2P-Y Høst 2018

Den kumulative frekvensen forteller hvor mange mål Tone har skåret til og med den aktuelle kampen.

Kumulativ frekvens etter kamp 3 er $15$, og etter kamp 4 er $21$.

Antall mål i kamp 4 er derfor:

Tone skåret $\underline{\underline{6 \text{~mål}}}$ i kamp nummer 4.

Den kumulative frekvensen etter kamp 6 viser det totale antallet mål i alle seks kampene: $30$ mål.

Tone skåret i gjennomsnitt $\underline{\underline{5 \text{~mål per kamp}}}$.

Ved klassedelt datamateriale bruker vi midtpunktet i hver klasse som representant for klassen.

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{15 \text{~tusen skritt}}}$ per dag.

I et histogram viser bredden på søylene klassevidden, og høyden viser antall dager (frekvensen).

Merk at klassene ikke har lik bredde: de to første klassene har bredde 10 og 5, mens den siste har bredde 10.

Antall dager
  4 |██████████|          |██████████|
  3 |          |█████|█████|          |
  2 |          |     |     |          |
  1 |          |     |     |          |
  0 +----------+-----+-----+----------+
    0         10    15    20          30
                Tusen skritt

Søylene tegnes uten mellomrom mellom seg. Den første søylen går fra 0 til 10 (bredde 10, høyde 4), den andre fra 10 til 15 (bredde 5, høyde 3), den tredje fra 15 til 20 (bredde 5, høyde 3), og den fjerde fra 20 til 30 (bredde 10, høyde 4).

Farten er $10 \, \mathrm{km/h}$. Det betyr at Anne løper $10 \, \mathrm{km}$ på $60 \, \mathrm{minutter}$.

Tid per km:

Anne bruker altså 6 minutter på hver kilometer når farten er 10 km/h.

Farten er $12 \, \mathrm{km/h}$. Det betyr at Anne løper $12 \, \mathrm{km}$ på $60 \, \mathrm{minutter}$.

Tid per km:

Anne bruker $\underline{\underline{5 \text{~minutter per km}}}$ når farten er 12 km/h.

Vi regner ut hvor lang tid Anne bruker på hver del av løpeturen:

• De første 3 km med 6 min/km: $3 \cdot 6 = 18 \, \mathrm{minutter}$
• De neste 7 km med 5 min/km: $7 \cdot 5 = 35 \, \mathrm{minutter}$

Koordinatene vi tegner gjennom er:

• Start: $(0, 0)$
• Etter 3 km: $(3, 18)$
• Etter 10 km: $(10, 18 + 35) = (10, 53)$

Grafen består av to rette linjestykker. Det første linjestykket fra $(0, 0)$ til $(3, 18)$ er brattere enn det andre fra $(3, 18)$ til $(10, 53)$, siden Anne løper saktere (bruker mer tid per km) i starten.

Anne løper totalt 10 km og bruker totalt:

Gjennomsnittlig tid per km:

Anne bruker i gjennomsnitt $\underline{\underline{5{,}3 \text{~minutter per km}}}$ på hele løpeturen.

Vi tenker oss at hver figur er satt sammen av et kvadrat med to ekstra rekker:

• Figur $n$ har et kvadrat med sidekant $n$, altså $n^2$ ruter.
• I tillegg kommer to rekker, og hver rekke har én rute mer enn $n$, altså $n + 1$ ruter.

Det gir antall ruter:

• Figur 1: $1^2 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$
• Figur 2: $2^2 + 2 \cdot 3 = 4 + 6 = 10$
• Figur 3: $3^2 + 2 \cdot 4 = 9 + 8 = 17$

Figur 4 tegnes som et $4 \times 4$-kvadrat ($16$ ruter) med to rekker à $5$ ruter, slik at figuren totalt har $16 + 2 \cdot 5 = 26$ kvadrater.

Vi fortsetter mønsteret til figur 5:

Det er $\underline{\underline{37 \text{~blå kvadrater}}}$ i figur 5.

Figur $n$ består av et kvadrat med $n^2$ ruter og to rekker med $n + 1$ ruter hver. Antall ruter $F_n$ blir da:

Vi kontrollerer: $F_1 = 1 + 2 + 2 = 5$ ✓, $F_3 = 9 + 6 + 2 = 17$ ✓, $F_5 = 25 + 10 + 2 = 37$ ✓

$\underline{\underline{F_n = n^2 + 2n + 2}}$

Vi setter $n = 100$ inn i formelen:

Det er $\underline{\underline{10\,202 \text{~blå kvadrater}}}$ i figur 100.

Vi tegner grafen til $A(x) = 0{,}002x^4 - 0{,}13x^3 + 2{,}75x^2 - 18x + 118$ i GeoGebra for $0 \leq x \leq 30$. Den stiplede linjen viser $A(x) = 92$.

Fra grafen ser vi at $A(x) < 92$ i perioden fra omtrent $x \approx 2$ til $x \approx 8$.

Det vil si at aksjen var lavere enn 92 kroner i omtrent

Aksjen var lavere enn 92 kroner i omtrent $\underline{\underline{6 \mathrm{~uker}}}$.

Fra GeoGebra leser vi av:

• Laveste verdi (minimum): $A(4{,}67) \approx \textcolor{tomato}{81{,}6} \, \mathrm{kr}$
• Høyeste verdi (maksimum, ved $x = 30$): $A(30) = \textcolor{seagreen}{163} \, \mathrm{kr}$

Forskjellen blir:

Forskjellen mellom laveste og høyeste verdi de 30 første ukene var omtrent $\underline{\underline{81{,}4 \, \mathrm{kr}}}$.

Gjennomsnittlig endring per uke beregnes som

Aksjen steg i gjennomsnitt $\underline{\underline{1{,}5 \, \mathrm{kr}}}$ per uke de 30 første ukene.

Den momentane vekstfarten er den deriverte $A'(x)$. Vi deriverer:

Vi setter inn $x = 22$:

Den momentane vekstfarten er $\underline{\underline{A'(22) \approx -0{,}58 \, \mathrm{kr/uke}}}$.

Praktisk tolkning: I uke 22 synker aksjeverdien med omtrent $0{,}58$ kroner per uke. Aksjen er altså på vei nedover i denne perioden.

Truls setter inn $40\,000 \, \mathrm{kr}$ i begynnelsen av 2010. Renten er $3{,}2 \,\%$ per år, så vekstfaktoren er $1{,}032$.

Fra begynnelsen av 2010 til begynnelsen av 2019 er det 9 år.

Truls vil ha omtrent $\underline{\underline{53\,110 \, \mathrm{kr}}}$ på kontoen i begynnelsen av 2019.

Vi setter opp et regneark med to kolonner: antall år siden innskuddet og beløpet på kontoen.

• Kolonne A: antall år (0, 1, 2, …)
• Kolonne B: beløpet

I celle B1 skriver vi startverdien: 40000

I celle B2 og nedover bruker vi formelen: =B1*1,032

Vi leser av raden der beløpet for første gang overstiger $60\,000 \, \mathrm{kr}$:

Etter $\underline{\underline{13 \text{~år}}}$ (begynnelsen av 2023) har Truls for første gang over $60\,000 \, \mathrm{kr}$ på kontoen.

Vi utvider regnearket. Beløpet passerer $100\,000 \, \mathrm{kr}$ etter 30 år (begynnelsen av 2040). Fra da av tar Truls ut $8\,000 \, \mathrm{kr}$ i begynnelsen av hvert år, og resten får rente til neste år.

Formelen i hvert år med uttak blir: =(forrige celle - 8000)*1,032

Tabellen under viser hele forløpet (utdrag):

Etter uttak 16 (år 46) er det kun $1\,277{,}83 \, \mathrm{kr}$ igjen på kontoen. Det er ikke nok til et nytt uttak på $8\,000 \, \mathrm{kr}$.

Truls kan gjøre $\underline{\underline{16 \mathrm{~uttak}}}$ før kontoen er tom. Det betyr at han tar ut penger i 16 år, fra 2041 til 2056.

Vi legger inn datapunktene fra tabellen og funksjonen $H(x) = 3{,}31 \cdot x^{0{,}33}$ i GeoGebra.

Vi ser at kurven til $H$ går gjennom eller svært nær alle de røde datapunktene. Vi kan også sjekke ved å sette inn tabellverdiene:

Avvikene er svært små (maks $0{,}04 \, \mathrm{m}$), så modellen passer godt med tallene i tabellen.

Tanken er full når vannivået er $H = 10 \, \mathrm{m}$. Vi bruker GeoGebra til å lese av der kurven $H(x)$ møter den vannrette linjen $y = 10$ (grønt punkt i grafen).

Vi ser at dette skjer ved $x \approx 28{,}5$ timer.

Vi kan også løse dette med regresjonsmodellen:

Det tar omtrent $\underline{\underline{28{,}5 \mathrm{~timer}}}$ før tanken er full. Det vil si at pumpen har pumpet i ca. 28,5 timer.

Pumpen fyller $18 \, \mathrm{m^3}$ per time, så volumet når tanken er full er:

Det er omtrent $\underline{\underline{513\,000 \mathrm{~liter}}}$ vann i tanken når den er full. Det tilsvarer ca. 513 kubikkmeter vann.

Vi fyller ut regnearket med verdiene fra tabellen i kolonne B, og bruker formler i kolonne C (relativ frekvens) og kolonne D (kumulativ relativ frekvens).

Totalt antall personer i Norge 1. januar 2017:

Relativ frekvens i celle C2 beregnes med formelen =B2/$B$9, der $B$9 er sumcellen (absolutt referanse). Formelen kopieres ned for alle intervaller.

Kumulativ relativ frekvens i celle D2 er =C2, og i D3 og nedover brukes =D2+C3 (løpende sum). Alternativt kan man bruke =SUM($B$2:B2)/$B$9.

Den ferdige tabellen ser slik ut:

Vi leser av kumulativ relativ frekvens for intervallet $\langle 75, 90 \rangle$, som er det siste intervallet som slutter under 90 år.

$\underline{\underline{99{,}15 \,\%}}$ av befolkningen var under 90 år.

Medianen er den verdien som deler befolkningen i to like store halvdeler, altså der den kumulative relative frekvensen passerer $50 \,\%$.

Fra tabellen ser vi:

• Etter $\langle 0, 15 \rangle$: kumulativ frekvens $= 17{,}83 \,\%$ (under $50 \,\%$)
• Etter $\langle 15, 25 \rangle$: kumulativ frekvens $= 30{,}54 \,\%$ (under $50 \,\%$)
• Etter $\langle 25, 45 \rangle$: kumulativ frekvens $= 57{,}76 \,\%$ (over $50 \,\%$)

Den kumulative frekvensen passerer $50 \,\%$ inne i intervallet $\langle 25, 45 \rangle$.

Medianen finner vi i intervallet $\underline{\underline{\langle 25, 45 \rangle}}$.

Stian antar at alderen er jevnt fordelt innenfor hvert intervall. Da kan vi beregne antall personer i alderen $\langle 25, 30 \rangle$ som en forholdsmessig andel av intervallet $\langle 25, 45 \rangle$:

Antall personer under 25 år:

Antall personer under 30 år:

Stians påstand er $\underline{\underline{1\,963\,775}}$ personer under 30 år.

Antakelsen han har gjort er at alderen er jevnt fordelt innenfor hvert aldersintervall, slik at man kan bruke en forholdsmessig andel av intervallet $\langle 25, 45 \rangle$ til å estimere antallet i $\langle 25, 30 \rangle$.

Gutter som drikker brus: $\dfrac{1}{3} \cdot 15 = 5$

Jenter som drikker brus: $\dfrac{1}{5} \cdot 15 = 3$

Vi fyller inn de resterende tallene og lager krysstabell:

Det er 8 elever som drikker brus, og totalt 30 elever i klassen.

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev drikker brus er $\underline{\underline{\dfrac{4}{15} \approx 0{,}267}}$.

Det er 8 elever som drikker brus: 5 gutter og 3 jenter.

Helsesøster trekker 2 av disse 8 elevene.

Antall måter å velge 2 av 8 elever:

Antall måter å velge 1 gutt av 5 og 1 jente av 3:

Sannsynligheten for at hun trekker én gutt og én jente:

Sannsynligheten for at helsesøster trekker én gutt og én jente er $\underline{\underline{\dfrac{15}{28} \approx 0{,}536}}$.