2P-Y Høst 2008

Oppgave 1-1Potenser, binærtall, rente og drosjetakst

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv uttrykkene så enkelt som mulig:

3 \cdot {(31 - 29)}^{2} - (5 - 3^{2})

{(2^{3})}^{2} \cdot {(2^{- 1})}^{3}

1,2 \cdot 10^{9} \cdot 4,0 \cdot 10^{4}

Skriv tallet $27$ i totallsystemet.

Per fikk 20 000 kr til konfirmasjonen sin. Han satte pengene inn på høyrentekonto med 5 % rente per år.

Vurder om Per har mer enn 25 000 kr i banken etter 5 år.

Sett opp et uttrykk som viser hvor mye penger han har i banken etter $t$ år.

Kari er på forretningsreise og tar samme drosje to ganger. Den ene drosjeturen er på 22 km og koster 270 kr. Den andre drosjeturen er på 38 km og koster 430 kr.

Lag et koordinatsystem der $x$ -aksen har benevningen km og $y$ -aksen kroner. Merk av et punkt i koordinatsystemet for hver av de to drosjeturene, og trekk en rett linje mellom de to punktene.

Når du tar drosje, betaler du en startavgift. I tillegg betaler du et fast beløp for hver km du kjører.

Hvor mye betalte Kari i startavgift, og hvor mye betalte hun for hver km hun kjørte?

Fasit

1) $16$ 2) $8$ 3) $4,8 \cdot 10^{13}$

$27 = 11011_{2}$

1) $Ja, over 25 000 kr$ 2) $N (t) = 20 000 \cdot {1,05}^{t}$

1) Punktene $(22, 270)$ og $(38, 430)$ med rett linje mellom 2) Startavgift $50 kr$ , pris per km $10 k r / k m$

LøsningsforslagKI-generert

1) Vi regner ut parentesene først, deretter potensene:

3 \cdot {(31 - 29)}^{2} - (5 - 3^{2}) = 3 \cdot 2^{2} - (5 - 9) = 3 \cdot 4 - (- 4) = 12 + 4 = 16

2) Vi bruker potensregelen ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ og $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ :

{(2^{3})}^{2} \cdot {(2^{- 1})}^{3} = 2^{6} \cdot 2^{- 3} = 2^{6 - 3} = 2^{3} = 8

3) Vi multipliserer tallene foran og legger sammen eksponentene:

1,2 \cdot 10^{9} \cdot 4,0 \cdot 10^{4} = (1,2 \cdot 4,0) \cdot 10^{9 + 4} = 4,8 \cdot 10^{13}

Vi trekker fra størst mulige potenser av $2$ :

27 = 16 + 8 + 2 + 1 = 2^{4} + 2^{3} + 2^{1} + 2^{0}

Dette gir $27 = 11011_{2}$ .

1) Per har $20 000 kr$ som vokser med vekstfaktor $1,05$ hvert år i $5$ år:

20 000 \cdot {1,05}^{5} \approx 25 526 kr

Siden $25 526 kr > 25 000 kr$ , har Per $mer enn 25 000 kr$ i banken etter $5$ år.

2) Beløpet $N (t)$ etter $t$ år er gitt ved

N (t) = 20 000 \cdot {1,05}^{t}

1) Vi setter av $x$ -aksen som lengde i km og $y$ -aksen som pris i kroner. Vi markerer punktene $(22, 270)$ og $(38, 430)$ , og trekker en rett linje mellom dem.

2) Stigningstallet til linjen (prisen per km) finner vi fra de to punktene:

a = \frac{430 - 270}{38 - 22} = \frac{160}{16} = 10 k r / k m

Vi finner startavgiften (konstantleddet $b$ ) ved å sette inn punktet $(22, 270)$ i $y = a \cdot x + b$ :

270 = 10 \cdot 22 + b \Rightarrow b = 270 - 220 = 50 kr

Kari betalte altså $50 kr$ i startavgift, og $10 kr$ for hver km hun kjørte.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Potenser, Standardform, Rente, Lineære funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Sannsynlighet i skibakken

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Lærer Hansen er i skitrekket med klassen sin. Det er 13 gutter og 17 jenter i klassen. Elevene tar skiheisen opp, og Hansen blir igjen nede. Han lurer på om det er en gutt eller en jente som kommer først ned bakken. Vi antar at elevene kommer ned i tilfeldig rekkefølge.

Hva er sannsynligheten for at den første eleven som kommer ned, er en gutt?

Hva er sannsynligheten for at den andre eleven som kommer ned, er en jente når den første var en gutt?

Den andre gangen elevene tar heisen opp, er det bare 9 gutter og 6 jenter som er med.

Hva er sannsynligheten for at de to første som kommer ned denne gangen, er jenter?

Kilde: www.aadneram-skitrekk.no

Fasit

$P (gutt) = \frac{13}{30}$

$P (jente | gutt først) = \frac{17}{29}$

$P ({jente}_{1} \cap {jente}_{2}) = \frac{1}{7}$

LøsningsforslagKI-generert

Det er $13$ gutter av totalt $13 + 17 = 30$ elever. Siden elevene kommer ned i tilfeldig rekkefølge, er sannsynligheten for at den første er en gutt gitt ved forholdet mellom antall gutter og totalt antall elever:

P (gutt) = \frac{13}{30} \approx 0,433

Når den første eleven er en gutt, er det igjen $29$ elever, hvorav alle de $17$ jentene fortsatt er igjen (mens det bare er $12$ gutter igjen). Sannsynligheten for at den andre eleven er en jente, gitt at den første var en gutt, blir da

P (jente | gutt først) = \frac{17}{29} \approx 0,586

Denne gangen er det $9$ gutter og $6$ jenter, totalt $15$ elever. Vi bruker produktsetningen for hendelser uten tilbakelegging.

Sannsynligheten for at den første er en jente er $\frac{6}{15}$ . Når den første jenta er tatt bort, er det $5$ jenter igjen av $14$ elever totalt, så sannsynligheten for at den andre også er en jente er $\frac{5}{14}$ .

P ({jente}_{1} \cap {jente}_{2}) = \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} = \frac{30}{210} = \frac{1}{7} \approx 0,143

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Temaer: Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 2-3Overskuddsfunksjon for sykkelproduksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en bedrift blir det produsert $x$ sykler hver måned. Bedriftens ledelse har funnet ut at overskuddet i kroner kan beregnes ved hjelp av funksjonen $O$ , der

O (x) = - 10 x^{2} + 1100 x - 10 000

Kalkulator

Hvor stort blir overskuddet dersom det blir produsert 30 sykler?

Krever PC

Tegn grafen til $O$ . Velg $x$ -verdier fra 10 til 100.

Krever PC

Hvor mange sykler må produseres og selges for at overskuddet skal bli størst mulig?

Krever PC

Hvor mange sykler må produseres og selges for at overskuddet skal bli større enn 18 000 kr?

Fasit

$O (30) = 14 000 kr$

Se graf i løsningsforslaget.

$x = 55 sykler, O (55) = 20 250 kr$

$40 < x < 70 sykler$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 30$ inn i uttrykket for overskuddsfunksjonen:

O (30) = - 10 \cdot 30^{2} + 1100 \cdot 30 - 10 000

O (30) = - 9000 + 33 000 - 10 000 = 14 000

Dersom bedriften produserer $30$ sykler, blir overskuddet $14 000 kr$ .

Vi tegner grafen til $O (x) = - 10 x^{2} + 1100 x - 10 000$ for $x \in [10, 100]$ med graftegner.

Grafen er en parabel som vender grenene ned (fordi $a = - 10 < 0$ ), med toppunkt i $(55, 20 250)$ .

Overskuddet er størst i toppunktet til parabelen. Fra grafen (eller ved regning med symmetriaksen $x = - \frac{b}{2 a}$ ) finner vi toppunktet

x = 55, O (55) = 20 250

Overskuddet blir størst når det produseres og selges $55 sykler$ , og det maksimale overskuddet er da $20 250 kr$ .

Vi skal finne for hvilke $x$ -verdier $O (x) > 18 000$ . Dette leser vi av grafen som området der den blå kurven ligger over den røde linja $y = 18 000$ .

Ved å løse likningen $O (x) = 18 000$ finner vi skjæringspunktene mellom kurven og linja:

- 10 x^{2} + 1100 x - 10 000 = 18 000

- 10 x^{2} + 1100 x - 28 000 = 0

x^{2} - 110 x + 2800 = 0

x = 40 eller x = 70

Siden parabelen vender grenene ned, er $O (x) > 18 000$ mellom røttene, altså for $40 < x < 70$ . Dette stemmer med grafen, der kurven ligger over linja $y = 18 000$ mellom $x = 40$ og $x = 70$ .

For at overskuddet skal bli større enn $18 000 kr$ , må bedriften produsere og selge mellom $41 og 69 sykler$ (siden $x$ er et helt antall sykler, og grensene $x = 40$ og $x = 70$ gir nøyaktig $18 000 kr$ ).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Økonomi, Funksjoner, Optimering
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Statistikk for lengdehopp Anna og Petra

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Lengdehopp er en gren av friidrett som går ut på å hoppe så langt man kan i et hopp. I konkurranser har man som regel tre hopp, der det beste hoppet teller.

Anna og Petra konkurrerer om å kvalifisere seg til lengdehoppkonkurransen i et friidrettsstevne. De får ti hopp hver, og den beste av dem er kvalifisert til konkurransen. Her er resultatene (oppgitt i meter) fra kvalifiseringen:

Hopp	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Anna	5,10	5,45	5,92	4,10	5,23	5,32	5,89	4,91	4,37	5,42
Petra	5,44	5,80	5,67	5,74	5,72	5,04	5,73	5,53	5,59	5,83

Kalkulator

Finn gjennomsnitt og median for hver av de to jentenes resultater.

Kalkulator

Finn variasjonsbredde og standardavvik for hver av de to jentenes resultater.

Kalkulator

Foreta en vurdering av jentenes resultater og det du fant i a) og b), og argumenter for hvem du synes skal bli kvalifisert.

Kilde: Erlend Aas/Scanpix

Fasit

${\overline{x}}_{Anna} = 5,17 m, {median}_{Anna} = 5,28 m$ , ${\overline{x}}_{Petra} = 5,61 m, {median}_{Petra} = 5,70 m$

$R_{Anna} = 1,82 m, s_{Anna} \approx 0,59 m$ , $R_{Petra} = 0,79 m, s_{Petra} \approx 0,23 m$

Åpen argumentasjonsoppgave – forslag: Petra bør kvalifiseres på grunn av høyere gjennomsnitt/median og langt jevnere resultater.

LøsningsforslagKI-generert

Vi sorterer resultatene og finner gjennomsnitt og median for hver av jentene.

Anna (sortert): $4,10 4,37 4,91 5,10 5,23 5,32 5,42 5,45 5,89 5,92$

{\overline{x}}_{Anna} = \frac{5,10 + 5,45 + 5,92 + 4,10 + 5,23 + 5,32 + 5,89 + 4,91 + 4,37 + 5,42}{10} = \frac{51,71}{10} = 5,171 \approx 5,17 m

Med 10 verdier er medianen gjennomsnittet av 5. og 6. verdi i den sorterte rekken:

{median}_{Anna} = \frac{5,23 + 5,32}{2} = 5,275 \approx 5,28 m

Petra (sortert): $5,04 5,44 5,53 5,59 5,67 5,72 5,73 5,74 5,80 5,83$

{\overline{x}}_{Petra} = \frac{5,44 + 5,80 + 5,67 + 5,74 + 5,72 + 5,04 + 5,73 + 5,53 + 5,59 + 5,83}{10} = \frac{56,09}{10} = 5,609 \approx 5,61 m

{median}_{Petra} = \frac{5,67 + 5,72}{2} = 5,695 \approx 5,70 m

Svar: ${\overline{x}}_{Anna} \approx 5,17 m, {median}_{Anna} \approx 5,28 m$ , ${\overline{x}}_{Petra} \approx 5,61 m, {median}_{Petra} \approx 5,70 m$

Variasjonsbredden er differansen mellom det høyeste og det laveste hoppet.

R_{Anna} = 5,92 - 4,10 = 1,82 m

R_{Petra} = 5,83 - 5,04 = 0,79 m

Standardavviket regnes ut med den empiriske formelen (deling på $n - 1$ , som i GeoGebra/Excel STDAV):

s = \sqrt{\frac{\sum {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}{n - 1}}

Utregning (i regneark) gir:

s_{Anna} \approx 0,587 \approx 0,59 m

s_{Petra} \approx 0,234 \approx 0,23 m

Svar: $R_{Anna} = 1,82 m, s_{Anna} \approx 0,59 m$ , $R_{Petra} = 0,79 m, s_{Petra} \approx 0,23 m$

Vi sammenligner resultatene fra a) og b):

	Anna	Petra
Gjennomsnitt	5,17 m	5,61 m
Median	5,28 m	5,70 m
Beste hopp	5,92 m	5,83 m
Variasjonsbredde	1,82 m	0,79 m
Standardavvik	0,59 m	0,23 m

Anna

Petra

Gjennomsnitt

5,17 m

5,61 m

Median

5,28 m

5,70 m

Beste hopp

5,92 m

5,83 m

Variasjonsbredde

1,82 m

0,79 m

Standardavvik

0,59 m

0,23 m

Petra har både høyere gjennomsnitt og høyere median enn Anna, og hun har et langt lavere standardavvik og en langt mindre variasjonsbredde. Dette betyr at Petra hopper jevnt over lengre og er en langt mer stabil/forutsigbar hopper – hun har ingen svake hopp. Anna har riktignok det aller lengste enkelthoppet av de to ( $5,92 m$ mot $5,83 m$ ), men resultatene hennes svinger mye, med flere hopp under $5,00 m$ (blant annet $4,10 m$ ).

Siden det er den beste av de to jentene som skal kvalifiseres, og en konkurranse normalt gir flere forsøk der stabil kvalitet teller mer enn ett enkelt godt hopp, taler statistikken samlet sett for at Petra bør kvalifiseres til konkurransen. Man kunne likevel argumentert for Anna dersom man legger avgjørende vekt på at hun har det aller lengste enkelthoppet – dette er en åpen vurderingsoppgave der begrunnelsen teller mer enn selve konklusjonen.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Argumentasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Lineær og eksponentiell modell for hundreåringer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser antall nordmenn over 100 år for utvalgte år i perioden 1975–2006.

År	1975	1980	1985	1990	1995	2000	2005	2006
Antall nordmenn over 100 år	115	158	243	300	405	414	511	533

For hånd

Merk av verdiene i tabellen ovenfor i et koordinatsystem der du på $x$ -aksen lar $x = 0$ svare til år 1975.

Krever PC

Lag en lineær modell som passer til dataene i tabellen ovenfor. Hvor mange nordmenn over 100 år vil det være i år 2030 ifølge denne modellen?

Krever PC

Lag en eksponentiell modell som passer til dataene i tabellen ovenfor. Hvor mange nordmenn over 100 år vil det være i år 2030 ifølge denne modellen?

En prognose sier at antallet nordmenn over 100 år vil tredobles i løpet av de neste 20–25 årene.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Vurder hvordan denne prognosen passer med de to modellene i b) og c).

Kilde: www.bokn.kommune.no

Fasit

Se punktplott i figur.

$f (x) = 13,5 x + 105$ , $f (55) \approx 848 personer$

$g (x) = 132 \cdot {1,049}^{x}$ , $g (55) \approx 1808 personer$

Den eksponentielle modellen stemmer godt med prognosen, den lineære gjør det ikke.

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall år etter 1975, slik at $x = 0$ svarer til 1975, $x = 5$ svarer til 1980, osv. Da får vi punktene

(0,115), (5,158), (10,243), (15,300), (20,405), (25,414), (30,511), (31,533)

Disse er avsatt som røde punkter i koordinatsystemet i figuren under.

Vi bruker regresjon på GeoGebra til å finne den lineære modellen som passer best til datapunktene (minste kvadraters metode). Dette gir

f (x) = 13,5065 x + 105,265 \approx 13,5 x + 105

Året 2030 svarer til $x = 2030 - 1975 = 55$ . Vi setter inn i modellen:

f (55) \approx 13,5 \cdot 55 + 105 \approx 848

Ifølge den lineære modellen vil det være omtrent $848 personer$ over 100 år i Norge i 2030.

Vi bruker regresjon på GeoGebra til å finne den eksponentielle modellen som passer best til datapunktene. Dette gir

g (x) = 132,375 \cdot {1,04868}^{x} \approx 132 \cdot {1,049}^{x}

Dette betyr en årlig vekst på omtrent $4,9 %$ . Vi setter inn $x = 55$ :

g (55) \approx 132 \cdot {1,049}^{55} \approx 1808

Ifølge den eksponentielle modellen vil det være omtrent $1808 personer$ over 100 år i Norge i 2030.

Figuren under viser datapunktene sammen med begge modellene, med punktene $Q_{1} = (55, f (55))$ og $Q_{2} = (55, g (55))$ markert for 2030.

Prognosen sier at antallet skal tredobles i løpet av 20–25 år regnet fra 2006-nivået på $533$ personer, altså til omtrent

3 \cdot 533 \approx 1600 personer, rundt år 2026 – 2031

Vi sammenligner dette med modellenes anslag for 2030 ( $x = 55$ ):

Den lineære modellen gir $f (55) \approx 848$ personer, som er langt under prognosens $1600$ .
Den eksponentielle modellen gir $g (55) \approx 1808$ personer, som ligger nær prognosens anslag på ca. $1600$ .

Vi ser altså at $den eksponentielle modellen stemmer klart best med prognosen$ om tredobling, mens den lineære modellen underestimerer veksten kraftig. Dette henger sammen med at en tredobling i løpet av et fast antall år tilsvarer en konstant prosentvis vekst, som nettopp er kjennetegnet på eksponentiell vekst — ikke lineær vekst med et konstant antall personer per år.

Samtidig bør vi være kritiske til å bruke den eksponentielle modellen over lang tid: en vekst på $4,9 %$ per år vil før eller siden gi urealistisk høye tall, siden antall hundreåringer i praksis er begrenset av befolkningens størrelse og levealder. Modellen er derfor mest pålitelig som prognose noen tiår fram i tid, ikke i det uendelige.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6-IAvstander i verdensrommet og standardform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ I

Dimensjonene og avstandene i verdensrommet er ufattelige. Men de blir kanskje litt lettere å forstå dersom vi lager forminskede modeller og så utforsker disse. Tabellen nedenfor viser avstanden fra noen steder i universet til Sola.

Sted i universet	Avstand til Sola
Jorda	$1,50 \cdot 10^{11} m$
Saturn	$1,43 \cdot 10^{12} m$
Pluto	$5,96 \cdot 10^{12} m$
Sentrum av Melkeveien	$1,20 \cdot 10^{20} m$

Kalkulator

Tenk deg at du reiser med et fly som har farten 250 m/s. Hvor lang tid vil reisen fra Jorda til Sola ta? Skriv svaret på standardform. Tips: Du kan bruke formelen $s = v \cdot t$

Kalkulator

Tenk deg at du lager en modell der avstanden fra Jorda til Sola er 40 cm. Finn avstanden til Sola fra Saturn, Pluto og sentrum av Melkeveien i denne modellen. Vurder om ett eller flere av de svarene du får, bør skrives på standardform.

Fra oppgave b) vil vi kanskje se at avstanden fra Sola til sentrum av Melkeveien blir så stor at det ikke er lett å få den med i en fysisk modell. Du bestemmer deg derfor for å lage modellen mindre. I den nye modellen skal avstanden fra Sola til Melkeveiens sentrum være 5,0 m.

Kalkulator

Hvor stor blir avstanden fra Sola til Jorda i den nye modellen? Skriv svaret på standardform.

Fasit

$t = 6,0 \cdot 10^{8} s$

Saturn $\approx 381 cm$ , Pluto $\approx 1,59 \cdot 10^{3} cm$ , Melkeveien $\approx 3,2 \cdot 10^{10} cm$

$6,25 \cdot 10^{- 9} m$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker formelen $s = v \cdot t$ , som gir $t = \frac{s}{v}$ . Avstanden fra Jorda til Sola er $s = 1,50 \cdot 10^{11} m$ , og farten er $v = 250 m / s$ :

t = \frac{1,50 \cdot 10^{11}}{250} = 6,0 \cdot 10^{8} s

$t = 6,0 \cdot 10^{8} s$

I modellen er avstanden Jorda–Sola $40 cm$ . I virkeligheten er den $1,50 \cdot 10^{11} m = 1,50 \cdot 10^{13} cm$ . Skalafaktoren mellom modell og virkelighet blir dermed

k = \frac{40}{1,50 \cdot 10^{13}} = 2,667 \cdot 10^{- 12}

Vi ganger denne skalafaktoren med de virkelige avstandene (omregnet til cm):

Saturn: $1,43 \cdot 10^{12} m = 1,43 \cdot 10^{14} cm$

1,43 \cdot 10^{14} \cdot 2,667 \cdot 10^{- 12} \approx 381 cm

Pluto: $5,96 \cdot 10^{12} m = 5,96 \cdot 10^{14} cm$

5,96 \cdot 10^{14} \cdot 2,667 \cdot 10^{- 12} \approx 1589 cm = 1,59 \cdot 10^{3} cm

Sentrum av Melkeveien: $1,20 \cdot 10^{20} m = 1,20 \cdot 10^{22} cm$

1,20 \cdot 10^{22} \cdot 2,667 \cdot 10^{- 12} \approx 3,2 \cdot 10^{10} cm

Avstandene til Saturn og Pluto kan skrives som vanlige tall (381 cm og 1589 cm), men avstanden til Melkeveiens sentrum er så stor ( $32$ milliarder cm, tilsvarende ca. $320 000 km$ ) at det er naturlig å skrive den på standardform: $3,2 \cdot 10^{10} cm$ .

$Saturn \approx 381 cm, Pluto \approx 1,59 \cdot 10^{3} cm, Melkeveien \approx 3,2 \cdot 10^{10} cm$

I den nye modellen er avstanden fra Sola til Melkeveiens sentrum $5,0 m$ , mens den i virkeligheten er $1,20 \cdot 10^{20} m$ . Den nye skalafaktoren blir

k_{2} = \frac{5,0}{1,20 \cdot 10^{20}} = 4,167 \cdot 10^{- 20}

Vi bruker denne skalafaktoren på avstanden Jorda–Sola:

4,167 \cdot 10^{- 20} \cdot 1,50 \cdot 10^{11} = 6,25 \cdot 10^{- 9} m

Dette er et ekstremt lite tall (på størrelse med et molekyl), og må derfor skrives på standardform.

$6,25 \cdot 10^{- 9} m$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Standardform, Proporsjonalitet, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-6-I for seg selv

Oppgave 2-6-IIBestemme parameter a i andregradsmodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ II

Gitt funksjonen $f (x) = a x^{2} + 5 x + 100$

Ved å velge ulike verdier for $a$ kan denne funksjonen brukes som modell for de to situasjonene nedenfor.

Situasjon 1 Terje bor på hotell. Fra hotellvinduet er det 100 meter ned til bakken. Han kaster en ball fra vinduet rett oppover. Modellen skal vise hvor høyt ballen er over bakken $x$ sekunder etter at den ble kastet. Ballen lander på bakken etter 5 sekunder.

Situasjon 2 En bedrift har i dag 100 ansatte. Ledelsen håper å nå ut til et større marked og dermed kunne ansette flere fagfolk i løpet av årene som kommer. Om 10 år regner bedriften med at arbeidsstokken vil være doblet. Modellen skal vise hvor mange ansatte det vil være i bedriften etter $x$ år.

Kalkulator

Vi vil nå forsøke å finne én verdi for $a$ som gjør at $f (x)$ kan brukes som modell for situasjon 1.

Bruk teksten i situasjon 1 til å finne $f (5)$ .

Bestem $a$ ved hjelp av det du fant i 1).

Kalkulator

Finn én verdi for $a$ som gjør at $f (x)$ passer som modell for situasjon 2. Tips: Bruk for eksempel metoden i a).

Kalkulator

Vil de modellene du kom fram til i a) og b), gjelde for alle mulige verdier av $x$ ? Kommenter.

Fasit

$f (5) = 0$ , $a = - 5$

$a = 0,5$

Nei, modellene gjelder ikke for alle $x$ — se kommentar

LøsningsforslagKI-generert

1) Ballen kastes fra $100 m$ over bakken, og $f (x)$ skal vise høyden over bakken $x$ sekunder etter kastet. Vi leser ut av teksten at ballen lander på bakken (høyde $0$ ) etter $5$ sekunder. Det betyr at

f (5) = 0

2) Vi setter $x = 5$ inn i $f (x) = a x^{2} + 5 x + 100$ og løser likningen $f (5) = 0$ for $a$ :

f (5) = a \cdot 5^{2} + 5 \cdot 5 + 100 = 25 a + 25 + 100 = 25 a + 125

25 a + 125 = 0

25 a = - 125

a = - 5

$a = - 5$

Bedriften har $100$ ansatte i dag ( $x = 0$ ), noe som stemmer med konstantleddet i $f (x)$ siden $f (0) = 100$ . Om $10$ år skal antallet ansatte være doblet, altså $200$ . Det betyr at $f (10) = 200$ . Vi setter $x = 10$ inn i uttrykket og løser for $a$ :

f (10) = a \cdot 10^{2} + 5 \cdot 10 + 100 = 100 a + 50 + 100 = 100 a + 150

100 a + 150 = 200

100 a = 50

a = 0,5

$a = 0,5$

Nei, ingen av modellene gjelder for alle mulige verdier av $x$ .

For situasjon 1 gir modellen bare mening for $0 \leq x \leq 5$ . Etter $5$ sekunder har ballen truffet bakken, så $f (x)$ kan ikke fortsette å beskrive høyden — en andregradsfunksjon med $a < 0$ vil etter toppunktet fortsette nedover og bli negativ, noe som ikke gir fysisk mening (ballen ligger allerede på bakken).

For situasjon 2 gir modellen mening bare for $x \geq 0$ , siden bedriften ikke fantes/ikke hadde denne størrelsen før tidspunktet $x = 0$ . Videre vil en andregradsfunksjon med $a > 0$ vokse stadig raskere for store $x$ , noe som neppe er en realistisk beskrivelse av bemanningsveksten over veldig lang tid — modellen bør derfor bare brukes for et begrenset antall år framover.

$Modellene gjelder kun innenfor et begrenset gyldighetsområde for x$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Modellering, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-6-II for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1Potenser, binærtall, rente og drosjetakst

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Sannsynlighet i skibakken

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver

Oppgave 2-3Overskuddsfunksjon for sykkelproduksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Statistikk for lengdehopp Anna og Petra

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Lineær og eksponentiell modell for hundreåringer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6-IAvstander i verdensrommet og standardform

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6-IIBestemme parameter a i andregradsmodell

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1·Potenser, binærtall, rente og drosjetakst

Oppgave 1-2·Sannsynlighet i skibakken

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver

Oppgave 2-3·Overskuddsfunksjon for sykkelproduksjon

Oppgave 2-4·Statistikk for lengdehopp Anna og Petra

Oppgave 2-5·Lineær og eksponentiell modell for hundreåringer

Oppgave 2-6-I·Avstander i verdensrommet og standardform

Oppgave 2-6-II·Bestemme parameter a i andregradsmodell

Temaer

Oppgave 1-1Potenser, binærtall, rente og drosjetakst

Oppgave 1-2Sannsynlighet i skibakken

Oppgave 2-3Overskuddsfunksjon for sykkelproduksjon

Oppgave 2-4Statistikk for lengdehopp Anna og Petra

Oppgave 2-5Lineær og eksponentiell modell for hundreåringer

Oppgave 2-6-IAvstander i verdensrommet og standardform

Oppgave 2-6-IIBestemme parameter a i andregradsmodell