1P Eksempeloppgave 1 — 2021

Én kapsel har masse $1000\mathrm{mg}$ og inneholder $60\%$ omega-3-fettsyre.

Vi finner hvor mye omega-3 det er i én kapsel:

Pernille tar to kapsler, så vi ganger med 2:

Vi gjør om fra milligram til gram ($1\mathrm{g}=1000\mathrm{mg}$):

Pernille får $\underline{\underline{\mathrm{1,2}\mathrm{g}}}$ omega-3-fettsyre fra de to kapslene hver dag.

Oppskriften bruker $5\mathrm{dL}$ sukker per $1\mathrm{kg}$ appelsiner.

For $26\mathrm{kg}$ appelsiner trenger vi:

Vi vet at $1\mathrm{L}$ sukker har masse $\mathrm{0,8}\mathrm{kg}$. Da finner vi massen av $13\mathrm{L}$ sukker:

En pose inneholder $1\mathrm{kg}$, så hun trenger $\mathrm{10,4}$ poser. Siden hun ikke kan kjøpe deler av en pose, må hun runde opp:

Hun må kjøpe minst $\underline{\underline{11\text{ poser}}}$.

a)

Vi legger inn datapunktene $(1,6278)$, $(2,10660)$, $(3,17837)$ og $(4,25761)$ i GeoGebra og kjører eksponensiell regresjon.

Regresjonen gir kurven $f(x)\approx 4038\cdot {\mathrm{1,608}}^x$.

Vi sammenligner modellverdiene med tabellverdiene:

$x$	Modell $f(x)$	Tabellverdi
1	$6493$	$6278$
2	$10441$	$10660$
3	$16789$	$17837$
4	$26997$	$25761$

Modellverdiene stemmer godt overens med tabellverdiene, så $f(x)=4038\cdot {\mathrm{1,608}}^x$ er en god modell for datamaterialet.

b)

Vekstfaktoren i modellen er $\mathrm{1,608}$. Det betyr at antallet smittede multipliseres med $\mathrm{1,608}$ for hver måned.

$$\text{Vekstprosent}=(\mathrm{1,608}-1)\cdot 100=\mathrm{0,608}\cdot 100=\mathrm{60,8}\%$$

Ifølge modellen økte det totale antallet registrert smittede med $\approx 61\%$ per måned.

Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen og finne toppunktet.

a)

Grafen viser at planten vokser fra dag 0. Veksten er rask i starten og avtar etter hvert. Toppunktet ligger ved $x\approx \mathrm{53,3}$ (dager) og $h\approx \mathrm{37,9}$ (cm).

Etter dag 53 viser modellen at høyden $h(x)$ synker. Det betyr at planten ifølge modellen blir lavere — det er urealistisk, siden planter ikke krymper under normale forhold.

Modellen viser altså at planten vokser fram til ca. dag 53 og når en maksimalhøyde på ca. $\mathrm{37,9}\mathrm{cm}$, for deretter å «synke» (noe som ikke gir biologisk mening).

b)

Vi setter opp $h^{\prime }(x)=0$ for å finne når veksten stopper:

$$h^{\prime }(x)=-\mathrm{0,0015}{x}^2+\mathrm{0,08}x=x(-\mathrm{0,0015}x+\mathrm{0,08})$$

Nullpunkter: $x=0$ og $x={\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,0015}}}\approx \mathrm{53,3}$.

Modellen er positiv (planten har en høyde $>0$) for $0<x<80$, siden $h(80)=0$.

Et fornuftig gyldighetsområde er

$$\underline{\underline{0\le x\le 53}}$$

fordi modellen bare er realistisk så lenge planten faktisk vokser. Etter toppunktet på dag 53 avtar høyden ifølge modellen — noe som ikke er realistisk.

Man kan også argumentere for $0\le x\le 80$ som yttergrense, siden $h(x)\ge 0$ i dette intervallet. Begge begrunnelser er gyldige så lenge man forklarer valget.

Regnearket under viser oppbyggingen med formler i de grønne cellene:

Grønne formelceller

Totalt per rett (kolonne E, rad 8–10)

Totalt for hver rett = antall porsjoner × pris per porsjon:

Sum (B12 og E12)

Rabatt (E15)

Kunder som bestiller mer enn 4 retter får $10\%$ rabatt:

Pris for levering (E19)

Levering koster $70$ kr under $8$ km, og $150$ kr for $8$ km eller mer:

Å betale totalt (B22)

Eksempel – numerisk sjekk

En kunde bestiller 3 pasta, 1 suppe og 2 bagetter og bor $5\mathrm{km}$ unna.

Celle	Formel	Verdi
E8	$3\cdot 100$	$300\mathrm{kr}$
E9	$1\cdot 80$	$80\mathrm{kr}$
E10	$2\cdot 110$	$220\mathrm{kr}$
B12	$3+1+2$	$6$ retter
E12	$300+80+220$	$600\mathrm{kr}$
E15	$6>4\Rightarrow 600\cdot \mathrm{0,1}$	$60\mathrm{kr}$
E19	$5<8\Rightarrow 70$	$70\mathrm{kr}$
B22	$600-60+70$	$\underline{\underline{\mathrm{𝟔𝟏𝟎}\mathrm{kr}}}$

Kunden skal betale $\underline{\underline{610\mathrm{kr}}}$.

a)

Vi teller antall kvadrater i de tre figurene:

Figur $n$	Antall kvadrater
1	7
2	16
3	29

Vi kan dele opp figuren i tre deler som vokser med figurens nummer $n$:

• Hode (øverst til venstre): et $n\times n$-kvadrat med $n^2$ kvadrater
• Kropp (midtre rektangel): et $n\times (n+2)$-rektangel med $n(n+2)=n^2+2n$ kvadrater
• Hale og bein (trapp oppe til høyre og bein nede): $n+2$ kvadrater

Antall kvadrater i figur $n$ er:

$$f(n)=n^2+n(n+2)+(n+2)=2n^2+3n+2$$

Vi sjekker: $f(1)=2+3+2=7$, $f(2)=8+6+2=16$, $f(3)=18+9+2=29$. ✓

Algoritme (pseudokode):

sum ← 0
for n from 1 to 100:
    antall ← 2·n² + 3·n + 2
    sum ← sum + antall
print sum

Eller som Python-program:

sum = 0
for n in range(1, 101):
    antall = 2*n**2 + 3*n + 2
    sum = sum + antall
print(sum)

b)

Vi bruker algoritmen og summerer for $n=1,2,\dots ,100$:

$$\sum _{n=1}^{100}f(n)=\sum _{n=1}^{100}(2n^2+3n+2)$$

$$=2\cdot \frac{100\cdot 101\cdot 201}{6}+3\cdot \frac{100\cdot 101}{2}+2\cdot 100$$

$$=2\cdot 338350+3\cdot 5050+200$$

$$=676700+15150+200=\underline{\underline{692050}}$$

Du trenger totalt 692 050 kvadrater for å lage de 100 første figurene.

Vi regner ut volumet av begge kulene ved hjelp av formelen $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$.

Den store kula har radius $r_1=4$:

Den lille kula har radius $r_2=2$:

Vi finner forholdet mellom volumene:

Volumet av den store kula er 8 ganger volumet av den lille kula.

Vi kan også se dette direkte fra forholdet mellom radiusene:

Vi leser av kvitteringene for å finne startpris og sats per minutt og per kilometer for hvert selskap.

Taxi A – utlede prismodell

Fra kvitteringene ser vi at Taxi A har:

• Startpris: $75\mathrm{kr}$
• Tid: Tur 1 gir $77\mathrm{kr}$ for 11 min, Tur 2 gir $98\mathrm{kr}$ for 14 min.

Pris per minutt:

Begge turene gir $7\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$ – konsistent.

• Avstand: Tur 1 gir $140\mathrm{kr}$ for $\mathrm{10,0}\mathrm{km}$, Tur 2 gir $224\mathrm{kr}$ for $\mathrm{16,0}\mathrm{km}$.

Pris per kilometer:

Begge turene gir $14\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{k}\mathrm{m}$ – konsistent.

Prismodell Taxi A (der $t$ = tid i minutter og $d$ = avstand i km):

Sjekk mot kvitteringene:

• Tur 1: $75+7\cdot 11+14\cdot 10=75+77+140=292\mathrm{kr}$ ✓
• Tur 2: $75+7\cdot 14+14\cdot 16=75+98+224=397\mathrm{kr}$ ✓

Taxi B – utlede prismodell

Fra kvitteringene ser vi at Taxi B har:

• Startpris: $66\mathrm{kr}$
• Tid og avstand faktureres samlet – kvitteringen skiller ikke mellom de to postene.

Vi setter opp to likninger med ukjentene $a$ (kr/min) og $b$ (kr/km):

Fra ligning 1: $a={\displaystyle \frac{120-5b}{6}}$. Setter inn i ligning 2:

Prismodell Taxi B:

Sjekk mot kvitteringene:

• Tur 1: $66+\mathrm{7,5}\cdot 6+15\cdot 5=66+45+75=186\mathrm{kr}$ ✓
• Tur 2: $66+\mathrm{7,5}\cdot 18+15\cdot 20=66+135+300=501\mathrm{kr}$ ✓

Sammenlikning av de to selskapene

	Taxi A	Taxi B
Startpris	$75\mathrm{kr}$	$66\mathrm{kr}$
Pris per minutt	$7\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$	$\mathrm{7,5}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$
Pris per kilometer	$14\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{k}\mathrm{m}$	$15\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{k}\mathrm{m}$

Taxi B har lavere startpris ($9\mathrm{kr}$ billigere), men høyere sats per minutt og per kilometer.

Når er Taxi A billigst?

Vi finner grensen der de to selskapene koster like mye:

Taxi A og Taxi B koster like mye når $\mathrm{0,5}t+d=9$.

• Taxi A er billigst når $\mathrm{0,5}t+d>9$, altså ved lange turer eller turer i mye kø.
• Taxi B er billigst når $\mathrm{0,5}t+d<9$, altså ved korte turer med lite kø.

Konkrete scenarier

Scenario	$t$	$d$	$\mathrm{0,5}t+d$	Taxi A	Taxi B	Billigst
Kort tur, lite kø	5 min	$3\mathrm{km}$	$\mathrm{5,5}$	$152\mathrm{kr}$	$\mathrm{148,50}\mathrm{kr}$	Taxi B
Kort tur, mye kø	20 min	$3\mathrm{km}$	$13$	$257\mathrm{kr}$	$261\mathrm{kr}$	Taxi A
Lang tur, lite kø	10 min	$20\mathrm{km}$	$25$	$425\mathrm{kr}$	$441\mathrm{kr}$	Taxi A
Lang tur, mye kø	40 min	$20\mathrm{km}$	$40$	$635\mathrm{kr}$	$666\mathrm{kr}$	Taxi A

Konklusjon: Taxi B lønner seg kun ved svært korte turer med lite kø – situasjoner der $\mathrm{0,5}t+d<9$, for eksempel en 10-minutters tur på under 4 km. I de fleste praktiske situasjoner (lenger tur, kø i trafikken) vil $\underline{\underline{\text{Taxi A}}}$ være billigst, fordi den lavere satsen per minutt og per kilometer mer enn veier opp for den høyere startprisen.

Dette er en åpen utforskingsoppgave — svaret avhenger av hvilke forutsetninger man gjør. Nedenfor er ett mulig resonnement med begrunnede valg.

Forutsetning 1: Grytas størrelse

Komfyren er $60\mathrm{cm}$ bred og har fire kokeplater. En stor gryte fyller én plate. Vi antar at grytas indre diameter er ca. $24\mathrm{cm}$ og høyden er ca. $16\mathrm{cm}$.

Vi modellerer gryten som en sylinder:

Forutsetning 2: Tilgjengelig volum

$\frac{3}{4}$ av gryten er fylt med saus. Dermed er $\frac{1}{4}$ av volumet tilgjengelig for kjøttboller:

Forutsetning 3: Kjøttbollers størrelse

En vanlig kjøttbolle har diameter ca. $4\mathrm{cm}$ (radius $2\mathrm{cm}$). Vi beregner volumet av én kjøttbolle:

Forutsetning 4: Pakkingsgrad

Kuler kan ikke fylle et rom helt — det vil alltid være mellomrom mellom dem. Tilfeldig stablede kuler fyller typisk ca. $65\%$ av tilgjengelig volum.

Beregning

Det er plass til ca. $\underline{\underline{35}}$ kjøttboller i gryten.

Vurdering av svaret

Svaret er et estimat. Andre rimelige forutsetninger gir andre svar:

• Mindre kjøttboller (diameter $3\mathrm{cm}$) gir ca. 80 kjøttboller.
• En lavere eller smalere gryte gir færre kjøttboller.
• En pakkingsgrad på $74\%$ (tett pakking) ville gitt ca. 40 kjøttboller.

Det viktige er at forutsetningene er begrunnet og at beregningene er riktige.