2P-Y Eksempeloppgave 2007

Oppgave 1-1Renter, potensregning og sentralmål

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grete setter $10 000 k r$ i banken. Hun får $5 %$ rente (per år). Grete lar pengene stå urørt i banken i $5 år$ .

Grete vil prøve å regne ut hvor mange penger hun har i banken etter $5 år$ . Hun er litt usikker på utregningen og har satt opp tre alternativer.

I) 10000 + 5 \cdot 500 II) 10000 \cdot {1,05}^{5} III) 10000 \cdot {(1 + \frac{5}{100})}^{5}

Hvor mange penger har Grete i banken etter ett år?

Hvilket eller hvilke av alternativene I, II og III mener du hun kan bruke for å beregne beløpet etter 5 år? Begrunn valget ditt.

Regn ut: $\frac{4^{3} \cdot 4^{- 5}}{4^{2}}$ .

Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig: $\frac{{(2 \cdot 10^{3})}^{2} \cdot (4,5 \cdot 10^{4})}{6 \cdot 10^{8}}$ .

Stolpediagram over poeng på matematikkprøve 24.03 for klasse A og B

Ovenfor vises resultatene på en matematikkprøve for to matematikklasser på en skole. Læreren for klasse B påstår at hans klasse hadde det beste resultatet, fordi gjennomsnittet for klasse A var $62,0$ mens gjennomsnittet for klasse B var $64,0$ (i klasse B var det en elev som fikk 0 poeng).

Læreren for klasse A er uenig. Han mener at klasse A var best.

Hvordan vil du forklare, ut fra det du har lært om sentralmål, hvorfor klasse A har gjort det bedre enn B?

Dioksin er et svært giftig stoff. Grensen for hvor stort inntak kroppen kan tåle, er satt til $3,5 \cdot 10^{- 11}$ gram per kg kroppsvekt før stoffet har giftvirkninger. Anta at en person som veier $50 k g$ , har et inntak på $1,5 \cdot 10^{- 9}$ gram dioksin. Tåler kroppen dette?

Fasit

$10 500 kr$ , alternativ II og III

$\frac{1}{256}$

$300$

Median viser at klasse A gjorde det bedre enn gjennomsnittet tyder på

$Ja, kroppen tåler inntaket$

LøsningsforslagKI-generert

1) Etter ett år har Grete fått $5 %$ rente av $10 000 kr$ :

10 000 \cdot 1,05 = 10 500 kr

Grete har $10 500 kr$ i banken etter ett år.

2) Alternativ I er feil, fordi det bare legger til den samme rentesummen ( $5 %$ av det opprinnelige beløpet) hvert år. Det gir ikke rentesrente, altså at neste års rente også regnes av tidligere års rente.

Alternativ II og III er riktige, og de er faktisk like:

1 + \frac{5}{100} = 1,05

Begge uttrykk bruker vekstfaktoren $1,05$ opphøyd i $5$ , som gir riktig rentesrente-beregning. $Grete kan bruke alternativ II eller III.$

Vi bruker potensreglene $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ og $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ :

\frac{4^{3} \cdot 4^{- 5}}{4^{2}} = \frac{4^{3 + (- 5)}}{4^{2}} = \frac{4^{- 2}}{4^{2}} = 4^{- 2 - 2} = 4^{- 4} = \frac{1}{4^{4}} = \frac{1}{256}

Vi regner ut telleren og nevneren hver for seg:

{(2 \cdot 10^{3})}^{2} = 2^{2} \cdot 10^{6} = 4 \cdot 10^{6}

4 \cdot 10^{6} \cdot 4,5 \cdot 10^{4} = 18 \cdot 10^{10} = 1,8 \cdot 10^{11}

Deretter deler vi på nevneren:

\frac{1,8 \cdot 10^{11}}{6 \cdot 10^{8}} = 0,3 \cdot 10^{3} = 300

Vi leser av antall elever på hver poengsum for klasse A og klasse B fra stolpediagrammet:

Poeng	0	10	20	40	50	60	70	80	90	100
Klasse A	0	3	2	0	4	4	6	7	3	1
Klasse B	1	0	0	5	3	8	3	2	8	0

Begge klassene har $30$ elever. Vi finner medianen ved å se på den $15.$ og $16.$ eleven når resultatene sorteres i stigende rekkefølge.

For klasse A: kumulativ sum er $3, 5, 5, 9, 13, 19, 26, 29, 30$ . Den $15.$ og $16.$ eleven ligger begge i gruppen med $70$ poeng, så medianen for klasse A er $70$ .

For klasse B: kumulativ sum er $1, 1, 1, 6, 9, 17, 20, 22, 30$ . Den $15.$ og $16.$ eleven ligger begge i gruppen med $60$ poeng, så medianen for klasse B er $60$ .

Gjennomsnittet er følsomt for ekstreme verdier (avvikere), mens medianen ikke er det. I klasse B trekker den ene eleven med $0$ poeng gjennomsnittet ned, mens flere elever med svært høy poengsum ( $90$ poeng) trekker gjennomsnittet opp igjen — dette gir et gjennomsnitt på $64,0$ som ikke nødvendigvis er representativt for en «typisk» elev i klassen.

Medianen viser derimot at over halvparten av elevene i klasse A fikk $70$ poeng eller mer, mens over halvparten av elevene i klasse B fikk $60$ poeng eller mindre. Dette betyr at den typiske eleven i klasse A faktisk gjorde det bedre enn den typiske eleven i klasse B, selv om gjennomsnittet i klasse B var høyest. $Medianen viser at klasse A gjorde det bedre enn klasse B, selv om B har høyest gjennomsnitt.$

Vi finner tålegrensen for en person på $50 kg$ :

3,5 \cdot 10^{- 11} \cdot 50 = 175 \cdot 10^{- 11} = 1,75 \cdot 10^{- 9} gram

Personens faktiske inntak er $1,5 \cdot 10^{- 9} gram$ , som er mindre enn tålegrensen $1,75 \cdot 10^{- 9} gram$ .

$Ja, kroppen tåler dette inntaket, siden 1,5 \cdot 10^{- 9} < 1,75 \cdot 10^{- 9} .$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Geometrisk vekst, Potensregning, Standardform, Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Titallssystemet, totallssystemet og sekstentallssystemet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi bruker titallssystemet. Forklar med egne ord hva det betyr. Datamaskinene bruker totallssystemet. Forklar hva dette betyr.

Gjør om $11011_{to}$ til et tall i titallssystemet. Gjør om $71$ i titallssystemet til et tall i totallssystemet.

Med totallssystemet blir tallene veldig lange. Derfor er flere matematikere ekstra glade i sekstentallssystemet. Det inneholder våre siffer fra titallssystemet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. De betyr da det samme som i titallssystemet. I tillegg har sekstentallssystemet tallsymbolene

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15

Tallet 16 i titallssystemet skrives i sekstentallssystemet som $10_{HEX}$ .

Tallet 1012 i titallssystemet skrives i sekstentallssystemet som $3 {F4}_{HEX}$ $(3 \cdot 16^{2} + 15 \cdot 16^{1} + 4 \cdot 16^{0} = 1012)$ .

Sjekk om $3 {F4}_{HEX}$ svarer til $1111110100_{2}$ .

Skriv $11 A_{HEX}$ som tall i titallssystemet.

Fasit

Forklaring av plassverdisystemer

$11011_{2} = 27$ , $71 = 1000111_{2}$

$Ja, 3 {F4}_{HEX} = 1111110100_{2}$

$282$

LøsningsforslagKI-generert

I titallssystemet har vi ti siffer, $0, 1, 2, \dots, 9$ . Plasseringen av et siffer avgjør hvilken verdi det har, ut fra potenser av $10$ . For eksempel betyr tallet $372$ at vi har $3$ hundrere ( $3 \cdot 10^{2}$ ), $7$ tiere ( $7 \cdot 10^{1}$ ) og $2$ enere ( $2 \cdot 10^{0}$ ).

I totallssystemet (binærsystemet) har vi bare to siffer, $0$ og $1$ . Her er det potenser av $2$ som bestemmer verdien til hvert siffer, ut fra hvilken plass sifferet står på. Datamaskiner bruker totallssystemet fordi elektroniske kretser lett kan representere to tilstander, for eksempel «av» og «på» (eller lav og høy spenning), som svarer til sifrene $0$ og $1$ .

Vi gjør om $11011_{2}$ til titallssystemet ved å multiplisere hvert siffer med riktig potens av $2$ og summere:

1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27

Vi gjør om $71$ til totallssystemet ved å trekke fra størst mulige potenser av $2$ :

71 = 64 + 4 + 2 + 1 = 2^{6} + 2^{2} + 2^{1} + 2^{0}

Dette gir $71 = 1000111_{2}$ .

Vi gjør om $3 {F4}_{HEX}$ til binærtall ved å skrive hvert heksadesimale siffer som $4$ binærsiffer (siden $16 = 2^{4}$ ):

3 = 0011_{2} F = 1111_{2} 4 = 0100_{2}

Satt sammen gir dette $0011 1111 0100_{2}$ , som uten ledende nuller blir $1111110100_{2}$ .

$Ja, 3 {F4}_{HEX} svarer til 1111110100_{2} .$

Vi gjør om $11 A_{HEX}$ til titallssystemet, der $A = 10$ :

1 \cdot 16^{2} + 1 \cdot 16^{1} + 10 \cdot 16^{0} = 256 + 16 + 10 = 282

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Bits og bytes, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 2-3Årslønn i Trygg forsikring

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En oversikt over årslønnen til de ansatte i bedriften Trygg forsikring viste:

Årslønn (i tusen kroner)	Hyppighet
160–199	10
200–239	12
240–279	8
280–319	2
320–359	5
360–399	0
400–439	0
440–479	0
480–519	3

Kalkulator

Lag et diagram som gir en god framstilling av tallmaterialet ovenfor.

Kalkulator

Omtrent hvor stor er gjennomsnittslønna i denne bedriften?

Kalkulator

Kommenter om du synes at gjennomsnittslønna er et godt mål for lønnsforholdene i bedriften.

Kalkulator

Foreslå et annet sentralmål som egner seg godt i dette tilfellet. Bruk tabellen til å finne verdien for dette sentralmålet.

Fasit

Se søylediagram i løsningsforslaget.

$\overline{x} \approx 258 tusen kroner$

Gjennomsnittet er ikke et godt mål — det trekkes opp av noen få høye lønninger.

$Median \approx 233 tusen kroner$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lager et søylediagram med lønnsintervallene på den vannrette aksen og antall ansatte (hyppighet) på den loddrette aksen.

Søylediagram over årslønn

For å finne gjennomsnittslønna må vi bruke midtpunktet i hvert intervall, siden vi ikke vet nøyaktig hvor mye hver enkelt ansatt tjener innenfor sitt intervall.

Årslønn (tusen kr)	Midtpunkt	Hyppighet	Midtpunkt · hyppighet
160–199	179,5	10	1795
200–239	219,5	12	2634
240–279	259,5	8	2076
280–319	299,5	2	599
320–359	339,5	5	1697,5
480–519	499,5	3	1498,5
Sum		40	10300

Antall ansatte i alt er $n = 10 + 12 + 8 + 2 + 5 + 0 + 0 + 0 + 3 = 40$ .

Gjennomsnittet finner vi ved å dele summen av (midtpunkt · hyppighet) på antall ansatte:

\overline{x} = \frac{10300}{40} = 257,5

Gjennomsnittslønna er dermed omtrent $258 tusen kroner$ , altså rundt $258 000 kr$ .

Gjennomsnittet er sterkt påvirket av de få ansatte med svært høy lønn (280–519 tusen kroner), mens de fleste ansatte (30 av 40) tjener under $280$ tusen kroner. Fordelingen er skjev, med en «hale» av høye lønninger. Dette gjør at gjennomsnittslønna på $258$ tusen kroner ligger høyere enn det de fleste faktisk tjener, og gir dermed et litt misvisende bilde av «typisk» lønn i bedriften.

Når fordelingen er skjev, egner medianen seg bedre enn gjennomsnittet som sentralmål, fordi medianen ikke lar seg påvirke av noen få ekstreme verdier.

Det er $n = 40$ ansatte, så medianen er gjennomsnittet av den $20.$ og den $21.$ verdien når lønningene sorteres i stigende rekkefølge. Vi teller opp den kumulative hyppigheten:

Årslønn (tusen kr)	Hyppighet	Kumulativ hyppighet
160–199	10	10
200–239	12	22
240–279	8	30
280–319	2	32
320–359	5	37
480–519	3	40

Både den $20.$ og den $21.$ verdien ligger i intervallet $200$ – $239$ (dette intervallet dekker den $11.$ til den $22.$ ansatte). Ved å anta jevn fordeling innenfor intervallet, kan vi anslå medianen med interpolasjon:

Median \approx 199,5 + \frac{20 - 10}{12} \cdot 40 \approx 233

Medianlønna er altså omtrent $233 tusen kroner$ , altså rundt $233 000 kr$ — et mål som gir et riktigere bilde av hva en «typisk» ansatt tjener i denne bedriften.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Diagram
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Vekstmodell for tre i skogsområde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skog med trær

Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogsområde.

Det viser seg at høyden til et tre, målt i meter, tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. I de første 8 årene etter at treet ble plantet, gjelder:

h (t) = 0,02 t^{3} - 0,25 t^{2} + 1,15 t + 0,15, der t er antall år etter utplanting.

Kalkulator

Hvor høyt var treet da det ble plantet?

Kalkulator

Tegn grafen til $h$ . Bruk $t$ -verdier mellom 0 og 8.

Kalkulator

Hvor mange prosent vokste treet fra år 1 til år 2?

Kalkulator

Skriv noen ord om hvordan høyden på treet forandret seg fra år til år.

Krever PC

Hvor lang tid tok det før treet var $2,5 m e t e r$ høyt?

Fasit

$h (0) = 0,15 m$

Se graf i løsningsforslaget.

$\approx 50,5 %$

Veksten er raskest de første årene, avtar fram mot år 4–5, og øker igjen mot slutten av perioden.

$t \approx 6,4 år$

LøsningsforslagKI-generert

Høyden ved utplanting er høyden når $t = 0$ :

h (0) = 0,02 \cdot 0^{3} - 0,25 \cdot 0^{2} + 1,15 \cdot 0 + 0,15 = 0,15

Treet var $0,15 m$ høyt da det ble plantet.

Grafen til $h$ for $t \in [0, 8]$ er tegnet i GeoGebra:

Graf av h(t) med avlesninger

Vi finner høyden ved $t = 1$ og $t = 2$ (punktene $A$ og $B$ på grafen):

h (1) = 0,02 \cdot 1^{3} - 0,25 \cdot 1^{2} + 1,15 \cdot 1 + 0,15 = 1,07

h (2) = 0,02 \cdot 2^{3} - 0,25 \cdot 2^{2} + 1,15 \cdot 2 + 0,15 = 1,61

Prosentvis vekst fra år 1 til år 2:

\frac{h (2) - h (1)}{h (1)} \cdot 100 % = \frac{1,61 - 1,07}{1,07} \cdot 100 % \approx 50,5 %

Treet vokste omtrent $50,5 %$ fra år 1 til år 2.

Ser vi på grafen, ser vi at treet vokser raskest like etter utplanting. Deretter flater kurven gradvis ut, og veksten er lavest et sted mellom år 4 og år 5. Etter dette begynner kurven å stige brattere igjen, og veksten øker mot slutten av 8-årsperioden. Treet vokser altså mest i starten og på slutten av perioden, og saktest midt i perioden.

Vi tegner inn linjen $y = 2,5$ i GeoGebra og finner skjæringspunktet $C$ med grafen til $h$ , se figuren i b). Skjæringspunktet ligger ved

t \approx 6,4

Det tok altså omtrent $6,4 år$ før treet var $2,5 m$ høyt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Modellering, Funksjoner, Prosentvis endring, Grafisk framstilling
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Funksjon for seks ulike situasjoner

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor er det beskrevet 6 ulike situasjoner. For hver situasjon skal du finne en funksjon som beskriver situasjonen.

Tre av funksjonene finner du her:

A (x) = 1,60 x + 125

B (x) = 100 x - x^{2}

C (x) = 100 \cdot {0,95}^{x}

De tre andre skal du finne fram til på egen hånd.

Situasjon 1, 2 og 3

En teleoperatør opererer med følgende alternativer for mobilabonnement:

Prisplan	Situasjon 1 (Alternativ 1)	Situasjon 2 (Alternativ 2)	Situasjon 3 (Alternativ 3)
Månedsavgift (kr)	60,–	125,–	240,–
Samtalepris per minutt (kr)	2,50	1,60	1,10

Situasjon 4

Fra blant annet studier av ringmerkede kjøttmeiser har en funnet ut at innenfor et bestemt område dør 48 % av disse kjøttmeisene i løpet av ett år. Ett år ble det ringmerket 350 kjøttmeiser i dette området.

Kjøttmeis

Finn en funksjon som kan være en modell som beskriver hvor mange av de ringmerkede kjøttmeisene som lever etter $x$ år.

Situasjon 5

En gårdbruker har 200 meter gjerde og skal lage en rektangulær innhegning. Rektangelet er $x$ meter langt. Finn en funksjon som viser hvor stort areal rektangelet får for ulike verdier av $x$ .

Rektangulær innhegning

Situasjon 6

Lysstyrken under vann minker med ca. 5 % for hver meter en er under havoverflaten. Dette betyr at på en dybde er lysstyrken 5 % mindre enn 1 meter høyere oppe.

Dykker under vann

Finn en funksjon som viser lysstyrken $x$ meter under havoverflaten.

Finn tre ulike funksjoner som beskriver hvert av de tre alternativene i tabellen ovenfor (situasjon 1, 2 og 3). Finn deretter funksjoner for situasjon 4, 5 og 6.

Fasit

Situasjon 1: $D (x) = 60 + 2,50 x$ Situasjon 2: $A (x) = 1,60 x + 125$ (gitt) Situasjon 3: $E (x) = 240 + 1,10 x$ Situasjon 4: $F (x) = 350 \cdot {0,52}^{x}$ Situasjon 5: $B (x) = 100 x - x^{2}$ (gitt) Situasjon 6: $C (x) = 100 \cdot {0,95}^{x}$ (gitt)

LøsningsforslagKI-generert

Vi går gjennom de tre gitte funksjonene og finner ut hvilken situasjon hver av dem passer med, og setter deretter opp de tre som mangler.

De tre gitte funksjonene

$A (x) = 1,60 x + 125$ er en lineær funksjon med startverdi (konstantledd) $125$ og stigningstall $1,60$ . Dette passer med situasjon 2 (Alternativ 2), der månedsavgiften er $125 kr$ og samtaleprisen er $1,60 kr$ per minutt. Her er $x$ antall samtaleminutter.

$B (x) = 100 x - x^{2}$ kan skrives som $B (x) = x (100 - x)$ , altså et produkt av to lengder — dette passer med et areal. Dette er situasjon 5, gjerdet på $200 m$ . Er rektangelet $x$ meter langt, er den motstående siden også $x$ meter, og de to andre sidene deler resten av gjerdet:

2 x + 2 y = 200 \Rightarrow y = 100 - x

Arealet blir da

B (x) = x \cdot y = x (100 - x) = 100 x - x^{2}

som stemmer med den gitte funksjonen.

$C (x) = 100 \cdot {0,95}^{x}$ er en eksponentiell funksjon som avtar med $5 %$ for hver økning i $x$ med $1$ , og som starter på verdien $100$ . Dette passer med situasjon 6, lysstyrke under vann, der lysstyrken ved overflaten settes til $100 %$ og avtar med $5 %$ per meter dybde. Her er $x$ dybde i meter.

Situasjon 1 og 3 — de resterende mobilabonnementene

Prisen for et abonnement er månedsavgift pluss samtalepris per minutt ganger antall minutter $x$ :

Pris = månedsavgift + samtalepris \cdot x

For Alternativ 1 (situasjon 1) er månedsavgiften $60 kr$ og samtaleprisen $2,50 kr$ per minutt:

D (x) = 60 + 2,50 x

For Alternativ 3 (situasjon 3) er månedsavgiften $240 kr$ og samtaleprisen $1,10 kr$ per minutt:

E (x) = 240 + 1,10 x

Situasjon 4 — kjøttmeisene

Det ble ringmerket $350$ kjøttmeiser, og $48 %$ av disse dør i løpet av ett år. Det betyr at $100 % - 48 % = 52 %$ overlever hvert år, altså er den årlige vekstfaktoren $k = 0,52$ . Antall gjenlevende kjøttmeiser etter $x$ år blir dermed en eksponentiell avtakende funksjon med startverdi $350$ :

F (x) = 350 \cdot {0,52}^{x}

For eksempel vil det etter ett år være omtrent $F (1) = 350 \cdot 0,52 \approx 182$ kjøttmeiser igjen av de opprinnelige $350$ , i tråd med at $48 %$ dør det første året.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Funksjoner, Lineær vekst, Eksponentiell vekst, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6-IMakspuls og lineær regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ I

For å legge opp et effektivt treningsprogram er det lurt at du kjenner makspulsen din (den høyeste hjertefrekvensen du kan oppnå).

Den nøyaktigste måten å finne makspulsen på, er å gjennomføre en fysisk test. Det betyr i praksis å presse seg maksimalt for å se hvor høy puls det er mulig å oppnå. 5 personer har gjennomført en slik test. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

Alder	17	25	37	48	60
Makspuls	195	189	183	175	166

Krever PC

Bruk regresjon og vis at $f (x) = - 0,66 x + 206$ er en matematisk modell som viser sammenhengen mellom alder og makspuls dersom en tar utgangspunkt i datamaterialet ovenfor. Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem. Bruk $y$ -verdier fra 150 til 220.

En forenklet metode for å finne en tilnærmet verdi for makspulsen din er å bruke formelen

makspuls = 220 minus alder

Krever PC

Finn et funksjonsuttrykk $g (x)$ som illustrerer denne sammenhengen mellom alder og makspuls. Tegn grafen til $g$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$ .

De to modellene $f (x)$ og $g (x)$ gir litt ulike verdier for makspuls for hvert alderstrinn. Studer modellene i området fra og med $x = 15$ til og med $x = 60$ .

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

For hvilket alderstrinn er forskjellen mellom makspuls minst, og for hvilket alderstrinn er den størst?

Fasit

$f (x) = - 0,66 x + 206$

$g (x) = 220 - x$

Minst forskjell ved $x \approx 41 år$ , størst forskjell ved $x = 15 år$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger datapunktene $(17, 195)$ , $(25, 189)$ , $(37, 183)$ , $(48, 175)$ og $(60, 166)$ inn i et regresjonsverktøy og utfører lineær regresjon. Det gir

y = - 0,660577 x + 206,306

Når vi avrunder koeffisientene, får vi

f (x) = - 0,66 x + 206

som stemmer med modellen oppgaven ber oss vise.

Grafen til $f$ er tegnet som den blå linja i figuren under (se b for full figur med begge grafene).

Den forenklede formelen er

makspuls = 220 - alder

Setter vi $x$ for alder og $g (x)$ for makspuls, får vi funksjonsuttrykket

g (x) = 220 - x

Grafene til $f$ (blå) og $g$ (grønn) er tegnet sammen med datapunktene (røde) i koordinatsystemet under, med $y$ -verdier fra $150$ til $220$ .

Grafene til f og g med datapunkter

Vi ser på differansen mellom de to modellene på intervallet $[15, 60]$ :

f (x) - g (x) = (- 0,66 x + 206) - (220 - x) = 0,34 x - 14

Dette er en strengt voksende lineær funksjon, så differansen går fra negativ til positiv når $x$ øker. Vi regner ut differansen for noen alderstrinn i intervallet:

$x$	15	20	30	40	50	60
$f(x)-g(x)$	$-8{,}60$	$-6{,}91$	$-3{,}51$	$-0{,}12$	$3{,}28$	$6{,}67$

$x$

15

20

30

40

50

60

$f(x)-g(x)$

$-8{,}60$

$-6{,}91$

$-3{,}51$

$-0{,}12$

$3{,}28$

$6{,}67$

Tallverdien til differansen er minst der $f (x) - g (x) = 0$ , altså der

0,34 x - 14 = 0 \Rightarrow x = \frac{14}{0,34} \approx 41,2

Forskjellen mellom modellene er dermed minst ved omtrent $x \approx 41 år$ .

Siden differansen er en lineær (voksende) funksjon av $x$ , har tallverdien sin største verdi i et av endepunktene av intervallet $[15, 60]$ . Vi sammenligner:

| f (15) - g (15) | = 8,60 | f (60) - g (60) | = 6,67

Størst tallverdi finner vi altså ved $x = 15$ , der forskjellen mellom modellene er

x = 15 år

Tolkning: For en 15-åring gir de to modellene mest ulike anslag på makspuls, mens de to modellene stemmer nesten overens for en person på rundt 41 år.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Regresjon, Funksjoner, Graftolkning, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-6-I for seg selv

Oppgave 2-6-IISannsynlighet for Eva og Tor Solstad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ II

Eva og Tor Solstad er 70 år og er født på samme dag. Sannsynligheten for at en 70-åring i Norge skal bli 80 år, er 0,63 for menn og 0,77 for kvinner.

Eva og Tor Solstad

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at Tor Solstad ikke skal bli 80 år?

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at begge blir 80 år?

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at ingen av dem blir 80 år?

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at bare én av dem blir 80 år?

Fasit

$P (ikke 80 år) = 0,37$

$P (begge) \approx 0,49$

$P (ingen) \approx 0,09$

$P (bare én) \approx 0,43$

LøsningsforslagKI-generert

Sannsynligheten for at Tor blir 80 år er $0,63$ . Sannsynligheten for at han ikke blir 80 år finner vi med komplementregelen:

P (ikke 80 år) = 1 - 0,63 = 0,37

$P (Tor blir ikke 80 år) = 0,37$

Eva har sannsynlighet $0,77$ for å bli 80 år, og Tor har sannsynlighet $0,63$ . Hendelsene er uavhengige, så vi bruker multiplikasjonsregelen:

P (begge) = 0,77 \cdot 0,63 = 0,4851

$P (begge blir 80 år) \approx 0,49$

Sannsynligheten for at Eva ikke blir 80 år er $1 - 0,77 = 0,23$ , og sannsynligheten for at Tor ikke blir 80 år er $1 - 0,63 = 0,37$ (fra a). Hendelsene er uavhengige, så vi multipliserer:

P (ingen) = 0,23 \cdot 0,37 = 0,0851

$P (ingen blir 80 år) \approx 0,09$

At “bare én” blir 80 år, betyr enten at bare Eva blir 80 år, eller at bare Tor blir 80 år. Disse to hendelsene utelukker hverandre, så vi kan legge sammen sannsynlighetene deres:

P (bare Eva) = 0,77 \cdot 0,37 = 0,2849

P (bare Tor) = 0,63 \cdot 0,23 = 0,1449

P (bare én) = 0,2849 + 0,1449 = 0,4298

$P (bare én blir 80 år) \approx 0,43$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 2-6-II for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1Renter, potensregning og sentralmål

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Titallssystemet, totallssystemet og sekstentallssystemet

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver

Oppgave 2-3Årslønn i Trygg forsikring

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Vekstmodell for tre i skogsområde

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Funksjon for seks ulike situasjoner

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6-IMakspuls og lineær regresjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6-IISannsynlighet for Eva og Tor Solstad

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1·Renter, potensregning og sentralmål

Oppgave 1-2·Titallssystemet, totallssystemet og sekstentallssystemet

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver

Oppgave 2-3·Årslønn i Trygg forsikring

Oppgave 2-4·Vekstmodell for tre i skogsområde

Oppgave 2-5·Funksjon for seks ulike situasjoner

Oppgave 2-6-I·Makspuls og lineær regresjon

Oppgave 2-6-II·Sannsynlighet for Eva og Tor Solstad

Temaer

Oppgave 1-1Renter, potensregning og sentralmål

Oppgave 1-2Titallssystemet, totallssystemet og sekstentallssystemet

Oppgave 2-3Årslønn i Trygg forsikring

Oppgave 2-4Vekstmodell for tre i skogsområde

Oppgave 2-5Funksjon for seks ulike situasjoner

Oppgave 2-6-IMakspuls og lineær regresjon

Oppgave 2-6-IISannsynlighet for Eva og Tor Solstad