2P-Y Vår 2018

Vi jobber oss gjennom tabellen rad for rad.

Rad 1: BMI [17, 18,5⟩ — Undervektig

• Frekvens: $20$ (oppgitt)
• Kumulativ frekvens: $20$ (bare én rad så langt)
• Relativ frekvens: $\frac{20}{1000}=\mathrm{0,02}$
• Kumulativ relativ frekvens: $\mathrm{0,02}$

Rad 2: BMI [18,5, 25⟩ — Normal vekt

• Kumulativ frekvens: $520$ (oppgitt, grå)
• Frekvens: $520-20=500$
• Relativ frekvens: $\frac{500}{1000}=\mathrm{0,5}$
• Kumulativ relativ frekvens: $\frac{520}{1000}=\mathrm{0,52}$

Rad 3: BMI [25, 30⟩ — Overvektig

• Relativ frekvens: $\mathrm{0,4}$ (oppgitt, grå) → Frekvens: $\mathrm{0,4}\cdot 1000=400$
• Kumulativ frekvens: $520+400=920$
• Kumulativ relativ frekvens: $\mathrm{0,92}$ (oppgitt, grå) — stemmer: $\frac{920}{1000}=\mathrm{0,92}$ ✓

Rad 4: BMI [30, 32⟩ — Fedme

• Frekvens: $80$ (oppgitt, grå)
• Kumulativ frekvens: $920+80=1000$
• Relativ frekvens: $\frac{80}{1000}=\mathrm{0,08}$
• Kumulativ relativ frekvens: $\frac{1000}{1000}=\mathrm{1,0}$

Fullstendig tabell:

De fire grå cellene forteller følgende:

• 520 (kumulativ frekvens, Normal vekt): 520 av de 1000 personene hadde enten Undervektig eller Normal vekt.
• 0,4 (relativ frekvens, Overvektig): 40 % av de 1000 personene, altså 400 personer, hadde BMI i kategorien Overvektig.
• 0,92 (kumulativ relativ frekvens, Overvektig): 92 % av de 1000 personene hadde BMI i kategoriene Undervektig, Normal vekt eller Overvektig (altså ikke Fedme).
• 80 (frekvens, Fedme): 80 av de 1000 personene hadde BMI i kategorien Fedme.

Medianen er den midterste verdien. Med 1000 personer er medianen et sted mellom person 500 og 501 når vi sorterer etter BMI.

Vi ser på den kumulative relative frekvensen:

• Etter Undervektig: $\mathrm{0,02}$ (bare $2\%$ av personene)
• Etter Normal vekt: $\mathrm{0,52}$ (nå er $52\%$ av personene telt opp)

Det betyr at de første $50\%$ av personene (person 1–500) faller innenfor kategoriene Undervektig og Normal vekt. Siden $\mathrm{0,02}<\mathrm{0,50}<\mathrm{0,52}$, passerer vi $50\%$-grensen inne i Normal vekt-kategorien. Dermed ligger medianen i kategorien Normal vekt.

Vi ser på mønsteret fra tabellen:

• Figur 2: 1 sekskant, 6 sirkler
• Figur 3: 2 sekskanter, 12 sirkler

For hvert figurnummer øker antall sekskanter med 1, og antall sirkler i ytterste sekskant øker med 6.

En sekskant har 6 sider, og langs ytterste sekskant er det 6 sirkler per sekskant.

Vi setter antall sirkler i ytterste sekskant lik 246 og løser for $n$:

Det er altså figur nummer 42, og den ytterste sekskanten har $n-1=41$ sekskanter.

Svar: Det er $\underline{\underline{41\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ i denne figuren (som er figur nummer 42).

Vi ser på mønsteret fra tabellen:

• Figur 1: 1 rad, 1 sirkel per rad, 1 sirkel totalt
• Figur 2: 3 rader, 2 sirkler per rad, 6 totalt
• Figur 3: 5 rader, 3 sirkler per rad, 15 totalt

Antall rader: $1,3,5,\dots$ — dette er odde tall. For figur $n$ er antall rader $2n-1$.

Antall sirkler per rad er lik figurnummeret $n$.

Totalt antall sirkler:

For figur 4:

Vi bruker formelen $n(2n-1)$ med $n=100$:

Svar: Det er $\underline{\underline{19900\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ i figur nummer 100.

Vi vet at bestanden starter på $12000$ dyr og at det vil være $6000$ dyr igjen om 10 år. Vi setter opp en lineær funksjon:

Vi finner stigningstallet $a$ ved å bruke de to kjente punktene $(0,12000)$ og $(10,6000)$:

Modellen er:

Dette betyr at bestanden minker med 600 dyr per år.

Vi vet at bestanden starter på $12000$ dyr og at det vil være $11400$ dyr igjen etter ett år. Vi setter opp en eksponentiell funksjon:

Vi setter inn $x=1$ og $g(1)=11400$:

Modellen er:

Dette betyr at bestanden minker med $5\%$ per år.

Vi beregner bestanden om 10 år for begge modellene.

Lineær modell:

Eksponentiell modell:

Den lineære modellen gir $6000$ dyr, mens den eksponentielle modellen gir omtrent $7185$ dyr.

Svar: Ifølge den lineære modellen vil det være færrest dyr igjen — $\underline{\underline{6000\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{r}}}$ — mot omtrent $7185$ dyr i den eksponentielle modellen.

Det gir mening: en eksponentiell nedgang bremser etter hvert fordi den alltid tar en fast prosentandel av det som er igjen, mens en lineær nedgang fjerner like mange dyr hvert år uansett.

Vi tegner grafen til $A(x)=-\mathrm{0,08}{x}^3+\mathrm{1,29}{x}^2-\mathrm{3,9}x+\mathrm{6,2}$ for $0\le x\le 12$ i GeoGebra.

Den røde linjen viser $A(x)=10$ (10 millioner km²). De grønne punktene viser hvor grafen krysser denne linjen.

Fra grafen leser vi av at $A(x)=10$ (den røde linjen) skjærer grafen i to punkter:

Mer enn 10 millioner kvadratkilometer var dekket av havis i intervallet $\mathrm{5,3}\le x\le \mathrm{11,5}$.

Varigheten er

Mer enn 10 millioner kvadratkilometer var dekket av havis i omtrent $\underline{\underline{\mathrm{6,2}\text{ måneder}}}$.

1. mars er 2 måneder etter 1. januar, altså $x=2$.

2. september er 8 måneder etter 1. januar, altså $x=8$.

Vi regner ut $A(2)$ og $A(8)$:

Den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x=2$ til $x=8$ er

Området dekket av havis økte i gjennomsnitt med $\underline{\underline{\mathrm{2,28}{\text{ millioner km}}^2\text{ per måned}}}$ fra 1. mars til 1. september.

Det vil si at havisdekket vokste med omtrent 2 280 000 kvadratkilometer per måned i denne perioden.

Vi deriverer $A(x)$:

Vi setter inn $x=5$:

$\underline{\underline{A^{\prime }(5)=3}}$

Praktisk tolkning: 5 måneder etter 1. januar (dvs. rundt 1. juni 2017) økte havisdekket rundt Antarktis med cirka $3{\text{ millioner km}}^2$ per måned.

Om fem år tilsvarer $x=5$. Vi leser av det røde punktet i grafen, og bekrefter med utregning:

Bilen vil være verd omtrent $\underline{\underline{158320\mathrm{kr}}}$ om fem år.

Det betyr at bilen mister rundt 140 000 kr i verdi de neste fem årene.

For fem år siden tilsvarer $x=-5$. Vi leser av det oransje punktet i grafen, og bekrefter med utregning:

Bilen var verd omtrent $\underline{\underline{568470\mathrm{kr}}}$ for fem år siden.

Det betyr at bilen var verdt nesten det dobbelte av dagens verdi for fem år siden.

I et histogram er y-aksen frekvenstetthet (frekvens delt på klassebredde). For å finne antall personer i en aldersgruppe multipliserer vi høyden på søylen med klassebredden.

Vi leser av histogrammet og fyller inn i en tabell:

Totalt antall personer:

Det bor $\underline{\underline{270\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ i boligområdet.

Vi bruker GeoGebra til å tegne søylediagrammet med antall personer per aldersgruppe:

Søylediagrammet viser antall personer i hver aldersgruppe.

Et søylediagram er best egnet til å illustrere dette datamaterialet.

Grunnen er at aldersgruppene har ulik bredde (klassebredde). I et søylediagram viser høyden på søylen direkte antall personer i gruppen, noe som gjør det lettere å lese av og sammenligne gruppene.

Histogrammet er konstruert slik at arealet av søylene representerer antall personer – ikke høyden. Dette kan lett misforstås. Siden søylediagrammet viser antallet direkte på y-aksen, er det enklere å forstå for de fleste lesere.

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra, der $x$ er antall år etter 1920:

Vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra og får

Grafen nedenfor viser at kurven (blå) følger datapunktene (røde) godt gjennom hele perioden. Den grønne linjen er sekanten fra oppgave c).

Modellen passer godt med dataene.

Vekstfaktoren i modellen er $\mathrm{1,015}$. Det betyr at befolkningen øker med

per år.

Ifølge modellen har folketallet økt med $\underline{\underline{\mathrm{1,5}\%}}$ per år.

Den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x=70$ til $x=95$ er

Vi regner ut:

Den gjennomsnittlige vekstfarten er $\underline{\underline{\approx \mathrm{90,8}\text{ millioner per år}}}$.

Perioden $x=70$ til $x=95$ svarer til årene 1990–2015. Tolkning: ifølge modellen økte verdensbefolkningen med gjennomsnittlig omtrent 90,8 millioner mennesker per år i denne perioden.

Vi bruker modellen til å beregne befolkningen i 2050 og 2100.

År 2050 svarer til $x=2050-1920=130$:

FNs prognose er $\mathrm{9,8}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}$. Modellen gir altså $\approx \mathrm{2,5}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}$ mer enn FNs prognose, noe som er ca. $25\%$ for høyt.

År 2100 svarer til $x=2100-1920=180$:

FNs prognose er $\mathrm{11,2}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}$. Modellen gir mer enn dobbelt så mye som FNs prognose.

Modellen samsvarer ikke med FNs prognoser. Avviket er allerede $25\%$ for høyt i 2050, og hele $131\%$ for høyt i 2100. Dette skyldes at den eksponentielle modellen forutsetter konstant prosentvis vekst for alltid, mens FN forventer at veksten vil avta etter hvert som jordens befolkning nærmer seg et metningsnivå. Modellen er ikke egnet til å spå befolkningsutviklingen langt inn i fremtiden.

Vi leser av søylediagrammet:

Antall elever med karakter 4 eller bedre:

Prosentandel:

$\mathrm{32,5}\%$ av elevene fikk karakteren 4 eller bedre.

Vi setter opp regnearket med frekvensene fra diagrammet. Kolonne C inneholder formelen $x\cdot f$, og kolonne D inneholder formelen ${(x-\bar{x})}^2\cdot f$. Gjennomsnittet beregnes i celle B11, standardavviket i celle B13.

Gjennomsnittskarakter:

Standardavvik:

Gjennomsnittskarakteren er $\underline{\underline{\bar{x}=\mathrm{3,05}}}$ og standardavviket er $\underline{\underline{s\approx \mathrm{1,18}}}$.

Første år var det 200 elever med gjennomsnitt ${\bar{x}}_1=\mathrm{3,05}$. Andre år var det 180 elever med gjennomsnitt ${\bar{x}}_2=\mathrm{3,25}$.

Det samlede gjennomsnittet finner vi ved å legge sammen alle karakterpoengene og dele på totalt antall elever:

Det samlede gjennomsnittet for de to årene er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{3,14}}}$.

Det er 4 kuler i koppen: 2 røde (R) og 2 blå (B). Vi trekker 2 kuler uten tilbakelegging.

Vi setter opp et valgtre med alle mulige utfall:

Første trekk:

• $P(\text{R})={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
• $P(\text{B})={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Andre trekk (etter rød): Det er nå 3 kuler igjen: 1 rød og 2 blå.

• $P(\text{R}|\text{første = R})={\displaystyle \frac{1}{3}}$
• $P(\text{B}|\text{første = R})={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Andre trekk (etter blå): Det er nå 3 kuler igjen: 2 røde og 1 blå.

• $P(\text{R}|\text{første = B})={\displaystyle \frac{2}{3}}$
• $P(\text{B}|\text{første = B})={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Sannsynligheter for hvert utfall:

Sannsynlighet for samme farge:

Sannsynlighet for ulik farge:

Siden ${\displaystyle \frac{2}{3}}>{\displaystyle \frac{1}{3}}$, er det mest sannsynlig å trekke to kuler med ulik farge.

Påstand 2 er riktig: $\underline{\underline{P(\text{ulik farge})={\displaystyle \frac{2}{3}}}}$

Nå er det 4 kuler i koppen: 3 røde (R) og 1 blå (B). Vi trekker 2 kuler uten tilbakelegging.

Første trekk:

• $P(\text{R})={\displaystyle \frac{3}{4}}$
• $P(\text{B})={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Andre trekk (etter rød): Det er nå 3 kuler igjen: 2 røde og 1 blå.

• $P(\text{R}|\text{første = R})={\displaystyle \frac{2}{3}}$
• $P(\text{B}|\text{første = R})={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Andre trekk (etter blå): Det er nå 3 kuler igjen: 3 røde og 0 blå.

• $P(\text{R}|\text{første = B})={\displaystyle \frac{3}{3}}=1$
• $P(\text{B}|\text{første = B})={\displaystyle \frac{0}{3}}=0$

Sannsynligheter for hvert utfall:

Sannsynlighet for samme farge:

Sannsynlighet for ulik farge:

Siden $P(\text{samme farge})=P(\text{ulik farge})={\displaystyle \frac{1}{2}}$, er sannsynlighetene like store.

Påstand 3 er riktig: $\underline{\underline{P(\text{samme farge})=P(\text{ulik farge})={\displaystyle \frac{1}{2}}}}$