1P Vår 2019

Av diagrammet ser vi at forretningen solgte $200$ biler i 2015. Salget økte med $15\%$ til 2016, så vekstfaktoren er

Antall biler solgt i 2016 blir dermed

Forretningen solgte altså $\underline{\underline{230\text{ biler}}}$ i 2016.

Av diagrammet ser vi at forretningen solgte $240$ biler i 2017 og $204$ biler i 2018. Nedgangen i antall biler er

Prosentvis nedgang finner vi ved å dele nedgangen på verdien salget gikk ned fra (2017-tallet), og gange med $100\%$:

Bilsalget gikk altså ned med $\underline{\underline{15\%}}$ fra 2017 til 2018.

Fra 2014 til 2015 gikk salget ned med $20\%$, så reduksjonsfaktoren er

Vi vet at forretningen solgte $200$ biler i 2015. Lar $x$ være antall biler solgt i 2014. Da er

Forretningen solgte altså $\underline{\underline{250\text{ biler}}}$ i 2014.

Klossen er et rett, trekantet prisme. Grunnflaten er trekanten $ABF$, og prismets høyde er lengden $BC$.

Siden $E$ er midtpunktet på $AB$, er

$EF$ står vinkelrett på $AB$, så $EF$ er høyden i trekanten $ABF$ når $AB$ er grunnlinjen. Arealet av grunnflaten blir da

Volumet av prismet er grunnflaten multiplisert med høyden $BC$:

Volumet av klossen er $\underline{\underline{V=576{\mathrm{cm}}^3}}$.

Overflaten består av to trekantede endeflater ($ABF$ og den motsvarende toppflaten) og tre rektangulære sideflater — én for hver av sidene $AB$, $BF$ og $AF$ i trekanten, alle med høyde $BC=\mathrm{12,0}\mathrm{cm}$.

Vi trenger sidene $AF$ og $BF$ i trekanten. Siden $\angle BEF=90°$, er trekant $AEF$ (og $BEF$) rettvinklet, og vi finner $AF$ med Pytagoras’ setning:

Trekanten $ABF$ er likebeint (siden $E$ er midtpunkt og $EF⟂AB$), så $BF=AF=\mathrm{10,0}\mathrm{cm}$.

Arealet av de to trekantede endeflatene:

Arealet av de tre rektangulære sideflatene:

Totalt overflateareal:

Overflatearealet av klossen er $\underline{\underline{S=528{\mathrm{cm}}^2}}$.

Vi setter av punktene fra tabellen i et koordinatsystem med grader celsius langs $x$-aksen og grader fahrenheit langs $y$-aksen, og tegner en rett linje gjennom dem.

To størrelser er proporsjonale bare når sammenhengen mellom dem er en rett linje gjennom origo ($0,0$).

Fra tabellen ser vi at når $C=0$, er $F=32$, ikke $0$. Linja i figuren over går altså ikke gjennom origo.

Antall grader celsius er derfor ikke proporsjonalt med antall grader fahrenheit.

De to gradestokkene viser samme tall når celsius-verdien er lik fahrenheit-verdien. Vi ser på tabellen: når $C$ går fra $-30$ til $-50$ (en nedgang på $20$), går $F$ fra $-22$ til $-58$ (en nedgang på $36$). Stigningstallet til linja er dermed

Vi bruker punktet $(0,32)$ og skriver linja på formen $F=\mathrm{1,8}\cdot C+32$. De to gradestokkene viser samme tall når $C=F$. Da kan vi kalle den felles verdien $x$:

Det må altså være $\underline{\underline{-40{}^{\circ }\text{C}}}$ ute for at de to gradestokkene skal vise samme verdi ($-40{}^{\circ }\text{F}$).

Linja har stigningstall $a=\mathrm{1,8}={\displaystyle \frac{9}{5}}$ (funnet i oppgave c) og skjærer $y$-aksen (fahrenheit-aksen) i punktet $(0,32)$, altså er konstantleddet $b=32$.

Formelen for sammenhengen mellom grader celsius og grader fahrenheit blir dermed

Vi setter $C=100$ inn i formelen fra oppgave d):

Dette viser at $\underline{\underline{100{}^{\circ }\text{C}=212{}^{\circ }\text{F}}}$, slik oppgaven påstår.

Siden hendelsene er uavhengige, bruker vi produktsetningen for å finne sannsynligheten for at begge inntreffer:

«Nøyaktig én av dagene» betyr at toget enten er i rute på mandag men ikke på fredag, eller i rute på fredag men ikke på mandag. Disse to hendelsene utelukker hverandre, så vi kan legge sammen sannsynlighetene.

Sannsynligheten for at toget ikke er i rute:

Vi regner ut de to delhendelsene:

Sannsynligheten for nøyaktig én av dagene blir summen:

De $18000$ kronene skal deles likt på $8$ personer. Vi deler totalprisen på antall personer:

Hver person må betale $\underline{\underline{2250\mathrm{kr}}}$.

Uansett hvor mange personer $x$ som blir med, deles de samme $18000$ kronene likt mellom dem. Prisen per person er dermed totalprisen delt på antall personer:

Sammenhengen $U(x)={\displaystyle \frac{18000}{x}}$ er omvendt proporsjonal, ikke lineær. Det betyr at grafen ikke er en rett linje, men en kurve som synker brattest når $x$ er lite, og flater mer og mer ut jo flere personer som blir med (prisen per person kan aldri bli negativ eller null).

Den venstre grafen er en rett linje, som ville betydd at $U$ var en lineær funksjon av $x$ — det stemmer ikke med formelen i oppgave b). Den høyre grafen er en avtagende kurve som flater ut, og det stemmer med at $U(x)={\displaystyle \frac{18000}{x}}$ er omvendt proporsjonal.

Grafen til $U$ er derfor $\underline{\underline{\text{den høyre grafen}}}$.

Vi bruker graftegner (GeoGebra) til å tegne grafene til $L$ og $N$ for $0\le x\le 24$.

Vi finner ut når $L(x)>8$ ved å tegne inn linja $y=8$ og se hvor grafen til $L$ (rød) ligger over denne linja, se figuren i a). Skjæringspunktene mellom $L$ og $y=8$ leses av til

Vi gjør om desimaltimene til klokkeslett: $\mathrm{0,22}\cdot 60\text{min}\approx 13\text{min}$ og $\mathrm{0,53}\cdot 60\text{min}\approx 32\text{min}$. Temperaturen ved Lindesnes var altså høyere enn $8{}^{\circ }\mathrm{C}$ fra omtrent klokka $16:13$ til klokka $21:32$ dette døgnet.

$\underline{\underline{\text{Fra ca. kl. }16:13\text{ til ca. kl. }21:32}}$

Vi setter $x=12$ inn i uttrykkene for $L$ og $N$:

Temperaturforskjellen klokka 12.00 er da

$\underline{\underline{F(12)\approx \mathrm{8,0}{}^{\circ }\mathrm{C}}}$, altså var det ved 12-tiden omtrent $8$ grader varmere ved Lindesnes enn ved Nordkapp.

Vi definerer $F(x)=L(x)-N(x)$ i graftegneren og tegner grafen for $0\le x\le 24$.

Fra grafen over ser vi at toppunktet til $F$ ligger i

Gjør vi om desimaltiden: $\mathrm{0,9}\cdot 60\text{min}\approx 56\text{min}$, altså inntraff toppunktet klokka omtrent $19:56$.

Praktisk betyr toppunktet at temperaturforskjellen mellom Lindesnes og Nordkapp var størst omtrent klokka $19:56$, og at Lindesnes da var omtrent $\mathrm{10,65}{}^{\circ }\mathrm{C}$ varmere enn Nordkapp — det størst mulige temperaturgapet mellom de to stedene dette døgnet.

Pasienten veier $m=63\mathrm{kg}$, og $A=25$ (prosentandelen). Vi setter tallene inn i Parklands formel:

Siden $1\mathrm{L}=1000\mathrm{mL}$, blir dette

Pasienten skal ha tilført $\underline{\underline{\mathrm{6,3}\mathrm{liter}}}$ væske de første 24 timene.

Nå kjenner vi $m=85\mathrm{kg}$ og $V=10\mathrm{L}=10000\mathrm{mL}$, og skal finne $A$. Vi setter inn i formelen og løser likningen med hensyn på $A$:

Det betyr at $\underline{\underline{\text{omtrent }29\%\text{ av kroppens overflateareal er forbrent}}}$ hos denne pasienten.

Kaken er en sylinder med diameter $\mathrm{26,0}\mathrm{cm}$, altså radius $r=\mathrm{13,0}\mathrm{cm}$, og høyde $h=\mathrm{8,0}\mathrm{cm}$. Volumet av en sylinder er $V=\pi r^{2}h$:

Siden $1\mathrm{L}=1000{\mathrm{cm}}^3$, blir volumet

Kaken har et volum på $\underline{\underline{\mathrm{4,25}\mathrm{liter}}}$.

Etter oppskriften finner vi diameteren til marsipanlokket ved å legge sammen kakens diameter, to ganger høyden, og 7 cm ekstra:

Radiusen til lokket er da $r_{\text{lokk}}=\mathrm{49,0}/2=\mathrm{24,5}\mathrm{cm}$. Arealet av sirkelen (marsipanlokket) blir

Marsipanlokket har et areal på $\underline{\underline{1886{\mathrm{cm}}^2}}$.

Ingrid skal dekke kaken med marsipan på toppen og på sidene, ikke på bunnen (kaken står på et fat). Overflatearealet som skal dekkes, består derfor av toppflaten (en sirkel med $r=\mathrm{13,0}\mathrm{cm}$) og mantelflaten (sideflaten) til sylinderen:

Forholdet mellom arealet av marsipanlokket og dette overflatearealet blir

Dette er tilnærmet lik $\underline{\underline{\mathrm{1,6}}}$, som skulle vises.

Av de $1000$ personene er $25\%$ under 30 år:

De resterende er 30 år eller eldre:

Av de $250$ personene under 30 år kildesorterer $14\%$:

Av de $750$ personene som er 30 år eller eldre kildesorterer $44\%$:

Vi fyller ut resten av tabellen ved å regne ut differansene, slik at radene og kolonnene summerer riktig:

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person kildesorterer aluminiumsformer, finner vi ved å dele antallet som kildesorterer på totalt antall personer:

$\underline{\underline{P(\text{kildesorterer})=\mathrm{0,365}=\mathrm{36,5}\%}}$

Vi skal finne sannsynligheten for at personen er under 30 år, gitt at personen kildesorterer. Dette er en betinget sannsynlighet, og vi bruker formelen

$\underline{\underline{P(\text{under 30 år}|\text{kildesorterer})\approx \mathrm{0,096}=\mathrm{9,6}\%}}$

Det vil si at blant dem som kildesorterer aluminiumsformer, er det ganske få (under $10\%$) som er under 30 år.

Siri betaler skatt av den delen av lønnen som overstiger $54650$ kroner. Vi finner først dette beløpet:

Skatten er $25\%$ av dette beløpet:

Siri må betale $\underline{\underline{5450\mathrm{kroner}}}$ i skatt av det hun tjente i 2018.

Siri sparer $25000$ kroner på BSU-kontoen, som er hele grensen for skattereduksjon. Skatten reduseres med $20\%$ av det sparte beløpet:

Den nye skatten finner vi ved å trekke skattereduksjonen fra skatten hun regnet ut i a):

Siri må nå betale $\underline{\underline{450\mathrm{kroner}}}$ i skatt av det hun tjente i 2018. BSU-sparingen gjorde altså at hun sparte $5000$ kroner i skatt.

I trapeset $ABCD$ er $AB$ og $DC$ de to parallelle sidene. Diagonalene $AC$ og $BD$ er transversaler som skjærer de parallelle linjene.

• Siden $AB\parallel DC$, og $BD$ er en transversal, er $\angle ABE$ og $\angle CDE$ samsvarende/vekselvinkler, så $\angle ABE=\angle CDE$.
• Siden $AB\parallel DC$, og $AC$ er en transversal, er $\angle BAE$ og $\angle DCE$ på samme måte vekselvinkler, så $\angle BAE=\angle DCE$.

Trekantene $△ABE$ og $△CDE$ har dermed to par like vinkler (det tredje paret, toppvinklene $\angle AEB$ og $\angle CED$, er da også like, siden vinkelsummen i en trekant er $180°$). Når to trekanter har parvis like vinkler, er de formlike.

Siden trekantene er formlike med $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$ og $E\leftrightarrow E$, er forholdet mellom tilsvarende sider det samme:

Vi setter inn $AB=12$ og $DC=4$:

Det betyr at $BE=3\cdot DE$. Diagonalen $BD$ er delt av $E$ i delene $BE$ og $DE$, og vi vet at $BD=18$. Vi setter opp likningen

Lengden av $DE$ er $\underline{\underline{\mathrm{4,5}}}$.

Radene 7–9 gjelder de tre vektklassene, rad 11 er en sumrad, og rad 13–14 gir rabatt og totalpris. Cellene $B7$–$B9$, $B3$ (mva.) og $B4$ (rabattgrense) er allerede fylt ut med opplysningene fra oppgaven. De blå cellene fylles med formler:

Formlene i $D$, $E$ og $F$ i radene 7–9 kan skrives i rad 7 og dras/kopieres ned til rad 9, siden det bare er radnummeret som endres. $B$3 og $B$4 er låst med dollartegn slik at de ikke flytter seg når formelen kopieres.

Vi fyller inn antall pakker i $C7$–$C9$: fire pakker under 3 kg ($C7=4$), én pakke fra 3 til 10 kg ($C8=1$) og ti pakker fra 10 til 20 kg ($C9=10$). Regnearket regner da automatisk ut resten:

Siden antall pakker (15) er mer enn tre, gis 15 % rabatt av $F11=4600$ kroner:

Mathjørnet må altså betale $\underline{\underline{3910\mathrm{kr}}}$.

Skomagasinet bestiller 5 pakker og betaler 1105 kroner. Siden $5>3$, gjelder 15 % rabatt, og siden mva. er 25 %, gir regnearket denne sammenhengen mellom antall pakker i hver vektklasse ($x$ under 3 kg, $y$ fra 3–10 kg, $z$ fra 10–20 kg) og totalprisen:

Vi vet også at $x+y+z=5$. Ved å prøve ulike verdier i regnearket (sette inn tall i $C7$–$C9$ og se hva $F14$ blir), finner vi kombinasjonen som gir riktig sum:

Kombinasjonen $x=2$, $y=1$, $z=2$ gir nettopp $1105$ kroner:

Skomagasinet har altså bestilt utkjøring av $\underline{\underline{2\text{ pakker under }3\text{ kg},1\text{ pakke fra }3\text{ til }10\text{ kg},2\text{ pakker fra }10\text{ til }20\text{ kg}}}$.