1P Eksempeloppgave 1 — 2021

Én kapsel har masse $1000 \, \mathrm{mg}$ og inneholder $60 \, \%$ omega-3-fettsyre.

Vi finner hvor mye omega-3 det er i én kapsel:

$$1000 \, \mathrm{mg} \cdot 0{,}60 = 600 \, \mathrm{mg}$$

Pernille tar to kapsler, så vi ganger med 2:

$$2 \cdot 600 \, \mathrm{mg} = 1200 \, \mathrm{mg}$$

Vi gjør om fra milligram til gram ($1 \, \mathrm{g} = 1000 \, \mathrm{mg}$):

$$1200 \, \mathrm{mg} = 1{,}2 \, \mathrm{g}$$

Pernille får $\underline{\underline{1{,}2 \, \mathrm{g}}}$ omega-3-fettsyre fra de to kapslene hver dag.

Oppskriften bruker $5 \, \mathrm{dL}$ sukker per $1 \, \mathrm{kg}$ appelsiner.

For $26 \, \mathrm{kg}$ appelsiner trenger vi:

$$26 \cdot 5 \, \mathrm{dL} = 130 \, \mathrm{dL} = 13 \, \mathrm{L} \text{ sukker}$$

Vi vet at $1 \, \mathrm{L}$ sukker har masse $0{,}8 \, \mathrm{kg}$. Da finner vi massen av $13 \, \mathrm{L}$ sukker:

$$13 \cdot 0{,}8 \, \mathrm{kg} = 10{,}4 \, \mathrm{kg} \text{ sukker}$$

En pose inneholder $1 \, \mathrm{kg}$, så hun trenger $10{,}4$ poser. Siden hun ikke kan kjøpe deler av en pose, må hun runde opp:

Hun må kjøpe minst $\underline{\underline{11 \text{ poser}}}$.

a)

Vi legger inn datapunktene $(1,\ 6278)$, $(2,\ 10\,660)$, $(3,\ 17\,837)$ og $(4,\ 25\,761)$ i GeoGebra og kjører eksponensiell regresjon.

Regresjonen gir kurven $f(x) \approx 4038 \cdot 1{,}608^x$.

Vi sammenligner modellverdiene med tabellverdiene:

$x$	Modell $f(x)$	Tabellverdi
1	$6\,493$	$6\,278$
2	$10\,441$	$10\,660$
3	$16\,789$	$17\,837$
4	$26\,997$	$25\,761$

Modellverdiene stemmer godt overens med tabellverdiene, så $f(x) = 4038 \cdot 1{,}608^x$ er en god modell for datamaterialet.

b)

Vekstfaktoren i modellen er $1{,}608$. Det betyr at antallet smittede multipliseres med $1{,}608$ for hver måned.

$$\text{Vekstprosent} = (1{,}608 - 1) \cdot 100 = 0{,}608 \cdot 100 = 60{,}8 \,\%$$

Ifølge modellen økte det totale antallet registrert smittede med $\approx 61 \,\%$ per måned.

Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen og finne toppunktet.

a)

Grafen viser at planten vokser fra dag 0. Veksten er rask i starten og avtar etter hvert. Toppunktet ligger ved $x \approx 53{,}3$ (dager) og $h \approx 37{,}9$ (cm).

Etter dag 53 viser modellen at høyden $h(x)$ synker. Det betyr at planten ifølge modellen blir lavere — det er urealistisk, siden planter ikke krymper under normale forhold.

Modellen viser altså at planten vokser fram til ca. dag 53 og når en maksimalhøyde på ca. $37{,}9 \, \mathrm{cm}$, for deretter å «synke» (noe som ikke gir biologisk mening).

b)

Vi setter opp $h'(x) = 0$ for å finne når veksten stopper:

$$h'(x) = -0{,}0015x^2 + 0{,}08x = x\bigl(-0{,}0015x + 0{,}08\bigr)$$

Nullpunkter: $x = 0$ og $x = \dfrac{0{,}08}{0{,}0015} \approx 53{,}3$.

Modellen er positiv (planten har en høyde $> 0$) for $0 < x < 80$, siden $h(80) = 0$.

Et fornuftig gyldighetsområde er

$$\underline{\underline{0 \leq x \leq 53}}$$

fordi modellen bare er realistisk så lenge planten faktisk vokser. Etter toppunktet på dag 53 avtar høyden ifølge modellen — noe som ikke er realistisk.

Man kan også argumentere for $0 \leq x \leq 80$ som yttergrense, siden $h(x) \geq 0$ i dette intervallet. Begge begrunnelser er gyldige så lenge man forklarer valget.

Regnearket under viser oppbyggingen med formler i de grønne cellene:

Grønne formelceller

Totalt per rett (kolonne E, rad 8–10)

Totalt for hver rett = antall porsjoner × pris per porsjon:

$$E8 = B8 \cdot C8, \quad E9 = B9 \cdot C9, \quad E10 = B10 \cdot C10$$

Sum (B12 og E12)

$$B12 = B8 + B9 + B10 \quad \text{(totalt antall retter)}$$ $$E12 = E8 + E9 + E10 \quad \text{(samlet matpris)}$$

Rabatt (E15)

Kunder som bestiller mer enn 4 retter får $10 \, \%$ rabatt:

$$E15 = \texttt{=HVIS(B12>4; E12*0{,}1; 0)}$$

Pris for levering (E19)

Levering koster $70$ kr under $8$ km, og $150$ kr for $8$ km eller mer:

$$E19 = \texttt{=HVIS(B19<8; 70; 150)}$$

Å betale totalt (B22)

$$B22 = E12 - E15 + E19$$

Eksempel – numerisk sjekk

En kunde bestiller 3 pasta, 1 suppe og 2 bagetter og bor $5 \, \mathrm{km}$ unna.

Celle	Formel	Verdi
E8	$3 \cdot 100$	$300 \, \mathrm{kr}$
E9	$1 \cdot 80$	$80 \, \mathrm{kr}$
E10	$2 \cdot 110$	$220 \, \mathrm{kr}$
B12	$3 + 1 + 2$	$6$ retter
E12	$300 + 80 + 220$	$600 \, \mathrm{kr}$
E15	$6 > 4 \Rightarrow 600 \cdot 0{,}1$	$60 \, \mathrm{kr}$
E19	$5 < 8 \Rightarrow 70$	$70 \, \mathrm{kr}$
B22	$600 - 60 + 70$	$\mathbf{\underline{\underline{610 \, \mathrm{kr}}}}$

Kunden skal betale $\underline{\underline{610 \, \mathrm{kr}}}$.

a)

Vi teller antall kvadrater i de tre figurene:

Figur $n$	Antall kvadrater
1	7
2	16
3	29

Vi kan dele opp figuren i tre deler som vokser med figurens nummer $n$:

• Hode (øverst til venstre): et $n \times n$-kvadrat med $n^2$ kvadrater
• Kropp (midtre rektangel): et $n \times (n+2)$-rektangel med $n(n+2) = n^2 + 2n$ kvadrater
• Hale og bein (trapp oppe til høyre og bein nede): $n + 2$ kvadrater

Antall kvadrater i figur $n$ er:

$$f(n) = n^2 + n(n+2) + (n+2) = 2n^2 + 3n + 2$$

Vi sjekker: $f(1) = 2 + 3 + 2 = 7$, $f(2) = 8 + 6 + 2 = 16$, $f(3) = 18 + 9 + 2 = 29$. ✓

Algoritme (pseudokode):

sum ← 0
for n from 1 to 100:
    antall ← 2·n² + 3·n + 2
    sum ← sum + antall
print sum

Eller som Python-program:

sum = 0
for n in range(1, 101):
    antall = 2*n**2 + 3*n + 2
    sum = sum + antall
print(sum)

b)

Vi bruker algoritmen og summerer for $n = 1, 2, \ldots, 100$:

$$\sum_{n=1}^{100} f(n) = \sum_{n=1}^{100} (2n^2 + 3n + 2)$$ $$= 2 \cdot \frac{100 \cdot 101 \cdot 201}{6} + 3 \cdot \frac{100 \cdot 101}{2} + 2 \cdot 100$$ $$= 2 \cdot 338\,350 + 3 \cdot 5\,050 + 200$$ $$= 676\,700 + 15\,150 + 200 = \underline{\underline{692\,050}}$$

Du trenger totalt 692 050 kvadrater for å lage de 100 første figurene.

Vi regner ut volumet av begge kulene ved hjelp av formelen $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.

Den store kula har radius $r_1 = 4$:

$$V_1 = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi$$

Den lille kula har radius $r_2 = 2$:

$$V_2 = \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi$$

Vi finner forholdet mellom volumene:

$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\dfrac{256}{3}\pi}{\dfrac{32}{3}\pi} = \frac{256}{32} = \underline{\underline{8}}$$

Volumet av den store kula er 8 ganger volumet av den lille kula.

Vi kan også se dette direkte fra forholdet mellom radiusene:

$$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{4}{2}\right)^3 = 2^3 = \underline{\underline{8}}$$

Vi leser av kvitteringene for å finne startpris og sats per minutt og per kilometer for hvert selskap.

Taxi A – utlede prismodell

Fra kvitteringene ser vi at Taxi A har:

• Startpris: $75 \, \mathrm{kr}$
• Tid: Tur 1 gir $77 \, \mathrm{kr}$ for 11 min, Tur 2 gir $98 \, \mathrm{kr}$ for 14 min.

Pris per minutt:

$$\frac{77}{11} = 7 \quad \text{og} \quad \frac{98}{14} = 7$$

Begge turene gir $7 \, \mathrm{kr/min}$ – konsistent.

• Avstand: Tur 1 gir $140 \, \mathrm{kr}$ for $10{,}0 \, \mathrm{km}$, Tur 2 gir $224 \, \mathrm{kr}$ for $16{,}0 \, \mathrm{km}$.

Pris per kilometer:

$$\frac{140}{10} = 14 \quad \text{og} \quad \frac{224}{16} = 14$$

Begge turene gir $14 \, \mathrm{kr/km}$ – konsistent.

Prismodell Taxi A (der $t$ = tid i minutter og $d$ = avstand i km):

$$\boxed{P_A = 75 + 7t + 14d}$$

Sjekk mot kvitteringene:

• Tur 1: $75 + 7 \cdot 11 + 14 \cdot 10 = 75 + 77 + 140 = 292 \, \mathrm{kr}$ ✓
• Tur 2: $75 + 7 \cdot 14 + 14 \cdot 16 = 75 + 98 + 224 = 397 \, \mathrm{kr}$ ✓

Taxi B – utlede prismodell

Fra kvitteringene ser vi at Taxi B har:

• Startpris: $66 \, \mathrm{kr}$
• Tid og avstand faktureres samlet – kvitteringen skiller ikke mellom de to postene.

Vi setter opp to likninger med ukjentene $a$ (kr/min) og $b$ (kr/km):

$$\begin{aligned} \text{Tur 1:} \quad 6a + 5b &= 120 \\ \text{Tur 2:} \quad 18a + 20b &= 435 \end{aligned}$$

Fra ligning 1: $a = \dfrac{120 - 5b}{6}$. Setter inn i ligning 2:

$$18 \cdot \frac{120 - 5b}{6} + 20b = 435$$ $$3(120 - 5b) + 20b = 435$$ $$360 - 15b + 20b = 435$$ $$5b = 75 \implies b = 15$$ $$a = \frac{120 - 5 \cdot 15}{6} = \frac{120 - 75}{6} = \frac{45}{6} = 7{,}5$$

Prismodell Taxi B:

$$\boxed{P_B = 66 + 7{,}5t + 15d}$$

Sjekk mot kvitteringene:

• Tur 1: $66 + 7{,}5 \cdot 6 + 15 \cdot 5 = 66 + 45 + 75 = 186 \, \mathrm{kr}$ ✓
• Tur 2: $66 + 7{,}5 \cdot 18 + 15 \cdot 20 = 66 + 135 + 300 = 501 \, \mathrm{kr}$ ✓

Sammenlikning av de to selskapene

	Taxi A	Taxi B
Startpris	$75 \, \mathrm{kr}$	$66 \, \mathrm{kr}$
Pris per minutt	$7 \, \mathrm{kr/min}$	$7{,}5 \, \mathrm{kr/min}$
Pris per kilometer	$14 \, \mathrm{kr/km}$	$15 \, \mathrm{kr/km}$

Taxi B har lavere startpris ($9 \, \mathrm{kr}$ billigere), men høyere sats per minutt og per kilometer.

Når er Taxi A billigst?

Vi finner grensen der de to selskapene koster like mye:

$$75 + 7t + 14d = 66 + 7{,}5t + 15d$$ $$75 - 66 = 7{,}5t - 7t + 15d - 14d$$ $$9 = 0{,}5t + d$$

Taxi A og Taxi B koster like mye når $0{,}5t + d = 9$.

• Taxi A er billigst når $0{,}5t + d > 9$, altså ved lange turer eller turer i mye kø.
• Taxi B er billigst når $0{,}5t + d < 9$, altså ved korte turer med lite kø.

Konkrete scenarier

Scenario	$t$	$d$	$0{,}5t+d$	Taxi A	Taxi B	Billigst
Kort tur, lite kø	5 min	$3 \, \mathrm{km}$	$5{,}5$	$152 \, \mathrm{kr}$	$148{,}50 \, \mathrm{kr}$	Taxi B
Kort tur, mye kø	20 min	$3 \, \mathrm{km}$	$13$	$257 \, \mathrm{kr}$	$261 \, \mathrm{kr}$	Taxi A
Lang tur, lite kø	10 min	$20 \, \mathrm{km}$	$25$	$425 \, \mathrm{kr}$	$441 \, \mathrm{kr}$	Taxi A
Lang tur, mye kø	40 min	$20 \, \mathrm{km}$	$40$	$635 \, \mathrm{kr}$	$666 \, \mathrm{kr}$	Taxi A

Konklusjon: Taxi B lønner seg kun ved svært korte turer med lite kø – situasjoner der $0{,}5t + d < 9$, for eksempel en 10-minutters tur på under 4 km. I de fleste praktiske situasjoner (lenger tur, kø i trafikken) vil $\underline{\underline{\text{Taxi A}}}$ være billigst, fordi den lavere satsen per minutt og per kilometer mer enn veier opp for den høyere startprisen.

Dette er en åpen utforskingsoppgave — svaret avhenger av hvilke forutsetninger man gjør. Nedenfor er ett mulig resonnement med begrunnede valg.

Forutsetning 1: Grytas størrelse

Komfyren er $60 \, \mathrm{cm}$ bred og har fire kokeplater. En stor gryte fyller én plate. Vi antar at grytas indre diameter er ca. $24 \, \mathrm{cm}$ og høyden er ca. $16 \, \mathrm{cm}$.

Vi modellerer gryten som en sylinder:

$$V_{\text{gryte}} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 12^2 \cdot 16 = \pi \cdot 2304 \approx 7238 \, \mathrm{cm}^3$$

Forutsetning 2: Tilgjengelig volum

$\frac{3}{4}$ av gryten er fylt med saus. Dermed er $\frac{1}{4}$ av volumet tilgjengelig for kjøttboller:

$$V_{\text{tilgjengelig}} = \frac{1}{4} \cdot 7238 \approx 1810 \, \mathrm{cm}^3$$

Forutsetning 3: Kjøttbollers størrelse

En vanlig kjøttbolle har diameter ca. $4 \, \mathrm{cm}$ (radius $2 \, \mathrm{cm}$). Vi beregner volumet av én kjøttbolle:

$$V_{\text{kjøttbolle}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 2^3 = \frac{32\pi}{3} \approx 33{,}5 \, \mathrm{cm}^3$$

Forutsetning 4: Pakkingsgrad

Kuler kan ikke fylle et rom helt — det vil alltid være mellomrom mellom dem. Tilfeldig stablede kuler fyller typisk ca. $65 \, \%$ av tilgjengelig volum.

Beregning

$$\text{Antall} = \frac{V_{\text{tilgjengelig}} \cdot 0{,}65}{V_{\text{kjøttbolle}}} = \frac{1810 \cdot 0{,}65}{33{,}5} \approx 35$$

Det er plass til ca. $\underline{\underline{35}}$ kjøttboller i gryten.

Vurdering av svaret

Svaret er et estimat. Andre rimelige forutsetninger gir andre svar:

• Mindre kjøttboller (diameter $3 \, \mathrm{cm}$) gir ca. 80 kjøttboller.
• En lavere eller smalere gryte gir færre kjøttboller.
• En pakkingsgrad på $74 \, \%$ (tett pakking) ville gitt ca. 40 kjøttboller.

Det viktige er at forutsetningene er begrunnet og at beregningene er riktige.