2P-Y Vår 2009

1) Vi leser av grafen. Indeksen er høyest like før/rundt $1.$ september, med en verdi på omtrent $425$. Indeksen er lavest helt på slutten av perioden (etter $1.$ oktober), med en verdi på omtrent $250$.

2) Vi leser av grafen at indeksen var omtrent $425$ den $1.$ september og omtrent $300$ den $1.$ oktober. Det er $30$ dager mellom disse datoene.

Indeksen sank altså i gjennomsnitt med omtrent $\underline{\underline{4\text{ poeng per dag}}}$ i denne perioden.

1) Vi bruker potensreglene $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ og ${\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}$.

2) Vi ganger tallfaktorene og legger sammen potensene av $10$.

Dette er ikke på standardform ($\mathrm{16,8}$ er ikke mellom $1$ og $10$), så vi justerer:

Vi deler gjentatte ganger på $2$ og noterer resten:

Leser vi restene nedenfra og opp, får vi

Fordi renten på $\mathrm{1,2}\%$ legges til hver måned, må vi ta hensyn til rentes rente-effekten gjennom året. Den korrekte vekstfaktoren per måned er $\mathrm{1,012}$ (ikke $\mathrm{1,2}$), og siden det er $12$ måneder i et år, må vi opphøye denne i $12.$

Derfor er Alternativ 3) riktig metode:

Vekstfaktoren for året er altså $\mathrm{1,153}$, som tilsvarer en årsrente på

Alternativ 1 er feil fordi det bare ganger renten med $12$ og dermed ser bort fra rentes rente. Alternativ 2 er feil fordi det bruker feil vekstfaktor ($\mathrm{1,2}$, som ville tilsvart $20\%$ rente per måned, ikke $\mathrm{1,2}\%$).

1) Hvert ark er $\mathrm{0,10}\mathrm{mm}$ tykt, og boken har $250$ ark. Da er tykkelsen på én bok

Med $30$ millioner eksemplarer blir den samlede lengden på bokhyllen omtrent

2) Vi bruker samme tykkelse per bok, $\mathrm{2,5}\mathrm{cm}$, og finner hvor mange bøker som går på $1700\mathrm{km}$.

Man måtte altså hatt omtrent $\underline{\underline{68\text{ millioner eksemplarer}}}$ for å fylle en bokhylle på $1700\mathrm{km}$.

Vi vet at totalen i frekvenskolonnen skal være $175.$ De kjente frekvensene er $21,70,49$ og $21.$ Da er

Vi sjekker: relativ frekvens skal da være ${\displaystyle \frac{14}{175}}=\mathrm{0,08,}$ som stemmer med tabellen.

Relativ frekvens $2)$ finner vi ved å dele frekvensen på totalen:

Vi sjekker: produktet $m\cdot s=60\cdot \mathrm{0,40}=\mathrm{24,0,}$ som stemmer med tabellen.

Siden dataene er delt inn i klasser (pengeintervaller), passer det å framstille dem i et histogram (eller stolpediagram) med pengeintervallene langs $x$-aksen og frekvens (antall elever) langs $y$-aksen. Søylene bygges direkte på frekvensene i tabellen:

Gjennomsnittet er allerede regnet ut i tabellen som summen av produktkolonnen $m\cdot s$:

I gjennomsnitt brukte hver av de $175$ elevene altså omtrent $\mathrm{85,6}\mathrm{kr}.$

Vi legger sammen frekvensene i de to laveste klassene (fra og med $0$ til $80\mathrm{kr}$):

Siden $91$ er mer enn halvparten av $175$ elever ($\mathrm{87,5}$), betyr det at over halvparten av elevene brukte mindre enn $80\mathrm{kr}.$ Medianen (den midterste verdien) må derfor ligge i intervallet $⟨40,80⟩$, altså under $80\mathrm{kr}$.

Siden gjennomsnittet er $\mathrm{85,6}\mathrm{kr}$ (høyere enn $80\mathrm{kr}$), ser Kristian direkte fra den kumulative frekvensen at medianen må være lavere enn gjennomsnittet. Dette skjer fordi noen få elever har brukt mye penger (opptil $200\mathrm{kr}$), og disse høye verdiene trekker gjennomsnittet opp uten å påvirke medianen på samme måte.

Vi har to punkter fra tabellen: $(x_1,y_1)=(25,250)$ og $(x_2,y_2)=(50,375)$. Stigningstallet $a$ finner vi ved

Vi setter inn $a=5$ og punktet $(25,250)$ i uttrykket $y=ax+b$ for å finne $b$:

Sammenhengen kan altså skrives $y=5x+125$.

Stigningstallet $a=5$ forteller hvor mye prisen øker for hver ekstra meter slange, altså at hver meter slange koster $5$ kroner.

Konstantleddet $b=125$ er prisen når $x=0$, altså grunnprisen for selve vogna uten hageslange. Dette er en fast pris på $125$ kroner som kommer i tillegg til prisen på slangen.

Ved den første fotgjengerovergangen gjentar lyset seg i en syklus på $20+30=50$ sekunder, der lyset er rødt i $20$ av disse sekundene. Siden syklusen gjentas jevnt over tid, er andelen av tiden lyset er rødt lik andelen av syklusen som er rødt:

Ved den andre fotgjengerovergangen er periodene med rødt og grønt lys like lange, så lyset er rødt halve tiden:

Lysene ved de to overgangene virker uavhengig av hverandre. For uavhengige hendelser multipliserer vi sannsynlighetene for å finne sannsynligheten for at begge inntreffer:

At Tone får rødt lys på nøyaktig én av overgangene, betyr enten (rødt ved 1. og grønt ved 2.) eller (grønt ved 1. og rødt ved 2.). Disse to hendelsene utelukker hverandre, så vi kan legge sammen sannsynlighetene:

Vi tegner grafene til $f$ og $g$ i GeoGebra for $x\in [0,8]$ og markerer skjæringspunktet mellom dem.

År 2002 svarer til $x=2$. Vi setter $x=2$ inn i begge funksjonsuttrykkene.

I år 2002 ble det solgt om lag $\underline{\underline{1507\text{ millioner liter diesel}}}$ og $\underline{\underline{1708\text{ millioner liter bensin}}}$.

Vi skal finne $x$ slik at $f(x)=g(x)$, altså skjæringspunktet mellom de to grafene. Fra GeoGebra (se figur i a)) ser vi at grafene skjærer hverandre i

Siden $x$ er antall år etter 2000, svarer $x\approx \mathrm{3,93}$ til mot slutten av 2003. Det ble altså solgt like mye diesel som bensin, om lag $\underline{\underline{1673\text{ millioner liter av hver}}}$, $\underline{\underline{\text{mot slutten av 2003}}}$.

Vi skal finne $x$ slik at $f(x)+g(x)=3500$. Vi legger inn funksjonen $s(x)=f(x)+g(x)$ i GeoGebra og løser likningen $s(x)=3500$ numerisk (eller finner skjæringen mellom $s$ og linjen $y=3500$), noe som gir

Siden $x\approx \mathrm{5,72}$ er antall år etter 2000, svarer dette til høsten 2005. Salget av diesel og bensin til sammen $\underline{\underline{\text{passerte }3500\text{ millioner liter per år høsten 2005}}}$.

Begge funksjonene er tredjegradsfunksjoner (kubikkfunksjoner). Leddet med høyest grad bestemmer hvordan grafen oppfører seg når $x$ blir stor:

• I $f$ er koeffisienten foran $x^3$ positiv ($\mathrm{0,54}$). Det betyr at $f(x)\to \infty$ når $x\to \infty$ — modellen sier at dieselsalget vil vokse stadig raskere og uten grense.
• I $g$ er koeffisienten foran $x^3$ negativ ($-\mathrm{0,20}$). Det betyr at $g(x)\to -\infty$ når $x\to \infty$ — modellen sier at bensinsalget etter hvert vil bli negativt, noe som er fysisk umulig. Regner vi videre, gir modellen $g(x)=0$ allerede ved $x\approx \mathrm{15,4}$, altså rundt år 2015.

Dette viser at modellene ikke kan være gyldige langt utenfor det intervallet de er tilpasset ($x\in [0,8]$, altså årene 2000–2007). Kubikkfunksjoner er tilpasset til å beskrive utviklingen i akkurat denne perioden, men har ingen naturlig grense og vil før eller siden gi urealistiske verdier (uendelig vekst for diesel, negativt salg for bensin) dersom de brukes til å ekstrapolere langt fram i tid. I tillegg vil faktorer som drivstoffpriser, avgifter, teknologiutvikling (for eksempel elbiler) og miljøpolitikk endre salgsutviklingen på måter modellene ikke tar hensyn til. Det er derfor $\underline{\underline{\text{ikke realistisk}}}$ å bruke disse modellene til å forutsi salget mange år fram i tid — de bør kun brukes innenfor eller like i nærheten av det opprinnelige intervallet $[0,8]$.

Rad 1 har 10 plasser, og antallet øker med 2 for hver rad bakover. Antall plasser i rad $n$ er derfor gitt ved den aritmetiske følgen

Rad 6 har dermed

Rad 10 har

Formelen $8+2n$ stemmer fordi rad 1 er startverdien ($10$ plasser) og hver nye rad legger til $2$ plasser. Med $n=1$ gir formelen $8+2\cdot 1=10$, som er riktig, og for hver økning i $n$ øker uttrykket med $2$, akkurat som antall plasser gjør.

Svar: $\underline{\underline{20\text{ plasser på rad }6,28\text{ plasser på rad }10}}$

Bakerste rad har 48 plasser. Vi setter $8+2n=48$ og løser for $n$.

Det er altså $\underline{\underline{20\text{ stolrader}}}$ i salen.

Billettprisen på rad $n$ er $(370-10n)$ kroner, og antall plasser på rad $n$ er $(8+2n)$. Total pris for alle billettene på rad 8 er antall plasser ganger pris per billett:

Generelt, for rad $n$, er total billettpris antall plasser ganger pris per plass, altså

fordi hver av de $(8+2n)$ setene på rad $n$ koster $(370-10n)$ kroner, og total pris er da produktet av antall seter og pris per sete.

Svar: $\underline{\underline{6960\mathrm{kr}}}$

Total billettpris på rad $n$ er

Dette er en andregradsfunksjon med negativ ledende koeffisient, så grafen er en nedovervendt parabel med toppunkt der inntekten er størst. Toppunktets $n$-verdi finner vi med

Skjermbildet under viser grafen til $I(n)$ på GeoGebra, med toppunktet ved $n=\mathrm{16,5}$ (der $I\approx 8405$ kr) markert, samt punktene for rad 16 og rad 17.

Siden $n$ må være et helt tall (en rad kan ikke være «rad 16,5»), sjekker vi de to nærmeste hele radene, $n=16$ og $n=17$:

Begge radene gir nøyaktig samme totale billettpris, siden de ligger like langt fra toppunktet $n=\mathrm{16,5}$. Dette er den høyeste inntekten som er mulig for en enkelt rad.

Svar: $\underline{\underline{\text{Rad 16 og rad 17 gir begge størst inntekt, }8400\mathrm{kr}}}$

Opplysningene i teksten gir tre punkter $(x,O(x))$:

• Toppunkt: $(55,20250)$
• Overskudd 18 000 kr ved 40 og 70 enheter: $(40,18000)$ og $(70,18000)$
• Overskudd 0 kr ved 10 enheter: $(10,0)$

Vi legger inn punktene $(10,0)$, $(40,18000)$, $(55,20250)$ og $(70,18000)$ i GeoGebra og gjør andregradsregresjon. Det gir modellen

Vi kan kontrollere modellen mot toppunktet:

som stemmer med opplysningen om at overskuddet er $20250\mathrm{kr}$ ved 55 enheter. Modellen passer altså godt med de gitte opplysningene.

Vi skal finne $x$ slik at $O(x)=14000$:

Løser vi denne andregradslikningen (for eksempel med GeoGebra eller abc-formelen), får vi

Dette ser vi også igjen på grafen, der kurven $O(x)$ krysser den vannrette linja $y=14000$ nettopp ved $x=30$ og $x=80$. Bedriften må altså produsere og selge enten $30$ eller $80$ enheter per dag for å oppnå et overskudd på $14000\mathrm{kr}$.

Bedriften går med overskudd så lenge $O(x)>0$. Vi finner nullpunktene til $O(x)$:

Dette gir $x=10$ eller $x=100$ (se de grønne punktene på grafen). Overskuddet er positivt for $10<x<100$, altså kan bedriften maksimalt produsere og selge $\underline{\underline{100\text{ enheter}}}$ per dag og fortsatt gå i null eller med overskudd (strengt tatt er overskuddet null nøyaktig ved $x=100$, så med krav om et overskudd større enn null blir svaret 99 enheter — i praksis regnes 100 som svaret på oppgaven).

Tiltak 1

Med tiltak 1 blir modellen $O(x)=-10x^2+1100x+bx-10000$. Vi krever at bedriften ikke taper penger ved $x=200$, altså $O(200)=0$:

Prisen må altså settes opp med $950\mathrm{kr}$ per enhet.

Tiltak 2

Med tiltak 2 blir modellen $O(x)=-10x^2+1100x-10000+c$. Vi krever igjen $O(200)=0$:

Kommunen må altså gi et tilskudd på $190000\mathrm{kr}$ per dag for at bedriften ikke skal tape penger ved 200 enheter.