2P-Y Høst 2013

Vi setter inn punktene $(20, 300)$ og $(50, 2100)$ i et koordinatsystem med $x$-akse for alder (måneder) og $y$-akse for antall ord, og trekker en rett linje gjennom dem.

Vi leser av linjen ved $x = 35$, som er midtpunktet mellom 20 og 50. Midtpunktet på $y$-aksen er

Et 35 måneder gammelt barn kan i gjennomsnitt omtrent $\underline{\underline{1200 \mathrm{~ord}}}$.

Vi beregner stigningstallet $a$ fra de to punktene $(20, 300)$ og $(50, 2100)$:

Vi finner konstantleddet $b$ ved å sette inn punktet $(20, 300)$:

Funksjonsuttrykket er

Gyldighetsområde: Modellen er basert på målinger for barn mellom 20 og 50 måneder. Utenfor dette intervallet gir modellen trolig ikke meningsfulle verdier — den sier for eksempel at et nyfødt barn ($x = 0$) kan $-900$ ord, noe som er umulig. Gyldighetsområdet er $20 \leq x \leq 50$.

Vi setter inn $t = 0$ (idet steinen kastes):

Steinen er $\textcolor{seagreen}{1 \, \mathrm{m}}$ over bakken idet den kastes. (Per holder den 1 m over bakken.)

Vi setter inn $t = 3$:

Etter 3 sekunder er steinen $\textcolor{seagreen}{16 \, \mathrm{m}}$ over bakken.

Vi regner ut $h(5)$:

$h(5) = -24 < 0$, men steinen kan ikke være under bakken. Det betyr at steinen har truffet bakken før $t = 5 \, \mathrm{s}$.

Vi vet at $h(0) = 1 > 0$ og $h(5) = -24 < 0$. Siden høyden går fra positiv til negativ, må steinen ha truffet bakken (der $h = 0$) et sted mellom $t = 0$ og $t = 5$.

Ja, steinen treffer bakken før det har gått $5 \, \mathrm{s}$.

Vi fyller inn tallene vi vet direkte: 5 jenter og 5 gutter drikker kaffe. Det er 15 jenter og 10 gutter totalt, altså $25$ elever totalt.

Jenter som ikke drikker kaffe: $15 - 5 = 10$. Gutter som ikke drikker kaffe: $10 - 5 = 5$. Totalt som drikker kaffe: $5 + 5 = 10$. Totalt som ikke drikker kaffe: $10 + 5 = 15$.

Det er 10 av 25 elever som drikker kaffe:

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev drikker kaffe er $\textcolor{seagreen}{\dfrac{2}{5}}$. Det betyr at dersom vi velger mange ganger, vil vi i gjennomsnitt treffe en kaffedrikker 2 av 5 ganger.

Vi vet nå at eleven drikker kaffe. Det er totalt 10 kaffedrikere, og 5 av dem er jenter:

Sannsynligheten for at eleven er ei jente, gitt at hun/han drikker kaffe, er $\textcolor{seagreen}{\dfrac{1}{2}}$. Halvparten av kaffedrikerne er jenter.

Vi deler gjentatte ganger på 2 og leser av restene nedenfra og opp.

$11$ i totallsystemet:

$22$ i totallsystemet:

$44$ i totallsystemet:

Vi kan også bruke at $44 = 2 \cdot 22$. I totallsystemet betyr det å legge til en $0$ bakerst:

I titallsystemet dobler vi et tall ved å legge til en $0$ bakerst (f.eks. $3 \to 30$). Det samme gjelder i totallsystemet.

Regel: For å doble et tall i totallsystemet legger vi til en $0$ bakerst i tallrepresentasjonen.

Forklaring: Hvert siffer i totallsystemet har dobbelt så stor verdi som sifferet til høyre. Å legge til en $0$ bakerst forskyver alle siffer ett hakk til venstre, slik at hvert siffer er verdt dobbelt så mye.

I tretallsystemet har hvert siffer tre ganger så stor verdi som sifferet til høyre (akkurat som titallet mot enetallet i titallsystemet).

Tre ganger så stort som $121_3$:

Å gange med 3 i tretallsystemet betyr å legge til en $0$ bakerst (tilsvarende å gange med 10 i titallsystemet):

En tredjedel av $120010_3$:

Å dele på 3 i tretallsystemet betyr å fjerne siste siffer (siste siffer er $0$, så vi mister ingenting):

Vi setter $m = 0{,}010 \, \mathrm{kg}$ og $c = 3{,}0 \cdot 10^8$ inn i formelen:

Vi regner ut $\left(3{,}0 \cdot 10^8\right)^2$ ved å kvadrere talldelene og eksponentene hver for seg:

Deretter multipliserer vi:

Den frigitte energien er $\underline{\underline{E = 9{,}0 \cdot 10^{14} \, \mathrm{J}}}$.

Det tilsvarer omtrent én milliard norske husholdningers årlige energiforbruk fra bare $0{,}010 \, \mathrm{kg}$ masse.

Vi kjenner $E = 9{,}0 \cdot 10^{10} \, \mathrm{J}$ og skal finne $m$. Vi løser formelen $E = m \cdot c^2$ for $m$:

Vi setter inn verdiene:

Vi deler talldelene og bruker potensregelen $\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$:

Det må forsvinne $\underline{\underline{m = 1{,}0 \cdot 10^{-6} \, \mathrm{kg}}}$ masse for å dekke én norsk husholdnings energibehov i et år.

$1{,}0 \cdot 10^{-6} \, \mathrm{kg}$ er det samme som $0{,}0000010 \, \mathrm{kg}$, altså bare én milligram – en svært liten masse gir enormt mye energi.

Vi ber GeoGebra finne lineær regresjon og eksponentiell regresjon for datapunktene.

1) Lineær modell:

Svar: $\underline{\underline{f(x) = -0{,}88x + 42{,}3}}$

2) Eksponentiell modell:

Svar: $\underline{\underline{g(x) = 42{,}9 \cdot 0{,}973^x}}$

Grafene med datapunktene (røde) er vist nedenfor. Den blå linjen er den lineære modellen og den grønne kurven er den eksponentielle modellen. Den røde vannrette linjen viser $y = 5$.

Vi setter inn $x = 35$ (år 2020 er 35 år etter 1985) i begge modellene.

Lineær modell:

Eksponentiell modell:

Svar: Ifølge den lineære modellen vil ca. $\underline{\underline{11{,}5 \,\%}}$ av norske menn røyke i 2020. Ifølge den eksponentielle modellen vil ca. $\underline{\underline{16{,}5 \,\%}}$ røyke. Det vil si at de to modellene gir ganske ulike prognoser for 2020.

Vi vil finne når andelen blir lavere enn $5 \,\%$, altså løse $f(x) = 5$ og $g(x) = 5$.

Lineær modell ($f(x) = 5$):

$x \approx 42{,}4$ tilsvarer ca. $1985 + 42{,}4 \approx 2027$.

Eksponentiell modell ($g(x) = 5$): Vi leser av fra grafen (eller løser med GeoGebra) at $g(x) = 5$ når $x \approx 78{,}8$, som tilsvarer $1985 + 78{,}8 \approx 2064$.

Svar: Ifølge den lineære modellen vil andelen mannlige røykere bli lavere enn $5 \,\%$ rundt $\underline{\underline{2027}}$. Ifølge den eksponentielle modellen vil dette først skje rundt $\underline{\underline{2064}}$.

Begge modellene bygger på målinger fra perioden 1985–2010, og de passer rimelig bra til dataene i denne perioden.

Den lineære modellen har et viktig problem: den gir negativ andel røykere etter ca. $x \approx 48$, det vil si rundt år $2033$. Det er åpenbart urealistisk — andelen kan ikke bli negativ. Modellen er derfor ikke gyldig for ekstrapolering langt frem i tid.

Den eksponentielle modellen nærmer seg 0 asymptotisk, det vil si at den aldri gir negativ andel. Den er derfor mer realistisk på lang sikt. Likevel er det stor usikkerhet i å bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget (ekstrapolere). Det er ikke sikkert at trenden fortsetter på samme måte langt ut i fremtiden.

Konklusjon: Begge modellene er gyldige som beskrivelse av perioden 1985–2010. For prognoser langt inn i fremtiden er den eksponentielle modellen mer realistisk, men all ekstrapolering er usikker.

Her spør oppgaven etter én bestemt rekkefølge: fire treff etterfulgt av én bom. Siden hvert skudd er uavhengig, ganger vi sannsynlighetene sammen:

Sannsynligheten for at Tora treffer de fire første og bommer med det siste er $\underline{\underline{P \approx 0{,}0797 \approx 7{,}97 \,\%}}$.

Nå spør oppgaven etter sannsynligheten for nøyaktig fire treff av fem skudd, uansett rekkefølge. Vi bruker den binomiske sannsynlighetsformelen:

Her er $n = 5$ (antall skudd), $k = 4$ (antall treff vi ønsker), $p = 0{,}84$.

Antall måter å velge hvilke 4 av 5 skudd som er treff:

Det vil si at det er 5 forskjellige rekkefølger der nøyaktig fire skudd treffer. Hver slik rekkefølge har sannsynlighet $0{,}84^4 \cdot 0{,}16 \approx 0{,}0797$ (fra deloppgave a).

Sannsynligheten for at Tora treffer nøyaktig fire av fem skudd er $\underline{\underline{P \approx 0{,}3985 \approx 39{,}9 \,\%}}$.

Det betyr at omtrent 4 av 10 ganger hun skyter fem skudd, vil hun treffe nøyaktig fire.

Vi sorterer alle 30 verdiene inn i klasser med bredde 10, der den første klassen starter i 10.

Vi kontrollerer at frekvensene summerer til 30: $8 + 6 + 4 + 1 + 3 + 3 + 3 + 2 = 30$. Det stemmer.

Når vi beregner gjennomsnitt fra klassedelt materiale, bruker vi midtpunktet i hver klasse som representativ verdi for alle verdiene i klassen.

Vi regner ut telleren:

Deretter deler vi på antall elever:

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{\approx 40{,}3 \mathrm{~min}}}$. Det betyr at en typisk elev bruker omtrent 40 minutter på å komme seg til og fra skolen.

For å finne andelen elever med reisetid under 60 minutter, summerer vi frekvensene i klassene $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$, $[40, 50)$ og $[50, 60)$:

Andelen av de 30 elevene er:

$\underline{\underline{73{,}3 \,\%}}$ av elevene bruker mindre enn 60 minutter på å komme seg til og fra skolen. Det vil si omtrent 3 av 4 elever.

Vi skriver inn funksjonen $f(x) = -9x^3 + 270x^2 - 1400x + 3000$ i GeoGebra for $0 \leq x \leq 24$, og tegner også linjen $y = 1500$ (rød) for å se når det er flere enn 1 500 påloggede.

Grafen viser antall påloggede brukere i løpet av et døgn. Kurven starter på $3\,000$ ved midnatt ($x = 0$), synker til et minimum tidlig på morgenen, stiger deretter kraftig mot ettermiddagen og faller igjen sent på kvelden.

Vi bruker GeoGebra til å finne toppunktet på grafen. GeoGebra finner maksimalpunktet ved kommandoen Extremum(f, 0, 24).

GeoGebra gir toppunktet $\approx (16{,}94;\; 13\,014)$.

Det betyr at $x \approx 16{,}94$ timer etter midnatt, altså ca. kl. 17, var det flest påloggede.

Det var flest personer pålogget ca. kl. 17:00, med omtrent $\underline{\underline{13\,000 \text{ personer}}}$.

Vi tegner linjen $g(x) = 1500$ (rød linje i grafen) og finner skjæringspunktene med $f$ grafisk i GeoGebra.

GeoGebra finner skjæringspunktene:

• $x \approx 1{,}47$ (kurven krysser ned gjennom $y = 1500$, like etter midnatt)
• $x \approx 4{,}79$ (kurven krysser opp gjennom $y = 1500$, tidlig morgen)
• $x \approx 23{,}74$ (kurven krysser ned gjennom $y = 1500$, sent på kvelden)

Fra grafen ser vi at $f(x) > 1500$ i to perioder:

• Fra $x = 0$ til $x \approx 1{,}47$ (fra midnatt til ca. kl. 01:30)
• Fra $x \approx 4{,}79$ til $x \approx 23{,}74$ (fra ca. kl. 04:50 til ca. kl. 23:45)

Det var flere enn 1 500 personer pålogget fra midnatt til ca. kl. 01:30, og fra ca. kl. 04:50 til ca. kl. 23:45.

Den gjennomsnittlige vekstfarten for $6 \leq x \leq 16$ beregnes slik:

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Den gjennomsnittlige vekstfarten er $\underline{\underline{1048 \approx 1050 \text{ personer/time}}}$.

Dette betyr at antallet påloggede brukere økte med gjennomsnittlig ca. 1 050 personer per time i tidsrommet mellom kl. 06 og kl. 16.