1T Vår 2019

Et fullstendig kvadrat på formen ${(ax+b)}^2$ kan skrives ut som

Vi sammenligner dette med $f(x)=k{x}^2+12x+9$, ledd for ledd:

Fra $b^2=9$ får vi $b=3$ (velger positiv verdi). Da gir $2ab=12$ at

Da blir

Vi kontrollerer: $f(x)=4x^2+12x+9={(2x+3)}^2$, som stemmer.

Med $k=4$ er $f(x)={(2x+3)}^2$. Nullpunktet finner vi ved å sette $f(x)=0$:

Siden hendelsene er uavhengige, bruker vi produktsetningen for å finne sannsynligheten for at begge inntreffer:

«Nøyaktig én av dagene» betyr at toget enten er i rute på mandag men ikke på fredag, eller i rute på fredag men ikke på mandag. Disse to hendelsene utelukker hverandre, så vi kan legge sammen sannsynlighetene.

Sannsynligheten for at toget ikke er i rute:

Vi regner ut de to delhendelsene:

Sannsynligheten for nøyaktig én av dagene blir summen:

Vi setter av punktene fra tabellen i et koordinatsystem med $C$ langs $x$-aksen og $F$ langs $y$-aksen, og ser at de ligger på en rett linje:

Vi skal finne temperaturen der celsius-verdien og fahrenheit-verdien er like, altså der $F=C$.

Fra tabellen ser vi at sammenhengen mellom $C$ og $F$ er lineær. Stigningstallet finner vi ved å se på endringen mellom to punkter, for eksempel $(0,32)$ og $(10,50)$:

Linjen skjærer $F$-aksen i punktet $(0,32)$, så konstantleddet er $32$. Sammenhengen er dermed

Vi setter $F=C$ og løser likningen:

Det må altså være $-40$ grader for at de to gradestokkene skal vise samme verdi ($-40{}^{\circ }\text{C}=-40{}^{\circ }\text{F}$).

Vi fant i b) at sammenhengen mellom grader celsius og grader fahrenheit er lineær med stigningstall $\mathrm{1,8}$ og konstantledd $32$:

Vi setter $C=100$ inn i formelen fra c):

Dette viser at $100{}^{\circ }\text{C}$ tilsvarer $212{}^{\circ }\text{F}$.

Vi skal skrive $\sqrt{48}$ og $\sqrt{75}$ som et helt tall ganger en kvadratrot, ved å faktorisere ut det største kvadrattallet i hvert uttrykk.

Vi ser på en likesidet trekant med sider lik $1$. Alle vinklene i trekanten er da ${60}^{\circ }$. Deler vi trekanten i to like store rettvinklede trekanter ved å felle en normal fra ett hjørne ned på motstående side, får vi en rettvinklet trekant med hypotenus $1$, en kortside $\frac{1}{2}$ (halve grunnlinjen) og en vinkel på ${60}^{\circ }$ ved toppunktet av den halverte vinkelen.

I denne rettvinklede trekanten er $\cos {60}^{\circ }$ lik forholdet mellom hosliggende katet og hypotenus:

I trekant $ABC$ kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem: $AC=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$, $AB=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ og $\angle A={60}^{\circ }$. Da bruker vi cosinussetningen til å finne den tredje siden $BC$:

Vi setter inn $A{C}^2=48$, $A{B}^2=75$ og $\cos A=\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$ fra a) og b):

Vi regner ut produktet $4\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3}=20\cdot 3=60$, slik at:

Lengden av siden $BC$ er

Vi tegner grafene til $L$ og $N$ for $0\le x\le 24$ i graftegner.

Grafen til $L$ (Lindesnes) ligger hele tiden over grafen til $N$ (Nordkapp), og begge har lavest temperatur tidlig på døgnet og høyest temperatur mot kvelden.

Den momentane vekstfarten er den deriverte av funksjonen. Vi deriverer ledd for ledd:

Vi setter inn $x=8$ på kalkulator:

Praktisk tolkning: Klokka 08.00 stiger temperaturen ved Lindesnes med omtrent $\mathrm{0,27}{}^{\circ }\mathrm{C}$ per time, mens temperaturen ved Nordkapp synker med omtrent $\mathrm{0,18}{}^{\circ }\mathrm{C}$ per time.

Svar: $\underline{\underline{L^{\prime }(8)\approx \mathrm{0,27}{}^{\circ }\mathrm{C}/\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e},N^{\prime }(8)\approx -\mathrm{0,18}{}^{\circ }\mathrm{C}/\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}}$

Klokka 12.00 er $x=12$. Vi regner ut $L(12)$ og $N(12)$ på kalkulator:

Temperaturforskjellen blir

Klokka 12.00 er det altså omtrent $\mathrm{7,98}{}^{\circ }\mathrm{C}$ varmere ved Lindesnes enn ved Nordkapp.

Svar: $\underline{\underline{L(12)-N(12)\approx \mathrm{7,98}{}^{\circ }\mathrm{C}}}$

Temperaturforskjellen som funksjon av tiden er $D(x)=L(x)-N(x)$:

Størst forskjell finner vi enten i et toppunkt for $D$ eller i et av endepunktene $x=0$ og $x=24$. Vi deriverer:

Vi løser $D^{\prime }(x)=0$ med abc-formelen på kalkulator:

Ved å sjekke fortegnet til $D^{\prime }(x)$ rundt de to verdiene ser vi at $D$ har et bunnpunkt ved $x\approx \mathrm{2,57}$ og et toppunkt ved $x\approx \mathrm{19,93}$. Vi sammenligner med verdien i toppunktet med endepunktene:

Den største verdien er $D(\mathrm{19,93})\approx \mathrm{10,65}$. Dette er tidspunktet med størst temperaturforskjell. Desimaldelen $\mathrm{0,93}$ time tilsvarer $\mathrm{0,93}\cdot 60\approx 56$ minutter, altså klokka ca. 19.56.

Svar: $\underline{\underline{\text{Størst forskjell ca. kl. 19.56, differansen var da ca. }\mathrm{10,65}{}^{\circ }\mathrm{C}}}$

Av de $1000$ personene er $25\%$ under 30 år:

De resterende er 30 år eller eldre:

Av de $250$ personene under 30 år kildesorterer $14\%$:

Av de $750$ personene som er 30 år eller eldre kildesorterer $44\%$:

Vi fyller ut resten av tabellen ved å regne ut differansene, slik at radene og kolonnene summerer riktig:

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person kildesorterer aluminiumsformer, finner vi ved å dele antallet som kildesorterer på totalt antall personer:

$\underline{\underline{P(\text{kildesorterer})=\mathrm{0,365}=\mathrm{36,5}\%}}$

Vi skal finne sannsynligheten for at personen er under 30 år, gitt at personen kildesorterer. Dette er en betinget sannsynlighet, og vi bruker formelen

$\underline{\underline{P(\text{under 30 år}|\text{kildesorterer})\approx \mathrm{0,096}=\mathrm{9,6}\%}}$

Det vil si at blant dem som kildesorterer aluminiumsformer, er det ganske få (under $10\%$) som er under 30 år.

Stigningstallet til $f$ er $a$. Stigningstallet er definert som forholdet mellom den loddrette og den vannrette endringen langs grafen:

Siden $AD=1$, får vi

$\underline{\underline{CD=a}}$

Linjen $g$ står vinkelrett på $f$ i punktet $A$, altså er $\angle CAB=90°$.

Trekanten $△ADC$ har en rett vinkel i $D$ ($\angle ADC=90°$). Da må de to andre vinklene summere til $90°$:

Siden $\angle CAB=90°$ og punktet $D$ ligger “mellom” strålene $AC$ og $AB$ (se figuren), er

Sammenligner vi de to likningene, ser vi at

Trekanten $△BDA$ har også en rett vinkel i $D$ ($\angle BDA=90°$, siden $B$ ligger loddrett under $D$). Dermed har $△ADC$ og $△BDA$:

• en rett vinkel hver ($\angle ADC=\angle BDA=90°$)
• en lik vinkel til ($\angle DCA=\angle DAB$, vist ovenfor)

Med to like vinkler (vinkel-vinkel) er trekantene formlike:

Begge trekantene deler også egenskaper med den store trekanten $△ABC$ (som har rett vinkel i $A$, siden $f⟂g$): $D$ er foten av normalen fra $A$ ned på linja $BC$, og både $△ADC$ og $△ABD$ har da samme vinkler som $△ABC$ (vinkel-vinkel med felles vinkler i henholdsvis $C$ og $B$, og rett vinkel i $D$). Dermed er $△ADC\sim △ABC$ og $△BDA\sim △ABC$, og derfor er de formlike med hverandre også.

Siden $△ADC\sim △BDA$ med korrespondansen $A\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow A$, er forholdet mellom tilsvarende sider likt:

Vi setter inn $AD=DA=1$ og $DC=a$:

$\underline{\underline{BD={\displaystyle \frac{1}{a}}}}$

Vi har nå funnet alt vi trenger for å bevise påstanden.

Stigningstallet til $f$ finner vi fra trekant $△ADC$: går vi fra $A$ til $C$, er den vannrette endringen $AD=1$ og den loddrette endringen $DC=a$ (oppover):

Stigningstallet til $g$ finner vi fra trekant $△BDA$: går vi fra $A$ til $B$, er den vannrette endringen $AD=1$ (samme vannrette avstand som til $D$), mens den loddrette endringen er $BD={\displaystyle \frac{1}{a}}$ nedover, altså negativ:

Produktet av stigningstallene blir da

$\underline{\underline{a\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{a}})=-1}}$

Dette viser at når grafene til to lineære funksjoner står normalt på hverandre, er produktet av stigningstallene lik $-1$, slik påstanden sier.