1P Vår 2013

I en trekant er vinkelsummen alltid $180°$. Vi finner den tredje vinkelen i hver trekant.

I trekant $ABC$ er $\angle A=\mathrm{34,1}°$ og $\angle C=\mathrm{101,5}°$, så

I trekant $DEF$ er $\angle D=\mathrm{101,5}°$ og $\angle F=\mathrm{44,4}°$, så

Da ser vi at trekantene har parvis like vinkler:

Når to trekanter har parvis like vinkler, er de formlike. Dermed er $\underline{\underline{\text{trekant }ABC\text{ formlik med trekant }EFD}}$.

Siden trekantene er formlike, er forholdet mellom samsvarende sider (sidene som ligger motsatt like vinkler) det samme i hele trekanten.

Siden $AB$ (motsatt $\angle C=\mathrm{101,5}°$) samsvarer med $EF$ (motsatt $\angle D=\mathrm{101,5}°$), finner vi målestokken:

Siden $DF$: $BC$ (motsatt $\angle A$) samsvarer med $DF$ (motsatt $\angle E$):

Siden $AC$: $AC$ (motsatt $\angle B$) samsvarer med $DE$ (motsatt $\angle F$):

Sidene er $\underline{\underline{AC=\mathrm{5,0}}}$ og $\underline{\underline{DF=\mathrm{5,6}}}$.

Oppskriften er for 3 porsjoner. Vi skal lage 10 porsjoner, så vi ganger alle mengdene med samme forholdstall:

Da finner vi hvor mye ris, vann og melk vi trenger:

Vi trenger altså $\underline{\underline{\mathrm{5,0}\mathrm{dL}\text{ ris, }10\mathrm{dL}\text{ vann og }\mathrm{2,5}\mathrm{L}\text{ melk}}}$.

Vi finner først hvor mye melk som trengs per porsjon. Ifølge tabellen bruker vi $\mathrm{0,75}\mathrm{L}$ melk til 3 porsjoner:

Vi har $5\mathrm{L}$ melk. Antall porsjoner vi kan lage, finner vi ved å dele melkemengden vi har på melkemengden per porsjon:

Vi kan lage $\underline{\underline{20\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ grøt med $5\mathrm{L}$ melk.

Arealet av halvsirkelen med radius $r=\mathrm{1,0}\mathrm{m}$ finner vi med formelen for arealet av en sirkel, delt på 2:

Arealet av trekanten med grunnlinje $AB=\mathrm{3,0}\mathrm{m}$ og høyde $h=\mathrm{1,0}\mathrm{m}$:

Siden $\mathrm{1,57}{\mathrm{m}}^2>\mathrm{1,5}{\mathrm{m}}^2$, har $\underline{\underline{\text{halvsirkelen størst areal}}}$.

Omkretsen av halvsirkelen består av den rette linjen (diameteren) og den buede delen (halve sirkelomkretsen):

Omkretsen av trekanten. Trekanten er likebeint med grunnlinje $AB=\mathrm{3,0}\mathrm{m}$. Høyden $h=\mathrm{1,0}\mathrm{m}$ står vinkelrett på $AB$ og deler grunnlinjen i to like store deler, hver på $\mathrm{1,5}\mathrm{m}$. De to like lange sidene $AC$ og $BC$ finner vi med Pytagoras’ setning i den rettvinklede trekanten som dannes av halve grunnlinjen og høyden:

Omkretsen av trekanten blir da:

Siden $\mathrm{6,61}\mathrm{m}>\mathrm{5,14}\mathrm{m}$, har $\underline{\underline{\text{trekanten størst omkrets}}}$.

Hver dag tapper vi $\mathrm{5,0}\mathrm{L}$ vann fra tanken. Etter åtte dager har vi tappet:

Vannmengden som er igjen i tanken, blir dermed:

Det er altså $\underline{\underline{20\mathrm{L}}}$ igjen i tanken etter åtte dager.

Tanken er tom når alle $60\mathrm{L}$ er tappet ut. Siden vi tapper $\mathrm{5,0}\mathrm{L}$ per dag, finner vi antall dager ved å dele:

Det går $\underline{\underline{12\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ før tanken er tom.

Tanken starter med $60\mathrm{L}$ vann, og hver dag minker vannmengden med $5\mathrm{L}$. Etter $x$ dager er det tappet $5x$ liter, så vannmengden som er igjen er startmengden minus det som er tappet:

Grafen til $f$ er en rett linje som starter i $(0,60)$ og synker med $5$ liter for hver dag som går, helt ned til den krysser x-aksen i $(12,0)$.

For å svare på oppgave a) ved hjelp av grafen, leser vi av på to måter:

• For å finne hvor mye vann som er igjen etter 8 dager, går vi loddrett opp fra $x=8$ til grafen, og deretter vannrett bort til y-aksen. Der leser vi av $y=20$, altså $20\mathrm{L}$.
• For å finne når tanken er tom, ser vi hvor grafen krysser x-aksen (der $y=0$). Det skjer ved $x=12$, altså etter 12 dager.

Dette stemmer med svarene vi fant i a).

I esken er det til sammen fem kuler: tre røde og to blå. Sondre trekker to kuler uten å legge tilbake den første.

Sannsynligheten for at den første kulen er rød:

Når én rød kule er tatt ut, er det igjen fire kuler i esken, hvorav to røde. Sannsynligheten for at også den andre kulen er rød:

Sannsynligheten for at begge kulene er røde, finner vi ved å multiplisere sannsynlighetene langs veien:

Sannsynligheten for at Sondre trekker to røde kuler, er $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{3}{10}}=\mathrm{0,3}}}$.

De to kulene har samme farge enten hvis begge er røde, eller hvis begge er blå. Vi fant sannsynligheten for to røde kuler i a): $P(\text{RR})={\displaystyle \frac{3}{10}}$.

Vi finner sannsynligheten for to blå kuler på samme måte. Sannsynligheten for at den første kulen er blå:

Når én blå kule er tatt ut, er det igjen fire kuler, hvorav én blå. Sannsynligheten for at også den andre kulen er blå:

Siden de to hendelsene (to røde eller to blå) ikke kan skje samtidig, legger vi sammen sannsynlighetene:

Sannsynligheten for at de to kulene har samme farge, er $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{4}{10}}=\mathrm{0,4}}}$.

Vanlig arbeidstid gir timelønn $195\mathrm{kr}$. Overtid med $50\%$ tillegg gir en timelønn på $\mathrm{1,5}\cdot 195\mathrm{kr}$, og overtid med $100\%$ tillegg gir en timelønn på $2\cdot 195\mathrm{kr}$.

Bruttolønna er summen av disse tre delene.

Ole hadde altså en bruttolønn på $\underline{\underline{36270\mathrm{kr}}}$ denne måneden.

Pensjonstrekket er $2\%$ av bruttolønna.

Ole betalte $\underline{\underline{\mathrm{725,40}\mathrm{kr}}}$ til pensjonskassen.

Først trekker vi fra pensjonsinnskuddet, slik at vi finner beløpet skatten regnes av.

Deretter trekkes $36\%$ skatt fra dette beløpet, så Ole sitter igjen med $64\%$.

Ole fikk utbetalt $\underline{\underline{22\mathrm{748,54}\mathrm{kr}\approx 22749\mathrm{kr}}}$ denne måneden.

Timelønna med $50\%$ tillegg er $\mathrm{1,5}\cdot 195=\mathrm{292,50}\mathrm{kr}$. Etter at både pensjonstrekk ($2\%$) og skatt ($36\%$) er trukket fra, sitter Ole igjen med en netto timelønn på

La $t$ være antall timer Ole arbeidet med prosjektet. Da må netto timelønn multiplisert med antall timer være lik det utbetalte beløpet.

Ole arbeidet altså $\underline{\underline{t\approx \mathrm{27,5}\text{timer}}}$ med prosjektet.

Det er $18$ elever som ønsker taco av totalt $30$ elever. Sannsynligheten for å trekke en tacolapp er da

Sannsynligheten for at det blir taco til middag er $\underline{\underline{\mathrm{0,6}}}$.

Lappene trekkes fra to forskjellige krukker, så hendelsene “taco” og “marsipankake” er uavhengige av hverandre. Sannsynligheten for marsipankake er $P(\text{marsipankake})={\displaystyle \frac{24}{30}}=\mathrm{0,8}$.

Når to hendelser er uavhengige, multipliserer vi sannsynlighetene.

Sannsynligheten for at det blir taco til middag og marsipankake til dessert er $\underline{\underline{\mathrm{0,48}}}$.

Nå trekker vi en enkelt elev, så vi må finne ut hvor mange av de $30$ elevene som faktisk ønsker både taco og marsipankake. Vi setter opp en krysstabell ut fra opplysningene:

• Totalt: $18$ taco, $12$ pizza, $6$ sjokoladekake, $24$ marsipankake, $30$ elever.
• $4$ elever vil ha pizza og sjokoladekake.

Siden $12$ elever vil ha pizza, og $4$ av dem vil ha sjokoladekake, må de resterende $12-4=8$ ønske marsipankake. Siden $6$ elever totalt vil ha sjokoladekake, og $4$ av dem vil ha pizza, må de resterende $6-4=2$ ønske taco. Da må $18-2=16$ av tacoelevene ønske marsipankake.

Det er $16$ av de $30$ elevene som vil ha både taco og marsipankake.

Sannsynligheten for at den tilfeldig valgte eleven vil ha taco og marsipankake er $\underline{\underline{\frac{16}{30}\approx \mathrm{0,53}}}$.

Beholderen er et rett firkantet prisme med lengde $\mathrm{2,00}\mathrm{m}$, bredde $\mathrm{0,70}\mathrm{m}$ og høyde $\mathrm{1,00}\mathrm{m}$. Volumet finner vi ved å multiplisere lengde, bredde og høyde.

Siden $1{\mathrm{m}}^3=1000$ liter, blir dette

Beholderen rommer $\underline{\underline{1400\mathrm{L}}}$.

Først finner vi hvor mange kubikkmeter vann som treffer taket. Taket har et areal på $70{\mathrm{m}}^2$, og det regner $12\mathrm{mm}=\mathrm{0,012}\mathrm{m}$.

Bunnflata i beholderen har areal $\mathrm{2,00}\cdot \mathrm{0,70}=\mathrm{1,4}{\mathrm{m}}^2$. Vannstanden $h$ finner vi ved å dele volumet på bunnarealet.

Når familien kommer tilbake, står vannet $\underline{\underline{60\mathrm{cm}}}$ høyt i beholderen.

Vannstanden øker fra $10\mathrm{cm}$ til $85\mathrm{cm}$, altså en økning på $75\mathrm{cm}=\mathrm{0,75}\mathrm{m}$. Volumøkningen i beholderen er økningen i høyde multiplisert med bunnarealet $\mathrm{1,4}{\mathrm{m}}^2$.

Dette volumet kom fra nedbør på taket, som har areal $70{\mathrm{m}}^2$. Nedbørsmengden $d$ (i meter) finner vi ved å dele volumet på takarealet.

Det har regnet $\underline{\underline{15\mathrm{mm}}}$ i den tiden familien var borte.

Vi tegner grafen til $h(t)=\mathrm{3,25}{t}^3-50t^2+170t+700$ for $0\le t\le 10$ i GeoGebra.

Vi finner toppunktet på grafen med GeoGebra sitt verktøy for ekstremalpunkt. Grafen har et toppunkt for

Siden $t$ er antall år etter 1. januar 1990, betyr $t\approx \mathrm{2,15}$ at hjortebestanden var størst i løpet av 1992 (etter litt over 2 år). Antall hjort kan ikke være et ikke-heltall, så vi runder av til nærmeste hele hjort.

Hjortebestanden var altså størst i 1992, med om lag $\underline{\underline{867\text{ hjort}}}$.

Vi tegner linja $y=850$ i samme koordinatsystem og finner skjæringspunktene med grafen til $h$ i GeoGebra, se figuren i a). Skjæringspunktene i intervallet $0\le t\le 10$ er

Det betyr at det var $850$ hjort i kommunen ved to tidspunkt: første gang etter om lag $\mathrm{1,4}$ år (i 1991), mens bestanden fortsatt var i vekst, og andre gang etter om lag $\mathrm{2,9}$ år (i 1992), da bestanden hadde passert toppen og var på vei nedover igjen.

$\underline{\underline{t\approx \mathrm{1,4}\text{ og }t\approx \mathrm{2,9}}}$

Den gjennomsnittlige endringen per år i perioden fra $t=4$ (1. januar 1994) til $t=8$ (1. januar 1998) finner vi som stigningstallet til sekanten gjennom punktene $(4,h(4))$ og $(8,h(8))$:

Gjennomsnittlig endring per år blir da

I perioden 1. januar 1994–1. januar 1998 minket altså hjortebestanden med i gjennomsnitt $\underline{\underline{66\text{ hjort per år}}}$.

Diagrammet viser at hver søyle (terminbeløpet) er like høy fra termin til termin, mens fordelingen mellom avdrag og renter endrer seg: avdraget øker for hver termin, og rentedelen minker. Dette er det som kjennetegner et annuitetslån — det samlede terminbeløpet er konstant hele nedbetalingstiden. (I et serielån er avdraget konstant, og terminbeløpet minker etter hvert som renta beregnes av en stadig mindre restgjeld.)

Lånet er altså $\underline{\underline{\text{et annuitetslån}}}$.

Det totale lånebeløpet er summen av alle avdragene, siden avdragene til sammen betaler ned hele lånet.

Det totale lånebeløpet er $\underline{\underline{100000\mathrm{kr}}}$.

Renta i første termin er $9600\mathrm{kr}$, og denne renta beregnes av hele lånebeløpet, siden ingenting ennå er betalt ned. Rentesatsen finner vi ved å dele rentebeløpet på lånebeløpet.

Renten på lånet er $\underline{\underline{\mathrm{9,6}\%}}$.

Volumet av en kjegle er gitt ved formelen

Vi vet at radius er 1,5 ganger så stor som høyden, altså $r=\mathrm{1,5}h$. Når $r=\mathrm{1,35}\mathrm{m}$, finner vi først høyden $h$:

Da er høyden $h=\mathrm{0,9}\mathrm{m}$. Vi setter inn $r=\mathrm{1,35}\mathrm{m}$ og $h=\mathrm{0,9}\mathrm{m}$ i volumformelen:

Volumet av sandhaugen er dermed omtrent $\underline{\underline{V\approx \mathrm{1,72}{\mathrm{m}}^3}}$.

Vi bruker igjen at $r=\mathrm{1,5}h$, og setter dette inn i volumformelen:

Vi vet at volumet er $\mathrm{8,0}{\mathrm{m}}^3$, og setter dette inn i uttrykket. Deretter løser vi likningen med hensyn på $h$:

Høyden på sandhaugen er dermed omtrent $\underline{\underline{h\approx \mathrm{1,50}\mathrm{m}}}$.