1P Vår 2020 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Tre kvadrater på sidene i en rettvinklet trekant på plakat

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rettvinklet trekant ABC med et kvadrat på hver side

På en skole henger en plakat med en figur som vist på skissen ovenfor. Figuren består av en rettvinklet trekant $A B C$ og tre kvadrater.

$A B = 12 d m$ , og arealet av det minste kvadratet er $81 {d m}^{2}$ .

Bestem arealet av det største kvadratet.

Fasit

$225 {dm}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Figuren viser Pytagoras’ setning illustrert med arealer: kvadratene på sidene i den rettvinklede trekanten har et areal som er lik kvadratet av sidelengden. Den rette vinkelen er i $A$ , så $A B$ og $A C$ er katetene, mens $C B$ er hypotenusen. Kvadratet på hypotenusen er dermed det største kvadratet.

Arealet av kvadratet på $A B$ er

A B^{2} = 12^{2} = 144 {dm}^{2}

Det oppgitte arealet til det minste kvadratet, $81 {dm}^{2}$ , er mindre enn $144 {dm}^{2}$ . Derfor må det minste kvadratet ligge på den andre kateten, $A C$ :

A C^{2} = 81 {dm}^{2}

Etter Pytagoras’ setning er summen av arealene til kvadratene på katetene lik arealet av kvadratet på hypotenusen:

C B^{2} = A C^{2} + A B^{2} = 81 + 144 = 225 {dm}^{2}

Arealet av det største kvadratet, kvadratet på hypotenusen $C B$ , er altså $225 {dm}^{2}$ .

$225 {dm}^{2}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Geometri, Pytagoras, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Merverdiavgift på matvarer for 230 kroner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ahmad har vært i butikken og handlet matvarer. Matvarene kostet 230 kroner inkludert merverdiavgift. Merverdiavgiften på matvarer er 15 %.

Hvor mye betalte Ahmad i merverdiavgift for disse matvarene?

Fasit

$30 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Prisen inkludert merverdiavgift er $115 %$ av prisen uten merverdiavgift, altså er vekstfaktoren $1,15$ . Vi kaller prisen uten merverdiavgift for $x$ , og setter opp likningen

1,15 \cdot x = 230

Vi løser likningen ved å dele begge sider på $1,15$ :

\begin{matrix} 1,15 \cdot x & = 230 \\ \frac{1,15 \cdot x}{1,15} & = \frac{230}{1,15} \\ x & = 200 \end{matrix}

Prisen uten merverdiavgift er altså 200 kroner. Merverdiavgiften er differansen mellom prisen med og uten merverdiavgift:

230 - 200 = 30

Ahmad betalte altså 30 kroner i merverdiavgift.

$30 kr$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Mva, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Målestokk når 5 cm på kartet er 2,5 km

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På et kart er avstanden mellom to byer 5 cm. I virkeligheten er avstanden mellom byene 2,5 km.

Bestem målestokken på kartet.

Fasit

$1 : 50 000$

LøsningsforslagKI-generert

Målestokken er forholdet mellom avstanden på kartet og den virkelige avstanden, målt i samme enhet. Vi gjør derfor først om den virkelige avstanden fra kilometer til centimeter:

2,5 km = 2,5 \cdot 1000 m = 2500 m

2500 m = 2500 \cdot 100 cm = 250 000 cm

Målestokken er forholdet mellom kartavstanden og den virkelige avstanden:

5 : 250 000

Vi forkorter forholdet ved å dele begge tallene med 5:

\begin{matrix} 5 : 250 000 & = \frac{5}{5} : \frac{250 000}{5} \\ = 1 : 50 000 \end{matrix}

Målestokken på kartet er altså $1 : 50 000$ . Det betyr at $1 cm$ på kartet tilsvarer $50 000 cm$ , altså $500 m$ , i virkeligheten.

$1 : 50 000$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Målestokk, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Lengden DB i to formlike rettvinklede trekanter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rettvinklet trekant ABC med linjestykket DE vinkelrett på AB

Et område har form som vist på skissen ovenfor. $A B = 15 m$ , $A C = 10 m$ og $D E = 6 m$ .

Bestem lengden av $D B$ .

Fasit

$D B = 9 m$

LøsningsforslagKI-generert

Vinklene i $A$ og i $D$ er begge rette, så $D E$ og $A C$ står begge vinkelrett på $A B$ . Det betyr at $D E$ er parallell med $A C$ . Trekant $D E B$ og trekant $A C B$ har derfor samme vinkel i $B$ og en rett vinkel hver, altså er de formlike.

I de formlike trekantene svarer $D E$ til $A C$ , og $D B$ svarer til $A B$ . Forholdet mellom samsvarende sider er likt:

\frac{D E}{A C} = \frac{D B}{A B}

Vi setter inn de kjente verdiene og løser likningen for $D B$ :

\begin{matrix} \frac{6}{10} & = \frac{D B}{15} \\ \frac{6}{10} \cdot 15 & = \frac{D B}{15} \cdot 15 \\ 9 & = D B \end{matrix}

Lengden av $D B$ er altså 9 meter.

$D B = 9 m$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Geometri, Formlike trekanter
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Røde og hvite kuler i forholdet 3 til 4

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en eske ligger det røde og hvite kuler. Forholdet mellom antall røde og antall hvite kuler er 3 : 4. Til sammen er det 28 kuler i esken.

Hvor mange av kulene er røde?

Fasit

$12 røde kuler$

LøsningsforslagKI-generert

Forholdet mellom antall røde og antall hvite kuler er $3 : 4$ . Det betyr at alle kulene kan deles inn i $3 + 4 = 7$ like store deler.

Vi finner hvor mange kuler én del utgjør ved å dele de $28$ kulene på $7$ deler:

\frac{28}{7} = 4

Én del tilsvarer altså $4$ kuler. De røde kulene utgjør $3$ slike deler:

3 \cdot 4 = 12

$12 av kulene er røde.$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Proporsjonalitet, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6To trapeser med areal 12 kvadratcentimeter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du får vite dette om to ulike trapeser:

Hvert trapes har nøyaktig to parallelle sider.
Hvert trapes har areal $12 {c m}^{2}$ .

Lag en tegning som viser hvordan trapesene kan se ut. Vis hvordan du regner ut arealet av hvert trapes.

Tenk deg at alle elevene i en klasse tegner ulike trapeser med nøyaktig to parallelle sider og areal $12 {c m}^{2}$ .

Hver elev regner ut summen $s$ av lengdene av de parallelle sidene i trapeset sitt, og noterer hvor lang avstanden $h$ mellom de parallelle sidene er.

Vil $s$ og $h$ være omvendt proporsjonale størrelser i alle disse trapesene? Begrunn svaret.

Fasit

To trapeser med parallelle sider $4 cm$ og $2 cm$ , høyde $4 cm$ , og med parallelle sider $6 cm$ og $2 cm$ , høyde $3 cm$ — begge har areal $12 {cm}^{2}$ .

$Ja, s og h er omvendt proporsjonale$

LøsningsforslagKI-generert

Arealet av et trapes er gitt ved

A = \frac{a + b}{2} \cdot h,

der $a$ og $b$ er lengdene av de parallelle sidene, og $h$ er avstanden mellom dem. Vi velger to trapeser med ulike sidelengder, men som begge har areal $12 {cm}^{2}$ .

Trapes 1: parallelle sider $a = 4 cm$ og $b = 2 cm$ , høyde $h = 4 cm$ :

A = \frac{4 + 2}{2} \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12 {cm}^{2}

Trapes 2: parallelle sider $a = 6 cm$ og $b = 2 cm$ , høyde $h = 3 cm$ :

A = \frac{6 + 2}{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 {cm}^{2}

Begge trapesene har altså areal $12 {cm}^{2}$ , selv om sidelengdene og høyden er forskjellige.

Skisse av to trapeser med areal 12 cm²

For alle trapesene i klassen gjelder arealformelen med $s = a + b$ :

12 = \frac{s}{2} \cdot h

Vi ganger med $2$ på begge sider:

s \cdot h = 24

Dette produktet er det samme for alle elevenes trapeser, siden alle trapesene har areal $12 {cm}^{2}$ . Når produktet av to størrelser er konstant, er størrelsene per definisjon omvendt proporsjonale.

$Ja, s og h er omvendt proporsjonale, med s \cdot h = 24.$

Det betyr at dersom summen $s$ av de parallelle sidene blir stor, må høyden $h$ bli tilsvarende liten (og omvendt), slik at arealet fortsatt blir $12 {cm}^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Areal og omkrets, Omvendt proporsjonalitet, Argumentasjon, Utforskning
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Hengelås med tresifret kode og to mulige åpninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Maria finner en gammel hengelås. Koden på hengelåsen består av tre tall. Hvert tall kan velges blant de hele tallene fra og med 0 til og med 9.

Bestem sannsynligheten for at koden begynner med 2 4 eller 4 2.

Fasit

$P = \frac{2}{100} = 0,02$

LøsningsforslagKI-generert

Koden består av tre tall, og hvert tall kan være et av de $10$ tallene $0, 1, 2, \dots, 9$ . Det gir totalt

10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000

mulige koder.

Koder som begynner med $2 4$ : Da er de to første tallene bestemt, mens det tredje tallet kan være hva som helst av de $10$ tallene. Det gir

1 \cdot 1 \cdot 10 = 10

koder som begynner med $2 4$ .

Koder som begynner med $4 2$ : På samme måte gir dette

1 \cdot 1 \cdot 10 = 10

koder som begynner med $4 2$ .

Disse to hendelsene kan ikke inntreffe samtidig (koden kan ikke begynne med $2 4$ og $4 2$ på én gang), så vi kan legge sammen antall gunstige koder:

10 + 10 = 20 gunstige koder

Sannsynligheten blir da

P (koden begynner med 24 eller 42) = \frac{20}{1000} = \frac{2}{100} = 0,02

P = 0,02 = 2 %

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Nominell lønn fra reallønn og KPI i 2017

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for årene 2015–2019.

År	2015	2016	2017	2018	2019
KPI	100	103,6	105,5	108,4	110,8

I 2017 var reallønnen til Marianne 1 000 000 kroner.

Bestem den nominelle lønnen hennes dette året.

Fasit

$1 055 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Konsumprisindeksen (KPI) viser hvordan prisnivået har utviklet seg. I 2015, referanseåret, er KPI $= 100$ . Reallønnen forteller hva lønnen er verdt i kroner fra referanseåret, mens den nominelle lønnen er det faktiske kronebeløpet i det aktuelle året.

Sammenhengen mellom nominell lønn og reallønn er

nominell lønn = reallønn \cdot \frac{KPI}{100}

I 2017 var KPI $= 105,5$ , og reallønnen til Marianne var $1 000 000$ kroner. Vi setter inn i formelen:

nominell lønn = 1 000 000 \cdot \frac{105,5}{100} = 1 000 000 \cdot 1,055 = 1 055 000

$Den nominelle lønnen til Marianne i 2017 var 1 055 000 kr .$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Prisindeks, Reallønn, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Omkrets av vindu med halvsirkel og pi som 22 sjuendedeler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gjennom tidene har matematikere arbeidet med å bestemme verdien av $π$ . Arkimedes fant at $π$ er litt mindre enn $\frac{22}{7}$ .

Figuren nedenfor er satt sammen av en halvsirkel og et kvadrat. Et vindu har form som denne figuren. Radius i halvsirkelen er $7 d m$ .

Vindu formet som et kvadrat med en halvsirkel på toppen

Bruk at $π \approx \frac{22}{7}$ og bestem en tilnærmet verdi for omkretsen av vinduet.

Fasit

$64 dm$

LøsningsforslagKI-generert

Vinduet består av et kvadrat med en halvsirkel på toppen. Radiusen i halvsirkelen er $r = 7 dm$ . Siden halvsirkelen ligger oppå kvadratet, er diameteren til halvsirkelen like lang som toppsiden av kvadratet. Sidelengden i kvadratet er dermed

s = 2 r = 2 \cdot 7 = 14 dm

Omkretsen av vinduet består av:

tre av kvadratets sider (den fjerde siden, toppen, er erstattet av halvsirkelen),
den buede kanten av halvsirkelen (halve omkretsen av en hel sirkel).

Tre sider av kvadratet:

3 \cdot s = 3 \cdot 14 = 42 dm

Omkretsen av en hel sirkel med radius $r$ er $2 π r$ , så den buede kanten (halve sirkelen) blir

π \cdot r = \frac{22}{7} \cdot 7 = 22 dm

Omkretsen av vinduet er summen av disse to delene:

O = 42 + 22 = 64 dm

$Omkretsen av vinduet er om lag 64 dm .$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Areal og omkrets, Sirkel, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Elsparkesykkel hos to firmaer med prisskifte klokken 18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Klokken 17.50 skal Kristina leie en elektrisk sparkesykkel.

Hos firma A må hun betale 10 kroner ved oppstart, og så 3 kroner for hvert minutt hun bruker sykkelen.

Hos firma B må hun betale 5 kroner ved oppstart, og så 1,50 kroner for hvert minutt hun bruker sykkelen fram til klokken 18.00, og 4 kroner for hvert minutt hun bruker sykkelen etter klokken 18.00.

Lag en grafisk framstilling i et koordinatsystem som viser prisen $y$ kroner som Kristina må betale når hun bruker en sykkel i $x$ minutter hos hver av de to firmaene.

Hvor lenge må Kristina bruke sykkelen for at firma A skal være det rimeligste alternativet?

Fasit

Firma A: $y = 10 + 3 x$ . Firma B: $y = 5 + 1,5 x$ for $0 \leq x \leq 10$ , og $y = 4 x - 20$ for $x > 10$ .

$x > 30 minutter$

LøsningsforslagKI-generert

Klokken 17.50 er $x = 0$ . Klokken 18.00 er $x = 10$ minutter senere, og det er tidspunktet der prisen hos firma B endrer seg.

Firma A koster $10$ kroner i oppstart pluss $3$ kroner per minutt, uansett klokkeslett. Da blir prisen

y_{A} = 10 + 3 x

for alle $x \geq 0$ .

Firma B koster $5$ kroner i oppstart pluss $1,50$ kroner per minutt fram til klokken 18.00 ( $x \leq 10$ ), og deretter $4$ kroner per minutt for tiden etter klokken 18.00. For $0 \leq x \leq 10$ blir prisen

y_{B} = 5 + 1,5 x

Ved $x = 10$ har hun brukt sykkelen i $10$ minutter til $1,50$ kroner minuttet, altså $5 + 1,5 \cdot 10 = 20$ kroner. For $x > 10$ kommer $4$ kroner for hvert minutt etter dette, så

y_{B} = 20 + 4 (x - 10) = 4 x - 20

Vi setter opp en verditabell for å tegne grafene:

$x$ (min)	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$
$y_{A} = 10 + 3 x$	$10$	$40$	$70$	$100$	$130$
$y_{B}$	$5$	$20$	$60$	$100$	$140$

Grafen til firma A er én rett linje med stigningstall $3$ og startverdi $10$ . Grafen til firma B består av to rette linjer som møtes i punktet $(10, 20)$ : en slakere linje med stigningstall $1,5$ for $0 \leq x \leq 10$ , og en brattere linje med stigningstall $4$ for $x > 10$ . Linjene til A og B krysser hverandre i punktet $(30, 100)$ , se b).

Vi må finne ut når $y_{A}$ blir mindre enn $y_{B}$ . Siden firma B har lavere startpris og lavere minuttpris enn firma A helt fram til klokken 18.00 (stigningstall $1,5 < 3$ ), er B billigst hele tiden i intervallet $0 \leq x \leq 10$ (ved $x = 10$ : A koster $40$ kroner, B koster $20$ kroner).

Etter klokken 18.00 stiger prisen hos B raskere enn hos A (stigningstall $4 > 3$ ), så på et tidspunkt tar A igjen B. Vi finner skjæringspunktet ved å sette de to uttrykkene like for $x > 10$ :

\begin{matrix} 10 + 3 x & = 4 x - 20 \\ 10 + 3 x - 3 x & = 4 x - 20 - 3 x \\ 10 & = x - 20 \\ 10 + 20 & = x - 20 + 20 \\ 30 & = x \end{matrix}

Vi kontrollerer: ved $x = 30$ koster begge firmaene $y_{A} = 10 + 3 \cdot 30 = 100$ kroner og $y_{B} = 4 \cdot 30 - 20 = 100$ kroner.

For $x$ litt større enn $30$ , for eksempel $x = 31$ , blir $y_{A} = 10 + 3 \cdot 31 = 103$ kroner mens $y_{B} = 4 \cdot 31 - 20 = 104$ kroner. Da er A billigst.

Kristina må altså bruke sykkelen i mer enn $30$ minutter for at firma A skal være det rimeligste alternativet.

Svar: $x > 30 minutter$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineære funksjoner, Grafisk framstilling, Modellering, Delt forskrift
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 2-1Smed og avkjøling av metallstykke fra 500 grader

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En smed skal bearbeide et metallstykke. Funksjonen $T$ gitt ved

T (x) = 470 \cdot {0,95}^{x} + 30, 0 \leq x \leq 120

viser temperaturen $T (x)$ grader celsius $(^{\circ} C)$ i metallstykket $x$ minutter etter at smeden har tatt det ut av ovnen.

Krever PC

Tegn grafen til $T$ .

For hånd

Hva er temperaturen i metallstykket når smeden tar det ut av ovnen?

Metallet lar seg bare bearbeide når temperaturen er $150^{\circ} C$ eller høyere.

Krever PC

Hvor lang tid har smeden på seg til å bearbeide metallstykket etter at han har tatt det ut av ovnen?

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$T (0) = 500^{\circ} C$

$ca. 27 minutter$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $T (x) = 470 \cdot {0,95}^{x} + 30$ for $0 \leq x \leq 120$ i GeoGebra.

Graf av T(x) med grenselinjen y=150 og skjæringspunktet S

Temperaturen når smeden tar metallstykket ut av ovnen, er temperaturen ved $x = 0$ , altså $T (0)$ . Vi setter $x = 0$ inn i funksjonsuttrykket:

T (0) = 470 \cdot {0,95}^{0} + 30 = 470 \cdot 1 + 30 = 500

Temperaturen er $T (0) = 500^{\circ} C$ når smeden tar metallstykket ut av ovnen.

Metallet kan bearbeides så lenge $T (x) \geq 150$ . Vi finner tidspunktet der temperaturen er nøyaktig $150^{\circ} C$ ved å tegne inn linjen $y = 150$ og lese av skjæringspunktet med grafen til $T$ , se figuren i deloppgave a).

Skjæringspunktet er $S (26,6, 150)$ , altså $x \approx 26,6$ minutter.

Siden temperaturen synker hele tiden, er $T (x) \geq 150$ for $0 \leq x \leq 26,6$ . Smeden har dermed omtrent $26,6$ minutter, altså i praksis $ca. 27 minutter$ , på seg til å bearbeide metallstykket etter at han har tatt det ut av ovnen.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Feilproduserte hengelåser fra to maskiner og betinget sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fabrikk produserer hengelåser med to maskiner, maskin A og maskin B.

Maskin A produserer dobbelt så mange hengelåser som maskin B.
Det har vist seg at det er feil ved $5 %$ av hengelåsene fra maskin A og ved $2 %$ av hengelåsene fra maskin B.

En dag produserer bedriften 300 hengelåser.

Kalkulator

Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell.

Tenk deg at du tilfeldig tar en hengelås som er produsert denne dagen.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at det er feil ved hengelåsen.

Det viser seg at det er feil ved hengelåsen du har tatt.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at denne hengelåsen er produsert av maskin A.

Fasit

Se krysstabell i løsningsforslaget

$P (feil) = 0,04 = 4 %$

$P (A | feil) = \frac{5}{6} \approx 0,833 = 83,3 %$

LøsningsforslagKI-generert

Maskin A produserer dobbelt så mange hengelåser som maskin B. Av de 300 hengelåsene er derfor

\underset{maskin A}{\underset{⏟}{200}} og \underset{maskin B}{\underset{⏟}{100}}

Det er feil ved $5 %$ av hengelåsene fra maskin A:

0,05 \cdot 200 = 10 feil fra maskin A

Det er feil ved $2 %$ av hengelåsene fra maskin B:

0,02 \cdot 100 = 2 feil fra maskin B

Dette gir krysstabellen:

	Feil	OK	Totalt
Maskin A	10	190	200
Maskin B	2	98	100
Totalt	12	288	300

Av totalt 300 hengelåser er det til sammen $10 + 2 = 12$ som har feil. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hengelås har feil, er dermed

P (feil) = \frac{12}{300} = 0,04

$P (feil) = 0,04 = 4 %$

Vi vet nå at hengelåsen har feil. Av de $12$ hengelåsene med feil kommer $10$ fra maskin A. Den betingede sannsynligheten for at hengelåsen er produsert av maskin A, gitt at den er feil, blir dermed

P (A | feil) = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0,833

$P (A | feil) = \frac{5}{6} \approx 83,3 %$

Selv om maskin B har lavere feilprosent enn maskin A, er det fortsatt mest sannsynlig at en defekt hengelås kommer fra maskin A — rett og slett fordi maskin A produserer flest hengelåser totalt.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Krysstabell, Betinget sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Tonn plast i havet per minutt under grå flekk

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Overskrift og ingress fra tv2.no der et tall i overskriften er dekket av en grå flekk

Ovenfor ser du et avsnitt fra en artikkel fra tv2.no om plastsøppel i havet.

Hvilket tall står under den grå flekken som dekker litt av overskriften?

Fasit

$15 tonn$ plast havner i havet hvert minutt.

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at det havner over åtte millioner tonn plast i havet i løpet av ett år. For å finne ut hvor mye dette utgjør per minutt, må vi først finne hvor mange minutter det er i ett år.

Ett år har 365 dager, ett døgn har 24 timer, og en time har 60 minutter. Antall minutter i et år blir da:

365 \cdot 24 \cdot 60 = 525 600 minutter

Deretter deler vi det totale antallet tonn plast på antall minutter i året:

\frac{8 000 000}{525 600} \approx 15,22 t o n n / m i n u t t

Siden tallet i overskriften er et helt tall, runder vi av til nærmeste hele tonn.

Svar: $15 tonn$ plast havner i havet hvert minutt.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Måleenheter, Store tall, Tallregning, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Volum og overflate av postkasse med halvsirkelformet tak

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Postkasse med endeflater formet som et rektangel med en halvsirkel på toppen

En postkasse har form som vist på figuren ovenfor. Postkassens endeflater er satt sammen av et rektangel og en halvsirkel. Rektangelet er $18 c m$ høyt og $15 c m$ bredt. Postkassen er $40 c m$ lang.

Kalkulator

Hvor stort volum har postkassen? Gi svaret i liter.

Kalkulator

Hvor stort overflateareal har postkassen? Gi svaret i kvadratmeter.

Fasit

$V \approx 14,3 L$

$S \approx 0,37 m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Endeflaten til postkassen er satt sammen av et rektangel med en halvsirkel oppå. Rektangelet er $18 cm$ høyt og $15 cm$ bredt. Halvsirkelen har samme bredde som rektangelet, altså en diameter på $15 cm$ , og en radius på

r = \frac{15}{2} = 7,5 cm

Arealet av rektangelet er

A_{rektangel} = 18 \cdot 15 = 270 {cm}^{2}

Arealet av halvsirkelen er

A_{halvsirkel} = \frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2} = \frac{1}{2} \cdot π \cdot {7,5}^{2} \approx 88,4 {cm}^{2}

Arealet av hele endeflaten blir da

A = 270 + 88,4 = 358,4 {cm}^{2}

Postkassen er et prisme, så volumet finner vi ved å multiplisere endeflatens areal med lengden på $40 cm$ :

V = 358,4 \cdot 40 \approx 14 334 {cm}^{3}

Siden $1 L = 1000 {cm}^{3}$ , gjør vi om til liter:

V = \frac{14 334}{1000} \approx 14,3 L

Svar: Postkassen har et volum på $V \approx 14,3 L$ .

Overflaten til postkassen består av fem deler: to endeflater (front og bak), bunnen, de to loddrette sideflatene og det buede taket.

De to endeflatene har til sammen arealet vi fant i a):

2 \cdot A = 2 \cdot 358,4 = 716,8 {cm}^{2}

Bunnen er et rektangel som er $15 cm$ bred og $40 cm$ lang:

A_{bunn} = 15 \cdot 40 = 600 {cm}^{2}

De to loddrette sideflatene er hver $18 cm$ høye og $40 cm$ lange:

2 \cdot A_{side} = 2 \cdot (18 \cdot 40) = 1440 {cm}^{2}

Det buede taket er en halv sylindermantel. Bredden av taket er en halv omkrets av en sirkel med radius $7,5 cm$ , og lengden er $40 cm$ :

A_{tak} = π \cdot r \cdot 40 = π \cdot 7,5 \cdot 40 \approx 942,5 {cm}^{2}

Det totale overflatearealet blir

S = 716,8 + 600 + 1440 + 942,5 \approx 3699,2 {cm}^{2}

Siden $1 m^{2} = 10 000 {cm}^{2}$ , gjør vi om til kvadratmeter:

S = \frac{3699,2}{10 000} \approx 0,37 m^{2}

Svar: Postkassen har et overflateareal på $S \approx 0,37 m^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Volum, Areal og omkrets, Måleenheter, Sirkel
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Sondres bruttolønn med overtid og feriepengegrunnlag

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 2019 hadde Sondre en sommerjobb. Han hadde da en ordinær timelønn på 130 kroner.

I juli arbeidet han 162 timer innenfor ordinær arbeidstid. I tillegg arbeidet han 14 timer med et overtidstillegg på 40 % og 7 timer med et overtidstillegg på 100 %.

Kalkulator

Bestem Sondres bruttolønn denne måneden.

Sondre har regnet ut at han vil få utbetalt 8139 kroner i feriepenger i 2020. Dette er 12,0 % av feriepengegrunnlaget hans fra 2019.

Kalkulator

Bestem feriepengegrunnlaget til Sondre fra 2019.

Fasit

$25 428 kr$

$67 825 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Sondres lønn består av tre deler: ordinær lønn, lønn med 40 % overtidstillegg og lønn med 100 % overtidstillegg.

Ordinær lønn: Han jobbet 162 timer til ordinær timelønn på 130 kr:

162 \cdot 130 = 21 060 kr

Lønn med 40 % overtidstillegg: Timelønnen blir da 40 % høyere enn den ordinære timelønnen, altså $130 + 0,40 \cdot 130 = 182 kr$ per time. For 14 timer:

14 \cdot 182 = 2548 kr

Lønn med 100 % overtidstillegg: Timelønnen blir dobbelt så høy som den ordinære, altså $130 + 1,00 \cdot 130 = 260 kr$ per time. For 7 timer:

7 \cdot 260 = 1820 kr

Bruttolønnen er summen av de tre delene:

21 060 + 2548 + 1820 = 25 428 kr

Svar: Sondres bruttolønn denne måneden er $25 428 kr$ .

Vi lar $x$ være feriepengegrunnlaget. Feriepengene på 8139 kr utgjør 12,0 % av dette, så

\begin{matrix} 0,12 \cdot x & = 8139 \\ \frac{0,12 \cdot x}{0,12} & = \frac{8139}{0,12} \\ x & = 67 825 \end{matrix}

Svar: Feriepengegrunnlaget til Sondre fra 2019 var $67 825 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Økonomi, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Arv på sparekonto til Marius blir voksen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Da Marius ble født, arvet han penger. Foreldrene satte pengene inn på en sparekonto i banken. Pengene har stått, og skal stå, urørt på kontoen til Marius blir voksen. Renten er 3,5 % per år.

I dag er det 810 000 kroner på kontoen.

Kalkulator

Hvor mye vil det være på kontoen om 10 år?

Kalkulator

Hvor mye var det på kontoen for 5 år siden?

Fasit

$1 142 585 kr$

$681 998 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Renten på 3,5 % per år gir en vekstfaktor på

1 + \frac{3,5}{100} = 1,035

For å finne beløpet om 10 år, ganger vi dagens beløp med vekstfaktoren 10 ganger, altså opphøyd i 10:

810 000 \cdot {1,035}^{10} \approx 1 142 585 kr

Svar: Om 10 år vil det være $1 142 585 kr$ på kontoen.

Vi lar $x$ være beløpet som stod på kontoen for 5 år siden. Siden pengene har stått urørt, har dette beløpet vokst med vekstfaktoren $1,035$ i 5 år og blitt til dagens beløp på 810 000 kr:

\begin{matrix} x \cdot {1,035}^{5} & = 810 000 \\ \frac{x \cdot {1,035}^{5}}{{1,035}^{5}} & = \frac{810 000}{{1,035}^{5}} \\ x & \approx 681 998 \end{matrix}

Svar: For 5 år siden var det $681 998 kr$ på kontoen.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Rente, Vekstfaktor, Sparing
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Lailas dekorasjon av to like store sirkler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Laila er billedkunstner og har fått i oppgave å dekorere inngangspartiet i et rådhus. Hun har bestemt seg for å bruke geometriske figurer. Nedenfor ser du en av figurene hun vil bruke.

Figur 1: Figuren Laila vil bruke, med spissene C og A

Hun tegner figuren ved hjelp av to like store sirkler med sentrum i $B$ og $D$ . Se nedenfor.

Figur 2: To like store sirkler med sentrum i B og D som skjærer hverandre i A og C

Figur 3: Firkanten ABCD tegnet med fire røde linjestykker

Laila påstår at de fire røde linjestykkene i figur 3 har samme lengde.

For hånd

Forklar at dette er riktig.

For hånd

Hvor store er hver av vinklene i firkanten $A B C D$ ? Husk å begrunne svarene dine.

Arealet av figur 1 er gitt ved

A = (\frac{4 \cdot π - 3 \cdot \sqrt{3}}{6}) \cdot r^{2}

der $r$ er radius i sirklene Laila tegner.

Laila vil lage figurene ut fra sirkler med radius $r = 0,5 m$ . Hun har et spann med 5 L maling. På spannet står det at 1 L maling vil dekke $1 m^{2}$ .

Kalkulator

Har Laila nok maling til å male 16 figurer?

Fasit

Alle fire linjestykkene er radier i sirklene, så de har samme lengde $r$ .

$A = 60 °, B = 120 °, C = 60 °, D = 120 °$

$Ja, akkurat nok maling$

LøsningsforslagKI-generert

Punktene $A$ og $C$ er skjæringspunktene mellom de to sirklene. Det betyr at $A$ og $C$ ligger på begge sirklene.

$A$ og $C$ ligger på sirkelen med sentrum i $B$ . Da er $A B$ og $C B$ radier i denne sirkelen, så

A B = C B = r

$A$ og $C$ ligger også på sirkelen med sentrum i $D$ . Da er $A D$ og $C D$ radier i denne sirkelen, så

A D = C D = r

Siden begge sirklene har samme radius $r$ , er alle de fire linjestykkene

A B = B C = C D = D A = r

like lange. Dermed har Laila rett i påstanden sin.

Vi ser av figuren at sirklene er tegnet slik at senteret i den ene sirkelen ligger på den andre sirkelen. Det betyr at avstanden mellom sentrene også er lik radien:

B D = r

Trekant $A B D$ : Fra a) vet vi at $A B = A D = r$ , og vi har nettopp funnet at $B D = r$ . Alle tre sidene i trekant $A B D$ er dermed like lange, så trekanten er likesidet. I en likesidet trekant er alle vinklene $60 °$ , så

∠ A = ∠ D A B = 60 °

Trekant $C B D$ : På samme måte er $C B = C D = r$ og $B D = r$ , så også trekant $C B D$ er likesidet. Dermed er

∠ C = ∠ B C D = 60 °

Vinkel $B$ : Diagonalen $B D$ deler vinkel $B$ i firkanten i to like store deler, $∠ A B D$ og $∠ D B C$ , som begge er $60 °$ (toppvinkler i de likesidede trekantene). Da er

∠ B = ∠ A B D + ∠ D B C = 60 ° + 60 ° = 120 °

Vinkel $D$ : På samme måte deler $B D$ vinkel $D$ i $∠ A D B$ og $∠ B D C$ , som begge er $60 °$ , slik at

∠ D = ∠ A D B + ∠ B D C = 60 ° + 60 ° = 120 °

Kontroll: Vinkelsummen i en firkant er $360 °$ :

60 ° + 120 ° + 60 ° + 120 ° = 360 ° ✓

Svar: $∠ A = 60 °, ∠ B = 120 °, ∠ C = 60 °, ∠ D = 120 °$

Vi setter $r = 0,5 m$ inn i arealformelen for én figur:

A = (\frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{6}) \cdot r^{2} = (\frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{6}) \cdot {0,5}^{2} \approx 0,3071 m^{2}

Arealet av $16$ slike figurer blir da

16 \cdot 0,3071 m^{2} \approx 4,91 m^{2}

Ett spann med maling dekker $5 L \cdot 1 m^{2} / L = 5 m^{2}$ . Siden

4,91 m^{2} < 5 m^{2}

har Laila akkurat nok maling til å male alle $16$ figurene — med litt å gå på, ca. $0,09 m^{2}$ .

Svar: $Ja, Laila har akkurat nok maling$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Sirkel, Argumentasjon, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Regneark for sykkelutleie med søskenrabatt og makspris

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rune leier ut sykler til småbarnsfamilier som er på ferie.

De som leier en sykkel, må først betale en startpris på 40 kroner når de henter sykkelen, og så 5 kroner for hvert kvarter de bruker den.
Familier som leier flere sykler, får 25 % i søskenrabatt per barn.
Makspris per døgn er 100 kroner per sykkel.

En morgen kommer familiene Olsen, Jensen og Hansen for å leie sykler. Familien Olsen og familien Jensen har ett barn hver. Familien Hansen har to barn.

Krever PC

Lag et regneark som vist nedenfor. I de grønne cellene skal du sette inn formler.

Regneark for utleie av sykler med startpris, pris per kvarter, søskenrabatt og makspris

Senere på dagen kommer familien Nilsen med barna Ida og Oda. De leier sykkel nummer 5 og sykkel nummer 6 i tre timer.

Krever PC

Utvid regnearket fra oppgave a) slik at du får med disse opplysningene. Bruk regnearket til å bestemme hvor mye familien Nilsen må betale for de to syklene.

Fasit

Formler: E = $B$3 + D*$B$4, F = E*(1-B*$B$6), G = MIN(F;$B$7)

Familien Nilsen må betale $150 kr$ ( $75 kr$ per sykkel)

LøsningsforslagKI-generert

Vi bygger regnearket videre på oppsettet i oppgaven. De faste opplysningene ligger i B3 (startpris), B4 (pris per kvarter), B6 (søskenrabatt) og B7 (makspris per døgn), slik at formlene kan fylles ned for alle familiene uten å skrive tallene på nytt.

Kolonne E — Pris før søskenrabatt

Startprisen pluss antall kvarter ganger prisen per kvarter:

E10 = $B$3 + D10*$B$4

Kolonne F — Pris etter søskenrabatt

«Antall søsken» i kolonne B er hvor mange søsken hver person har med på turen (ikke antall barn i familien). Rabatten er $25 %$ per søsken, så prisen fra E multipliseres med $(1 - B \cdot 25 %)$ :

F10 = E10*(1-B10*$B$6)

Kolonne G — Å betale

Til slutt sammenlignes prisen etter rabatt med maksprisen på $100 kr$ per døgn, og det laveste beløpet gjelder:

G10 = MIN(F10;$B$7)

Disse tre formlene fylles ned for rad 11, 12 og 13. Resultatet blir:

Navn	Antall søsken	Sykkel nr.	Antall kvarter	Pris før rabatt	Pris etter rabatt	Å betale
Liv Olsen	0	1	4	60,00 kr	60,00 kr	60,00 kr
Lars Jensen	0	2	20	140,00 kr	140,00 kr	100,00 kr
Kine Hansen	1	3	8	80,00 kr	60,00 kr	60,00 kr
Kai Hansen	1	4	8	80,00 kr	60,00 kr	60,00 kr

Lars Jensen leide sykkelen i $20$ kvarter, så prisen før rabatt ble $140 kr$ . Han har ingen søsken med på turen og får derfor ingen rabatt, men fordi $140 kr$ er mer enn maksprisen på $100 kr$ , er det maksprisen han til slutt skal betale.

Familien Nilsen legges inn i to nye rader, 14 og 15, med samme formler kopiert ned fra rad 13:

Navn	Antall søsken	Sykkel nr.	Antall kvarter
Ida Nilsen	1	5	12
Oda Nilsen	1	6	12

De leide syklene i $3$ timer, altså $3 \cdot 4 = 12$ kvarter. Begge har én søsken med (hverandre), så de får $25 %$ søskenrabatt hver.

Formlene gir, for hver av dem:

\begin{matrix} E & = 40 + 12 \cdot 5 = 100 kr \\ F & = 100 \cdot (1 - 0,25) = 75 kr \\ G & = \min (75, 100) = 75 kr \end{matrix}

Navn	Antall søsken	Sykkel nr.	Antall kvarter	Pris før rabatt	Pris etter rabatt	Å betale
Ida Nilsen	1	5	12	100,00 kr	75,00 kr	75,00 kr
Oda Nilsen	1	6	12	100,00 kr	75,00 kr	75,00 kr

Familien Nilsen må dermed betale $75 + 75 = 150 kr$ for de to syklene.

$150 kr$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Regneark, Økonomi, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 10 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Tre kvadrater på sidene i en rettvinklet trekant på plakat

Oppgave 1-2·Merverdiavgift på matvarer for 230 kroner

Oppgave 1-3·Målestokk når 5 cm på kartet er 2,5 km

Oppgave 1-4·Lengden DB i to formlike rettvinklede trekanter

Oppgave 1-5·Røde og hvite kuler i forholdet 3 til 4

Oppgave 1-6·To trapeser med areal 12 kvadratcentimeter

Oppgave 1-7·Hengelås med tresifret kode og to mulige åpninger

Oppgave 1-8·Nominell lønn fra reallønn og KPI i 2017

Oppgave 1-9·Omkrets av vindu med halvsirkel og pi som 22 sjuendedeler

Oppgave 1-10·Elsparkesykkel hos to firmaer med prisskifte klokken 18

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Smed og avkjøling av metallstykke fra 500 grader

Oppgave 2-2·Feilproduserte hengelåser fra to maskiner og betinget sannsynlighet

Oppgave 2-3·Tonn plast i havet per minutt under grå flekk

Oppgave 2-4·Volum og overflate av postkasse med halvsirkelformet tak

Oppgave 2-5·Sondres bruttolønn med overtid og feriepengegrunnlag

Oppgave 2-6·Arv på sparekonto til Marius blir voksen

Oppgave 2-7·Lailas dekorasjon av to like store sirkler

Oppgave 2-8·Regneark for sykkelutleie med søskenrabatt og makspris

Temaer

Oppgave 1-1Tre kvadrater på sidene i en rettvinklet trekant på plakat

Oppgave 1-2Merverdiavgift på matvarer for 230 kroner

Oppgave 1-3Målestokk når 5 cm på kartet er 2,5 km

Oppgave 1-4Lengden DB i to formlike rettvinklede trekanter

Oppgave 1-5Røde og hvite kuler i forholdet 3 til 4

Oppgave 1-6To trapeser med areal 12 kvadratcentimeter

Oppgave 1-7Hengelås med tresifret kode og to mulige åpninger

Oppgave 1-8Nominell lønn fra reallønn og KPI i 2017

Oppgave 1-9Omkrets av vindu med halvsirkel og pi som 22 sjuendedeler

Oppgave 1-10Elsparkesykkel hos to firmaer med prisskifte klokken 18

Oppgave 2-1Smed og avkjøling av metallstykke fra 500 grader

Oppgave 2-2Feilproduserte hengelåser fra to maskiner og betinget sannsynlighet

Oppgave 2-3Tonn plast i havet per minutt under grå flekk

Oppgave 2-4Volum og overflate av postkasse med halvsirkelformet tak

Oppgave 2-5Sondres bruttolønn med overtid og feriepengegrunnlag

Oppgave 2-6Arv på sparekonto til Marius blir voksen

Oppgave 2-7Lailas dekorasjon av to like store sirkler

Oppgave 2-8Regneark for sykkelutleie med søskenrabatt og makspris