2P-Y Eksempeloppgave 2023

To enkeltbilletter koster:

$$2 \cdot 180 \, \mathrm{kr} = 360 \, \mathrm{kr}$$

Tur-retur-billetten koster $270 \, \mathrm{kr}$.

Sparingen er:

$$360 \, \mathrm{kr} - 270 \, \mathrm{kr} = 90 \, \mathrm{kr}$$

Vi regner ut hvor mange prosent $90 \, \mathrm{kr}$ er av $360 \, \mathrm{kr}$:

$$\frac{90}{360} \cdot 100 \,\% = 25 \,\%$$

En student sparer $\underline{\underline{25 \,\%}}$ ved å kjøpe tur-retur-billett i stedet for to enkeltbilletter.

Anna har rett.

To størrelser er omvendt proporsjonale når produktet av dem alltid er det samme (konstant).

La oss si at årskortet koster $K \, \mathrm{kr}$. Hvis Anna kjører $n$ turer, blir prisen per tur:

$$\text{pris per tur} = \frac{K}{n}$$

Produktet av antall turer og pris per tur er alltid:

$$n \cdot \frac{K}{n} = K$$

Produktet er konstant, og det viser at pris per tur og antall turer er omvendt proporsjonale.

Jens har rett i at totalprisen for årskortet er fast uansett — men det er nettopp det som gjør at prisen per tur går ned når antall turer øker. Det er definisjonen på omvendt proporsjonalitet.

Altså: Anna har rett. Prisen per tur er omvendt proporsjonal med antallet turer hun kjører.

Y-aksen i histogrammet viser frekvens/klassebredde, ikke direkte antall elever. Klassebredden er $10 \, \mathrm{cm}$ for de fleste søylene (og $20 \, \mathrm{cm}$ for søylen 180–200 cm).

For å finne antall elever i hver klasse må vi gange søylehøyden med klassebredden:

$$\text{antall elever} = \frac{\text{frekvens}}{\text{klassebredde}} \cdot \text{klassebredde}$$

Vi leser av histogrammet:

Høyde (cm)	Søylehøyde	Klassebredde	Antall elever
150–160	1	10	$1 \cdot 10 = 10$
160–170	3	10	$3 \cdot 10 = 30$
170–180	5	10	$5 \cdot 10 = 50$
180–200	0,5	20	$0{,}5 \cdot 20 = 10$

Elever som er høyere enn $170 \, \mathrm{cm}$ er de i klassene 170–180 og 180–200:

$$50 + 10 = 60 \text{ elever}$$

Omtrent $\underline{\underline{60 \mathrm{~elever}}}$ er høyere enn $170 \, \mathrm{cm}$.

Vi skriver alle seks tallene om til standardform $a \cdot 10^n$ der $1 \leq a < 10$, og sammenligner eksponentene.

250 millioner:

$$250\,000\,000 = 2{,}5 \cdot 10^{8}$$

$2500 \cdot 10^{7}$:

$$2500 \cdot 10^{7} = 2{,}5 \cdot 10^{3} \cdot 10^{7} = 2{,}5 \cdot 10^{10}$$

$\dfrac{25}{100000}$:

$$\frac{25}{100\,000} = \frac{25}{10^{5}} = 25 \cdot 10^{-5} = 2{,}5 \cdot 10^{-4}$$

$0{,}25 \cdot 10^{10}$:

$$0{,}25 \cdot 10^{10} = 2{,}5 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{10} = 2{,}5 \cdot 10^{9}$$

$0{,}250 \cdot 10^{-5}$:

$$0{,}250 \cdot 10^{-5} = 2{,}5 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-5} = 2{,}5 \cdot 10^{-6}$$

$0{,}0025\,\%$:

$$0{,}0025\,\% = \frac{0{,}0025}{100} = 0{,}000025 = 2{,}5 \cdot 10^{-5}$$

Oversikt:

Opprinnelig form	Standardform
$0{,}250 \cdot 10^{-5}$	$2{,}5 \cdot 10^{-6}$
$0{,}0025\,\%$	$2{,}5 \cdot 10^{-5}$
$\dfrac{25}{100000}$	$2{,}5 \cdot 10^{-4}$
$250 \text{ millioner}$	$2{,}5 \cdot 10^{8}$
$0{,}25 \cdot 10^{10}$	$2{,}5 \cdot 10^{9}$
$2500 \cdot 10^{7}$	$2{,}5 \cdot 10^{10}$

Alle tallene har $a = 2{,}5$, så vi sammenligner bare eksponentene: $-6 < -5 < -4 < 8 < 9 < 10$.

Stigende rekkefølge:

$$\underline{\underline{0{,}250 \cdot 10^{-5} \;<\; 0{,}0025\,\% \;<\; \frac{25}{100000} \;<\; 250 \text{ millioner} \;<\; 0{,}25 \cdot 10^{10} \;<\; 2500 \cdot 10^{7}}}$$

Hva ønsker eleven å finne ut?

Eleven ønsker å finne ut hvor mange år det tar før et beløp på 10 000 kr blir dobbelt så stort, når beløpet øker med $3\,\%$ hvert år (dvs. 3 % rente).

Hva skjer når programmet kjøres?

Vi går gjennom koden linje for linje:

• Linje 1–2: Beløpet settes til 10 000 kr, og variabelen verdi starter på det samme.
• Linje 3: Vekstfaktoren er $1{,}03$, som svarer til $3\,\%$ vekst per år.
• Linje 4: Telleren år starter på 0.

Deretter kjøres while-løkken så lenge verdi er mindre enn $2 \cdot 10\,000 = 20\,000$ kr:

• Linje 7: verdi multipliseres med $1{,}03$ — beløpet øker med $3\,\%$.
• Linje 8: år økes med 1 — vi teller ett år til.

Løkken gjentar seg år for år inntil verdi er minst 20 000 kr.

Til slutt skriver programmet ut:

• verdi: beløpet i kroner etter at det har doblet seg
• år: antall år det tok

Praktisk tolkning: Programmet beregner at man trenger omtrent 24 år før 10 000 kr har doblet seg til 20 000 kr ved $3\,\%$ rente per år.

Vi teller antall grønne kvadrater i de tre figurene:

Figur	Grønne kvadrater
1	8
2	12
3	16

Fra figur 1 til figur 2 øker antallet med 4, og fra figur 2 til figur 3 øker det også med 4. Det øker altså med 4 for hver ny figur.

a)

Vi kan fortsette mønsteret:

$$\underbrace{8}_{\text{fig. 1}},\; \underbrace{12}_{\text{fig. 2}},\; \underbrace{16}_{\text{fig. 3}},\; 20,\; 24,\; 28,\; 32,\; 36,\; 40,\; \underbrace{44}_{\text{fig. 10}}$$

Figur 10 har $\underline{\underline{44}}$ grønne kvadrater.

b)

Figur 1 har 8 grønne kvadrater, og for hver nye figur legges det til 4. Vi kan skrive antallet grønne kvadrater i figur $n$ som:

$$8 + 4 \cdot (n - 1) = 8 + 4n - 4 = 4n + 4 = 4(n+1)$$

Vi kan også se det geometrisk: figur $n$ er et kvadrat med side $(n+2)$ med et hvitt kvadrat med side $n$ inni. Antall grønne kvadrater er da:

$$(n+2)^2 - n^2 = n^2 + 4n + 4 - n^2 = 4n + 4 = 4(n+1)$$

Antall grønne kvadrater i figur $n$ er $\underline{\underline{4(n+1)}}$.

Sjekk: $n = 1$: $4 \cdot 2 = 8$ ✓, $\quad n = 2$: $4 \cdot 3 = 12$ ✓, $\quad n = 3$: $4 \cdot 4 = 16$ ✓

Kommentar til Synne

Synne har rett. Når verdien avtar med $4 \,\%$, betyr det at $4 \,\%$ trekkes fra, og $96 \,\%$ gjenstår. Vekstfaktoren blir derfor

$$0{,}96$$

Kommentar til Thea

Thea har også rett i at båten var mer verdt for 8 år siden. Siden verdien har gått ned hvert år, må den opprinnelige verdien ha vært høyere enn $45\,000 \, \mathrm{kr}$.

Vi kan ikke gange med $0{,}96$ åtte ganger når vi skal gå bakover i tid — da ville vi gjøre den enda lavere. I stedet må vi gå den andre veien: dele.

Beregning av verdien for 8 år siden

La $V_0$ være verdien for 8 år siden. Etter 8 år med $4 \,\%$ verdifall per år er verdien

$$V_0 \cdot 0{,}96^8 = 45\,000$$

Vi løser for $V_0$:

$$V_0 = \frac{45\,000}{0{,}96^8} \approx \frac{45\,000}{0{,}7214} \approx 62\,380$$

Båtens verdi for 8 år siden var omtrent $\underline{\underline{62 \, 400 \, \mathrm{kr}}}$.

Dette gir mening: verdien var høyere enn $45\,000 \, \mathrm{kr}$, slik Thea pekte på.

Diagrammet viser penger brukt på feriereiser innenlands (mørk farge) og utenlands (lys grønn farge) i perioden 2007–2021, målt i milliarder kroner. Vi leser av verdier fra diagrammet og gjør beregninger.

Avleste verdier fra diagrammet for perioden 2017–2021 (milliarder kroner):

År	Innenlands	Utenlands	Totalt
2017	ca. $33$	ca. $114$	ca. $147$
2018	ca. $44$	ca. $90$	ca. $134$
2019	ca. $33$	ca. $91$	ca. $124$
2020	ca. $33$	ca. $30$	ca. $63$
2021	ca. $65$	ca. $16$	ca. $81$

---

Resultat 1: Totalt forbruk falt kraftig fra 2017 til 2021

I 2017 brukte nordmenn ca. $147 \, \mathrm{mrd \, kr}$ på feriereiser, mens de i 2021 brukte ca. $81 \, \mathrm{mrd \, kr}$.

$$\frac{147 - 81}{147} \cdot 100 \approx 45 \,\%$$

Det totale forbruket på feriereiser falt med omtrent $45 \,\%$ fra 2017 til 2021.

---

Resultat 2: Utenlandsreisene ble nesten borte under koronapandemien

I 2019 brukte nordmenn ca. $91 \, \mathrm{mrd \, kr}$ på utenlandsreiser. I 2020 falt dette til ca. $30 \, \mathrm{mrd \, kr}$.

$$\frac{91 - 30}{91} \cdot 100 \approx 67 \,\%$$

Pengene brukt på utenlandsreiser ble redusert med omtrent $67 \,\%$ fra 2019 til 2020. Dette skyldes reiserestriksjoner under koronapandemien.

---

Resultat 3: Innenlandsreisene doblet seg fra 2020 til 2021

I 2020 brukte nordmenn ca. $33 \, \mathrm{mrd \, kr}$ på innenlandsreiser. I 2021 økte dette til ca. $65 \, \mathrm{mrd \, kr}$.

$$\frac{65 - 33}{33} \cdot 100 \approx 97 \,\%$$

Forbruket på innenlandsreiser nesten doblet seg (økte med omtrent $97 \,\%$) fra 2020 til 2021. Nordmenn valgte innenlandsferier da utenlandsreiser var vanskelig.

---

Resultat 4: Andelen brukt på innenlandsreiser økte kraftig

Vi regner ut hvor stor prosentandel av det totale ferieforbruket som gikk til innenlandsreiser hvert år:

$$2017: \quad \frac{33}{147} \cdot 100 \approx 22 \,\%$$ $$2021: \quad \frac{65}{81} \cdot 100 \approx 80 \,\%$$

Andelen av ferieforbruket som gikk til innenlandsreiser økte fra ca. $22 \,\%$ i 2017 til ca. $80 \,\%$ i 2021. Det vil si at i 2021 var fire av fem feriekroner brukt på reiser i Norge.

---

Resultat 5: 2017 var toppåret, 2020 var bunnåret

Fra diagrammet ser vi at det totale ferieforbruket var høyest i 2017 (ca. $147 \, \mathrm{mrd \, kr}$) og lavest i 2020 (ca. $63 \, \mathrm{mrd \, kr}$).

$$\frac{147 - 63}{147} \cdot 100 \approx 57 \,\%$$

Fra toppåret 2017 til bunnåret 2020 falt det totale ferieforbruket med omtrent $57 \,\%$. Dette illustrerer den store effekten koronapandemien hadde på nordmenns reisevaner.

a)

Vi bruker eksponentiell regresjon på dataene i tabellen. La $x = 0$ tilsvare år 2015.

$x$	0	1	2	3	4	5	6
$T$	138 670	191 120	229 900	310 150	435 250	571 210	731 230

Vi lineariserer ved å ta $\ln$ av $y$-verdiene og tilpasse en rett linje til $(x,\, \ln T)$. Dette gir

$$a \approx 138\,500 \qquad b \approx 1{,}322$$

Modellen er

$$\boxed{T(x) \approx 138\,500 \cdot 1{,}322^x}$$

b)

Tolkning av $a$: $a \approx 138\,500$ er modellens verdi når $x = 0$, altså i år 2015. Det betyr at modellen anslår at det var omtrent $\mathbf{138\,500}$ besøkende i 2015.

Tolkning av $b$: $b \approx 1{,}322$ er vekstfaktoren per år. Det betyr at antall besøkende øker med ca. $\mathbf{32\,\%}$ hvert år ifølge modellen.

Gyldighetsområde: Dataene er samlet inn fra 2015 til 2021, så modellen er best egnet for $0 \leq x \leq 6$. Utenfor dette intervallet er det usikkert om den eksponentielle veksten fortsetter, for eksempel på grunn av kapasitetsbegrensninger eller hendelser som påvirker turismen.

c)

Stigningstallet til sekantlinjen gjennom $(1,\, T(1))$ og $(6,\, T(6))$ er

$$\frac{T(6) - T(1)}{6 - 1}$$

Vi regner ut:

$$T(1) = 138\,500 \cdot 1{,}322^1 \approx 183\,100$$ $$T(6) = 138\,500 \cdot 1{,}322^6 \approx 739\,300$$ $$\frac{739\,300 - 183\,100}{6 - 1} = \frac{556\,200}{5} \approx 111\,200$$

Svaret er $\underline{\underline{\approx 111\,200 \text{~turister per år}}}$.

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antall besøkende med omtrent $111\,200$ per år i perioden fra 2016 til 2021.

d)

Den momentane vekstfarten er gitt ved den deriverte. For $T(x) = a \cdot b^x$ er

$$T'(x) = a \cdot \ln(b) \cdot b^x$$

Her er $\ln(1{,}322) \approx 0{,}2791$.

I punktet $x = 1$ (år 2016):

$$T'(1) = 138\,500 \cdot 0{,}2791 \cdot 1{,}322^1 \approx 51\,100$$

I punktet $x = 6$ (år 2021):

$$T'(6) = 138\,500 \cdot 0{,}2791 \cdot 1{,}322^6 \approx 206\,400$$

Svar: $\underline{\underline{T'(1) \approx 51\,100 \text{~turister per år}}}$ og $\underline{\underline{T'(6) \approx 206\,400 \text{~turister per år}}}$.

Praktisk tolkning: I 2016 økte antall besøkende med omtrent $51\,100$ per år akkurat da (momentan vekstfart). I 2021 var den momentane vekstfarten mye høyere — omtrent $206\,400$ besøkende per år — fordi kurven er brattere jo lenger ut i tid vi er.

Legg merke til at den gjennomsnittlige vekstfarten fra oppgave c) ($\approx 111\,200$) ligger mellom de to momentane vekstfartene ($51\,100$ og $206\,400$), slik man forventer for en stigende, konveks kurve.

Vi bruker formelen for omregning:

$$F = \frac{9}{5} \cdot C + 32$$

Hva påstanden sier: En temperaturendring på $5 \, \mathrm{°C}$ skal tilsvare $41 \, \mathrm{°F}$.

Hva Johan sannsynligvis har gjort: Han har satt inn $C = 5$ direkte i formelen:

$$F = \frac{9}{5} \cdot 5 + 32 = 9 + 32 = 41$$

Dette gir $41 \, \mathrm{°F}$, men det er temperaturen $5 \, \mathrm{°C}$ omregnet til fahrenheit — ikke en endring.

Riktig utregning av en endring: Når temperaturen endrer seg med $5 \, \mathrm{°C}$, faller konstantleddet $32$ bort, fordi det er det samme i starten og slutten. Vi regner bare på selve endringen:

$$\Delta F = \frac{9}{5} \cdot \Delta C = \frac{9}{5} \cdot 5 = 9$$

En endring på $5 \, \mathrm{°C}$ tilsvarer altså en endring på $\mathbf{9 \, \mathrm{°F}}$.

Påstanden er feil. Johan har forvekslet en temperaturverdi med en temperaturendring. Riktig svar er at $5 \, \mathrm{°C}$ i endring tilsvarer $\underline{\underline{9 \, \mathrm{°F}}}$ i endring, ikke $41 \, \mathrm{°F}$.

a)

Vi har 20 elever totalt. Vi setter opp en oversikt med kumulativt antall:

Antall land	Antall elever	Kumulativt antall
4	3	3
5	4	7
6	5	12
8	5	17
10	2	19
50	1	20

Median:

Siden vi har $n = 20$ verdier (partall), er medianen gjennomsnittet av den 10. og 11. verdien (når vi sorterer fra minst til størst).

Fra den kumulative kolonnen ser vi:

• Verdiene 1–3 er 4 land
• Verdiene 4–7 er 5 land
• Verdiene 8–12 er 6 land

Både den 10. og den 11. verdien er altså 6.

$$\text{Median} = \frac{6 + 6}{2} = \mathbf{\underline{\underline{6}}}$$

Gjennomsnitt:

Vi finner summen av alle observasjonene:

$$\bar{x} = \frac{4 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 8 \cdot 5 + 10 \cdot 2 + 50 \cdot 1}{20}$$ $$= \frac{12 + 20 + 30 + 40 + 20 + 50}{20} = \frac{172}{20} = \mathbf{\underline{\underline{8{,}6}}}$$

b)

Medianen ($6$) beskriver datamaterialet best.

Gjennomsnittet er $8{,}6$, men 18 av de 20 elevene har besøkt mellom 4 og 10 land. Det er én elev som har besøkt hele 50 land — en ekstremverdi som drar gjennomsnittet kraftig oppover.

Medianen påvirkes ikke av slike ekstremverdier og gir derfor et mer representativt bilde av hva som er typisk for klassen. De fleste elevene har besøkt rundt 6 land, som samsvarer godt med medianen.

Malene må oppfylle to krav for å få boliglån: lånetak (maks 5 ganger inntekten) og egenkapitalkrav (minst 15 %).

Krav 1 – Lånetak

Det totale lånet (boliglån + studielån) kan ikke overstige 5 ganger inntekten:

$$5 \cdot 490\,000 \, \mathrm{kr} = 2\,450\,000 \, \mathrm{kr}$$

Malene har allerede $250\,000 \, \mathrm{kr}$ i studielån. Det maksimale boliglånet hun kan få, er derfor:

$$2\,450\,000 - 250\,000 = 2\,200\,000 \, \mathrm{kr}$$

Leiligheten koster $2\,500\,000 \, \mathrm{kr}$, og hun har $400\,000 \, \mathrm{kr}$ i egenkapital. Lånet hun trenger, er:

$$2\,500\,000 - 400\,000 = 2\,100\,000 \, \mathrm{kr}$$

Siden $2\,100\,000 \leq 2\,200\,000$, oppfyller hun lånetaket. Krav 1 er oppfylt.

Krav 2 – Egenkapital

Minimumskravet til egenkapital er 15 % av kjøpesummen:

$$15 \,\% \cdot 2\,500\,000 = 0{,}15 \cdot 2\,500\,000 = 375\,000 \, \mathrm{kr}$$

Malene har $400\,000 \, \mathrm{kr}$ i egenkapital, som er mer enn $375\,000 \, \mathrm{kr}$. Krav 2 er oppfylt.

Konklusjon

Malene oppfyller begge kravene. Hun kan kjøpe leiligheten til $2\,500\,000 \, \mathrm{kr}$ ved å bruke hele egenkapitalen og ta opp et boliglån på $\underline{\underline{2\,100\,000 \, \mathrm{kr}}}$.

Oppgaven ber om å gjøre sammenlikninger, beregninger og lage fem diagrammer som presenterer funnene på ulike måter. Nedenfor beskrives hvert diagram og hvilke funn det illustrerer.

---

Funn og beregninger

Andel innenlands- og utenlandsreiser per år:

År	Innenlands	Andel	Utenlands	Andel
2018	$4{,}42$ mill	$71{,}5 \,\%$	$1{,}76$ mill	$28{,}5 \,\%$
2019	$4{,}80$ mill	$77{,}4 \,\%$	$1{,}40$ mill	$22{,}6 \,\%$
2020	$2{,}96$ mill	$72{,}2 \,\%$	$1{,}14$ mill	$27{,}8 \,\%$
2021	$4{,}28$ mill	$99{,}3 \,\%$	$0{,}03$ mill	$0{,}7 \,\%$
2022	$4{,}73$ mill	$84{,}9 \,\%$	$0{,}84$ mill	$15{,}1 \,\%$

Eksempelutregning for 2021:

$$\frac{0{,}03}{4{,}31} \cdot 100 \approx 0{,}7 \,\%$$

Dramatisk nedgang i utenlandsreiser 2021: Fra $1{,}40$ millioner i 2019 til $0{,}03$ millioner i 2021. Det er en nedgang på nesten $98 \,\%$. Dette skyldes koronapandemien og reiserestriksjonene som ble innført.

Gjennomsnittlig forbruk per reise:

$$\text{Forbruk per reise} = \frac{\text{Forbruk (mrd. kr)}}{\text{Antall reiser (mill.)}} \cdot 1000 \text{ kr}$$

År	Forbruk per reise
2018	ca. $5\,600 \, \mathrm{kr}$
2019	ca. $5\,600 \, \mathrm{kr}$
2020	ca. $6\,100 \, \mathrm{kr}$
2021	ca. $2\,100 \, \mathrm{kr}$
2022	ca. $4\,000 \, \mathrm{kr}$

I 2021 var forbruk per reise svært lavt – færre dyre utenlandsreiser og flyreiser dro gjennomsnittet ned.

Andel flyreiser av totale reiser:

År	Flyreiser	Andel av totalt
2018	$2{,}02$ mill	$32{,}7 \,\%$
2019	$2{,}33$ mill	$37{,}6 \,\%$
2020	$1{,}58$ mill	$38{,}5 \,\%$
2021	$0{,}23$ mill	$5{,}3 \,\%$
2022	$1{,}25$ mill	$22{,}4 \,\%$

---

Diagram 1 – Linjediagram: Totale reiser 2018–2022

Hva: Et linjediagram med årstall på $x$-aksen og antall reiser (millioner) på $y$-aksen. To linjer – én for innenlandsreiser og én for utenlandsreiser.

Funn: Utenlandsreisene falt dramatisk i 2021 (nesten til null), mens innenlandsreisene holdt seg bedre oppe. I 2022 er begge på vei tilbake mot 2019-nivå.

Slik tegnes det: Sett opp et koordinatsystem med årstall ($2018, 2019, 2020, 2021, 2022$) på $x$-aksen og verdier fra $0$ til $5$ på $y$-aksen. Plot punktene for innenlandsreiser: $(2018; 4{,}42)$, $(2019; 4{,}80)$, $(2020; 2{,}96)$, $(2021; 4{,}28)$, $(2022; 4{,}73)$ – og for utenlandsreiser: $(2018; 1{,}76)$, $(2019; 1{,}40)$, $(2020; 1{,}14)$, $(2021; 0{,}03)$, $(2022; 0{,}84)$. Forbind punktene med linjer og merk linjene.

---

Diagram 2 – Søylediagram: Totalt antall reiser per år

Hva: Et gruppert søylediagram med ett søylesett per år. Søylene viser totalt antall reiser.

Funn: Totalt antall reiser falt med nesten $34 \,\%$ fra 2019 til 2020, og holdt seg lavt i 2021. I 2022 er det tydelig vekst igjen.

$$\frac{6{,}20 - 4{,}10}{6{,}20} \cdot 100 \approx 33{,}9 \,\%$$

Slik tegnes det: Tegn fem søyler med høyder $6{,}18$, $6{,}20$, $4{,}10$, $4{,}31$ og $5{,}57$ (i millioner). Legg til tallverdier over søylene.

---

Diagram 3 – Sektordiagram (kakediagram): Fordeling av reisemåter i 2019

Hva: Et sektordiagram som viser fordelingen mellom flyreiser, reiser til fots/sykkel/ski og «andre reiser» (dvs. totalt minus fly minus til fots) i 2019.

I 2019 var det totalt $6{,}20$ millioner reiser:

• Fly: $2{,}33$ mill ($37{,}6 \,\%$)
• Til fots/sykkel/ski: $0{,}03$ mill ($0{,}5 \,\%$)
• Andre: $6{,}20 - 2{,}33 - 0{,}03 = 3{,}84$ mill ($61{,}9 \,\%$)

Funn: I 2019 (før pandemien) var nesten $4$ av $10$ reiser med fly. Reiser til fots/sykkel/ski utgjorde en svært liten andel.

Slik tegnes det: Del sirkelen i tre sektorer. Fly-sektoren skal dekke $37{,}6 \,\%$ av sirkelen, dvs. $0{,}376 \cdot 360° \approx 135°$. Til fots-sektoren: $0{,}5 \,\%$ ($\approx 2°$). Andre: $61{,}9 \,\%$ ($\approx 223°$).

---

Diagram 4 – Dobbelt søylediagram: Flyreiser og reiser til fots 2018–2022

Hva: Et gruppert søylediagram med to søyler per år – én for flyreiser og én for reiser til fots/sykkel/ski.

Funn: Flyreisene kollapset i 2021 (fra $2{,}33$ til $0{,}23$ millioner), mens reiser til fots/sykkel/ski allerede var svært lave gjennom hele perioden (maks $0{,}09$ millioner i 2018).

Slik tegnes det: Bruk en skala fra $0$ til $2{,}5$ millioner. Tegn to søyler per år – én i én farge for fly og én i en annen farge for til fots/sykkel/ski. Verdiene for til fots er så lave at de knapt synes, noe som er et viktig funn i seg selv.

---

Diagram 5 – Stablede søyler: Forbruk vs. antall reiser 2018–2022

Hva: To parallelle enkle linjediagram i samme figur – ett for forbruk (milliarder kr, høyre $y$-akse) og ett for totale reiser (millioner, venstre $y$-akse).

Funn: Forbruk og antall reiser følger hverandre noenlunde – men i 2021 falt forbruket enda kraftigere enn antall reiser. Det skyldes at de dyre utenlandsreisene og flyreisene forsvant.

$$\text{Forbruk per reise 2021} = \frac{8{,}92 \, \mathrm{mrd.\,kr}}{4{,}31 \, \mathrm{mill.}} \cdot 1000 \approx 2\,070 \, \mathrm{kr}$$ $$\text{Forbruk per reise 2019} = \frac{34{,}69 \, \mathrm{mrd.\,kr}}{6{,}20 \, \mathrm{mill.}} \cdot 1000 \approx 5\,595 \, \mathrm{kr}$$

I 2021 var gjennomsnittlig forbruk per reise omtrent $\mathbf{2\,070 \, \mathrm{kr}}$, mot nesten $\mathbf{5\,600 \, \mathrm{kr}}$ i 2019. Reisene ble billigere i gjennomsnitt fordi de aller fleste reiste innenlands i stedet for utenlands.

Slik tegnes det: Årstall på $x$-aksen. Tegn én linje for forbruk med verdier $34{,}59$, $34{,}69$, $24{,}90$, $8{,}92$, $22{,}47$ (mrd. kr) – og én linje for totale reiser med verdier $6{,}18$, $6{,}20$, $4{,}10$, $4{,}31$, $5{,}57$ (mill.). Merk begge linjene tydelig.

---

Oppsummering av hovedfunn

Oppsummerende svar: Datasettet viser tydelig at koronapandemien hadde stor effekt på nordmenns reisevaner i 2020 og særlig i 2021:

• Utenlandsreisene falt med nesten $98 \,\%$ fra 2019 til 2021 (fra $1{,}40$ til $0{,}03$ millioner).
• Flyreisene falt fra $2{,}33$ millioner i 2019 til $0{,}23$ millioner i 2021 – en reduksjon på nesten $90 \,\%$.
• Innenlandsreisene holdt seg relativt stabile (ned fra $4{,}80$ til $2{,}96$ i 2020, men tilbake på $4{,}28$ i 2021).
• Forbruk per reise falt fra ca. $5\,600 \, \mathrm{kr}$ i 2019 til ca. $2\,100 \, \mathrm{kr}$ i 2021, fordi de dyre utenlandsreisene forsvant.
• I 2022 er det tydelig vekst igjen, men nivåene er ennå ikke tilbake til 2019.