1P Høst 2019

Konsumprisindeksen var $\mathrm{105,5}$ i 2017 og $\mathrm{108,4}$ i 2018. Endringen i prosentpoeng er differansen mellom de to indeksverdiene:

Konsumprisindeksen økte med $\underline{\underline{\mathrm{2,9}\text{ prosentpoeng}}}$ fra 2017 til 2018.

For at Marianne skal ha samme kjøpekraft (reallønn) i 2018 som hun hadde i 2016, må den nominelle lønnen hennes øke i samme takt som prisene, det vil si i samme takt som KPI. Vi ganger reallønnen i 2016 med forholdet mellom KPI i 2018 og KPI i 2016:

Marianne måtte hatt omtrent $\underline{\underline{1046332\mathrm{kr}}}$ i nominell lønn i 2018 for å ha samme kjøpekraft som i 2016.

Vi setter $t=24$ inn i formelen:

Temperaturen i fryseboksen er $\underline{\underline{-12{}^{\circ }\text{C}}}$ etter 24 timer.

Vi setter $T=0$ inn i formelen og løser likningen for $t$:

Strømmen har vært slått av i $\underline{\underline{72\text{timer}}}$ når temperaturen er $0{}^{\circ }\text{C}$.

Tallet $\mathrm{0,25}$ er stigningstallet i formelen. Det forteller at temperaturen i fryseboksen stiger med $\mathrm{0,25}{}^{\circ }\text{C}$ for hver time som går etter at strømmen er slått av.

Tallet $-18$ er konstantleddet, altså verdien av $T$ når $t=0$. Det forteller at fryseboksen holdt $-18{}^{\circ }\text{C}$ i det øyeblikket strømmen ble slått av.

Vi lar $F$ være hendelsen «velger fiskerett», $K$ være hendelsen «velger kjøttrett» og $D$ være hendelsen «ønsker dessert». Vi vet at $P(F)={\displaystyle \frac{3}{5}}$, og siden alle elevene velger enten fisk eller kjøtt, er $P(K)=1-{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$.

Videre er $P(D|F)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ og $P(D|K)={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ønsket dessert, finner vi ved å summere sannsynlighetene for de to «veiene» gjennom treet som ender i dessert (produktsetningen langs hver gren, deretter addisjonssetningen):

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ønsket dessert, er $\underline{\underline{P(D)={\displaystyle \frac{3}{5}}=60\%}}$.

To størrelser $x$ og $y$ er proporsjonale når grafen er en rett linje gjennom origo, altså at $y=a\cdot x$.

• Graf C er en rett linje, men den skjærer $y$-aksen i $10$ og går derfor ikke gjennom origo. Da er $x$ og $y$ ikke proporsjonale.
• Graf D er en rett linje som går gjennom origo $(0,0)$.

Påstand 1 kan derfor bare være riktig for $\underline{\underline{\text{graf D}}}$.

To størrelser $x$ og $y$ er omvendt proporsjonale når grafen er en synkende kurve (hyperbel) av typen $y={\displaystyle \frac{k}{x}}$, der produktet $x\cdot y$ er konstant. Graf A og graf B er begge synkende kurver, så vi må lese av noen punkter på hver av dem og sjekke om produktet $x\cdot y$ er det samme hele veien.

• Graf B: $(1,32)$, $(2,16)$, $(4,8)$ og $(8,4)$ gir $x\cdot y=32$ i alle punktene. Produktet er konstant, så graf B er omvendt proporsjonal, med $y={\displaystyle \frac{32}{x}}$.
• Graf A: $(1,80)$, $(2,40)$, $(3,20)$ og $(4,10)$ gir $x\cdot y$ lik $80$, $80$, $60$ og $40$ — produktet er ikke konstant. Graf A halverer seg for hver gang $x$ øker med $1$ (fra $80$ til $40$ til $20$ til $10$ osv.), som er typisk for en eksponentielt avtakende funksjon, ikke en omvendt proporsjonal sammenheng.
• Graf C og graf D er rette linjer, og passer derfor ikke med omvendt proporsjonalitet.

Påstand 2 kan derfor bare være riktig for $\underline{\underline{\text{graf B}}}$.

Vi taster funksjonen $f(x)=\mathrm{0,11}{x}^3-\mathrm{2,31}{x}^2+\mathrm{13,44}x+\mathrm{81,3}$ inn i et graftegningsprogram, med $0\le x\le 12$. Grafen er vist under, sammen med den vannrette linjen $y=100$ og sekantlinjen fra deloppgave c).

Prisindeksen er lavere enn $100$ der grafen til $f$ ligger under den vannrette linjen $y=100$. Vi bruker skjæringspunkt-verktøyet i graftegneren til å finne hvor grafen krysser $y=100$, og finner tre skjæringspunkter i intervallet $[0,12]$:

Av grafen ser vi at $f(x)<100$ for

Siden $x$ er antall måneder etter 1. januar 2018, betyr dette at prisindeksen var lavere enn $100$ fra januar til begynnelsen av mars 2018, og fra begynnelsen av august til slutten av desember 2018.

Stigningstallet til den rette linjen (sekanten) gjennom punktene $C=(0,f(0))$ og $D=(12,f(12))$ er gitt ved

Fra grafen (eller ved innsetting i $f$) leser vi av $f(0)=\mathrm{81,3}$ og $f(12)=\mathrm{100,02}$. Da blir stigningstallet

Svar: $\underline{\underline{a=\mathrm{1,56}}}$

Praktisk tolkning: i gjennomsnitt økte prisindeksen til varen med $\mathrm{1,56}$ per måned i løpet av perioden fra januar 2018 til januar 2019.

Vi vet at det er 30 elever i klassen totalt. Av disse har 12 elever tysk og 14 elever har 1P. 10 elever har verken tysk eller 1P.

Siden 10 elever har verken tysk eller 1P, er det $30-10=20$ elever som har tysk, 1P eller begge deler.

Vi kaller antallet som har både tysk og 1P for $x$. Da må

Altså har 6 elever både tysk og 1P. Da har $12-6=6$ elever tysk, men ikke 1P, og $14-6=8$ elever 1P, men ikke tysk.

Dette gir følgende krysstabell:

Vi skal finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har tysk, men ikke 1P. Av tabellen ser vi at 6 av de 30 elevene har tysk, men ikke 1P. Da er

$\underline{\underline{P=\mathrm{0,2}}}$, altså er det $20\%$ sjanse for at eleven har tysk, men ikke 1P.

Nå vet vi at eleven ikke har 1P, og vi skal finne sannsynligheten for at eleven da har tysk. Dette er en betinget sannsynlighet.

Av tabellen ser vi at det totalt er 16 elever som ikke har 1P (summen i kolonnen «Ikke 1P»). Av disse 16 har 6 elever tysk. Da er

$\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,375}}}$, altså er det ca. $\mathrm{37,5}\%$ sjanse for at eleven har tysk, gitt at eleven ikke har 1P.

Hos Print må Kari betale en grunnpris på 100 kroner, og i tillegg 0,5 kroner per visittkort. Prisen for $x$ visittkort blir dermed

Hos Digitrykk er det ingen grunnpris, bare 0,7 kroner per visittkort. Prisen for $x$ visittkort blir dermed

Print er billigst når $P(x)$ er mindre enn $D(x)$:

Vi finner altså at Print er billigst når $x>500$. Siden antall visittkort må være et helt tall, må Kari bestille minst 501 visittkort for at Print skal være det rimeligste alternativet.

Vi kan kontrollere dette: ved $x=500$ koster begge alternativene like mye, $P(500)=100+\mathrm{0,5}\cdot 500=350$ kr og $D(500)=\mathrm{0,7}\cdot 500=350$ kr. Ved $x=501$ er $P(501)=\mathrm{350,5}$ kr og $D(501)=\mathrm{350,7}$ kr, så da er Print billigst.

$\underline{\underline{x=501\text{ visittkort}}}$

En sammenheng er proporsjonal dersom grafen går gjennom origo, altså at prisen er 0 kroner når antall visittkort er 0.

For $P(x)$: $P(0)=100+\mathrm{0,5}\cdot 0=100$. Prisen er ikke 0 når $x=0$, så $P(x)$ er ikke proporsjonal (den har en fast grunnpris på 100 kroner).

For $D(x)$: $D(0)=\mathrm{0,7}\cdot 0=0$. Prisen er 0 når $x=0$, og $D(x)$ er på formen $D(x)=k\cdot x$ med $k=\mathrm{0,7}$. Dette betyr at $D(x)$ er en proporsjonal sammenheng.

$\underline{\underline{D(x)\text{ viser en proporsjonal sammenheng, }P(x)\text{ gjør det ikke}}}$

Osten er formet som en sylinder med diameter $\mathrm{35,2}\mathrm{cm}$, altså radius

og høyde $h=\mathrm{14,4}\mathrm{cm}$.

Overflaten av en sylinder består av to sirkler (topp og bunn) og et rektangel (kappen), og er gitt ved

Vi setter inn tallene:

$\underline{\underline{O\approx \mathrm{3538,7}{\mathrm{cm}}^2}}$

Hver person spiser i gjennomsnitt $12\mathrm{kg}$ hvitost i året, og $40\%$ av dette brukes på brødskiver. Mengden hvitost på brødskiver blir dermed

Det går med 20 g hvitost til én brødskive, så antall brødskiver blir

$\underline{\underline{240\text{ brødskiver}}}$

Personen spiser tre brødskiver med hvitost, og hver skive har $20\mathrm{g}$ hvitost. Total mengde hvitost blir

Energien i 100 g av denne hvitosten er $1447\mathrm{kJ}$. Energien i 60 g blir da

Det daglige energibehovet er $10000\mathrm{kJ}$. Andelen av dagsbehovet som osten utgjør, blir

$\underline{\underline{\approx \mathrm{8,7}\%}}$ av det daglige energibehovet dekkes av osten på de tre brødskivene.

Vi setter inn $h=180$ og $m=75$ i Mostellers formel:

$\underline{\underline{O\approx \mathrm{1,94}{\mathrm{m}}^2}}$

Vi vet at $O=\mathrm{1,66}$ og $m=61$, og skal finne høyden $h$. Vi setter inn i formelen og løser med hensyn på $h$:

$\underline{\underline{h\approx \mathrm{162,6}\mathrm{cm}}}$, altså er pasienten ifølge Mostellers formel omtrent $\mathrm{162,6}\mathrm{cm}$ høy.

Vi vet at $385200\mathrm{k}{\mathrm{m}}^2$ er $\mathrm{0,26}\%$ av arealet $X$ vi leter etter. Da kan vi sette opp likningen

Vi løser likningen ved å dele begge sider med $\mathrm{0,0026}$:

Arealet av den delen av jordas overflate som ikke er dekket av hav, er dermed

(avrundet til nærmeste $100000\mathrm{k}{\mathrm{m}}^2$, siden opplysningen $\mathrm{0,26}\%$ bare har to gjeldende siffer).

Norges befolkning utgjør $\mathrm{0,72}\%$ av Europas befolkning, og Europas befolkning utgjør $\mathrm{9,67}\%$ av verdens befolkning. For å finne Norges andel av verdens befolkning, ganger vi de to prosentandelene sammen (skrevet som desimaltall):

Vi gjør om til prosent ved å multiplisere med $100\%$:

Norges befolkning utgjør altså

av verdens befolkning.

Vi lager et regneark med Eva sine og Jan sine opplysninger i hver sin kolonne. I de hvite cellene skriver vi inn alminnelig inntekt og personfradraget på $56550$ kroner. Grunnlaget for skatteberegningen finner vi ved å trekke personfradraget fra den alminnelige inntekten:

I den nederste tabellen setter vi inn prosentsatsene fra oppgaveteksten ($\mathrm{11,80}\%$, $\mathrm{2,65}\%$, $\mathrm{7,55}\%$ og $\mathrm{22,00}\%$). Beløpet for hver skatteart finner vi ved å multiplisere grunnlaget (som er en absolutt cellereferanse, siden det ikke skal endre seg når formelen kopieres nedover) med prosentsatsen i samme rad:

Formelen i C9 og D9 kopieres nedover til rad 12, slik at vi også får fylkesskatt, fellesskatt og samlet skatt. Regnearket med formler synlig ser slik ut:

Med tallene satt inn gir formlene disse verdiene:

Samlet skatt av alminnelig inntekt (siste rad) blir dermed $162459$ kroner for Eva og $117139$ kroner for Jan.

$\underline{\underline{\text{Eva betaler }162459\mathrm{kr}\text{ i samlet skatt, Jan betaler }117139\mathrm{kr}}}$

Vi utvider regnearket med to nye rader øverst: personinntekt og minstefradrag. Minstefradraget er $45\%$ av personinntekten, men aldri mer enn $100800$ kroner. Dette setter vi opp med MIN-funksjonen, som velger det minste av de to verdiene:

Alminnelig inntekt er personinntekten minus minstefradraget:

Resten av regnearket er bygd opp akkurat som i a): personfradraget trekkes fra den alminnelige inntekten for å finne grunnlaget, og skattebeløpene regnes ut ved å multiplisere grunnlaget med prosentsatsene. Regnearket med formler synlig ser slik ut:

Med tallene satt inn gir formlene disse verdiene:

For Terje er $45\%$ av personinntekten $78750$ kroner, som er mindre enn maksgrensen på $100800$ kroner, så minstefradraget hans blir $78750$ kroner. For Elisabet er $45\%$ av personinntekten $390600$ kroner, som er langt over maksgrensen, så minstefradraget hennes blir begrenset til $100800$ kroner. Dette gir alminnelig inntekt på $96250$ kroner for Terje og $767200$ kroner for Elisabet, og samlet skatt av alminnelig inntekt på henholdsvis $8734$ kroner og $156343$ kroner.

$\underline{\underline{\text{Terje betaler }8734\mathrm{kr}\text{ i samlet skatt, Elisabet betaler }156343\mathrm{kr}}}$