2P-Y Høst 2010

Oppgave 1-1Statistikk, potenser, standardform, sannsynlighet og funksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En gruppe ungdommer blir spurt om hvor mange søsken de har. Her er resultatene:

1, 3, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 4, 2

Finn medianen og gjennomsnittet.

Regn ut

\frac{3^{3} \cdot 3^{2}}{3^{4}}

\frac{a \cdot b^{- 1}}{a^{0} \cdot b^{- 3}}

Regn ut og skriv svaret på standardform

6,0 \cdot 10^{7} \cdot 2,5 \cdot 10^{- 3}

I en twistpose er det 30 twistbiter. Per liker 18 av disse. Vi trekker tilfeldig én twistbit fra posen.

Finn sannsynligheten for at Per liker denne twistbiten.

Sannsynligheten for at Ola liker en tilfeldig valgt twistbit fra posen, er $0,4$ .

Hvor mange av twistbitene i posen liker Ola?

Jens og far har løpt 100-meteren. Far fikk starte tre sekunder før Jens. Nedenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av løpet til Jens og av løpet til far.

Graf over 100-meterløp for Jens og far

Hva kan du si om de to løpene ut fra den grafiske framstillingen ovenfor?

De tre funksjonene $f$ , $g$ og $h$ er gitt ved

f (x) = 5 x^{2} + 100 g (x) = 100 \cdot 5^{x} h (x) = 5 x + 100

Hvilken av de tre funksjonene beskriver lineær vekst? Lag et eksempel der du bruker denne lineære funksjonen til å beskrive en praktisk situasjon.

Jorunn har aksjer i et firma. Først stiger verdien av aksjene én gang. Senere stiger verdien igjen. Jorunn kan regne ut den nye verdien slik:

Ny verdi = Gammel verdi \cdot 1,1 \cdot 1,2

Hvor mange prosent har verdien av aksjene til sammen steget med?

Fasit

$Median = 1,5$ , $Gjennomsnitt = 1,7$

1) $3$ 2) $a \cdot b^{2}$

$1,5 \cdot 10^{5}$

1) $P = \frac{3}{5} = 0,6$ 2) $12 twistbiter$

Jens starter $3 s$ senere, men løper raskere og vinner løpet

$h (x) = 5 x + 100$ beskriver lineær vekst

$32 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi sorterer tallene i stigende rekkefølge:

0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4

Det er $10$ tall, altså et partall. Medianen er gjennomsnittet av det $5.$ og $6.$ tallet i den sorterte lista, som er $1$ og $2$ :

Median = \frac{1 + 2}{2} = 1,5

Gjennomsnittet finner vi ved å summere alle tallene og dele på antallet:

Gjennomsnitt = \frac{1 + 3 + 0 + 3 + 1 + 2 + 1 + 0 + 4 + 2}{10} = \frac{17}{10} = 1,7

1) Vi bruker potensregelen $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ og $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ :

\frac{3^{3} \cdot 3^{2}}{3^{4}} = \frac{3^{3 + 2}}{3^{4}} = \frac{3^{5}}{3^{4}} = 3^{5 - 4} = 3^{1} = 3

2) Vi bruker at $a^{0} = 1$ og $\frac{b^{- 1}}{b^{- 3}} = b^{- 1 - (- 3)} = b^{2}$ :

\frac{a \cdot b^{- 1}}{a^{0} \cdot b^{- 3}} = \frac{a \cdot b^{- 1}}{1 \cdot b^{- 3}} = a \cdot b^{- 1 - (- 3)} = a \cdot b^{2}

Vi multipliserer tallfaktorene og legger sammen eksponentene til $10$ -potensene:

6,0 \cdot 10^{7} \cdot 2,5 \cdot 10^{- 3} = (6,0 \cdot 2,5) \cdot 10^{7 + (- 3)} = 15 \cdot 10^{4}

Dette er ikke på standardform siden $15 \geq 10$ . Vi justerer:

15 \cdot 10^{4} = 1,5 \cdot 10^{1} \cdot 10^{4} = 1,5 \cdot 10^{5}

1) Per liker $18$ av de $30$ twistbitene. Sannsynligheten for å trekke en twistbit han liker, er

P = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0,6

2) Sannsynligheten for at Ola liker en tilfeldig twistbit er $0,4$ . Da liker han

0,4 \cdot 30 = 12

av twistbitene i posen.

Far starter løpet ved $t = 0 s$ (rød graf), mens Jens starter $3$ sekunder senere, ved $t = 3 s$ (blå graf). Begge kurvene er brattere jo lenger ut i løpet man kommer, som betyr at begge øker farten underveis.

Den blå grafen (Jens) er brattere enn den røde (far) fra et stykke ut i løpet, og de to grafene krysser hverandre ved omtrent $t = 13 s$ , der begge har løpt ca. $70 m$ . Etter dette tar Jens igjen og forbi far. Jens fullfører de $100$ meterne etter omtrent $16,5$ sekunder (klokketid), mens far bruker omtrent $17,5$ sekunder. Selv om Jens startet $3$ sekunder senere enn far, brukte han bare omtrent $16,5 - 3 = 13,5$ sekunder på selve løpet, mot fars $17,5$ sekunder. Jens er altså den raskeste løperen, og han vinner løpet.

En lineær funksjon har formen $f (x) = a x + b$ , altså konstant stigningstall.

$f (x) = 5 x^{2} + 100$ er en andregradsfunksjon (kvadratisk vekst)
$g (x) = 100 \cdot 5^{x}$ er en eksponentialfunksjon
$h (x) = 5 x + 100$ er en lineær funksjon, med stigningstall $5$ og konstantledd $100$

Det er altså $h (x) = 5 x + 100$ som beskriver lineær vekst.

Eksempel: $h (x)$ kan beskrive totalprisen i kroner for et mobilabonnement med en fast månedspris på $100$ kroner, pluss $5$ kroner per samtaleminutt $x$ man ringer.

Den samlede vekstfaktoren er

1,1 \cdot 1,2 = 1,32

En vekstfaktor på $1,32$ tilsvarer en økning på

1,32 - 1 = 0,32 = 32 %

Verdien av aksjene har altså steget med $32 %$ til sammen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 15
Temaer: Statistikk, Potenser, Standardform, Sannsynlighet, Funksjoner, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Konvertering mellom tallsystemer med grunntall 2, 3 og 10

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I tallsystemet som vi vanligvis bruker, er grunntallet 10. I totallsystemet er grunntallet 2. Det finnes også tallsystemer med andre grunntall.

Tallsystem med grunntall 10	Tallsystem med grunntall 2	Tallsystem med grunntall 3
4		$11_{3}$
	$1011_{2}$
		$221_{3}$

Tegn av tabellen ovenfor i besvarelsen din, gjør beregninger og fyll inn det som mangler.

Fasit

Grunntall 10	Grunntall 2	Grunntall 3
4	100₂	11₃
11	1011₂	102₃
25	11001₂	221₃

Grunntall 10

Grunntall 2

Grunntall 3

4

100₂

11₃

11

1011₂

102₃

25

11001₂

221₃

LøsningsforslagKI-generert

Rad 1: $4$ , $_____{2}$ , $11_{3}$

Vi vet at tallet er $4$ i titallsystemet. Vi gjør om til totallsystemet ved å skrive $4$ som en sum av toerpotenser:

4 = 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} = 100_{2}

Vi kan sjekke mot tretallet $11_{3}$ : $11_{3} = 1 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{0} = 3 + 1 = 4$ , som stemmer overens.

Rad 2: $_____{10}$ , $1011_{2}$ , $_____{3}$

Vi gjør om totallet $1011_{2}$ til titallsystemet:

1011_{2} = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Deretter gjør vi om $11$ til tretallsystemet. Vi finner hvor mange ganger $3^{2} = 9$ , $3^{1} = 3$ og $3^{0} = 1$ går opp i $11$ :

11 = 1 \cdot 9 + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 102_{3}

Rad 3: $_____{10}$ , $_____{2}$ , $221_{3}$

Vi gjør om tretallet $221_{3}$ til titallsystemet:

221_{3} = 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{0} = 18 + 6 + 1 = 25

Deretter gjør vi om $25$ til totallsystemet. Vi finner hvor mange ganger $2^{4} = 16$ , $2^{3} = 8$ , $2^{2} = 4$ , $2^{1} = 2$ og $2^{0} = 1$ går opp:

25 = 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 11001_{2}

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Tallregning, Bits og bytes
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Klassefest og høyrentekonto med matematiske modeller

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hvor mange elever må bli med på klassefesten dersom hver elev ikke skal måtte betale mer enn 300 kroner?

Sett opp en matematisk modell som Håkon kan bruke for å regne ut hvor mye hver elev må betale dersom utgiftene deles likt og $x$ elever deltar på festen.

Hvor mye vil Mette ha på kontoen etter ett år?

Sett opp en matematisk modell som Mette kan bruke for å regne ut hvor mye penger hun har på kontoen etter $x$ år.

Fasit

1) $21 elever$ 2) $K (x) = \frac{6300}{x}$

1) $10 400 kr$ 2) $B (x) = 10 000 \cdot {1,04}^{x}$

LøsningsforslagKI-generert

1) Vi skal finne det minste antallet elever $x$ slik at kostnaden per elev, $\frac{6300}{x}$ , ikke blir mer enn $300$ kroner. Vi setter opp likningen for grensetilfellet:

\frac{6300}{x} = 300

x = \frac{6300}{300} = 21

Siden kostnaden per elev synker når antall elever øker, må minst $21$ elever bli med for at ingen skal betale mer enn $300$ kroner.

2) Kostnaden $K$ per elev når $x$ elever deler regningen på $6300$ kroner likt, er

K (x) = \frac{6300}{x}

1) Mette setter inn $10 000$ kroner og får $4 %$ rente. Vekstfaktoren er $1 + 0,04 = 1,04$ . Etter ett år har hun

10 000 \cdot 1,04 = 10 400 kr

2) Siden kontoen vokser med samme vekstfaktor $1,04$ hvert år, får vi beløpet etter $x$ år ved å opphøye vekstfaktoren i $x$ :

B (x) = 10 000 \cdot {1,04}^{x}

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 2-4Fluer i kasse modellert med kubisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Aud arbeider ved et laboratorium. En dag samler hun fluer i en kasse. Hun mater fluene og holder dem isolert i to måneder. Hun finner ut at en god tilnærming for antall fluer i kassen etter $t$ dager er gitt ved

f (t) = - 0,007 t^{3} + 0,5 t^{2} - 3 t + 20

Kalkulator

Bruk opplysningene i teksten ovenfor til å avgjøre hvilke $t$ -verdier du bør bruke når du tegner grafen til $f$ . Tegn grafen for disse verdiene av $t$ .

Kalkulator

Finn grafisk og ved regning hvor mange fluer det var i kassen ved starten og ved slutten av eksperimentet.

Krever PC

I hvilket tidsrom økte antall fluer i kassen?

Finn den gjennomsnittlige økningen per dag i dette tidsrommet.

Fasit

$0 \leq t \leq 60$

$f (0) = 20 fluer, f (60) = 128 fluer$

1) $t \approx 3,2 til t \approx 44,4$

2) $\approx 5,9 fluer per dag$

LøsningsforslagKI-generert

Aud holder fluene isolert i to måneder, altså omtrent $60$ dager. Vi bør derfor tegne grafen til $f$ for

0 \leq t \leq 60

Grafen til $f (t) = - 0,007 t^{3} + 0,5 t^{2} - 3 t + 20$ på dette intervallet, tegnet i GeoGebra:

Graf av f(t)

Ved starten av eksperimentet er $t = 0$ :

f (0) = - 0,007 \cdot 0^{3} + 0,5 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 + 20 = 20

Dette stemmer med punktet $A = (0, 20)$ på grafen.

Ved slutten av eksperimentet er $t = 60$ :

f (60) = - 0,007 \cdot 60^{3} + 0,5 \cdot 60^{2} - 3 \cdot 60 + 20 = 128

Dette stemmer med punktet $B = (60, 128)$ på grafen.

Det var altså $20 fluer$ i kassen ved starten av eksperimentet, og $128 fluer$ ved slutten.

1) Den deriverte $f^{'} (t) = - 0,021 t^{2} + t - 3$ har nullpunkter $t \approx 3,22$ og $t \approx 44,40$ . Dette ser vi igjen på grafen som bunnpunktet (Min1) og toppunktet (Max1). Funksjonen avtar fra $t = 0$ til $t \approx 3,2$ , vokser fra $t \approx 3,2$ til $t \approx 44,4$ , og avtar igjen fram til $t = 60$ .

Siden hele intervallet $⟨ 3,2, 44,4 ⟩$ ligger innenfor eksperimentets varighet ( $0 \leq t \leq 60$ ), er dette tidsrommet der antall fluer faktisk økte:

t \approx 3,2 til t \approx 44,4 dager

2) I dette tidsrommet var det $f (3,22) \approx 15,3$ fluer ved starten og $f (44,40) \approx 259,8$ fluer ved slutten (avlest på grafen som Min1 og Max1). Antall dager i tidsrommet er

44,40 - 3,22 = 41,18 dager

Den gjennomsnittlige økningen per dag blir da

\frac{259,8 - 15,3}{41,18} \approx 5,9

Antall fluer i kassen økte altså i gjennomsnitt med $\approx 5,9 fluer per dag$ i dette tidsrommet.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Funksjoner, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Aksjeverdier med månedlig vekst og fall over ett år

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Verdien av aksjene i et firma har steget med 5 % per måned det siste året. Berit kjøper derfor aksjer for 10 000 kroner i dette firmaet.

Berit håper at verdien av aksjene vil fortsette å stige med 5 % per måned det neste året.

Kalkulator

Hvor mye vil aksjene til Berit være verdt etter én måned hvis det går som hun håper?

Hvor mye vil aksjene til Berit være verdt etter ett år hvis det går som hun håper?

I ettertid viste det seg at verdien av aksjene til Berit steg med 5 % per måned i fire måneder. Deretter steg verdien med 3 % per måned i tre måneder. Så sank verdien med 3 % per måned de neste fem månedene.

Kalkulator

Finn ut hvor mye verdien av aksjene steg, både i kroner og prosent, i løpet av dette året.

Verdien av aksjene fortsatte å synke med 3 % per måned det neste året.

Kalkulator

Hvor mange måneder gikk det før Berits aksjer igjen var verdt 10 000 kroner?

Fasit

$10 500 kr$ og $17 958,56 kr$

$1405,85 kr$ , en økning på $14,06 %$

$5 måneder$

LøsningsforslagKI-generert

Når verdien vokser med $5 %$ per måned, er vekstfaktoren $1,05$ .

1) Etter én måned:

10 000 \cdot 1,05 = 10 500 kr

2) Etter ett år (12 måneder) med samme vekstfaktor hver måned:

10 000 \cdot {1,05}^{12} \approx 17 958,56 kr

Etter én måned er aksjene verdt $10 500 kr$ , og etter ett år er de verdt $17 958,56 kr$ .

Verdien endrer seg med tre ulike vekstfaktorer etter hverandre: $1,05$ i 4 måneder, $1,03$ i 3 måneder og $0,97$ i 5 måneder. Sluttverdien blir da

V = 10 000 \cdot {1,05}^{4} \cdot {1,03}^{3} \cdot {0,97}^{5} \approx 11 405,85 kr

Verdiøkningen i kroner blir

11 405,85 - 10 000 = 1405,85 kr

og i prosent av utgangsverdien

\frac{1405,85}{10 000} \cdot 100 % \approx 14,06 %

Verdien av aksjene steg altså med $1405,85 kr$ , tilsvarende $14,06 %$ .

Verdien i starten av det neste året er $V_{b} \approx 11 405,85 kr$ , og den synker videre med vekstfaktor $0,97$ per måned. Vi må finne antall måneder $n$ slik at verdien igjen er $10 000 kr$ :

11 405,85 \cdot {0,97}^{n} = 10 000

Løser vi denne likningen, får vi $n \approx 4,32$ . Etter 4 hele måneder er verdien fortsatt over $10 000 kr$ ( $\approx 10 097,51 kr$ ), mens den etter 5 måneder er under $10 000 kr$ ( $\approx 9794,59 kr$ ). Aksjene passerer derfor $10 000 kr$ i løpet av den femte måneden.

Det gikk altså $5 måneder$ før Berits aksjer igjen var verdt $10 000 kr$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Prosentregning, Vekstfaktor, Eksponentialfunksjon, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Ballbinge i idrettslag og betinget sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fotballgruppa i et idrettslag ønsker seg en ny ballbinge. De gjennomfører en spørreundersøkelse for å finne ut hva medlemmene i idrettslaget mener om dette.

Alle de 240 medlemmene i idrettslaget blir spurt.
45 % av medlemmene er kvinner.
63 av mennene ønsker ballbinge.
Til sammen 110 av medlemmene ønsker ikke ballbinge.

	Mann	Kvinne	Totalt
Ønsker ballbinge
Ønsker ikke ballbinge
Totalt

Kalkulator

Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk opplysningene ovenfor og fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene.

Kalkulator

Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem i idrettslaget ønsker ballbinge.

Et medlem blir valgt tilfeldig. Det viser seg at dette medlemmet ønsker ballbinge.

Kalkulator

Finn sannsynligheten for at dette medlemmet er en mann.

Styret i idrettslaget setter som krav at minst 75 % av medlemmene må ønske ballbinge dersom de skal godkjenne planene.

Fotballgruppa prøver å verve nye medlemmer som ønsker ballbinge.

Kalkulator

Hvor mange slike medlemmer må fotballgruppa verve for at kravet fra styret skal innfris?

Fasit

Se utfylt tabell i løsningsforslaget

$P (ønsker ballbinge) = \frac{130}{240} \approx 54,2 %$

$P (mann | ønsker ballbinge) = \frac{63}{130} \approx 48,5 %$

$200 nye medlemmer$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker opplysningene til å fylle ut tabellen.

Det er $240$ medlemmer totalt. $45 %$ av dem er kvinner:

0,45 \cdot 240 = 108 k v i n n e r \Rightarrow 240 - 108 = 132 m e n n

Av mennene ønsker $63$ ballbinge, altså ønsker $132 - 63 = 69$ menn ikke ballbinge. Til sammen ønsker $110$ av alle medlemmene ikke ballbinge, som gir $110 - 69 = 41$ kvinner som ikke ønsker ballbinge, og dermed $108 - 41 = 67$ kvinner som ønsker ballbinge.

Til sammen ønsker $63 + 67 = 130$ medlemmer ballbinge.

	Mann	Kvinne	Totalt
Ønsker ballbinge	63	67	130
Ønsker ikke ballbinge	69	41	110
Totalt	132	108	240

Av de $240$ medlemmene ønsker $130$ ballbinge:

P (ønsker ballbinge) = \frac{130}{240} \approx 0,542 = 54,2 %

Vi vet at det trukne medlemmet ønsker ballbinge, og skal finne sannsynligheten for at dette medlemmet er mann. Av de $130$ som ønsker ballbinge, er $63$ menn:

P (mann | ønsker ballbinge) = \frac{63}{130} \approx 0,485 = 48,5 %

La $n$ være antall nye medlemmer som alle ønsker ballbinge, og som vil bli vervet. Da blir det totale antallet som ønsker ballbinge lik $130 + n$ , og det totale antallet medlemmer blir $240 + n$ . Kravet er at andelen som ønsker ballbinge, skal være minst $75 %$ :

\frac{130 + n}{240 + n} \geq 0,75

130 + n \geq 0,75 \cdot (240 + n)

130 + n \geq 180 + 0,75 n

0,25 n \geq 50

n \geq 200

Fotballgruppa må derfor verve minst $200$ nye medlemmer som ønsker ballbinge, for at kravet fra styret skal innfris.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 1T, 2P, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Sannsynlighet, Statistikk
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Treets høyde og eksponentiell regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jon har i flere år målt høyden til et tre. Se tabellen nedenfor. Første gang han målte, var treet 1,00 m høyt.

Antall år etter første måling	0	1	2	3	4	5	6
Treets høyde (målt i $m$ )	1,00	1,25	1,55	1,94	2,46	3,04	3,83

For hånd

Framstill datamaterialet fra tabellen ovenfor i et koordinatsystem.

Jon vil finne en matematisk modell som viser treets høyde. Han er usikker på hvilken type modell som passer best. Han legger til en ekstra rad i tabellen. Se nedenfor.

Antall år etter første måling	0	1	2	3	4	5	6
Treets høyde (målt i $m$ )	1,00	1,25	1,55	1,94	2,46	3,04	3,83
Prosentvis endring fra året før

Kalkulator

Tegn av denne tabellen i besvarelsen din. Fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene. Bruk disse tallene til å begrunne hvilken type modell Jon bør velge.

Krever PC

Bruk for eksempel regresjon til å finne modellen. Tegn grafen til modellen i samme koordinatsystem som du brukte i a).

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Denne modellen er laget på grunnlag av data fra en periode på seks år. Vurder om modellen kan brukes til å si noe om treets vekst før og etter denne perioden.

Fasit

Se punkter i grafen i løsningsforslaget.

Prosentvis endring er tilnærmet konstant $\approx 25 %$ per år → eksponentiell modell.

$f (x) = 1,00 \cdot {1,25}^{x}$

Modellen gjelder kun i måleperioden $⟨ 0, 6 ⟩$ — urealistisk både bakover (treet ville aldri vært $0 m$ ) og framover (uendelig vekst).

LøsningsforslagKI-generert

Vi framstiller de sju målingene $(0; 1,00), (1; 1,25), (2; 1,55), (3; 1,94), (4; 2,46), (5; 3,04), (6; 3,83)$ i et koordinatsystem med antall år etter første måling på $x$ -aksen og treets høyde i meter på $y$ -aksen. Punktene er markert med rødt i figuren under (sammen med regresjonskurven fra c)).

Punkter og eksponentiell regresjon

Den prosentvise endringen fra året før regnes ut med formelen

Prosentvis endring = \frac{ny verdi - gammel verdi}{gammel verdi} \cdot 100 %

For eksempel for år 1: $\frac{1,25 - 1,00}{1,00} \cdot 100 % = 25,0 %$ .

Tilsvarende utregning for de andre årene gir følgende tabell:

Antall år etter første måling	0	1	2	3	4	5	6
Treets høyde (målt i $m$ )	1,00	1,25	1,55	1,94	2,46	3,04	3,83
Prosentvis endring fra året før		$25,0 %$	$24,0 %$	$25,2 %$	$26,8 %$	$23,6 %$	$26,0 %$

Den prosentvise endringen fra år til år er $tilnærmet konstant$ , rundt $25 %$ hvert år. Når den prosentvise endringen er tilnærmet konstant fra periode til periode, vokser tallmaterialet eksponentielt (samme vekstfaktor hvert år). Jon bør derfor velge en $eksponentiell modell$ , ikke for eksempel en lineær eller potensmodell.

Vi utfører eksponentiell regresjon på datapunktene fra tabellen i GeoGebra. Regresjonen gir modellen

f (x) = 0,996865 \cdot {1,25089}^{x} \approx 1,00 \cdot {1,25}^{x}

der $x$ er antall år etter første måling, og $f (x)$ er treets høyde i meter. Startverdien $1,00$ stemmer godt med at treet var $1,00 m$ høyt ved første måling, og vekstfaktoren $1,25$ svarer til den tilnærmet konstante årlige veksten på $25 %$ som vi fant i b).

Grafen til modellen er tegnet sammen med datapunktene i figuren i a) — kurven passer godt til punktene.

f (x) = 1,00 \cdot {1,25}^{x}

Modellen er laget ut fra data fra en periode på seks år ( $x \in ⟨ 0, 6 ⟩$ ), og kan derfor bare med sikkerhet brukes til å beskrive treets høyde $i denne perioden$ .

Bakover i tid (før første måling, $x < 0$ ) gir modellen at treets høyde nærmer seg, men aldri når, $0 m$ — funksjonen $f (x) \to 0$ når $x \to - \infty$ , men blir aldri lik null. Dette er urimelig, siden et virkelig tre må ha startet å vokse fra en frø- eller spireplante med en bestemt (liten) starthøyde, ikke fra en uendelig fjern fortid.

Framover i tid (etter måleperioden, $x > 6$ ) gir modellen urealistisk sterk vekst, fordi en eksponentiell modell øker uten grenser. For eksempel gir modellen $f (30) \approx 807 m$ , noe som er helt urealistisk for et tre. I virkeligheten vil veksten avta etter hvert, og treets høyde vil flate ut mot en maksimal høyde (typisk for arten treet tilhører), ikke fortsette å øke med $25 %$ hvert år.

Modellen bør derfor ikke brukes til å si noe om treets vekst utenfor de seks årene den er basert på.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Prosentvis endring
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Leksetimer for jenter og gutter sammenlignet med sentralmål

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I klasse 1A er det 12 jenter og 12 gutter. Nedenfor ser du hvor mange timer de bruker på lekser hver uke.

Jentene: 7, 5, 5, 7, 7, 6, 8, 8, 5, 4, 6, 10

Guttene: 2, 5, 6, 7, 9, 6, 4, 9, 12, 2, 13, 3

Bruk ulike sentral- og spredningsmål og gjør rede for hva dette datamaterialet viser om jentenes og guttenes arbeidsvaner i denne klassen.

Fasit

${\overline{x}}_{jenter} = {\overline{x}}_{gutter} = 6,5 timer$ , men guttene har mye større spredning ( $s_{gutter} \approx 3,66$ mot $s_{jenter} \approx 1,68$ ).

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner sentralmål (gjennomsnitt og median) og spredningsmål (variasjonsbredde og standardavvik) for begge grupper.

Jentene (sortert): $4 5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 10$

{\overline{x}}_{jenter} = \frac{7 + 5 + 5 + 7 + 7 + 6 + 8 + 8 + 5 + 4 + 6 + 10}{12} = \frac{78}{12} = 6,5 timer

Med 12 verdier er medianen gjennomsnittet av 6. og 7. verdi:

{median}_{jenter} = \frac{6 + 7}{2} = 6,5 timer

R_{jenter} = 10 - 4 = 6 timer

Standardavviket regnes med den empiriske formelen (deling på $n - 1$ , som i GeoGebra/Excel STDAV):

s_{jenter} \approx 1,68 timer

Guttene (sortert): $2 2 3 4 5 6 6 7 9 9 12 13$

{\overline{x}}_{gutter} = \frac{2 + 5 + 6 + 7 + 9 + 6 + 4 + 9 + 12 + 2 + 13 + 3}{12} = \frac{78}{12} = 6,5 timer

{median}_{gutter} = \frac{6 + 6}{2} = 6,0 timer

R_{gutter} = 13 - 2 = 11 timer

s_{gutter} \approx 3,66 timer

Oppsummering:

	Jenter	Gutter
Gjennomsnitt	6,5 t	6,5 t
Median	6,5 t	6,0 t
Variasjonsbredde	6 t	11 t
Standardavvik	1,68 t	3,66 t

Jenter

Gutter

Gjennomsnitt

6,5 t

Median

6,5 t

6,0 t

Variasjonsbredde

6 t

11 t

Standardavvik

1,68 t

3,66 t

Jentene og guttene bruker i gjennomsnitt nøyaktig like mange timer på lekser per uke, nemlig $6,5$ timer. For jentene stemmer også medianen godt overens med gjennomsnittet ( $6,5$ timer), noe som tyder på en jevn og symmetrisk fordeling uten spesielt avvikende verdier.

Guttenes tall forteller en annen historie. Selv om gjennomsnittet er det samme, er medianen lavere ( $6,0$ timer), og både variasjonsbredden ( $11$ mot $6$ timer) og standardavviket ( $3,66$ mot $1,68$ timer) er mer enn dobbelt så store som hos jentene. Dette viser at arbeidsvanene blant guttene er langt mer ulike fra person til person: noen gutter bruker svært lite tid på lekser (så lite som $2$ timer), mens andre bruker svært mye ( $12$ – $13$ timer). Jentene har altså mer ensartede arbeidsvaner, mens guttegruppa er delt mellom dem som jobber lite og dem som jobber mye med lekser.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Oppgave 2-9-ITre telefonabonnement og grafsammenligning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ I

Tabellen nedenfor viser kostnader per måned ved tre ulike telefonabonnement, A, B og C.

Abonnement	Fast månedspris	Pris per minutt du ringer
A	0 kroner	1,59 kroner per minutt
B	100 kroner	De første 100 minuttene er gratis, deretter 1,19 kroner per minutt
C	250 kroner	0,49 kroner per minutt

Kalkulator

Tegn grafer som viser de månedlige kostnadene ved hvert av de tre telefonabonnementene. De tre grafene skal tegnes i samme koordinatsystem. La $x$ -aksen vise antall minutter du ringer, og $y$ -aksen kostnader per måned. Velg $x$ -verdier fra og med 0 minutter til og med 500 minutter.

Kalkulator

Hvor mye må du ringe for at det skal lønne seg å bruke hvert av de tre abonnementene A, B og C?

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$A lønner seg for 0 - 63 m i n, B for 63 - 384 m i n, C for over 384 m i n$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp uttrykk for de månedlige kostnadene til de tre abonnementene, der $x$ er antall minutter du ringer i løpet av en måned.

For abonnement $A$ er det ingen fast pris, bare en pris per minutt:

A (x) = 1,59 x

For abonnement $B$ er det 100 minutter gratis inkludert i den faste prisen på 100 kroner. Utover de 100 første minuttene koster det 1,19 kroner per minutt:

B (x) = {\begin{matrix} 100 & 0 \leq x \leq 100 \\ 100 + 1,19 (x - 100) & x > 100 \end{matrix}

For abonnement $C$ er det en fast pris på 250 kroner, i tillegg til 0,49 kroner per minutt:

C (x) = 250 + 0,49 x

Grafene til de tre funksjonene for $x$ fra 0 til 500 minutter er tegnet i samme koordinatsystem i GeoGebra:

Graf med de tre kostnadsfunksjonene A, B og C, med skjæringspunktene SAB og SBC markert

For å finne ut når det lønner seg å bruke de ulike abonnementene, må vi finne ut hvor grafene skjærer hverandre, altså hvor kostnadene er like store.

Skjæring mellom $A$ og $B$ : For $x \leq 100$ er $B (x) = 100$ , så vi løser

1,59 x = 100 \Rightarrow x = \frac{100}{1,59} \approx 62,9

Dette stemmer med skjæringspunktet $SAB = (62,9, 100)$ i grafen. For $x > 100$ er $A (x) - B (x) = 0,4 x + 19 > 0$ , altså er $A$ alltid dyrere enn $B$ når $x > 100$ , så det er ingen flere skjæringer der.

Skjæring mellom $B$ og $C$ : For $x > 100$ er $B (x) = 100 + 1,19 (x - 100) = 1,19 x - 19$ , så vi løser

1,19 x - 19 = 250 + 0,49 x \Rightarrow 0,70 x = 269 \Rightarrow x = \frac{269}{0,70} \approx 384,3

Dette stemmer med skjæringspunktet $SBC = (384,3, 438,3)$ i grafen.

Oppsummert, ved å lese av grafen (den nederste grafen til enhver tid er billigst):

For $0 \leq x < 63$ minutter er $A$ billigst.
For $63 < x < 384$ minutter er $B$ billigst.
For $x > 384$ minutter er $C$ billigst.

Det vil si at abonnement A lønner seg hvis du ringer mindre enn ca. 63 minutter i måneden, abonnement B lønner seg hvis du ringer mellom ca. 63 og 384 minutter, og abonnement C lønner seg hvis du ringer mer enn ca. 384 minutter i måneden.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-9-I for seg selv

Oppgave 2-9-IIVindmålinger gruppert etter vindtype

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ II

Vindtype	Vindhastighet i $m / s$
Svak vind	$⟨ 0, 3,4 ⟩$
Bris	$[3,4, 10,8 ⟩$
Kuling	$[10,8, 20,8 ⟩$
Storm	$[20,8, 32,6 ⟩$
Orkan	$[32,6, 50 ⟩$

Kilde: Meteorologisk institutt

Ovenfor ser du en litt forenklet vindskala.

Diagrammet nedenfor viser resultatet av vindmålinger i Stormby gjennom en måned på 30 dager. Vindstyrken er målt i meter per sekund.

Stolpediagram over vindstyrke i Stormby over 30 dager

Kalkulator

Lag en tabell der du grupperer datamaterialet fra diagrammet etter vindtype.

Kalkulator

Ta utgangspunkt i det grupperte datamaterialet og finn gjennomsnitt og median.

Fasit

Se frekvenstabell i løsningsforslaget.

$\overline{x} \approx 14,8 m / s$ , $median \approx 13,0 m / s$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av vindstyrken for alle 30 dagene fra diagrammet og sorterer hver måling inn i riktig vindtype ut fra skalaen øverst i oppgaven.

Avleste verdier (dag 1–30): $7, 14, 21, 28, 17, 4, 2, 3, 5, 11, 13, 18, 31, 39, 34, 15, 21, 3, 2, 1, 1, 4, 14, 26, 13, 7, 4, 8, 18, 29$

Vi teller opp hvor mange dager som havner i hver kategori:

Vindtype	Intervall (m/s)	Antall dager
Svak vind	⟨0, 3,4⟩	6
Bris	[3,4, 10,8⟩	7
Kuling	[10,8, 20,8⟩	9
Storm	[20,8, 32,6⟩	6
Orkan	[32,6, 50⟩	2
Sum		30

Vindtype

Intervall (m/s)

Antall dager

Svak vind

⟨0, 3,4⟩

6

Bris

[3,4, 10,8⟩

7

Kuling

[10,8, 20,8⟩

9

Storm

[20,8, 32,6⟩

6

Orkan

[32,6, 50⟩

2

Sum

30

Vi tar utgangspunkt i frekvenstabellen fra a). Siden datamaterialet nå er gruppert, kjenner vi ikke lenger de eksakte enkeltverdiene, så vi bruker midtpunktet i hvert intervall som representant for alle verdiene i intervallet.

Vindtype	Midtpunkt (m/s)	Antall dager	Midtpunkt · antall
Svak vind	1,7	6	10,2
Bris	7,1	7	49,7
Kuling	15,8	9	142,2
Storm	26,7	6	160,2
Orkan	41,3	2	82,6
Sum		30	445,0

Gjennomsnitt:

\overline{x} = \frac{445,0}{30} \approx 14,83 \approx 14,8 m / s

Median: Med $n = 30$ verdier ligger medianen mellom 15. og 16. verdi. Den kumulative frekvensen etter «Bris» er $6 + 7 = 13$ , og etter «Kuling» er $13 + 9 = 22$ . Både 15. og 16. verdi ligger dermed i klassen «Kuling» ( $[10,8, 20,8 ⟩$ ), som blir medianklassen.

Vi bruker interpolasjonsformelen for gruppert median:

median = G + \frac{\frac{n}{2} - F}{f} \cdot b

der $G = 10,8$ er nedre grense i medianklassen, $F = 13$ er kumulativ frekvens før medianklassen, $f = 9$ er frekvensen i medianklassen, og $b = 20,8 - 10,8 = 10$ er klassebredden.

median = 10,8 + \frac{15 - 13}{9} \cdot 10 = 10,8 + 2,2 \approx 13,0 m / s

Svar: $\overline{x} \approx 14,8 m / s$ , $median \approx 13,0 m / s$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Diagram, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 2-9-II for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1Statistikk, potenser, standardform, sannsynlighet og funksjoner

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Konvertering mellom tallsystemer med grunntall 2, 3 og 10

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Klassefest og høyrentekonto med matematiske modeller

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 40 poeng

Oppgave 2-4Fluer i kasse modellert med kubisk funksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Aksjeverdier med månedlig vekst og fall over ett år

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Ballbinge i idrettslag og betinget sannsynlighet

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Treets høyde og eksponentiell regresjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-8Leksetimer for jenter og gutter sammenlignet med sentralmål

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-9-ITre telefonabonnement og grafsammenligning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-9-IIVindmålinger gruppert etter vindtype

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Statistikk, potenser, standardform, sannsynlighet og funksjoner

Oppgave 1-2·Konvertering mellom tallsystemer med grunntall 2, 3 og 10

Oppgave 1-3·Klassefest og høyrentekonto med matematiske modeller

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 40 poeng

Oppgave 2-4·Fluer i kasse modellert med kubisk funksjon

Oppgave 2-5·Aksjeverdier med månedlig vekst og fall over ett år

Oppgave 2-6·Ballbinge i idrettslag og betinget sannsynlighet

Oppgave 2-7·Treets høyde og eksponentiell regresjon

Oppgave 2-8·Leksetimer for jenter og gutter sammenlignet med sentralmål

Oppgave 2-9-I·Tre telefonabonnement og grafsammenligning

Oppgave 2-9-II·Vindmålinger gruppert etter vindtype

Temaer

Oppgave 1-1Statistikk, potenser, standardform, sannsynlighet og funksjoner

Oppgave 1-2Konvertering mellom tallsystemer med grunntall 2, 3 og 10

Oppgave 1-3Klassefest og høyrentekonto med matematiske modeller

Oppgave 2-4Fluer i kasse modellert med kubisk funksjon

Oppgave 2-5Aksjeverdier med månedlig vekst og fall over ett år

Oppgave 2-6Ballbinge i idrettslag og betinget sannsynlighet

Oppgave 2-7Treets høyde og eksponentiell regresjon

Oppgave 2-8Leksetimer for jenter og gutter sammenlignet med sentralmål

Oppgave 2-9-ITre telefonabonnement og grafsammenligning

Oppgave 2-9-IIVindmålinger gruppert etter vindtype