2P-Y Høst 2016

Vi leser av to punkter fra linjediagrammet.

I 2010 ($x = 0$) er det omtrent 8500 dyr, og i 2015 ($x = 5$) er det omtrent 6000 dyr.

Vi beregner stigningstallet:

Startverdi (når $x = 0$): $b = 8500$

Den lineære funksjonen er:

Funksjonen $f(x) = -500x + 8500$ beskriver tilnærmet utviklingen i dyrebestanden, der $x$ er antall år etter 2010.

År 2018 er 8 år etter 2010, så vi setter inn $x = 8$:

Ifølge funksjonen vil det være omtrent $\underline{\underline{4500 \mathrm{~dyr}}}$ i området i 2018.

Vi finner nullpunktet til funksjonen, det vil si når $f(x) = 0$:

Ifølge funksjonen vil det ikke være flere dyr igjen etter $\underline{\underline{17 \text{~år}}}$, det vil si i år 2027.

Vi vet at Sondre hadde totalt 20 lørdager, så $n = 20$.

Klassen $[0, 50\rangle$: Relativ frekvens er $0{,}05$, så

Kumulativ frekvens $= 1$.

Klassen $[50, 100\rangle$: Kumulativ frekvens er $6$, og forrige kumulativ var $1$, så

Klassen $[100, 150\rangle$: Frekvens er $8$, så

Klassen $[150, 200\rangle$: Kumulativ frekvens er $20$, og forrige kumulativ var $14$, så

Utfylt tabell:

Vi teller de kjente tallene i listen per klasse:

• $[0, 50\rangle$: ingen av de kjente verdiene
• $[50, 100\rangle$: $60, 75, 88, 96, 50$ — det er $5$ verdier (klassen er full)
• $[100, 150\rangle$: $116, 100, 125, 125, 150, 120, 140, 133$ — det er $8$ verdier (klassen er full)
• $[150, 200\rangle$: $185, 175, 169$ — det er $4$ verdier, men klassen trenger $6$

De tre flekkene må derfor fordele seg slik:

• 1 flekk må ha en verdi i klassen $[0, 50\rangle$
• 2 flekker må ha verdier i klassen $[150, 200\rangle$

Et mulig svar: $\blacksquare = 25$, $\blacksquare = 155$, $\blacksquare = 160$

Andre svar er også mulige, for eksempel $\blacksquare = 10$, $\blacksquare = 151$, $\blacksquare = 198$, så lenge én verdi er i $[0, 50\rangle$ og to verdier er i $[150, 200\rangle$.

Funksjonsuttrykket er $V(x) = 250\,000 \cdot 0{,}9^x$.

Tallet 250 000 er verdien av bilen når $x = 0$, det vil si da Siri kjøpte den. Dette er kjøpsprisen: $250\,000 \, \mathrm{kr}$.

Tallet 0,9 er vekstfaktoren. Siden $0{,}9 = 1 - 0{,}1$, betyr det at bilen mister $10 \,\%$ av verdien hvert år (eller beholder $90 \,\%$ av verdien hvert år).

Vi setter inn $x = 1$ (ett år etter kjøp):

Bilens verdi ett år etter at Siri kjøpte den, er $\underline{\underline{225\,000 \, \mathrm{kr}}}$.

Når vi har klassedelt datamateriale, bruker vi klassemidtene i beregningen av gjennomsnittet.

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{10{,}5 \mathrm{~poeng}}}$.

For å finne medianen finner vi hvilken klasse den midterste verdien ligger i. Med 30 elever er medianen gjennomsnittet av verdi nummer 15 og 16.

Vi ser på kumulativ frekvens:

• $[0, 5\rangle$: kumulativ frekvens $= 4$
• $[5, 10\rangle$: kumulativ frekvens $= 4 + 12 = 16$

Verdi nummer 15 og 16 faller begge i klassen $[5, 10\rangle$. Medianen er dermed lavere enn $10$.

Per fikk $10$ poeng, som er høyere enn medianen. Det betyr at mer enn halvparten av elevene fikk lavere poengsum enn ham.

Ja, Per kan bruke medianen til å begrunne påstanden sin. Siden medianen er under 10, hører Per til den beste halvdelen av elevene.

Vi setter opp et valgtre der det første trinnet er å velge bunke og det andre trinnet er å trekke ett kort.

Vi har to bunker:

• Bunk 1: 5 røde og 3 svarte kort (totalt 8 kort)
• Bunk 2: 3 røde og 4 svarte kort (totalt 7 kort)

Vi velger tilfeldig mellom bunkene, så sannsynligheten for å velge hver bunke er $\frac{1}{2}$.

Vi finner sannsynligheten for å trekke et rødt kort ved å bruke setningen om total sannsynlighet.

Vi legger sammen sannsynlighetene for de to veiene i valgtreet som ender med rødt kort:

Vi gjør om til felles nevner. Minste felles multiplum av 16 og 14 er 112:

Sannsynligheten for å trekke et rødt kort er $\underline{\underline{\dfrac{59}{112} \approx 0{,}527}}$, det vil si litt over halvparten av gangene vil du trekke et rødt kort.

Vi setter inn $x$-verdiene fra tabellen i $f(x) = 1600 \cdot x^{-0{,}85}$ og sammenligner med de målte antallene:

Alle avvik er svært små (maks $1{,}2$ enheter), og modellverdiene ligger tett på målingene for hele prisintervallet. $f(x) = 1600 \cdot x^{-0{,}85}$ er dermed en god modell for sammenhengen.

Grafen til $f(x) = 1600 \cdot x^{-0{,}85}$ for $15 \leq x \leq 50$ er en avtagende kurve. Den starter på ca. $160$ enheter ved $x = 15$ og synker til ca. $58$ enheter ved $x = 50$. Kurven er brattest ved lave priser og flater gradvis ut.

Den grå linjen er sekanten mellom $A = (20,\; 125{,}4)$ og $B = (45,\; 62{,}9)$, som illustrerer den gjennomsnittlige vekstfarten i oppgave e).

Vi setter inn $x = 45$ i modellen:

Når prisen er 45 kroner, selges det ca. $\underline{\underline{63 \mathrm{~enheter}}}$.

Vi setter $f(x) = 100$ og løser likningen:

Prisen er ca. $\underline{\underline{26 \, \mathrm{kr}}}$ når 100 enheter selges.

Den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 20$ til $x = 45$ er:

Vi regner ut de to funksjonsverdiene:

Den gjennomsnittlige vekstfarten er $\underline{\underline{\approx -2{,}50 \text{~enheter per krone}}}$.

Det betyr at for hver krone prisen øker i intervallet fra 20 til 45 kroner, synker antall solgte enheter i gjennomsnitt med ca. 2,5 enheter.

Vi sorterer de 15 poengsummene i stigende rekkefølge:

Gjennomsnitt er summen av alle verdiene delt på antall verdier:

Median er den midterste verdien når de er sortert. Med 15 verdier er den midterste den 8. verdien (grønn over):

$\bar{x} = 18{,}6$ og $M = 20$

Vi regner ut hvor mye gjennomsnittet skiller seg fra medianen:

Påstand 1: Gjennomsnittet er $7{,}0 \,\%$ lavere enn medianen.

Påstand 1 er riktig.

Påstand 2: Medianen er $7{,}5 \,\%$ høyere enn gjennomsnittet.

Vi regner mer nøyaktig: $\frac{1{,}4}{18{,}6} \cdot 100 \approx 7{,}53 \,\%$, ikke nøyaktig $7{,}5 \,\%$.

Påstand 2 er ikke riktig.

Standardavviket beregnes ved å bruke formelen for utvalg (slik et regneark bruker STDAV):

Vi setter inn alle 15 verdiene med $\bar{x} = 18{,}6$:

Standardavviket for poengsummene i 2A er $\underline{\underline{s \approx 8{,}6}}$.

Vi sammenligner de to klassene:

Begge klassene har samme gjennomsnitt, så det typiske resultatet er likt i de to klassene.

Standardavviket i 2A ($\approx 8{,}6$) er betydelig større enn i 2B ($5{,}9$). Det betyr at poengsummene i 2A er mer spredt rundt gjennomsnittet enn i 2B. I 2B er resultatene jevnere — elevene der har prestert mer likt hverandre enn i 2A.

Vi bruker modellen $f(x) = a \cdot b^x$ der $x$ er antall timer etter at tabletten er tatt.

Fra tabellen vet vi:

Dette gir oss to likninger:

Vi deler den andre likningen på den første:

Vi setter $b$ inn i den første likningen for å finne $a$:

Den eksponentielle modellen er:

der $x$ er antall timer etter at tabletten er tatt, og $f(x)$ er konsentrasjonen i $\text{µg/mL}$.

Vi setter $x = 10$ inn i modellen:

10 timer etter at pasienten har tatt tabletten, er konsentrasjonen av virkestoffet i blodet $\underline{\underline{0{,}203 \, \text{µg/mL}}}$.

Pasienten tar første tablett klokka 08.00 (vi kaller dette $t = 0$).

Andre tablett tas klokka 20.00, altså $t = 12$ timer etter første tablett.

Vi skal finne konsentrasjonen 30 timer etter at pasienten tok den første tabletten, altså klokka 14.00 dagen etter.

På dette tidspunktet har:

• Første tablett virket i 30 timer: konsentrasjonen er $f(30)$
• Andre tablett virket i $30 - 12 = 18$ timer: konsentrasjonen er $f(18)$

Den samlede konsentrasjonen er summen av bidragene fra begge tablettene:

30 timer etter at pasienten tok den første tabletten, er den samlede konsentrasjonen av virkestoffet i blodet $\underline{\underline{0{,}119 \, \text{µg/mL}}}$.

Vi forlenger mønsteret ved å se på oppbygningen av figurene.

Hver figur $F_n$ består av to deler:

• En bunn-rektangel med $n$ rader og $n+1$ kolonner: $n \cdot (n+1)$ klosser.
• To “ører” øverst i hjørnene, hvert med $(n-1)$ rader og $(n-1)$ kolonner: $2 \cdot (n-1)^2$ klosser.

Vi kan sjekke:

$F_4$ trenger $\underline{\underline{38}}$ klosser og $F_5$ trenger $\underline{\underline{62}}$ klosser.

Ut fra mønsteret i oppgave a) er antall klosser i $F_n$:

Vi forenkler:

Vi kan kontrollere: $F_1 = 3 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 2 = 2$ ✓, $F_2 = 12 - 6 + 2 = 8$ ✓, $F_3 = 27 - 9 + 2 = 20$ ✓.

Vi finner den største $n$ slik at $F_n \leq 1000$:

Vi løser likningen $3n^2 - 3n - 998 = 0$ med $abc$-formelen: