1T Vår 2011

Vi flytter komma slik at det står ett siffer foran komma, og teller hvor mange plasser vi har flyttet det:

Vi skriver om til standardform:

Vi flytter alt over på én side:

Vi faktoriserer: vi trenger to tall som gir $-16$ når vi ganger dem, og $6$ når vi legger dem sammen. Det er $8$ og $-2$:

Et produkt er null når minst én faktor er null, så

Vi faktoriserer venstre side:

Nullpunktene er $x=0$ og $x=1$. Vi setter opp fortegnsskjema for uttrykkene $x$ og $x-1$:

Produktet er positivt når $x<0$ eller $x>1$, så

Vi regner ut hvert av tallene og finner ut hvor på tallinjen ($0$ til $6$) de skal plasseres.

$8^{\frac{1}{3}}$ er kubikkroten av $8$, altså tallet som ganget med seg selv tre ganger gir $8$:

Ethvert tall (ulikt null) opphøyd i $0$ er $1$:

Vi overslagsregner: $4^2=16$ og $5^2=25$, så $\sqrt{21}$ ligger mellom $4$ og $5$, nærmere $5$:

Fra enhetssirkelen/trigonometritabellen er

Vi regner ut:

Vi regner ut:

Vi bruker definisjonen av logaritme: $\lg a=2$ betyr $a={10}^2$.

Vi sjekker: $2\cdot \mathrm{50,5}-1=100>0$, så løsningen er gyldig. $\underline{\underline{x=\mathrm{50,5}}}$

Vi kaller $S$ = «har fått sommerjobb» og $Fe$ = «skal på ferie». Vi vet at

• 20 elever totalt
• $|S|=16$
• $|S\cap Fe|=10$
• 2 elever verken har sommerjobb eller skal på ferie

Siden 2 elever verken har jobb eller skal på ferie, er det $20-2=18$ elever som har minst én av delene. Vi bruker dette til å finne antall elever som skal på ferie:

Vi setter opp krysstabellen:

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev skal på ferie er

Vi finner noen funksjonsverdier og tegner grafen til $f(x)=x^2-2$ for $x\in [-3,3]$:

Grafen er en parabel med bunnpunkt i $(0,-2)$.

Vi finner funksjonsverdiene i de to punktene:

Punktene er da $(0,-2)$ og $(2,2)$. Stigningstallet mellom punktene blir

Siden linja går gjennom $(0,-2)$, er konstantleddet $-2$. Likningen for linja blir

Vi deriverer $f$:

Stigningstallet til tangenten i $x=1$ er

Tangeringspunktet finner vi ved å regne ut $f(1)$:

Med ettpunktsformelen $y-y_1=a(x-x_1)$ med $a=2$ og $(x_1,y_1)=(1,-1)$ får vi

Likningen for tangenten er $\underline{\underline{y=2x-3}}$.

Grafen til $f$ med tangenten i $x=1$:

Trekant $ABE$ har rett vinkel i $B$, siden $ABCD$ er et kvadrat. Katetene er $AB=1$ og $BE$, der $E$ er midtpunktet på $BC$, slik at $BE={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Pytagoras’ setning gir

På samme måte har trekant $ADF$ rett vinkel i $D$, med $AD=1$ og $DF={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (siden $F$ er midtpunktet på $DC$):

Dermed er $\underline{\underline{AE=AF={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}}}$.

Arealet av $△AEF$ finner vi ved å ta arealet av hele kvadratet og trekke fra de tre hjørnetrekantene $△ABE$, $△ADF$ og $△ECF$.

Kvadratet har areal $1\cdot 1=1$.

Trekant $ECF$ har rett vinkel i $C$, med $EC=BC-BE=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ og $CF=DC-DF=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$:

Summen av de tre hjørnetrekantene er

Arealet av $△AEF$ blir dermed

Vi bruker arealsetningen på $△AEF$, med vinkelen $\alpha$ mellom sidene $AE$ og $AF$:

Vi setter inn $\text{Areal}(△AEF)={\displaystyle \frac{3}{8}}$ og $AE=AF={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$ fra a) og b):

Vi løser for $\sin \alpha$:

Vi taster funksjonen $f(x)=\mathrm{0,046}{x}^2-\mathrm{6,7}x+386$ inn i GeoGebra og setter visningsvinduet til $x\in [20,100]$. Grafen er en parabel som vender grenene oppover, med et bunnpunkt et sted mellom $x=70$ og $x=75$.

1) Når slipper bilen ut $150\mathrm{g}$ CO₂ per kilometer?

Vi løser likningen $f(x)=150$ i CAS:

CAS gir $x=\mathrm{59,66538}$ og $x=\mathrm{85,98679}$. Dette stemmer med skjæringspunktene $A$ og $B$ på grafen i a), der linja $y=150$ krysser $f$.

Bilen slipper altså ut $150\mathrm{g}$ CO₂ per kilometer enten den kjører i

2) Hvilken fart gir minst CO₂-utslipp?

Fra grafen ser vi at bunnpunktet $C$ ligger ved $x\approx \mathrm{72,8}$, med $f(x)\approx \mathrm{142,0}$. GeoGebra sin Extremum-kommando gir det eksakte bunnpunktet

Dette stemmer med at parabelens bunnpunkt ligger ved $x={\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}}{2\cdot \mathrm{0,046}}}=\mathrm{72,826}\dots$

Bilen har altså minst CO₂-utslipp per kilometer når farten er

og utslippet er da

Vi finner først utslippet per kilometer ved $70\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$:

I løpet av en halvtime med konstant fart $70\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ kjører bilen strekningen

Det totale CO₂-utslippet i løpet av halvtimen blir dermed

Bilen slipper altså ut

i løpet av denne halvtimen.

Pinnen og treet står begge vinkelrett på den horisontale sletten, og solstrålene treffer dem parallelt. Da er trekanten pinne–skygge formlik med trekanten tre–skygge, slik at forholdet mellom høyde og skyggelengde er det samme for begge:

Vi løser for $H_{\text{tre}}$:

Treet er $\underline{\underline{9\mathrm{m}}}$ høyt.

Solstrålenes vinkel $v$ med den horisontale sletten finner vi fra den rettvinklede trekanten som pinnen og skyggen danner. Motstående katet er pinnens høyde ($\mathrm{1,2}\mathrm{m}$), og hosliggende katet er skyggens lengde ($\mathrm{1,6}\mathrm{m}$):

(Vi kunne like gjerne brukt treets trekant: $\tan v=\frac{9}{12}=\mathrm{0,75}$, samme resultat.) Dermed er det vist at solstrålene danner en vinkel på $\underline{\underline{\mathrm{36,9}°}}$ med sletten.

Per og Kari kan bruke planken og metermålet slik: De legger planken oppetter skråningen, fra bunnen av skråningen og et stykke opp, slik at planken ligger flatt mot skråningoverflaten. Med metermålet måler de lengden av planken (langs skråningen) og den horisontale avstanden fra bunnpunktet til punktet rett under plankens øvre ende.

Da har de en rettvinklet trekant der planken er hypotenusen, og de kan regne ut skråningsvinkelen $u$ ved hjelp av kalkulatoren, for eksempel med

(Alternativt kan de måle høydeforskjellen i stedet for horisontal avstand og bruke $\sin u=\frac{\text{høyde}}{\text{plankens lengde}}$.)

Vi setter opp en trekant med toppunktene i treets fot $O$, treets topp $T$ og skyggens tuppunkt $S$ (der solstrålen treffer skråningen). Linjen $TS$ er solstrålen som strekker seg fra treets topp til skyggetuppen, og $OS=17\mathrm{m}$ er skyggens lengde langs skråningen.

Vinkelen i $O$: Treet står loddrett (vinkelrett på horisontalplanet), mens $OS$ går nedover skråningen, som heller $u=25°$ under horisontalen. Vinkelen mellom den loddrette retningen og skråningsretningen blir dermed

Vinkelen i $S$: Sett fra $S$ går retningen opp mot treets topp ($T$) med solas høydevinkel $\mathrm{36,9}°$ over horisontalen (fra b), mens retningen opp mot treets fot ($O$) langs skråningen ligger $u=25°$ over horisontalen. Vinkelen mellom disse to retningene er differansen:

Vinkelen i $T$: Vinkelsummen i trekanten er $180°$:

Nå bruker vi sinussetningen i trekant $OST$, der $OT$ er treets høyde $h$ og er motstående side til $\angle S$, mens $OS=17\mathrm{m}$ er motstående side til $\angle T$:

Treet i skråningen er om lag $\underline{\underline{\mathrm{4,4}\mathrm{m}}}$ høyt.

Grafen starter i punktet $(0,15)$. Temperaturen i vannet da det ble tappet fra springen var altså

Grafen stiger fra $x=0$ til toppunktet ved $x=5$, der temperaturen er $90°\mathrm{C}$. Bjørn og Jon varmet altså vannet i

og temperaturen da de satte glasskolben inn i kjøleskapet, var

Den delen av grafen som viser oppvarmingen, ser ut som en rett linje fra punktet $(0,15)$ til punktet $(5,90)$. Stigningstallet blir

Siden linjen skjærer $y$-aksen i $(0,15)$, blir konstantleddet $15$. Et forslag til funksjonsuttrykk for oppvarmingen er dermed

der $x$ er tiden målt i minutter og $f(x)$ er temperaturen målt i °C.

For å finne ut hvor lang tid det tar å varme opp vannet til $100°\mathrm{C}$ med denne modellen, løser vi likningen $15x+15=100$:

Fra linje 1 i CAS-utklippet ser vi at $x\approx \mathrm{5,67}$. Det vil altså ta ca. $\mathrm{5,7}$ minutter, det vil si omtrent $5$ minutter og $40$ sekunder, å varme opp vannet til $100°\mathrm{C}$ med denne varmekilden.

Vi skal løse ulikheten $\mathrm{115,82}\cdot {\mathrm{0,94}}^x+5>60$ for $x\ge 5$.

Fra linje 2 i CAS-utklippet over ser vi at likningen $\mathrm{115,82}\cdot {\mathrm{0,94}}^x+5=60$ har løsningen $x\approx \mathrm{12,04}$.

Siden $\mathrm{0,94}<1$, er $f$ en avtakende funksjon. Temperaturen er dermed høyere enn $60°\mathrm{C}$ for alle $x$ mellom $5$ (der $f(5)=90$) og $\mathrm{12,04}$. Vannet har altså høyere temperatur enn $60°\mathrm{C}$ i tidsrommet

det vil si i omtrent $7$ minutter etter at vannet ble satt inn i kjøleskapet.

Konstantleddet $5$ i uttrykket $f(x)=\mathrm{115,82}\cdot {\mathrm{0,94}}^x+5$ er grenseverdien til $f(x)$ når $x$ blir stor: siden $0<\mathrm{0,94}<1$, går ${\mathrm{0,94}}^x\to 0$ når $x\to \infty$, slik at $f(x)\to 5$. Grafen flater derfor ut og nærmer seg $5°\mathrm{C}$ for store $x$-verdier, noe vi også ser på grafen i oppgaveteksten.

Temperaturen i kjøleskapet var altså

Vi setter opp en tabell med Bård sitt valg langs radene og Lars sitt valg langs kolonnene. $B$ betyr at Bård vinner, $L$ betyr at Lars vinner, og $U$ betyr uavgjort:

Dette gir de ni mulige utfallene når Bård og Lars spiller én gang.

Av de $9$ likeverdige utfallene i tabellen i a) ser vi at Bård vinner ($B$) i akkurat $3$ av rutene: stein mot saks, saks mot papir og papir mot stein. Siden alle ni utfall er like sannsynlige, er

Hvert enkelt spill kan ende på $3$ ulike måter ($B$, $U$ eller $L$). Siden Bård og Lars spiller tre uavhengige spill, gir multiplikasjonsprinsippet at antall mulige resultater (rekkefølger som BUL, BBB, ULL osv.) er

Vi teller opp hvor mange av de $27$ resultatene som har minst to seiere til Bård, altså enten nøyaktig $2$ eller nøyaktig $3$ seiere til Bård.

Nøyaktig 3 seiere ($BBB$): Det finnes bare $1$ slikt resultat.

Nøyaktig 2 seiere: Vi velger hvilke $2$ av de $3$ spillene Bård vinner. Det finnes $3$ måter å gjøre dette på. Det tredje spillet må da ikke være en seier til Bård, altså enten uavgjort ($U$) eller tap ($L$) — det gir $2$ muligheter for det siste spillet. Antall resultater med nøyaktig $2$ seiere til Bård blir dermed

Totalt antall gunstige resultater er $6+1=7$, av $27$ mulige. Dermed er

Vinneren av kampen er den som vinner flest av de tre spillene. Legg merke til at situasjonen er symmetrisk mellom Bård og Lars, så

Det blir uavgjort i kampen når Bård og Lars vinner like mange spill hver (samme antall $B$-er som $L$-er blant de tre spillene). Vi teller opp hvilke av de $27$ resultatene som gir uavgjort:

• Alle tre spill uavgjort ($UUU$): $1$ resultat.
• Nøyaktig én seier hver ($1$ gang $B$, $1$ gang $U$ og $1$ gang $L$): de tre bokstavene $B$, $U$, $L$ kan stå i $3!=6$ ulike rekkefølger.

Det er ingen andre måter å få like mange $B$-er som $L$-er på tre spill (f.eks. kan man ikke ha $2$ hver, siden $2+2=4>3$). Dermed er antall resultater med uavgjort kamp $1+6=7$, så

De resterende $27-7=20$ resultatene fordeler seg likt mellom at Bård vinner kampen og at Lars vinner kampen (symmetri), så

Et rektangel kan alltid tegnes innskrevet i en sirkel, siden alle fire hjørnevinklene er $90°$ og dermed ligger på en sirkel med diagonalen som diameter.

La rektangelet $ABCD$ ha sidekanter $AB=CD=a$ og $BC=AD=b$. I et rektangel er diagonalene like lange, så $AC=BD=c$.

Vi setter dette inn i Ptolemaios’ setning:

Dette kjenner vi igjen som $\underline{\underline{\text{Pytagoras’ setning}}}$: kvadratet på diagonalen (hypotenusen i en av de to rettvinklede trekantene rektangelet deles i) er lik summen av kvadratene på sidekantene.

Siden $P$ ligger på sirkelbuen mellom $A$ og $B$ (motsatt av $C$), kommer punktene i rekkefølgen $A$, $P$, $B$, $C$ rundt sirkelen. Firkanten $APBC$ har da diagonalene $AB$ og $PC$, og sidekantene $AP$, $PB$, $BC$ og $CA$.

Ptolemaios’ setning for firkanten $APBC$ gir:

Siden trekant $ABC$ er likesidet, er $AB=BC=CA$. Vi kaller denne felles sidelengden $s$ og setter inn:

Vi deler begge sider på $s$ (som er forskjellig fra null):

Siden $AP=PA$ og $PB$ er de samme strekningene, har vi dermed vist at