2P Vår 2009

Vi måler avstanden Oslo–Bergen på kartet med linjal og sammenligner med avstanden Oslo–Tromsø. Avstanden Oslo–Tromsø på kartet er omtrent fire ganger så lang som avstanden Oslo–Bergen.

Siden Oslo–Bergen i virkeligheten er ca. 300 km, blir avstanden Oslo–Tromsø:

Avstanden Oslo–Tromsø er omtrent $\underline{\underline{1200\mathrm{km}}}$. (Et overslag i intervallet ca. $1100$–$1250\mathrm{km}$ er også godkjent, siden dette er en avlesning fra kartet.)

1) Vi bruker potensregelen ${\displaystyle \frac{a^m\cdot a^n}{a^k}}=a^{m+n-k}$:

$\underline{\underline{\mathrm{0,5}}}$

2) Vi multipliserer tallene foran og legger sammen eksponentene:

$\underline{\underline{\mathrm{1,68}\cdot {10}^{11}}}$

Prisindeksen forteller hvor mange prosent prisen er av prisen i basisåret. Vi finner prisen i basisåret ($P_0$) ved å snu indeksformelen:

Varen kostet $\underline{\underline{300\mathrm{kr}}}$ i basisåret 1998.

Siden $s$ er proporsjonal med $t$, er $s=k\cdot t$ for en konstant $k$. Fra de to oppgitte verdiene finner vi $k$:

Vi fyller ut resten av tabellen med $s=5t$:

• Når $s=5$: $t={\displaystyle \frac{5}{5}}=\mathrm{1,0}$
• Når $t=\mathrm{1,8}$: $s=5\cdot \mathrm{1,8}=\mathrm{9,0}$
• Når $t=12$: $s=5\cdot 12=60$

$\underline{\underline{t=\mathrm{1,0}\text{ når }s=5,s=\mathrm{9,0}\text{ når }t=\mathrm{1,8},s=60\text{ når }t=12}}$

Stolpen, bakken og tauet danner en rettvinklet trekant der stolpen (7 m) og avstanden til festepunktet (5 m) er katetene, og tauet er hypotenusen. Vi bruker Pytagoras’ setning:

Frode trenger altså minst ca. $\mathrm{8,6}$ m tau. Han har et tau på 9 m.

Siden $9\mathrm{m}>\mathrm{8,6}\mathrm{m}$, er $\underline{\underline{\text{tauet langt nok}}}$.

1) Tykkelsen på ett eksemplar av boken er $250$ ark $\cdot \mathrm{0,10}\mathrm{mm}=25\mathrm{mm}=\mathrm{2,5}\mathrm{cm}$.

Lengden på hylla med 30 millioner eksemplarer:

Bokhylla måtte vært omtrent $\underline{\underline{750\mathrm{km}}}$ lang.

2) Vi bruker samme boktykkelse, $\mathrm{2,5}\mathrm{cm}=\mathrm{0,000025}\mathrm{km}$, og deler den oppgitte lengden på boktykkelsen:

Man måtte hatt omtrent $\underline{\underline{68\text{ millioner eksemplarer}}}$ for å fylle en hylle på 1700 km.

Vi vet at totalen i frekvenskolonnen skal være $175.$ De kjente frekvensene er $21,70,49$ og $21.$ Da er

Vi sjekker: relativ frekvens skal da være ${\displaystyle \frac{14}{175}}=\mathrm{0,08,}$ som stemmer med tabellen.

Relativ frekvens $2)$ finner vi ved å dele frekvensen på totalen:

Vi sjekker: produktet $m\cdot s=60\cdot \mathrm{0,40}=\mathrm{24,0,}$ som stemmer med tabellen.

Siden dataene er delt inn i klasser (pengeintervaller), passer det å framstille dem i et histogram (eller stolpediagram) med pengeintervallene langs $x$-aksen og frekvens (antall elever) langs $y$-aksen. Søylene bygges direkte på frekvensene i tabellen:

Gjennomsnittet er allerede regnet ut i tabellen som summen av produktkolonnen $m\cdot s$:

I gjennomsnitt brukte hver av de $175$ elevene altså omtrent $\mathrm{85,6}\mathrm{kr}.$

Vi legger sammen frekvensene i de to laveste klassene (fra og med $0$ til $80\mathrm{kr}$):

Siden $91$ er mer enn halvparten av $175$ elever ($\mathrm{87,5}$), betyr det at over halvparten av elevene brukte mindre enn $80\mathrm{kr}.$ Medianen (den midterste verdien) må derfor ligge i intervallet $⟨40,80⟩$, altså under $80\mathrm{kr}$.

Siden gjennomsnittet er $\mathrm{85,6}\mathrm{kr}$ (høyere enn $80\mathrm{kr}$), ser Kristian direkte fra den kumulative frekvensen at medianen må være lavere enn gjennomsnittet. Dette skjer fordi noen få elever har brukt mye penger (opptil $200\mathrm{kr}$), og disse høye verdiene trekker gjennomsnittet opp uten å påvirke medianen på samme måte.

Vi gjør om $7502$ sekunder til timer, minutter og sekunder ved å dividere med $3600$ (sekunder i en time) og deretter med $60$ (sekunder i et minutt).

Først finner vi hvor mange hele timer det er:

Det blir $2$ hele timer, som utgjør

Antall sekunder som er igjen:

Så finner vi hvor mange hele minutter dette utgjør:

Det blir $5$ hele minutter, som utgjør

Antall sekunder som er igjen:

Dermed er

$\underline{\underline{7502\text{s}=2\text{t}5\text{min}2\text{s}}}$

Vi skal skrive tallet $29049$ i 60-tallsystemet, altså som

der $a$, $b$ og $c$ er tall fra $0$ til $59$. Vi finner tallene ved gjentatt divisjon med potenser av $60$, på samme måte som i eksempelet med tallet $11284$.

Siden ${60}^2=3600$, finner vi først $a$:

Det gir $a=8$, og dette utgjør

Det som er igjen:

Vi fordeler resten $249$ på $60$-ere:

Det gir $b=4$, og dette utgjør

Det som er igjen, er da $c=249-240=9$.

Vi kontrollerer:

Dermed skrives $29049$ i 60-tallsystemet som $\mathrm{𝟖}\mathrm{𝟒}\mathrm{𝟗}$.

$\underline{\underline{29049=\mathrm{𝟖}\mathrm{𝟒}\mathrm{𝟗}}}$

Vi har to punkter fra tabellen: $(x_1,y_1)=(25,250)$ og $(x_2,y_2)=(50,375)$. Stigningstallet $a$ finner vi ved

Vi setter inn $a=5$ og punktet $(25,250)$ i uttrykket $y=ax+b$ for å finne $b$:

Sammenhengen kan altså skrives $y=5x+125$.

Stigningstallet $a=5$ forteller hvor mye prisen øker for hver ekstra meter slange, altså at hver meter slange koster $5$ kroner.

Konstantleddet $b=125$ er prisen når $x=0$, altså grunnprisen for selve vogna uten hageslange. Dette er en fast pris på $125$ kroner som kommer i tillegg til prisen på slangen.

Ved den første fotgjengerovergangen gjentar lyset seg i en syklus på $20+30=50$ sekunder, der lyset er rødt i $20$ av disse sekundene. Siden syklusen gjentas jevnt over tid, er andelen av tiden lyset er rødt lik andelen av syklusen som er rødt:

Ved den andre fotgjengerovergangen er periodene med rødt og grønt lys like lange, så lyset er rødt halve tiden:

Lysene ved de to overgangene virker uavhengig av hverandre. For uavhengige hendelser multipliserer vi sannsynlighetene for å finne sannsynligheten for at begge inntreffer:

At Tone får rødt lys på nøyaktig én av overgangene, betyr enten (rødt ved 1. og grønt ved 2.) eller (grønt ved 1. og rødt ved 2.). Disse to hendelsene utelukker hverandre, så vi kan legge sammen sannsynlighetene:

I en regulær $n$-kant er hver vinkel gitt ved

For $n=5$ (femkant) blir vinkelen

For at flere regulære mangekanter skal møtes i ett punkt uten å overlappe eller danne åpning, må vinklene som møtes i punktet, til sammen bli nøyaktig $360°$. Det betyr at $108°$ må gå opp i $360°$ et helt antall ganger:

Siden dette ikke er et helt tall, kan vi verken legge $3$ femkanter (som gir $3\cdot 108°=324°$, med en åpning på $36°$) eller $4$ femkanter (som gir $4\cdot 108°=432°$, som er mer enn $360°$ og gir overlapp) rundt et punkt. Derfor er det ikke mulig å fylle en flate med bare regulære femkanter.

Vi deler den likesidede trekanten i to like rettvinklede trekanter ved å tegne høyden fra toppunktet ned til midten av grunnlinjen. Grunnlinjen har lengde $4$, så halve grunnlinjen er $2$.

I den rettvinklede trekanten er hypotenusen lik sidekanten $4$, og en katet er $2$. Vi finner høyden $h$ med Pytagoras’ setning:

Arealet av trekanten er

Med kalkulator:

$\underline{\underline{A=2\sqrt{12}\approx \mathrm{6,9}}}$

Alle mangekantene har omkrets $12$, så sidekanten blir ${\displaystyle \frac{12}{n}}$.

Kvadrat ($n=4$): sidekant $3$. Arealet av et kvadrat er sidekant i annen:

Sekskant ($n=6$): sidekant $2$. En regulær sekskant kan deles i $6$ like likesidede trekanter med sidekant $2$, ved å trekke linjer fra sentrum til hvert hjørne, som vist på skissen.

På samme måte som i b) finner vi høyden i en slik trekant med Pytagoras. Halve sidekanten er $1$, og hypotenusen (sidekanten) er $2$:

Arealet av én trekant blir

Sekskanten består av $6$ slike trekanter, så

Til slutt regner vi ut forholdet ${\displaystyle \frac{\text{Omkrets}}{\text{Areal}}}$ for alle tre mangekantene:

Forholdet ${\displaystyle \frac{\text{Omkrets}}{\text{Areal}}}$ forteller hvor mye omkrets (materiale i veggene) som trengs per enhet areal som omsluttes. Jo lavere dette forholdet er, desto mindre materiale trengs for å omslutte et gitt areal.

Av tabellen ser vi at forholdet minker når antall sider $n$ øker: trekanten har det høyeste forholdet ($\mathrm{1,74}$), kvadratet et lavere ($\mathrm{1,33}$), og sekskanten det laveste ($\mathrm{1,15}$). Blant de tre mangekantene bruker altså sekskanten minst materiale i forhold til arealet den omslutter.

Dette kan hjelpe oss å forstå hvorfor bien bruker sekskanten: bien lager cellene av voks, som er kostbart for bien å produsere. Ved å bruke sekskantformen (i stedet for trekant eller kvadrat) får bien størst mulig lagringsplass (areal) for minst mulig bruk av voks (omkrets/materiale) samtidig som formene kan flatefylle uten åpninger, slik vi så i a).

Rad 1 har 10 plasser, og antallet øker med 2 for hver rad bakover. Antall plasser i rad $n$ er derfor gitt ved den aritmetiske følgen

Rad 6 har dermed

Rad 10 har

Formelen $8+2n$ stemmer fordi rad 1 er startverdien ($10$ plasser) og hver nye rad legger til $2$ plasser. Med $n=1$ gir formelen $8+2\cdot 1=10$, som er riktig, og for hver økning i $n$ øker uttrykket med $2$, akkurat som antall plasser gjør.

Svar: $\underline{\underline{20\text{ plasser på rad }6,28\text{ plasser på rad }10}}$

Bakerste rad har 48 plasser. Vi setter $8+2n=48$ og løser for $n$.

Det er altså $\underline{\underline{20\text{ stolrader}}}$ i salen.

Billettprisen på rad $n$ er $(370-10n)$ kroner, og antall plasser på rad $n$ er $(8+2n)$. Total pris for alle billettene på rad 8 er antall plasser ganger pris per billett:

Generelt, for rad $n$, er total billettpris antall plasser ganger pris per plass, altså

fordi hver av de $(8+2n)$ setene på rad $n$ koster $(370-10n)$ kroner, og total pris er da produktet av antall seter og pris per sete.

Svar: $\underline{\underline{6960\mathrm{kr}}}$

Total billettpris på rad $n$ er

Dette er en andregradsfunksjon med negativ ledende koeffisient, så grafen er en nedovervendt parabel med toppunkt der inntekten er størst. Toppunktets $n$-verdi finner vi med

Skjermbildet under viser grafen til $I(n)$ på GeoGebra, med toppunktet ved $n=\mathrm{16,5}$ (der $I\approx 8405$ kr) markert, samt punktene for rad 16 og rad 17.

Siden $n$ må være et helt tall (en rad kan ikke være «rad 16,5»), sjekker vi de to nærmeste hele radene, $n=16$ og $n=17$:

Begge radene gir nøyaktig samme totale billettpris, siden de ligger like langt fra toppunktet $n=\mathrm{16,5}$. Dette er den høyeste inntekten som er mulig for en enkelt rad.

Svar: $\underline{\underline{\text{Rad 16 og rad 17 gir begge størst inntekt, }8400\mathrm{kr}}}$

Opplysningene i teksten gir tre punkter $(x,O(x))$:

• Toppunkt: $(55,20250)$
• Overskudd 18 000 kr ved 40 og 70 enheter: $(40,18000)$ og $(70,18000)$
• Overskudd 0 kr ved 10 enheter: $(10,0)$

Vi legger inn punktene $(10,0)$, $(40,18000)$, $(55,20250)$ og $(70,18000)$ i GeoGebra og gjør andregradsregresjon. Det gir modellen

Vi kan kontrollere modellen mot toppunktet:

som stemmer med opplysningen om at overskuddet er $20250\mathrm{kr}$ ved 55 enheter. Modellen passer altså godt med de gitte opplysningene.

Vi skal finne $x$ slik at $O(x)=14000$:

Løser vi denne andregradslikningen (for eksempel med GeoGebra eller abc-formelen), får vi

Dette ser vi også igjen på grafen, der kurven $O(x)$ krysser den vannrette linja $y=14000$ nettopp ved $x=30$ og $x=80$. Bedriften må altså produsere og selge enten $30$ eller $80$ enheter per dag for å oppnå et overskudd på $14000\mathrm{kr}$.

Bedriften går med overskudd så lenge $O(x)>0$. Vi finner nullpunktene til $O(x)$:

Dette gir $x=10$ eller $x=100$ (se de grønne punktene på grafen). Overskuddet er positivt for $10<x<100$, altså kan bedriften maksimalt produsere og selge $\underline{\underline{100\text{ enheter}}}$ per dag og fortsatt gå i null eller med overskudd (strengt tatt er overskuddet null nøyaktig ved $x=100$, så med krav om et overskudd større enn null blir svaret 99 enheter — i praksis regnes 100 som svaret på oppgaven).

Tiltak 1

Med tiltak 1 blir modellen $O(x)=-10x^2+1100x+bx-10000$. Vi krever at bedriften ikke taper penger ved $x=200$, altså $O(200)=0$:

Prisen må altså settes opp med $950\mathrm{kr}$ per enhet.

Tiltak 2

Med tiltak 2 blir modellen $O(x)=-10x^2+1100x-10000+c$. Vi krever igjen $O(200)=0$:

Kommunen må altså gi et tilskudd på $190000\mathrm{kr}$ per dag for at bedriften ikke skal tape penger ved 200 enheter.