2P-Y Vår 2008

Vi leser av grafen at den går gjennom punktene $(0,15000)$ og $(100,65000)$. Stigningstallet blir

Sammenhengen blir da $y=500x+15000$. For $x=50$ stoler blir totalkostnaden

Kostnaden per stol finner vi ved å dele totalkostnaden på antall stoler:

$\underline{\underline{800\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{l}}}$

Vi finner den binære representasjonen av $17$ ved å trekke fra de største toerpotensene vi kan.

Det gir bit-verdier $1$ (for $2^4$), $0$ ($2^3$), $0$ ($2^2$), $0$ ($2^1$), $1$ ($2^0$):

$\underline{\underline{{10001}_2}}$

Vi flytter kommaet $4$ plasser mot venstre siden eksponenten er $-4$.

$\underline{\underline{\mathrm{0,000246}}}$

Et hvilket som helst tall mellom $500$ og $5000$ er godkjent, for eksempel $1000$.

$\underline{\underline{1000}}$

Vi bruker regnerekkefølgen: potenser og røtter først, deretter multiplikasjon/divisjon, til slutt addisjon/subtraksjon.

$\underline{\underline{56}}$

Når verdien synker med en fast prosentandel hvert år, skal vi bruke vekstfaktor og gange den for seg selv én gang per år (potens), ikke trekke fra samme kronebeløp hvert år.

Vekstfaktoren for en nedgang på $8\%$ er $1-\mathrm{0,08}=\mathrm{0,92}$. Etter $3$ år blir verdien

Alternativ $1$ er feil fordi det trekker fra samme kronebeløp hvert år (lineær nedgang), ikke prosentvis nedgang. Alternativ $2$ er feil fordi $\mathrm{1,08}$ er vekstfaktoren for en økning på $8\%$, ikke en nedgang.

$\underline{\underline{\text{Alternativ 3}}}$

For å regne bakover i tid $2$ år, skal vi dele på vekstfaktoren (eller tilsvarende gange med vekstfaktoren opphøyd i $-2$) for hvert år vi går tilbake.

Alternativ $1$ og alternativ $3$ er algebraisk det samme uttrykket, siden ${\mathrm{0,92}}^{-2}={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{0,92}}^2}}$, og begge er derfor riktige. Alternativ $2$ er feil fordi $\mathrm{1,08}$ er feil vekstfaktor (og feil retning i tid).

$\underline{\underline{\text{Alternativ 1 og 3}}}$

Terningen har $12$ like sannsynlige utfall.

Sannsynligheten for å få $12$ i ett kast:

$\underline{\underline{\frac{1}{12}}}$

De to kastene er uavhengige, så vi multipliserer sannsynlighetene:

$\underline{\underline{\frac{1}{144}}}$

Vi skal finne $P(\text{sum}<6)$, altså sum lik $2$, $3$, $4$ eller $5$. Vi teller antall (ordnede) utfallspar for hver sum:

Totalt er det $1+2+3+4=10$ gunstige utfall av $12\cdot 12=144$ mulige.

$\underline{\underline{\frac{5}{72}}}$

Vi finner totalt antall beboere ved å summere frekvensene i alle aldersgruppene:

Det bor $\underline{\underline{120\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ i leilighetskomplekset.

Vi setter aldersgruppene på x-aksen og antall beboere (frekvensen) på y-aksen, og tegner én søyle per gruppe:

Medianen er den midterste verdien når alle $120$ beboerne sorteres etter alder. Siden $120$ er et partall, er medianen gjennomsnittet av alderen til person nummer $60$ og person nummer $61$ i den sorterte rekkefølgen.

Vi teller opp beboerne gruppe for gruppe (kumulativ frekvens):

Etter de to første gruppene (0–19 år og 20–39 år) har vi telt opp $17+29=46$ personer, som er færre enn $60$. Etter gruppen 40–59 år har vi telt opp $46+51=97$ personer, som er flere enn $61$.

Dette betyr at både person nr. $60$ og person nr. $61$ befinner seg i intervallet $40$–$59$ år. Medianen $\underline{\underline{\text{må derfor ligge i intervallet 40–59 år}}}$.

For klassedelt (gruppert) materiale kjenner vi ikke alderen til hver enkelt person, bare hvilket intervall de tilhører. Vi finner da et anslag for gjennomsnittsalderen ved å bruke midtpunktet i hvert intervall som en representativ verdi for alle i gruppen, og veier midtpunktene med frekvensene:

Vi regner ut telleren ledd for ledd:

Gjennomsnittsalderen i leilighetskomplekset er dermed omtrent $\underline{\underline{\bar{x}\approx \mathrm{42,8}\text{ år}}}$.

Vi setter $x=0$ inn i uttrykket for $v(x)$.

$\underline{\underline{v(0)=0\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}}}$

I praksis betyr dette at Roger startet fra stillestående, altså at farten hans var $0\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$ i det øyeblikket han begynte turen ($x=0$).

Grafen til $v(x)=100-{\displaystyle \frac{100}{{\mathrm{1,58}}^x}}$ for $x\in [0,10]$ er tegnet i GeoGebra.

Grafen viser at farten øker raskt i starten og flater deretter ut mot $100\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$, som er den horisontale asymptoten til funksjonen.

Vi løser likningen $v(x)=90$ grafisk ved å finne skjæringspunktet mellom grafen til $v$ og linjen $y=90$, se figuren i b). GeoGebra gir skjæringspunktet $(\mathrm{5,03};90)$.

$\underline{\underline{x\approx \mathrm{5,0}\text{s}}}$

Roger hadde altså farten $90\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$ omtrent $5$ sekunder etter at han startet.

Grafen til $b(x)=100-{\mathrm{1,86}}^x$ er tegnet i GeoGebra, med nullpunktet markert.

Nullpunktet er $(\mathrm{7,42};0)$, altså tidspunktet der farten er $0\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$.

$\underline{\underline{x\approx \mathrm{7,4}\text{s}}}$

Det tok altså omtrent $\mathrm{7,4}$ sekunder fra Roger begynte å bremse til han stoppet helt opp.

Vi kaller hendelsen «eleven trives på skolen» for $A$, og «eleven er motivert for å lære» for $B$. Totalt er det $440$ elever, og $411$ av dem trives på skolen. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev trives, blir da

Sannsynligheten for at eleven ikke trives, er komplementet til $A$:

Vi vet at $7$ elever verken trives eller er motiverte, altså er de utenfor både $A$ og $B$. Da er antallet elever som trives eller er motiverte (eller begge deler)

Fra addisjonssetningen $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ kan vi løse for $P(A\cap B)$, altså sannsynligheten for at eleven trives og er motivert:

Sannsynligheten for at eleven trives eller er motivert (eller begge deler), altså $P(A\cup B)$, fant vi allerede i utregningen over:

Dette stemmer også med addisjonssetningen direkte:

Martin betaler verken renter eller avdrag de første 12 årene, så gjelda vokser med vekstfaktoren $\mathrm{1,198}$ hvert år i 12 år:

Etter 12 år vil gjelda til Martin være $\underline{\underline{\approx 638428\mathrm{kr}}}$.

En effektiv rente på $\mathrm{19,8}\%$ per år betyr at gjelda ganges med vekstfaktoren

én gang for hvert år som går. Etter $x$ år har denne vekstfaktoren blitt brukt $x$ ganger, siden gjelda vokser med samme prosent hvert år (renters rente). Starter vi med gjeld $75000$ kr, får vi derfor

Vi tegner grafen til $f$ for $x$ fra $0$ til $12$ i GeoGebra.

Grafen viser en eksponentiell vekst: gjelda øker sakte i begynnelsen og stadig raskere etter hvert, fra $75000$ kr ved $x=0$ til vel $638000$ kr ved $x=12$, i tråd med svaret i a).

Hvis renten legges til med $\mathrm{1,5}\%$ per måned, ganges gjelda med vekstfaktoren $\mathrm{1,015}$ hver måned. I løpet av ett år (12 måneder) blir gjelda dermed ganget med

Dette tilsvarer en effektiv årsrente på ca. $\mathrm{19,6}\%$, som er tilnærmet lik de oppgitte $\mathrm{19,8}\%$.

Grunnen til at $12\cdot \mathrm{1,5}\%=18\%$ ikke stemmer helt med den effektive renten, er at renter på renter gjør veksten litt større enn en ren summering av månedsrentene skulle tilsi. Regner vi motsatt vei, finner vi hvilken månedsrente som gir nøyaktig $\mathrm{19,8}\%$ effektiv årsrente:

altså ca. $\mathrm{1,51}\%$ per måned, svært nære de $\mathrm{1,5}\%$ oppgaven nevner. Dette forklarer hvorfor $\mathrm{19,8}\%$ effektiv rente per år er tilnærmet det samme som $\mathrm{1,5}\%$ rente per måned.

$\underline{\underline{{\mathrm{1,015}}^{12}\approx \mathrm{1,1956}\approx \mathrm{19,6}\%\text{ effektiv årsrente}}}$

De tre målingene er $(1;16)$, $(2;\mathrm{24,8})$ og $(3;\mathrm{36,5})$. Hvis vi gjør ren eksponentiell regresjon på kun disse tre punktene, får vi

som gir $y(8)\approx 289\mathrm{cm}$ etter 8 uker. Det er langt mer enn de $108\mathrm{cm}$ eksperten sa han regnet med, ut fra tidligere erfaring med solsikker. Eksperten kan derfor ikke ha basert formelen på bare de tre målingene alene — han må ha lagt sin erfaringsverdi, at høyden ville bli ca. $108\mathrm{cm}$ etter 8 uker, inn som et fjerde punkt $(8;108)$ i regresjonen.

Vi utfører eksponentiell regresjon på de fire punktene $(1;16)$, $(2;\mathrm{24,8})$, $(3;\mathrm{36,5})$ og $(8;108)$ i GeoGebra og får

Se f i utklippet, som gir $f(8)\approx 114\mathrm{cm}$ — i tråd med eksperten sitt anslag.

I modellen $f(x)=\mathrm{14,26}\cdot {\mathrm{1,296}}^x$ er $\mathrm{1,296}$ vekstfaktoren per uke. Siden $\mathrm{1,296}=1+\mathrm{0,296}$, øker høyden med

Solsikken ble faktisk $117\mathrm{cm}$ høy etter 8 uker, ikke $108\mathrm{cm}$. Vi bruker derfor punktene $(1;16)$, $(2;\mathrm{24,8})$, $(3;\mathrm{36,5})$ og $(8;117)$ i regresjonen og får

(se g i utklippet). Denne vekstfaktoren tilsvarer om lag $31\%$ vekst per uke, altså litt raskere vekst enn modellen i a).

Med modellen fra c) blir høyden etter 12 uker

Dette er urealistisk — en solsikke blir ikke $\mathrm{3,6}\mathrm{m}$ høy. Grunnen er at eksponentiell vekst bare beskriver en tidlig, rask vekstfase hos planter. Etter hvert flater veksten ut mot en maksimal høyde, slik at den virkelige vekstkurven ligner mer på en S-kurve enn på en ren eksponentialkurve. Modellen i c) er tilpasset målingene i de første 8 ukene, og kan derfor ikke brukes til å forutsi høyden mange uker senere. (Til sammenligning er leserens tips på $\mathrm{12,5}\mathrm{m}$ enda mer urealistisk.)