2P-Y Vår 2013

Vi sorterer tallene fra minst til størst:

Det er 10 tall (et partall antall), så medianen er gjennomsnittet av de to midterste tallene (plass 5 og 6):

Gjennomsnittet finner vi ved å legge sammen alle verdiene og dele på antall:

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Tallet $1$ forekommer 3 ganger, de andre forekommer færre ganger.

Typetall $= \textbf{1}$

Vi teller opp hvor mange ganger hvert antall passasjerer forekommer, og summerer fortløpende for kumulativ frekvens.

Tilbud 1 gir 100 kroner fast, pluss 5 kroner per oppvask:

Tilbud 2 gir 50 kroner fast, pluss 10 kroner per oppvask:

Vi skisserer de to grafene i samme koordinatsystem.

• $T_1$: starter i $y = 100$ (skjærer $y$-aksen i 100), stiger med 5 per oppvask.
• $T_2$: starter i $y = 50$ (skjærer $y$-aksen i 50), stiger med 10 per oppvask.

Vi finner skjæringspunktet ved å sette uttrykkene like:

Ved $x = 10$ er lønnen $T_1(10) = 100 + 5 \cdot 10 = 150 \, \mathrm{kr}$.

Råd til Sigvald:

• Tar han oppvasken færre enn 10 ganger i uka, bør han velge tilbud 1 (høyere fastlønn veier opp).
• Tar han oppvasken mer enn 10 ganger i uka, bør han velge tilbud 2 (høyere stykksats gir mer).
• Tar han oppvasken nøyaktig 10 ganger, er tilbudene like gode ($150 \, \mathrm{kr}$).

Bilen koster $100\,000 \, \mathrm{kr}$ ved kjøp (når $x = 0$).

Verdien avtar med $10 \,\%$ hvert år. Det betyr at bilen beholder $100 \,\% - 10 \,\% = 90 \,\%$ av verdien sin hvert år.

Vekstfaktoren er $0{,}9$, og modellen blir:

der $x$ er antall år etter kjøpet.

Graf C er grafen til $f$.

Vi begrunner ved å utelukke de andre:

• Graf A er en rett linje (lineær). En eksponentiell funksjon er ikke en rett linje, så A passer ikke.
• Graf B avtar, men kurven «bøyer seg» slik at den nærmer seg en bestemt $y$-verdi og til slutt treffer $x$-aksen. Det ser ut som grafen til en funksjon som går mot null og krysser $x$-aksen, noe en eksponentiell funksjon med positiv vekstfaktor ikke gjør.
• Graf C starter høyt, avtar raskere i begynnelsen og flater ut mot $x$-aksen uten å nå den. Kurven bøyer seg riktig vei (konveks) og nærmer seg null for store $x$-verdier uten å krysse $x$-aksen. Dette stemmer med en eksponentiell funksjon der vekstfaktoren er mellom 0 og 1.

$\underline{\underline{\text{Grafen til } f \text{ er graf C.}}}$

Vi vet at 5 elever ikke har vært noen av stedene. Da har $20 - 5 = 15$ elever vært i minst ett av landene.

Av de 15 som har vært i minst ett land, har 8 vært i USA og 11 i Spania. Summen $8 + 11 = 19$ er 4 mer enn 15, så 4 elever har vært i begge land.

Vi kan nå fylle inn krysstabell:

Sjekk:

• USA: $4 + 4 = 8$ ✓
• Spania: $4 + 7 = 11$ ✓
• Ingen: $5$ ✓
• Totalt: $8 + 12 = 20$ ✓

Fra krysstabellen ser vi at 4 elever har vært i begge land.

Sannsynligheten er $\underline{\underline{\dfrac{1}{5}}}$.

Vi velger tilfeldig blant de elevene som ikke har vært i USA. Fra krysstabellen ser vi at det er 12 slike elever.

Av disse 12 har 7 vært i Spania.

Sannsynligheten for at eleven har vært i Spania er $\underline{\underline{\dfrac{7}{12}}}$.

Vi beregner sektorvinkelen for hvert parti. Totalt antall representanter er $169$.

Sektorvinkel = $\dfrac{\text{antall}}{\text{total}} \cdot 360°$

Sektordiagrammet viser at Arbeiderpartiet med $\frac{64}{169} \approx 38 \,\%$ av plassene er klart størst parti.

For å sammenligne kvinner og menn innen hvert parti er et gruppert søylediagram et passende valg. Da kan vi enkelt se kjønnsfordelingen innad i hvert parti og sammenligne partiene med hverandre.

Vi ser blant annet at Arbeiderpartiet hadde like mange kvinner som menn ($32$ og $32$), mens Fremskrittspartiet hadde langt færre kvinner enn menn ($10$ mot $31$). Venstre hadde kun $2$ representanter, begge kvinner.

Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen til $b(t) = -5t^2 + 25t + 2$ for $0 \leq t \leq 5{,}5$.

Høyde ved kast – vi setter inn $t = 0$:

Ballen er $\underline{\underline{2 \, \mathrm{m}}}$ over bakken når den kastes.

Denne avlesningen kan vi også gjøre direkte fra grafen: startpunktet ligger på $2$ på høyde-aksen.

Når treffer ballen bakken? – vi finner nullpunktet til $b(t)$, altså løser $b(t) = 0$. Vi leser av fra grafen at ballen treffer bakken etter omtrent $5{,}08$ sekunder.

Det tar $\underline{\underline{\approx 5{,}08 \mathrm{~s}}}$ før ballen treffer bakken.

Toppunktet til en parabel med $b(t) = at^2 + bt + c$ ligger ved symmetriaksen

Vi setter inn $t = 2{,}5$ for å finne høyden:

Ballen når sitt høyeste punkt etter $\underline{\underline{2{,}5 \mathrm{~s}}}$, og er da $\underline{\underline{33{,}25 \, \mathrm{m}}}$ over bakken.

Vi tegner $h(t) = -5t + 27$ i samme koordinatsystem og bruker GeoGebra til å finne skjæringspunktene mellom de to grafene.

Fra grafen leser vi av to skjæringspunkter: $(1, 22)$ og $(5, 2)$.

Vi kan også løse dette algebraisk. Vi setter $b(t) = h(t)$:

Vi regner ut høyden ved begge tidspunktene:

Skjæringspunktene er altså $(1, 22)$ og $(5, 2)$.

Skjæringspunktene forteller oss at ballen og heisen er i nøyaktig samme høyde samtidig to ganger: etter $1$ sekund (begge er $22 \, \mathrm{m}$ over bakken) og etter $5$ sekunder (begge er $2 \, \mathrm{m}$ over bakken).

Vi bruker formelen for prosentvis endring:

Vinnertiden sank med omtrent $\underline{\underline{14{,}4 \,\%}}$ fra 1968 til 2010.

Gjennomsnittet regnes ut ved å summere alle tidene og dele på antall utøvere (8):

OL 1968:

OL 2010:

Gjennomsnittstiden for de åtte beste var omtrent $\underline{\underline{125{,}1 \, \mathrm{s}}}$ i 1968 og $\underline{\underline{106{,}4 \, \mathrm{s}}}$ i 2010.

Standardavviket måler hvor mye tidene avviker fra gjennomsnittet.

OL 1968: $s \approx \underline{\underline{0{,}71 \, \mathrm{s}}}$

OL 2010: $s \approx \underline{\underline{0{,}39 \, \mathrm{s}}}$

Standardavviket er større i 1968 fordi tidene der er mer spredt: vinnerens tid (123,4 s) skiller seg klart fra resten av feltet som ligger mellom 125,0 og 126,1 s. I 2010 er alle åtte utøverne innenfor et langt trangere intervall (105,57 til 106,77 s), noe som gir et lavere standardavvik.

En tom dorull har diameter $38 \, \mathrm{mm}$. Vi setter $f(x) = 38$ og løser for $x$:

Ifølge modellen er det omtrent $\underline{\underline{21{,}6 \, \mathrm{m}}}$ papir på en ny dorull.

På pakken står det at hver dorull inneholder 160 ark, og hvert ark er $14 \, \mathrm{cm} = 0{,}14 \, \mathrm{m}$ langt.

Totalt papir ifølge pakken:

Modellen gir $21{,}6 \, \mathrm{m}$, mens pakken angir $22{,}4 \, \mathrm{m}$.

Avviket er $22{,}4 - 21{,}6 = 0{,}8 \, \mathrm{m}$, altså omtrent $4 \,\%$. Modellen stemmer rimelig godt med opplysningene på pakken.

Vi lar $x$ være antall år etter 2006.

Det totale verditapet fra 2006 til 2011 (5 år) er oppgitt i tabellen som $128\,990 \, \mathrm{kr}$. Deler vi dette likt på hvert år, får vi det årlige verditapet:

At verditapet er det samme hvert år betyr at vi bruker en lineær modell — verdien avtar med et konstant beløp per år.

Den lineære modellen starter på nybilprisen i 2006 og trekker fra $25\,780 \, \mathrm{kr}$ for hvert år:

Bilen mister $25\,780 \, \mathrm{kr}$ i verdi hvert år ifølge den lineære modellen.

En eksponentiell modell har formen

der $k$ er vekstfaktoren per år. Vi vet at $g(5) = 171\,000$:

Den eksponentielle modellen blir:

En vekstfaktor på $0{,}8937$ svarer til et prosentvis verditap på

Bilen mister cirka $11 \,\%$ av verdien sin hvert år ifølge den eksponentielle modellen.

2013 er 7 år etter 2006, så vi setter $x = 7$ i begge modellene.

GeoGebra — begge modellene plottet:

Blå kurve: lineær modell $f(x)$. Grønn kurve: eksponentiell modell $g(x)$.

Lineær modell:

Eksponentiell modell:

Ifølge den lineære modellen er bilen verd $\underline{\underline{119\,530 \, \mathrm{kr}}}$ i 2013.

Ifølge den eksponentielle modellen er bilen verd $\underline{\underline{136\,600 \, \mathrm{kr}}}$ i 2013.

Den eksponentielle modellen gir en høyere verdi fordi den tar mest verdi de første årene (da bilen er ny), og mindre og mindre verdi etter hvert — noe som er mer realistisk for biler.