2P-Y Vår 2010

Funksjonen $f(x)=-2x+3$ er en lineær funksjon med stigningstall $-2$ og konstantledd $3.$ Grafen er en rett linje som skjærer $y$-aksen i punktet $(0,3)$ og synker $2$ enheter for hver enhet vi går til høyre.

Nullpunktet finner vi ved å sette $f(x)=0$:

Grafen skjærer altså $x$-aksen i punktet $(\mathrm{1,5},0)$.

Vi regner ut leddene hver for seg og følger regnerekkefølgen (parentes, potens, gange/dele, pluss/minus).

Dette er ikke på standardform siden $\mathrm{0,9}<1.$ Vi justerer:

Vi deler gjentatte ganger på $2$ og noterer resten:

Leser vi restene nedenfra og opp:

1) Datamaterialet er $1,6,5,4,3,2,5,5,2,4,2,2,6,4,3,3,5,4,4,5$ ($n=20$ verdier). Vi teller opp hvor mange ganger hver verdi forekommer:

2) Siden $n=20$ er et partall, er medianen gjennomsnittet av den $10.$ og $11.$ verdien i den sorterte rekken. Fra den kumulative frekvensen ser vi at verdi $3$ dekker opp til og med den $8.$ verdien, og verdi $4$ dekker fra den $9.$ til den $13.$ verdien. Både den $10.$ og den $11.$ verdien er altså $\mathrm{4,}$ så

Gjennomsnittet finner vi ved å summere verdi $\times$ frekvens og dele på $n$:

Lykkehjulet er delt inn i $8$ like store felt (hvert på $45°$), fordelt slik: $3$ felt blått, $2$ felt grønt, og $1$ felt hver av rødt, gult og magentarosa. Det gir sannsynlighetene

1) Sannsynligheten for blått eller grønt (disjunkte utfall):

2) Ved to uavhengige snurr kan «én gang gult, én gang grønt» skje på to måter: (gult, så grønt) eller (grønt, så gult).

1) Vi leser av grafen ved $t=2$. Kurven flater gradvis ut (tanken er smalest nederst og videst øverst, så høyden stiger raskere i starten). Ved $t=2$ leser vi av

2) Punktet $(\mathrm{5,8},\mathrm{6,0})$ er markert direkte på grafen. Det betyr at høyden er $\mathrm{6,0}\mathrm{dm}$ etter $\mathrm{5,8}$ minutter. Vi gjør om desimaldelen til sekunder:

Det tar altså $\underline{\underline{5\text{ minutter og }48\text{ sekunder}}}$ før høyden til vannoverflaten er $\mathrm{6,0}\mathrm{dm}.$

Boblene beskriver tre ulike typer sammenhenger:

Per har et mobilabonnement med en fast kostnad per måned pluss en variabel kostnad per ringeminutt. Dette er en lineær sammenheng hvor den totale kostnaden $y$ avhenger av antall ringeminutter $x.$ Grafen er en stigende rett linje som ikke går gjennom origo — den skjærer $y$-aksen over $0$ (i den faste kostnaden), og stiger jevnt med en fast pris per minutt.

Kari kjøper epler, og jo flere kilo hun kjøper, jo mer betaler hun — prisen er proporsjonal med antall kilo. Grafen er en rett linje gjennom origo: kjøper hun $0$ kg, betaler hun $0$ kr, og prisen stiger jevnt med en fast kilopris.

Grete og klassekameratene skal spleise på en gave. Jo flere som er med og betaler, jo billigere blir det per person — kostnaden per person er omvendt proporsjonal med antall personer som spleiser. Grafen er en hyperbel: den synker raskt i starten (få personer gir høy kostnad per person) og flater gradvis ut mot $0$ når antallet personer blir stort, uten noen gang å nå $0$ eller gå gjennom origo.

Per: Grafen har et punkt med $x=0$ (ingen ringeminutter brukt). Da er $y$-verdien den faste abonnementskostnaden — altså det Per må betale i måneden selv om han ikke ringer noe som helst.

Kari: Grafen har også et punkt med $x=0$ (kjøper $0$ kg epler). Da er $y$-verdien $0$ kr, noe som gir god praktisk mening: kjøper hun ingenting, betaler hun ingenting.

Grete: Her finnes det ikke noe meningsfullt punkt med $x=0.$ Grafen (hyperbelen) har en loddrett asymptote ved $x=0$ og er ikke definert der. Praktisk sett gir dette også mening: uttrykket “kostnad per person når $0$ personer spleiser” gir ingen mening — man kan ikke dele en gavepris på $0$ personer.

Sammenhengen mellom antall laks, totalvekt og gjennomsnittsvekt er

Felt 1) — totalvekten i 2002:

I 2002 er antallet $3142$ laks og gjennomsnittsvekten $\mathrm{5,51}\mathrm{kg}$. Da blir totalvekten

Felt 2) — gjennomsnittsvekten i 2004:

I 2004 er totalvekten $17979\mathrm{kg}$ og antallet $2928$ laks. Da blir gjennomsnittsvekten

Antall laks fanget per år egner seg godt til et søylediagram, siden dataene er knyttet til hvert enkelt år (kategorisk x-akse).

I regneark markeres kolonnene «År» og «Antall laks», og et søylediagram settes inn via Sett inn → Diagram. Diagrammet under er laget på tilsvarende måte:

Vi bruker totalvekten for hvert av de ti årene, med den utregnede verdien $17312\mathrm{kg}$ for 2002:

Med kalkulator/regneark (ett-variabel statistikk) finner vi gjennomsnittet

og standardavviket. Vi bruker her empirisk (utvalgs-) standardavvik, med $n-1$ i nevneren (samme som STDAV/stdev.s i regneark og GeoGebras $s_x$):

I gjennomsnitt ble det fanget omtrent $22566\mathrm{kg}$ laks per år i Gaula i perioden, med et standardavvik på omtrent $4824\mathrm{kg}$ — det vil si at totalvekten fra år til år typisk avvek med rundt $4800\mathrm{kg}$ fra gjennomsnittet.

Bilens verdi avtar med $14\%$ hvert år, så vekstfaktoren per år er

Verdien i dag er $240000$ kroner. Om $3$ år har vekstfaktoren blitt brukt $3$ ganger, så vi ganger med $\mathrm{0,86}$ tre ganger (det vil si ${\mathrm{0,86}}^3$):

Bilen vil altså være verdt omtrent $\underline{\underline{152653}}$ kroner om $3$ år.

For å finne verdien for $4$ år siden, går vi motsatt vei i tid. Siden vi ganger med $\mathrm{0,86}$ for hvert år som går fremover, må vi dele på $\mathrm{0,86}$ for hvert år vi går bakover. Fire år tilbake i tid deler vi altså på ${\mathrm{0,86}}^4$:

Bilen var altså verdt omtrent $\underline{\underline{438750}}$ kroner for $4$ år siden, da den var ny.

Arne holder en jevn fart på $18\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$. Vi må først gjøre om $45$ minutter til timer.

Strekningen finner vi ved å multiplisere farten med tiden.

Etter $45$ minutter har Arne syklet $\underline{\underline{\mathrm{13,5}\mathrm{km}}}$.

Frode sin avstand fra Trondheim sentrum er gitt ved den lineære funksjonen

Dette er på formen $y=ax+b$, der $b$ er startverdien (avstanden når $x=0$) og $a$ er stigningstallet (farten, siden $y$ måles i km og $x$ i timer).

Konstantleddet er $b=5$. Det betyr at Frode starter $5\mathrm{km}$ fra Trondheim sentrum, altså nærmere Melhus enn Arne.

Stigningstallet er $a=12$. Det betyr at Frode sykler med en fart på $12\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$.

Frode starter altså $\underline{\underline{5\mathrm{km}}}$ fra Trondheim sentrum, og farten hans er $\underline{\underline{12\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}}}$.

Vi finner tiden hver av dem bruker på å nå Melhus, som ligger $20\mathrm{km}$ fra Trondheim sentrum.

Arne: Arne sykler med jevn fart $18\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$ fra sentrum, så avstanden hans er $s=18x$. Vi setter $s=20$ og løser for $x$.

Vi gjør om til minutter: $\mathrm{0,111}\cdot 60\text{min}\approx \mathrm{6,7}\text{min}$. Arne bruker altså ca. $1\text{t}\mathrm{6,7}\text{min}\approx 1\text{t}7\text{min}$.

Frode: Frode sin avstand er $y=12x+5$. Vi setter $y=20$ og løser for $x$.

Det tilsvarer $1\text{t}15\text{min}$.

Sammenligning: Arne bruker ca. $1\text{t}7\text{min}$, mens Frode bruker $1\text{t}15\text{min}$. Arne er dermed ca. $8$ minutter raskere.

$\underline{\underline{\text{Arne kommer først til Melhus.}}}$

Vi setter $x$ lik antall år etter 1960, slik at 1960 gir $x=0$, 1970 gir $x=10$, og så videre. Da får vi punktene

Punktene plottes i et koordinatsystem med $x$ på den vannrette aksen og ${\text{CO}}_2$-mengden på den loddrette aksen.

Vi legger punktene inn i GeoGebra og bruker lineær regresjon. Dette gir den lineære funksjonen

I _resources/2p-y-v10-2-6-regresjon.png vises punktene (rødt) sammen med regresjonslinjen $f$ (grønt).

Stigningstallet forteller at ${\text{CO}}_2$-mengden ifølge modellen øker med omtrent $\mathrm{3,0}$ gigatonn karbon per år.

Året 2050 tilsvarer $x=2050-1960=90$. Vi setter $x=90$ inn i funksjonsuttrykket fra b):

Ifølge modellen vil det være omtrent $939$ gigatonn karbon i atmosfæren i 2050.

Totalt antall personer i aldersgruppen 30–39 år finner vi nederst til høyre i tabellen, der raden «Totalt» og kolonnen «Totalt» møtes.

Det bor $\underline{\underline{2468}}$ personer i denne aldersgruppen i kommunen.

Vi skal finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person bare har fullført grunnskole. Fra tabellen ser vi at $419$ personer har grunnskole som høyeste utdanning, av totalt $2468$ personer.

Nå ser vi bare på menn, siden vi har møtt en tilfeldig valgt mann. Det er totalt $1400$ menn i aldersgruppen. Av disse har $493$ menn universitets- eller høyskoleutdanning, så antall menn som ikke har slik utdanning er

Sannsynligheten for at mannen ikke har fullført universitets- eller høyskoleutdanning blir da

Vi trekker én kvinne og én mann uavhengig av hverandre. Sannsynligheten for at begge hendelser inntreffer samtidig finner vi ved å multiplisere enkeltsannsynlighetene.

Sannsynligheten for at kvinnen bare har grunnskole:

Sannsynligheten for at mannen bare har grunnskole:

Siden de to valgene er uavhengige av hverandre, multipliserer vi sannsynlighetene:

Grafen til $O$ er en parabel som vender nedover (fordi koeffisienten foran $x^2$ er negativ). Toppunktet på grafen viser derfor det største overskuddet.

Fra grafen leser vi av at toppunktet er

Bedriften må altså produsere og selge 55 enheter per dag for at overskuddet skal bli størst mulig. Det maksimale overskuddet er da $20250\mathrm{kr}$ per dag.

Svar: Bedriften bør produsere og selge $\underline{\underline{55\text{ enheter}}}$ per dag. Da blir overskuddet $\underline{\underline{20250\mathrm{kr}}}$, som er det høyest mulige.

Bedriften går ikke med underskudd så lenge $O(x)\ge 0$, altså mellom nullpunktene til grafen (der grafen ligger på eller over $x$-aksen).

Fra grafen leser vi av at nullpunktene er

Mellom disse verdiene er grafen over $x$-aksen, altså er overskuddet positivt eller null.

Svar: Bedriften må produsere og selge mellom $\underline{\underline{10\text{ og }100\text{ enheter}}}$ per dag for å ikke gå med underskudd.

Når bedriften får en ekstra kostnad på $100\mathrm{kr}$ per produserte enhet, reduseres overskuddet med $100x$ kroner. Den nye overskuddsfunksjonen blir

Toppunktet til $O_2$ finner vi med formelen $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$, med $a=-10$ og $b=1000$:

Overskuddet ved $x=50$ blir

Dette stemmer med toppunktet $(50,15000)$ på grafen (rød kurve).

Svar: Etter kostnadsøkningen må bedriften produsere og selge $\underline{\underline{50\text{ enheter}}}$ per dag for at overskuddet skal bli størst mulig. Det maksimale overskuddet er da $15000\mathrm{kr}$ per dag – altså $5250\mathrm{kr}$ lavere enn før kostnadsøkningen.

Vi systematiserer opplysningene i en tabell. Merk at «bare briller» og «bare kontaktlinser» ikke overlapper med hverandre eller med gruppen som bruker begge deler, så vi kan sette dem rett inn. Den siste kategorien, «bruker verken briller eller linser», må vi regne ut ved å trekke de tre andre prosentandelene fra $100\%$.

Tabellen viser fire ikke-overlappende kategorier som til sammen dekker alle personene i aldersgruppen (tilsvarer et Venn-diagram med to sirkler – «briller» og «kontaktlinser» – som overlapper i $\mathrm{9,7}\%$).

En person bruker briller dersom vedkommende er i kategorien «bare briller» eller «både briller og kontaktlinser». Andelen som bruker briller er derfor

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person ikke bruker briller finner vi ved å trekke fra $100\%$.

Dette stemmer også med å legge sammen «bare kontaktlinser» og «verken eller»: $\mathrm{7,2}\%+\mathrm{68,8}\%=\mathrm{76,0}\%$.

Sannsynligheten for at personen ikke bruker briller er $\underline{\underline{\mathrm{76,0}\%}}$.

Vi vet at personen bruker briller, og skal finne sannsynligheten for at hen i tillegg bruker kontaktlinser. Dette er en betinget sannsynlighet: vi ser bare på gruppen som bruker briller ($\mathrm{24,0}\%$ av alle), og finner andelen av denne gruppen som også bruker kontaktlinser ($\mathrm{9,7}\%$ av alle).

Sannsynligheten for at personen også bruker kontaktlinser er $\underline{\underline{\mathrm{40,4}\%}}$.