høst 2009

Oppgave 1-1Standardform, badebasseng, skattesystem og halvsirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv tallene 32 000 000 og 0,000 678 på standardform.

Hvilket tall er størst av tallet 70 i titallsystemet og tallet 1001001 i totallsystemet?

Forholdet mellom $n$ og $p$ er lik 140. Hvor stor er $p$ dersom $n$ er 70?

Badebasseng formet som et rett firkantet prisme

Et badebasseng har form som et rett firkantet prisme med lengde 6,0 meter, bredde 4,0 meter og høyde 1,5 meter.

Hvor stort volum har bassenget?

For å fylle bassenget med vann brukes en vannpumpe som gir 300 liter vann per minutt.

Hvor lang tid tar det å fylle bassenget?

I en klasse er det 25 elever. 10 av jentene og 5 av guttene har arbeid i tillegg til skolen. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i denne klassen har arbeid i tillegg til skolen?

I et land er skattesystemet slik at de første 100 000 kronene du tjener, er skattefrie, mens du må betale 50 % skatt av det du tjener over 100 000 kroner.

Du tjener 500 000 kroner. Hvor stor blir lønnen etter at skatten er trukket fra?

La $B$ kroner være lønnen før skatt og $N$ kroner lønnen etter at skatten er trukket fra. Formelen $N = 0,50 \cdot B + 50 000$ gir oss en sammenheng mellom disse størrelsene. (Her forutsetter vi at $B$ er større enn 100 000.)

Finn en formel for $B$ , og bruk denne til å finne ut hvor mye du må tjene for å sitte igjen med 350 000 kroner etter at skatten er trukket fra.

Figuren nedenfor viser en halvsirkel med sentrum i $S$ . I halvsirkelen har vi tegnet inn en likebeint trekant $A B C$ . $A$ , $B$ og $C$ ligger på sirkelbuen. Er arealet av trekanten mer enn dobbelt så stort som arealet av det røde området? Begrunn svaret ditt.

Halvsirkel med sentrum S og innskrevet likebeint trekant ABC, der de to sirkelsegmentene er røde

Fasit

$3,2 \cdot 10^{7}$ og $6,78 \cdot 10^{- 4}$

$1001001_{2}$ er størst

$p = 0,5$

1) $36 m^{3}$ 2) $120 min = 2 timer$

$60 %$

1) $300 000 kr$ 2) $B = 2 N - 100 000$ , som gir $600 000 kr$

$Nei$ — trekantens areal er om lag $1,75$ ganger det røde arealet, altså mindre enn det dobbelte

LøsningsforslagKI-generert

Et tall på standardform skrives som $a \cdot 10^{n}$ , der $1 \leq a < 10$ .

32 000 000 = 3,2 \cdot 10^{7}

0,000678 = 6,78 \cdot 10^{- 4}

Vi gjør om $1001001_{2}$ til titallsystemet ved å summere toerpotensene som svarer til enerne:

1001001_{2} = 1 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{0} = 64 + 8 + 1 = 73

Siden $73 > 70$ , er $1001001_{2} (= 73) størst$ , sammenlignet med $70$ i titallsystemet.

Forholdet mellom $n$ og $p$ er $\frac{n}{p} = 140$ . Vi setter inn $n = 70$ og løser for $p$ :

\begin{matrix} \frac{70}{p} & = 140 \\ 70 & = 140 \cdot p \\ p & = \frac{70}{140} \\ p & = 0,5 \end{matrix}

1) Bassenget er et rett firkantet prisme, så volumet er

V = l \cdot b \cdot h = 6,0 \cdot 4,0 \cdot 1,5 = 36 m^{3}

2) Pumpen gir $300$ liter $= 0,3 m^{3}$ per minutt. Tiden det tar å fylle bassenget er

t = \frac{36 m^{3}}{0,3 m^{3} / min} = 120 min

Det tar altså $120 minutter, det vil si 2 timer$ .

Av $25$ elever har $10 + 5 = 15$ elever arbeid i tillegg til skolen. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har arbeid, er da

P (arbeid) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,60 = 60 %

1) De første $100 000$ kronene er skattefrie. Skatten beregnes av resten:

500 000 - 100 000 = 400 000 kr skattepliktig

Skatt = 0,50 \cdot 400 000 = 200 000 kr

Lønn etter skatt = 500 000 - 200 000 = 300 000 kr

2) Vi løser $N = 0,50 \cdot B + 50 000$ med hensyn på $B$ :

\begin{matrix} N & = 0,50 \cdot B + 50 000 \\ N - 50 000 & = 0,50 \cdot B \\ B & = \frac{N - 50 000}{0,50} \\ B & = 2 N - 100 000 \end{matrix}

For å sitte igjen med $N = 350 000$ kroner:

B = 2 \cdot 350 000 - 100 000 = 700 000 - 100 000 = 600 000 kr

Siden $A B$ er diameteren i sirkelen, og $C$ ligger på sirkelbuen med $S C ⟂ A B$ , er $C$ det høyeste punktet på halvsirkelen. Da er $C S$ medianen fra $C$ ned til hypotenusen $A B$ i trekant $A B C$ . Denne medianen er alltid lik halve hypotenusen i en rettvinklet trekant (vinkelen ved $C$ er $90 °$ fordi den står på diameteren), så

C S = r

der $r$ er radien i sirkelen. Trekantens areal blir da

T_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C S = \frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot r = r^{2}

Arealet av halvsirkelen er

T_{halvsirkel} = \frac{1}{2} π r^{2}

Det røde arealet (de to sirkelsegmentene) er halvsirkelen minus trekanten:

T_{rødt} = \frac{1}{2} π r^{2} - r^{2} = r^{2} (\frac{π}{2} - 1) \approx 0,571 r^{2}

Vi sammenligner trekantens areal med dobbelt så mye rødt areal:

2 \cdot T_{rødt} \approx 2 \cdot 0,571 r^{2} = 1,141 r^{2}

Siden $T_{A B C} = r^{2} < 1,141 r^{2} \approx 2 \cdot T_{rødt}$ , er trekantens areal ikke mer enn dobbelt så stort som det røde arealet. Faktisk er trekanten bare om lag $1,75$ ganger så stor som det røde arealet:

Nei, arealet av trekanten er ikke mer enn dobbelt så stort som det røde arealet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Standardform, Tallregning, Volum, Sannsynlighet, Formler, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Eske i topunktsperspektiv og trafikklys i trepunktsperspektiv

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Påbegynt eske i topunktsperspektiv med to forsvinningspunkter

Per skal tegne en eske i topunktsperspektiv. Han har begynt som vist på figuren ovenfor.

I vedlegget bak i eksamensoppgaven finner du den samme tegningen. Fullfør tegningen i vedlegget.

TA UT VEDLEGGET PÅ SIDE 21 OG LEVER DET SAMMEN MED BESVARELSEN AV DEL 1.

Bildene nedenfor viser et trafikklys som er tegnet i trepunktsperspektiv.

Fire tegninger av et trafikklys i trepunktsperspektiv

Kilde: http://4.bp.blogspot.com/_eKW3lMZyb9U/R2ZVSqf5WyI/AAAAAAAACJk/Te7bH0aNo04/s1600-h/gse_multipart54453.jpg (22.04.09)

I vedlegget bak i eksamensoppgaven finner du en tegning av et liknende trafikklys. Bruk tegningen i vedlegget til å lage hjelpelinjer og finne de tre forsvinningspunktene.

TA UT VEDLEGGET PÅ SIDE 21 OG LEVER DET SAMMEN MED BESVARELSEN AV DEL 1.

Vedlegg 1

Vedlegg til a): påbegynt eske i topunktsperspektiv

Vedlegg til b): trafikklys i trepunktsperspektiv

Fasit

Fullført eske med begge forsvinningspunktene $F_{1}$ og $F_{2}$ på horisontlinja, se skisse

Tre forsvinningspunkter: $F_{1}$ og $F_{2}$ på horisontlinja, $F_{3}$ utenfor bildet (over eller under), se skisse

LøsningsforslagKI-generert

De to forsvinningspunktene $F_{1}$ og $F_{2}$ ligger på horisontlinja. Den påbegynte kanten (den nærmeste loddrette kanten på esken) er allerede tegnet. Vi fullfører esken slik:

Fra toppunktet og bunnpunktet på den påbegynte kanten trekker vi rette linjer til begge forsvinningspunktene $F_{1}$ og $F_{2}$ . Disse linjene danner topp- og bunnkantene på de to synlige sideflatene.
Vi velger hvor langt esken skal strekke seg langs disse linjene, og setter av de to andre loddrette kantene (venstre og høyre) mellom topp- og bunnlinjene.
De skjulte bakerste kantene finner vi ved å trekke linjer videre fra de nye loddrette kantene til det motsatte forsvinningspunktet ( $F_{1} \to$ mot $F_{2}$ og omvendt). Der disse linjene møtes, ligger de to bakerste, skjulte hjørnene. Disse kantene tegnes stiplet fordi de er skjult inni esken.

Fullført eske i topunktsperspektiv med forsvinningspunktene F1 og F2

Alle rette kanter på esken skal, forlenget, gå gjennom enten $F_{1}$ eller $F_{2}$ — det er selve prinsippet i topunktsperspektiv.

For å finne forsvinningspunktene til trafikklyset bruker vi at kanter som i virkeligheten er parallelle (og ikke er parallelle med bildeplanet), møtes i ett felles forsvinningspunkt i tegningen. Framgangsmåten er:

Vi forlenger de rette kantlinjene på tegningen (med linjal) i de tre ulike retningene kanter går i esken/lyset.
To av retningene svarer til de “vannrette” kantsettene. Forlenger vi disse, møtes de i to forsvinningspunkter $F_{1}$ og $F_{2}$ , som ligger på samme horisontlinje.
Den tredje retningen svarer til de loddrette kantene på lyset. Siden vi ser skrått opp eller ned på lyset (trepunktsperspektiv), er ikke disse kantene helt parallelle i tegningen. Forlenger vi dem, møtes de i et tredje forsvinningspunkt $F_{3}$ , som ligger langt over eller under de to andre — ikke på horisontlinja.

Prinsippskisse: hjelpelinjer forlenget til tre forsvinningspunkter F1, F2 og F3

Skjæringspunktene $F_{1}$ , $F_{2}$ og $F_{3}$ er de tre forsvinningspunktene i trepunktsperspektivet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Geometri, Perspektivtegning
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 2-3Volum av Voss-flaske og karamellpuddingkartong

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En flaske Voss-vann (til venstre) og en kartong med karamellpudding (til høyre)

Kilde: Vosswater.com (10.05.09)

Kilde: http://www.tine.no/page?id=26&key=5948&cat=609 (10.05.09)

Bildet til venstre viser en flaske Voss-vann. Flasken er 18,3 cm høy og har en diameter på 5,1 cm. Bildet til høyre viser en kartong med karamellpudding. Kartongen er 21,5 cm høy, og grunnflaten er et rektangel med sider på 11,0 cm og 4,4 cm.

Kalkulator

Regn ut volumet av kartongen med karamellpudding og volumet av flasken med Voss-vann.

I en flaske Voss-vann med samme størrelse som den ovenfor er det igjen 250 ml vann.

Kalkulator

Hvor høyt i flasken står vannet?

Peder kjøpte en flaske med 800 ml Voss-vann på en restaurant i Barcelona. Der kostet den 10 euro.

Kalkulator

Hvor mange norske kroner koster 1 liter Voss-vann når 1 euro er verdt 8,73 norske kroner?

Fasit

$V_{kartong} \approx 1041 {cm}^{3}, V_{flaske} \approx 374 {cm}^{3}$

$h \approx 12,2 cm$

$\approx 109,13 k r / l i t e r$

LøsningsforslagKI-generert

Kartongen med karamellpudding er formet som et rett prisme med rektangulær grunnflate. Volumet av et prisme er grunnflate ganger høyde:

V_{kartong} = 11,0 cm \cdot 4,4 cm \cdot 21,5 cm = 1040,6 {cm}^{3}

Flasken med Voss-vann er formet som en sylinder. Diameteren er $5,1 cm$ , så radien er $r = 5,1 / 2 = 2,55 cm$ . Volumet av en sylinder er

V_{flaske} = π \cdot r^{2} \cdot h = π \cdot {2,55}^{2} {cm}^{2} \cdot 18,3 cm \approx 373,8 {cm}^{3}

Kartongen har et volum på omtrent $1041 {cm}^{3}$ ( $\approx 1,04$ liter), og flasken har et volum på omtrent $374 {cm}^{3}$ ( $374$ ml).

Flasken er en sylinder med samme radius som over, $r = 2,55 cm$ . Vannet i flasken danner selv en liten sylinder med volum $250 ml = 250 {cm}^{3}$ og ukjent høyde $h$ . Vi løser volumformelen for $h$ :

h = \frac{V}{π \cdot r^{2}} = \frac{250}{π \cdot {2,55}^{2}} \approx 12,2 cm

Vannet står omtrent $12,2 cm$ opp i flasken.

Prisen er 10 euro for 800 ml. Vi finner først prisen per liter i euro:

Pris per liter = \frac{10 euro}{0,800 liter} = 12,5 euro/liter

Deretter regner vi om til norske kroner ved å multiplisere med valutakursen $1 euro = 8,73 kr$ :

12,5 \cdot 8,73 kr = 109,125 kr

Én liter Voss-vann kostet altså omtrent $109,13 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Volum, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Karakterfordeling med to diagrammer og samlet gjennomsnitt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser karakterfordelingen på en matematikkeksamen et år.

Karakter	Elever
1	12
2	47
3	49
4	57
5	13
6	3

Kalkulator

Framstill dataene i tabellen ved hjelp av to ulike diagrammer.

Kalkulator

Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 1?

Hva var gjennomsnittskarakteren?

Året etter var det 234 elever som hadde eksamen. Gjennomsnittskarakteren dette året var 3,42.

Kalkulator

Hva var gjennomsnittskarakteren dersom vi ser disse to årene under ett? Forklar hvordan du kom fram til svaret.

Fasit

Søylediagram og sektordiagram (se løsningsforslag)

$6,6 %$ og $3,12$

$3,29$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller opp at det til sammen er

12 + 47 + 49 + 57 + 13 + 3 = 181

elever. Dataene kan framstilles i et regneark, for eksempel som et søylediagram:

Søylediagram over karakterfordelingen

eller som et sektordiagram (kakediagram), der hver sektor viser hvor stor prosentandel av elevene som fikk hver karakter:

Sektordiagram over karakterfordelingen

1) Andelen elever med karakter 1 finner vi ved å dele antall elever med karakter 1 på totalt antall elever, og gange med $100 %$ :

\frac{12}{181} \cdot 100 % \approx 6,6 %

Omtrent $6,6 %$ av elevene fikk karakteren 1.

2) Gjennomsnittskarakteren finner vi ved å summere alle karakterene (karakter multiplisert med antall elever som fikk den) og dele på totalt antall elever:

\begin{matrix} Sum & = 1 \cdot 12 + 2 \cdot 47 + 3 \cdot 49 + 4 \cdot 57 + 5 \cdot 13 + 6 \cdot 3 \\ = 12 + 94 + 147 + 228 + 65 + 18 \\ = 564 \end{matrix}

Gjennomsnitt = \frac{564}{181} \approx 3,12

Gjennomsnittskarakteren var $3,12$ .

Vi kan ikke finne det samlede gjennomsnittet ved å ta gjennomsnittet av de to årenes gjennomsnitt, siden det ikke var like mange elever de to årene. Vi må i stedet vekte gjennomsnittene med antall elever hvert år.

Det første året hadde $181$ elever, med gjennomsnittskarakter $3,12$ (sum av karakterer $= 564$ , se b). Det andre året hadde $234$ elever, med gjennomsnittskarakter $3,42$ . Da var summen av karakterene det andre året

234 \cdot 3,42 = 800,28

Det samlede gjennomsnittet for de to årene sett under ett blir summen av alle karakterene delt på det totale antallet elever:

Gjennomsnitt = \frac{564 + 800,28}{181 + 234} = \frac{1364,28}{415} \approx 3,29

Gjennomsnittskarakteren for de to årene sett under ett var $3,29$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Statistikk, Diagram, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Siris studentbudsjett og kjøpekraft fra Lånekassen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Siri er student. Hun får utbetalt 8 290 kroner per måned fra Lånekassen.

Hver måned betaler hun 3 200 kroner i husleie. En måned regner hun i tillegg med å få disse utgiftene: 850 kroner til læremateriell, 600 kroner til reise, 350 kroner til telefon, 1 800 kroner til mat, 800 kroner til klær og 600 kroner til annet.

Kalkulator

Lag et månedsbudsjett for Siri denne måneden.

Tabellen nedenfor viser hvor mye en student fikk utbetalt fra Lånekassen hver måned i 1990 og i 2008.

År	Lån	Stipend	Utbetalt
1990	4 580 kroner	600 kroner	5 180 kroner
2008	4 970 kroner	3 320 kroner	8 290 kroner

Konsumprisindeksen var 83,7 i 1990 og 123,1 i 2008.

Mads var student i 2008. Matematikklæreren hans var student i 1990. Begge måtte klare seg med de pengene de fikk fra Lånekassen.

Kalkulator

Hvem av de to hadde størst kjøpekraft i studietiden?

Kalkulator

Hvor stor andel utgjør stipendet av den månedlige utbetalingen fra Lånekassen for Mads? Finn tilsvarende andel for matematikklæreren og kommenter svaret.

Fasit

$Overskudd \approx 90 kr$

$Mads (2008) hadde størst kjøpekraft$

$40,0 % (Mads) mot 11,6 % (læreren)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp et budsjett med inntekt og utgifter denne måneden. Vi antar at Lånekassen-utbetalingen er Siris eneste inntekt denne måneden, og at de utgiftene som er nevnt i oppgaven er alle utgiftene hun har.

Inntekt	Beløp
Utbetaling fra Lånekassen	$8290$ kr

Utgifter	Beløp
Husleie	$3200$ kr
Læremateriell	$850$ kr
Reise	$600$ kr
Telefon	$350$ kr
Mat	$1800$ kr
Klær	$800$ kr
Annet	$600$ kr
Sum utgifter	$𝟖𝟐𝟎𝟎$ kr

Overskudd = 8290 kr - 8200 kr = 90 kr

Siri har altså $90 kr$ til overs denne måneden.

For å sammenligne kjøpekraften til Mads (student i 2008) og læreren (student i 1990), regner vi om læreren sin utbetaling fra 1990 til hva den ville tilsvart i 2008-kroner, ved hjelp av konsumprisindeksen (KPI). Formelen er

beløp i 2008-kroner = beløp i 1990 \cdot \frac{{KPI}_{2008}}{{KPI}_{1990}}

5180 kr \cdot \frac{123,1}{83,7} \approx 7618 kr

Dette betyr at læreren sin utbetaling i 1990 tilsvarer en kjøpekraft på omtrent $7618 kr$ i 2008-kroner. Mads fikk faktisk utbetalt $8290 kr$ i 2008, altså mer enn dette.

Siden $8290 kr > 7618 kr$ , hadde $Mads størst kjøpekraft$ i studietiden sin.

Andelen stipend av total utbetaling regnes ut for hver av de to:

Mads (2008) : \frac{3320}{8290} \approx 0,4005 = 40,0 %

Læreren (1990) : \frac{600}{5180} \approx 0,1158 = 11,6 %

Stipendandelen var omtrent $40,0 %$ for Mads i 2008, mot bare $11,6 %$ for læreren i 1990. Stipendet er penger studenten ikke må betale tilbake, mens lånet må betales tilbake. Sammenligningen viser at en mye større andel av lånekassestøtten var «gratis» stipend i 2008 enn i 1990 — i 1990 måtte studentene låne en langt større del av beløpet selv.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Økonomi, Prisindeks, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Snorres og farfars bankkontoer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Baby med sparegriser

Da Snorre ble født, satte mormor inn penger på en ny bankkonto. Funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 18 000 \cdot {1,0425}^{x}

viser hvor mye penger det er på kontoen etter $x år$ .

Kalkulator

1) Hvor mye penger satte mormor inn på kontoen? Hvor stor er den årlige renten?

Hvor mye penger er det på kontoen etter 18 år?

Krever PC

Hvor mange år vil det gå før beløpet på kontoen passerer 30 000 kroner?

Farfar opprettet også en konto da Snorre ble født. Han satte inn 10 000 kroner på kontoen. Etter 5 år stod det 11 592,70 kroner på kontoen.

Kalkulator

Hvor stor er den årlige renten på denne kontoen?

Krever PC

Etter hvor mange år vil beløpene på de to kontoene til sammen passere 50 000 kroner?

Fasit

1) $18 000 kr, 4,25 %$

$f (18) \approx 38 075 kr$

$13 år$

$3 %$

$16 år$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er gitt ved

f (x) = 18 000 \cdot {1,0425}^{x}

1) Uttrykket har formen $f (x) = a \cdot b^{x}$ , der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren.

Startbeløpet er $a = 18 000$ , altså mormor satte inn $18 000 kr$ .

Vekstfaktoren er $b = 1,0425$ , som gir en årlig rente på

1,0425 - 1 = 0,0425 = 4,25 %

2) Beløpet etter 18 år finner vi ved å sette $x = 18$ inn i funksjonsuttrykket:

f (18) = 18 000 \cdot {1,0425}^{18} \approx 38 075 kr

Etter 18 år er det altså om lag $38 075 kr$ på kontoen.

Vi skal finne $x$ slik at $f (x) > 30 000$ . Vi løser likningen $f (x) = 30 000$ :

18 000 \cdot {1,0425}^{x} = 30 000

{1,0425}^{x} = \frac{30 000}{18 000} = \frac{5}{3}

Vi tar logaritmen på begge sider:

x = \frac{\lg (\frac{5}{3})}{\lg (1,0425)} \approx 12,27

Siden $x \approx 12,27$ betyr det at beløpet passerer $30 000 kr$ i løpet av det 13. året. Vi sjekker: $f (12) \approx 29 661 kr$ (under grensen) og $f (13) \approx 30 922 kr$ (over grensen).

Det vil altså gå $13 år$ før beløpet på kontoen passerer $30 000 kr$ .

Farfars konto vokser eksponentielt fra $10 000 kr$ til $11 592,70 kr$ på 5 år, altså

10 000 \cdot r^{5} = 11 592,70

der $r$ er vekstfaktoren. Vi løser med hensyn på $r$ :

r^{5} = \frac{11 592,70}{10 000} = 1,159270

r = {1,159270}^{\frac{1}{5}} \approx 1,03

Vekstfaktoren $r \approx 1,03$ tilsvarer en årlig rente på

1,03 - 1 = 0,03 = 3 %

Den årlige renten på farfars konto er $3 %$ .

Farfars konto kan beskrives med funksjonen $g (x) = 10 000 \cdot {1,03}^{x}$ , og summen av de to kontoene er

s (x) = f (x) + g (x) = 18 000 \cdot {1,0425}^{x} + 10 000 \cdot {1,03}^{x}

Vi bruker GeoGebra til å plotte $s (x)$ sammen med linja $y = 50 000$ og finner skjæringspunktet:

Skjæringspunkt mellom summen av kontoene og grensen 50 000 kroner

GeoGebra gir skjæringspunktet $x \approx 15,43$ , som stemmer med numerisk kontroll i Python.

Siden $x \approx 15,43$ betyr det at summen av kontoene passerer $50 000 kr$ i løpet av det 16. året.

Det vil gå $16 år$ før beløpene på de to kontoene til sammen passerer $50 000 kr$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Sparing, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7-IPotensuttrykk og maksimal skilengde for skihoppere

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ I

For hånd

Skriv så enkelt som mulig

\frac{{(a^{3})}^{4} \cdot a b^{2}}{2 a b^{3}}

Professor Helge Nørsterud ved NTNU har utviklet en formel for hvor lange ski en skihopper kan ha. Denne formelen er grunnlaget for de reglene som gjelder i dag.

Dersom høyden til hopperen er $h$ centimeter, og vekten er $v$ kilogram, er maksimal skilengde $s$ , målt i centimeter, gitt ved følgende formel

s = 0,9 \cdot h + 1,5 \cdot v

Kalkulator

En skihopper veier 68 kg og har ski som er 265 cm lange. Hvor høy må han minst være for å ha lov til å bruke disse skiene?

Fasit

$\frac{a^{12}}{2 b}$

$h \approx 181,1 cm$

LøsningsforslagKI-generert

Vi forenkler uttrykket ved å bruke potensregler. Først regner vi ut ${(a^{3})}^{4}$ ved å gange sammen eksponentene:

{(a^{3})}^{4} = a^{3 \cdot 4} = a^{12}

Uttrykket i telleren blir da

a^{12} \cdot a \cdot b^{2} = a^{12 + 1} \cdot b^{2} = a^{13} b^{2}

Vi setter dette inn og forkorter telleren og nevneren, ved å trekke fra eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren for hver av variablene:

\frac{a^{13} b^{2}}{2 a b^{3}} = \frac{a^{13 - 1} \cdot b^{2 - 3}}{2} = \frac{a^{12} \cdot b^{- 1}}{2} = \frac{a^{12}}{2 b}

Uttrykket er så enkelt som mulig når det skrives $\frac{a^{12}}{2 b}$ .

Formelen $s = 0,9 \cdot h + 1,5 \cdot v$ gir den maksimale skilengden $s$ en hopper med høyde $h$ og vekt $v$ har lov til å bruke. Skihopperen veier $v = 68 kg$ og skal ha lov til å bruke ski som er $s = 265 cm$ lange. Vi setter inn de kjente verdiene og løser likningen med hensyn på $h$ :

265 = 0,9 \cdot h + 1,5 \cdot 68

265 = 0,9 h + 102

0,9 h = 265 - 102 = 163

h = \frac{163}{0,9} \approx 181,1

Skihopperen må være minst $181,1 cm$ høy for å ha lov til å bruke ski som er 265 cm lange.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Potenser, Formler, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 2-7-I for seg selv

Oppgave 2-7-IILengste rette linje i L-formet rom

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ II

Skisse av L-formet grunnflate med mål 7 m, 2 m, 6 m og 3 m

Figuren ovenfor viser en skisse av grunnflaten i et rom.

Hvor lang er den lengste rette linjen som kan trekkes langs gulvet innenfor rommets vegger?

Fasit

$\approx 7,83 m$

LøsningsforslagKI-generert

Rommet er L-formet. Vi setter et koordinatsystem på gulvet, med $x$ -aksen langs den lange ytterveggen (7 m) og $y$ -aksen langs venstre vegg. Da får hjørnene i rommet disse koordinatene (i meter):

(0, 6), (7,6), (7,0), (4,0), (4,4), (0,4)

Hjørnet $(4,4)$ er innhjørnet — det eneste hjørnet der veggen «bøyer seg innover» i rommet.

Hvorfor den lengste rette diagonalen (fra $(0,6)$ til $(7,0)$ ) ikke fungerer

Det mest nærliggende forsøket er å trekke en rett linje mellom de to ytterste hjørnene, $(0,6)$ og $(7,0)$ . Men denne linja går rett gjennom det området som ikke er en del av rommet (kvadratet nede til venstre, som er «skåret bort» for å lage L-formen), og er derfor ikke gyldig — den ville gått gjennom en vegg.

Å strekke en linje stramt rundt innhjørnet

Den lengste linja som virkelig får plass, må derfor gå tett inntil innhjørnet $(4,4)$ — omtrent som en stang som skyves så langt som mulig inn i rommet og bøyes akkurat forbi hjørnet. Det gir to naturlige ytterpunkter å undersøke, avhengig av hvilket av de to gjenværende hjørnene linja forankres i:

Alternativ 1: Linje fra hjørnet $(0,6)$ , gjennom innhjørnet $(4,4)$ , til høyre vegg

En rett linje fra $(0,6)$ gjennom $(4,4)$ har stigningstall

\frac{4 - 6}{4 - 0} = - \frac{1}{2}

Vi følger linja videre til den treffer høyre vegg ( $x = 7$ ):

y = 4 + (- \frac{1}{2}) (7 - 4) = 4 - 1,5 = 2,5

Siden $2,5$ ligger mellom $0$ og $4$ , treffer linja faktisk høyre vegg (og ikke bunnveggen først), så dette er et gyldig endepunkt: $(7; 2,5)$ . Lengden av linja fra $(0,6)$ til $(7; 2,5)$ finner vi med Pytagoras:

L_{1} = \sqrt{{(7 - 0)}^{2} + {(6 - 2,5)}^{2}} = \sqrt{7^{2} + {3,5}^{2}} = \sqrt{49 + 12,25} = \sqrt{61,25} \approx 7,83 m

Alternativ 2: Linje fra hjørnet $(7,0)$ , gjennom innhjørnet $(4,4)$ , til toppveggen

Tilsvarende: en rett linje fra $(7,0)$ gjennom $(4,4)$ har stigningstall

\frac{4 - 0}{4 - 7} = - \frac{4}{3}

Vi følger linja til den treffer toppveggen ( $y = 6$ ):

6 = 4 + (- \frac{4}{3}) (x - 4) \Rightarrow x = 4 - \frac{3}{2} = 2,5

Endepunktet er $(2,5; 6)$ , som ligger mellom $x = 0$ og $x = 7$ og er dermed gyldig. Lengden blir

L_{2} = \sqrt{{(7 - 2,5)}^{2} + {(0 - 6)}^{2}} = \sqrt{{4,5}^{2} + 6^{2}} = \sqrt{20,25 + 36} = \sqrt{56,25} = 7,5 m

Sammenligning

De to linjene som er strukket stramt rundt innhjørnet, er de eneste kandidatene til å være den lengste rette linja i rommet — enhver annen retning på linja gjennom innhjørnet vil treffe en av veggene lenger unna innhjørnet enn nødvendig og gi en kortere total lengde, siden linja da ikke lenger går helt ut i et faktisk hjørne av rommet. Av de to alternativene er $L_{1} \approx 7,83 m$ lengst.

Skisse av rommet med den lengste rette linjen tegnet inn (fra hjørnet øverst til venstre, forbi innhjørnet, til høyre vegg)

Den lengste rette linja som kan trekkes langs gulvet innenfor rommets vegger, er omtrent $7,83 m$ lang.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Pytagoras, Geometri, Argumentasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-7-II for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1Standardform, badebasseng, skattesystem og halvsirkel

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Eske i topunktsperspektiv og trafikklys i trepunktsperspektiv

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-3Volum av Voss-flaske og karamellpuddingkartong

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Karakterfordeling med to diagrammer og samlet gjennomsnitt

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Siris studentbudsjett og kjøpekraft fra Lånekassen

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Snorres og farfars bankkontoer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7-IPotensuttrykk og maksimal skilengde for skihoppere

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7-IILengste rette linje i L-formet rom

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1·Standardform, badebasseng, skattesystem og halvsirkel

Oppgave 1-2·Eske i topunktsperspektiv og trafikklys i trepunktsperspektiv

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-3·Volum av Voss-flaske og karamellpuddingkartong

Oppgave 2-4·Karakterfordeling med to diagrammer og samlet gjennomsnitt

Oppgave 2-5·Siris studentbudsjett og kjøpekraft fra Lånekassen

Oppgave 2-6·Snorres og farfars bankkontoer

Oppgave 2-7-I·Potensuttrykk og maksimal skilengde for skihoppere

Oppgave 2-7-II·Lengste rette linje i L-formet rom

Temaer

Oppgave 1-1Standardform, badebasseng, skattesystem og halvsirkel

Oppgave 1-2Eske i topunktsperspektiv og trafikklys i trepunktsperspektiv

Oppgave 2-3Volum av Voss-flaske og karamellpuddingkartong

Oppgave 2-4Karakterfordeling med to diagrammer og samlet gjennomsnitt

Oppgave 2-5Siris studentbudsjett og kjøpekraft fra Lånekassen

Oppgave 2-6Snorres og farfars bankkontoer

Oppgave 2-7-IPotensuttrykk og maksimal skilengde for skihoppere

Oppgave 2-7-IILengste rette linje i L-formet rom