1P Eksempeloppgave 2 — 2021

Programmet simulerer at et beløp på $10000\mathrm{kr}$ vokser med $3\%$ per år, og finner ut hvor mange år det tar før beløpet har doblet seg.

Hva variablene betyr:

• beløp = 10000 — startbeløpet, $10000\mathrm{kr}$
• verdi = beløp — den løpende verdien (starter på $10000$)
• vekstfaktor = 1.03 — vekstfaktoren tilsvarer $3\%$ vekst per år
• år = 0 — teller antall år

While-løkken:

Betingelsen verdi < beløp * 2 betyr «så lenge verdien er mindre enn det dobbelte av startbeløpet» (dvs. mindre enn $20000$).

For hvert steg inne i løkken skjer to ting:

1. verdi = verdi * vekstfaktor — verdien multipliseres med $\mathrm{1,03}$, altså øker med $3\%$
2. år = år + 1 — årstelleren økes med 1

Etter hvert steg sjekker programmet betingelsen på nytt. Slik fortsetter det til verdien er $\ge 20000$.

De tre første stegene ser slik ut:

År	Utregning	Verdi
1	$10000\cdot \mathrm{1,03}$	$10300\mathrm{kr}$
2	$10300\cdot \mathrm{1,03}$	$10609\mathrm{kr}$
3	$10609\cdot \mathrm{1,03}$	ca. $10927\mathrm{kr}$
…	…	…
24	$\dots \cdot \mathrm{1,03}$	ca. $20328\mathrm{kr}$

Etter 23 år er verdien ca. $19736\mathrm{kr}$ — fortsatt under $20000$. Etter år 24 er verdien ca. $20328\mathrm{kr}$ — nå er betingelsen brutt, og løkken stopper.

Hva tallene i linje 10 og 11 betyr:

• Linje 10 skriver ut verdi — den endelige verdien av beløpet når det har doblet seg: ca. $\underline{\underline{20328\mathrm{kr}}}$
• Linje 11 skriver ut år — antall år det tok for beløpet å doble seg: $\underline{\underline{24\text{ år}}}$

Programmet finner altså doblingstiden for et beløp med $3\%$ årlig vekst: det tar 24 år før beløpet er mer enn doblet.

Arealet av det største kvadratet (på hypotenusen $BC$) er $100{\mathrm{dm}}^2$, så

Vi omregner $AB$ til desimeter:

Dermed er

Pytagoras sier at arealet av kvadratet på hypotenusen er lik summen av arealene av kvadratene på katetene:

Vi løser for $A{C}^2$:

Vi tar kvadratroten:

Vi omregner til centimeter:

a)

Vi har to punkter fra tabellen: $(25,450)$ og $(50,650)$.

Vi bruker disse til å finne stigningstallet $a$:

$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{650-450}{50-25}=\frac{200}{25}=\underline{\underline{8}}$$

Nå setter vi inn $a=8$ og ett av punktene, for eksempel $(25,450)$, for å finne $b$:

$$y=ax+b$$

$$450=8\cdot 25+b$$

$$450=200+b$$

$$b=450-200=\underline{\underline{250}}$$

Den lineære modellen blir: $y=8x+250$

b)

$a=8$ betyr at prisen for vognen med hageslange øker med 8 kroner per meter hageslangen øker i lengde.

$b=250$ er prisen for selve vognen uten hageslange, altså 250 kroner.

Oppskriften bruker $5\mathrm{dL}$ sukker per $1\mathrm{kg}$ appelsiner.

Amalie bruker $26\mathrm{kg}$ appelsiner, så hun trenger:

Vi gjør om til liter:

$1\mathrm{L}$ sukker veier $\mathrm{0,8}\mathrm{kg}$, så massen av sukkeret er:

En pose sukker inneholder $1\mathrm{kg}$. Amalie trenger $\mathrm{10,4}\mathrm{kg}$, og siden hun ikke kan kjøpe en halv pose, må hun runde opp:

Hun må kjøpe minst $\underline{\underline{11\text{poser}}}$ sukker.

Formelen $F=\frac{9}{5}C+32$ brukes til å omregne en temperatur (et fast punkt på skalaen), ikke en temperaturendring.

Johans nettside setter $C=5$ inn i formelen og får

Men $F=41$ betyr at $5°\text{C}$ tilsvarer $41°\text{F}$ — det vil si at $5°\text{C}$ og $41°\text{F}$ er samme temperaturen. Det sier ingenting om hvor mye temperaturen har endret seg.

For å finne hva en endring på $5°\text{C}$ svarer til i fahrenheit, bruker vi at konstantleddet $+32$ forsvinner når vi tar differansen. Vi kan se det slik: hvis temperaturen øker fra $C_1$ til $C_2=C_1+5$, blir endringen i fahrenheit

En endring på $5°\text{C}$ tilsvarer altså en endring på $\mathrm{𝟗}°\text{F}$.

Påstanden er feil. Tallet 41 er fahrenheit-verdien som svarer til temperaturen $5°\text{C}$, ikke endringen. Riktig svar er $9°\text{F}$.

La $a$ være antall poster som gir $2$ poeng, og $b$ være antall poster som gir $5$ poeng.

Vi vet at Adil finner $13$ poster til sammen, og at de til sammen gir $38$ poeng. Dette gir oss likningssettet:

Vi bruker innsettingsmetoden. Fra den første likningen kan vi skrive:

Vi setter dette inn i den andre likningen:

Da er $a=13-4=9$.

Svar: $\underline{\underline{9\text{ av postene gir 2 poeng}}}$ (og $4$ poster gir $5$ poeng).

Vi skal begrunne at $x^2>x^3$ når $x<0$.

Fortegnsbetraktning:

Når $x<0$ gjelder:

• $x^2$ er et negativt tall multiplisert med seg selv (negativt · negativt), som alltid gir et positivt tall: $x^2>0$.
• $x^3$ er $x^2$ multiplisert med $x$ (positivt · negativt), som alltid gir et negativt tall: $x^3<0$.

Et positivt tall er alltid større enn et negativt tall, så

Dermed er $x^2>x^3$ for alle $x<0$.

Konkret eksempel (for å illustrere):

La $x=-2$:

Vi ser at $4>-8$, altså $x^2>x^3$. ✓

a)

Vi skal lage en modell på formen $T(x)=a\cdot b^x+20$, der $x$ er antall minutter etter at geléen ble satt til avkjøling og $T(x)$ er temperaturen i $°\text{C}$.

Stine har laget en ny tabell der hun har trukket fra $20°\text{C}$ (romtemperaturen) fra alle temperaturverdiene. Da sitter hun igjen med verdier for $a\cdot b^x$.

Vi bruker GeoGebra til å kjøre eksponentiell regresjon på den nye tabellen (med verdiene «Temperatur − 20»). Vi legger inn datapunktene og ber GeoGebra om å finne best tilpasset eksponentiell kurve.

GeoGebra gir:

$$a=\mathrm{75,0}b=\mathrm{0,985}$$

Modellen blir:

$$T(x)=\mathrm{75,0}\cdot {\mathrm{0,985}}^x+20$$

Grafen nedenfor viser modellen (blå kurve) og måledatapunktene (røde punkter). Kurven treffer alle 8 datapunktene svært nøyaktig.

Den stiplede linjen $y=20$ viser romtemperaturen, som kurven nærmer seg asymptotisk.

b)

Modellen $T(x)=\mathrm{75,0}\cdot {\mathrm{0,985}}^x+20$ er matematisk definert for alle reelle verdier av $x$, men vi må vurdere hva som gir fysisk mening.

Nedre grense: Geléen ble satt til avkjøling ved $x=0$. Da er $T(0)=\mathrm{75,0}\cdot 1+20=95°\text{C}$. Modellen gjelder fra $x=0$.

Øvre grense: Modellen nærmer seg $20°\text{C}$ asymptotisk — temperaturen vil matematisk sett aldri nå romtemperatur. I praksis er modellen meningsfull så lenge geléen er merkbart varmere enn romtemperaturen.

Vi kan for eksempel sette $25°\text{C}$ som en praktisk nedre grense for hva som er «reell avkjøling». Det gir:

$$\mathrm{75,0}\cdot {\mathrm{0,985}}^x+20=25$$

$${\mathrm{0,985}}^x=\frac{5}{75}=\frac{1}{15}$$

$$x=\frac{\ln \left(\frac{1}{15}\right)}{\ln (\mathrm{0,985})}\approx 179\text{ min}$$

Et rimelig gyldighetsområde er derfor:

$$\underline{\underline{x\in [0,150]}}$$

der $x$ er i minutter. Vi velger $x=150$ som en rund øvre grense — da er temperaturen ca. $\mathrm{27,8}°\text{C}$, altså bare litt over romtemperaturen, og avkjølingen er i praksis ferdig. (Andre begrunnede valg, f.eks. $x\in [0,180]$, er også godkjente.)

Vi begynner med å telle fyrstikker i de første figurene for å finne et mønster.

Figurnummer $n$	Antall rader/kolonner	Horisontale fyrstikker	Vertikale fyrstikker	Totalt $m(n)$
1	$1\times 1$	$1\cdot 2=2$	$1\cdot 2=2$	4
2	$2\times 2$	$2\cdot 3=6$	$2\cdot 3=6$	12
3	$3\times 3$	$3\cdot 4=12$	$3\cdot 4=12$	24

I figur $n$ er det $n\times n$ små kvadrater. Horisontalt trengs det $n$ fyrstikker i bredden, og det er $(n+1)$ horisontale rader. Tilsvarende for vertikale. Derfor er antallet fyrstikker i figur $n$:

Sjekk: $m(1)=2\cdot 1\cdot 2=4$ ✓, $m(2)=2\cdot 2\cdot 3=12$ ✓, $m(3)=2\cdot 3\cdot 4=24$ ✓

a)

Vi lager figurene én etter én: figur 1, figur 2, figur 3, … Vi trenger å finne det største $k$ slik at det totale antallet fyrstikker ikke overstiger $10000$.

Totalt antall fyrstikker for figurene 1 til $k$:

$$S(k)=\sum _{n=1}^{k}2n(n+1)$$

Vi regner ut $S(k)$ for stigende $k$ til vi overstiger $10000$:

$k$	$m(k)$	$S(k)$
20	840	6160
21	924	7084
22	1012	8096
23	1104	9200
24	1200	10400

$S(23)=9200\le 10000$, men $S(24)=10400>10000$.

Vi har nok fyrstikker til figur 23, men ikke til figur 24.

Du kan lage $\underline{\underline{23\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$.

b)

Etter at du har laget alle 23 figurene har du brukt $9200$ fyrstikker.

$$10000-9200=800$$

Du har $\underline{\underline{800\mathrm{f}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ igjen.

Regnearket nedenfor viser alle formler i de grønne cellene:

Forklaring av formlene:

Totalt per rett (D8, D9, D10) — antall porsjoner multiplisert med prisen per porsjon:

• D8: =B8*C8 (antall pasta $\times$ 100 kr)
• D9: =B9*C9 (antall suppe $\times$ 80 kr)
• D10: =B10*C10 (antall bagett $\times$ 110 kr)

Sum (B12 og D12) — summerer antall og kronebeløp:

• B12: =B8+B9+B10
• D12: =D8+D9+D10

Rabatt i kroner (D15) — $10\%$ rabatt gis kun dersom totalt antall retter er mer enn 4:

der F2 inneholder rabattprosenten $10\%=\mathrm{0,10}$.

Pris for levering (E19) — 70 kr dersom avstanden er kortere enn 8 km, ellers 150 kr:

der E3 = 70 og E4 = 150.

Å betale totalt (B22) — sum minus rabatt pluss leveringskostnad:

Verifisering: En kunde bestiller 3 pasta, 2 suppe, 1 bagett og har 5 km avstand.

• Totalt: $3\cdot 100+2\cdot 80+1\cdot 110=300+160+110=570\text{ kr}$
• Antall retter: $3+2+1=6>4$, så rabatt = $570\cdot \mathrm{0,10}=57\text{ kr}$
• Levering: $5<8$, så leveringspris = $70\text{ kr}$
• Å betale totalt: $570-57+70=\underline{\underline{583\text{ kr}}}$

Prismodell for Taxi A

Fra kvitteringene ser vi at Taxi A har tre separate poster: startpris, pris per minutt og pris per kilometer.

Pris per minutt:

Fra tur 1: 11 min koster 77 kr, og fra tur 2: 14 min koster 98 kr.

Prisen er $7\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$.

Pris per kilometer:

Fra tur 1: 10,0 km koster 140 kr, og fra tur 2: 16,0 km koster 224 kr.

Prisen er $14\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{k}\mathrm{m}$.

Prismodell for Taxi A, der $t$ er reisetid i minutter og $d$ er avstand i km:

Vi kan verifisere mot tur 1: $75+7\cdot 11+14\cdot \mathrm{10,0}=75+77+140=292\mathrm{k}\mathrm{r}$ ✓

Prismodell for Taxi B

Taxi B viser tid og avstand som én samlet post. Vi vet ikke prisene separat, men kan sette opp et likningssystem.

La $a$ = pris per minutt og $b$ = pris per kilometer.

Fra tur 1: $6a+\mathrm{5,0}b=120$

Fra tur 2: $18a+\mathrm{20,0}b=435$

Vi løser dette likningssystemet. Ganger tur 1 med 4:

Trekker tur 2 fra:

Setter $a=\mathrm{7,5}$ inn i tur 1:

Prismodell for Taxi B:

Vi kan verifisere mot tur 2: $66+\mathrm{7,5}\cdot 18+15\cdot \mathrm{20,0}=66+135+300=501\mathrm{k}\mathrm{r}$ ✓

Sammenlikning av prismodellene

	Taxi A	Taxi B
Startpris	$75\mathrm{k}\mathrm{r}$	$66\mathrm{k}\mathrm{r}$
Pris per minutt	$7\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$	$\mathrm{7,5}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$
Pris per km	$14\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{k}\mathrm{m}$	$15\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{k}\mathrm{m}$

Taxi A har høyere startpris ($75$ mot $66$ kr), men lavere pris per minutt ($7$ mot $\mathrm{7,5}$ kr/min) og lavere pris per km ($14$ mot $15$ kr/km).

Differansen mellom de to selskapene er:

• Taxi A er billigst når $P_A-P_B<0$, det vil si når $9-\mathrm{0,5}t-d<0$, altså $d+\mathrm{0,5}t>9$.
• Taxi B er billigst når $d+\mathrm{0,5}t<9$.
• De koster det samme når $d+\mathrm{0,5}t=9$.

Eksempler:

Tur	Tid	Avstand	$d+\mathrm{0,5}t$	Taxi A	Taxi B	Billigst
Kort bytur	5 min	3 km	5,5	152 kr	148,50 kr	Taxi B
Mellomlang tur	10 min	8 km	13	257 kr	261 kr	Taxi A
Lang tur	20 min	15 km	25	425 kr	441 kr	Taxi A

Konklusjon: Taxi B lønner seg på korte turer der tid og avstand er liten. For lengre turer lønner Taxi A seg, fordi den lavere prisen per minutt og per kilometer mer enn oppveier den høyere startprisen. Breakeven-betingelsen $d+\mathrm{0,5}t=9$ tilsvarer for eksempel en tur på 9 km uten ventetid, eller en tur på 18 minutters varighet uten kjørelengde.