1P-Y IM Vår 2026

1P-Y IM Vår 2026 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler
1-1	Lønn for Ina på søylediagram	KI
1-2	Lineær nedbetalingsformel for billån	KI
1-3	Kasper og Viktor om merverdiavgift	KI
1-4	Lyssirkel på whiteboard	KI
1-5	Moores lov og iPhone-lagring	KI
Del 2 3 timer med hjelpemidler
2-1	Racing-rigger til e-sport	KI
2-2	Kryptovaluta - Bitcoin og Ethereum	KI
2-3	Håndtrykksformelen for n personer	KI
2-4	Elbil Trondheim-Bodø lading og fart	KI
2-5	Forbrukslån for Sigurd kontra kredittkort	KI

Oppgave 1-1 : Lønn for Ina på søylediagram

Ina har en deltidsjobb. Forrige uke jobbet hun tre dager. Diagrammet nedenfor viser hvor mye hun tjente.

Lønn for Ina forrige uke

Hvor mye tjente Ina til sammen forrige uke?

Timelønnen til Ina er 50 kroner høyere på lørdager enn på de andre dagene. Lørdag forrige uke jobbet hun 5 timer.

Hvor mange timer jobbet Ina til sammen forrige uke?

Fasit

$\underline{\underline{2200 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{13 \text{ timer}}}$

LøsningsforslagKI-generert

\text{Lønn mandag} + \text{Lønn onsdag} + \text{Lønn lørdag} = 450 \, \mathrm{kr} + 750 \, \mathrm{kr} + 1000 \, \mathrm{kr} = \underline{\underline{2200 \, \mathrm{kr}}}

Ina tjente 2200 kroner forrige uke.

Lørdag jobbet Ina 5 timer og tjente 1000 kr:

\text{Timelønn lørdag} = \frac{1000 \, \mathrm{kr}}{5 \text{ timer}} = 200 \, \mathrm{kr/time}

Timelønnen på hverdager er 50 kr lavere:

\text{Timelønn hverdag} = 200 \, \mathrm{kr/time} - 50 \, \mathrm{kr/time} = 150 \, \mathrm{kr/time}

Antall timer mandag:

\text{Timer mandag} = \frac{450 \, \mathrm{kr}}{150 \, \mathrm{kr/time}} = 3 \text{ timer}

Antall timer onsdag:

\text{Timer onsdag} = \frac{750 \, \mathrm{kr}}{150 \, \mathrm{kr/time}} = 5 \text{ timer}

Totalt antall timer:

3 \text{ timer} + 5 \text{ timer} + 5 \text{ timer} = \underline{\underline{13 \text{ timer}}}

Ina jobbet 13 timer til sammen forrige uke.

Sensorveiledning

1 poeng

For poeng kreves riktig svar med begrunnelse. Sensor kan gi poeng selv om benevning mangler i svaret.

1 poeng

For poeng kreves riktig svar med begrunnelse. Sensor kan gi poeng selv om benevning mangler i svaret.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: diagram, tolke grafer, tallregning
Kompetansemål: Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining

Oppgave 1-2 : Lineær nedbetalingsformel for billån

Elvira kjøper en ny bil. Hun tar opp et lån på $450\;000$ kroner.

Etter $t$ år er lånet redusert til $L$ kroner, der

L = 450\;000 - 50\;000 \cdot t

Hvor stort er lånet etter $4$ år?

Hvor mange år tar det før Elvira har betalt tilbake hele lånet?

Fasit

$\underline{\underline{250\,000 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{9 \text{ år}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $t = 4$ inn i formelen:

L = 450\,000 - 50\,000 \cdot 4 = 450\,000 \, \mathrm{kr} - 200\,000 \, \mathrm{kr} = \underline{\underline{250\,000 \, \mathrm{kr}}}

Lånet er 250 000 kroner etter 4 år.

Når Elvira har betalt tilbake hele lånet, er $L = 0$ . Vi setter opp og løser en likning:

0 = 450\,000 - 50\,000 \cdot t

50\,000 \cdot t = 450\,000

t = \frac{450\,000}{50\,000} = \underline{\underline{9}}

Det tar 9 år før Elvira har betalt tilbake hele lånet.

Sensorveiledning

1 poeng

For poeng kreves riktig svar med begrunnelse. Sensor kan gi poeng selv om benevning mangler i svaret.

1 poeng

For poeng kreves riktig svar med begrunnelse. Sensor kan gi poeng selv om benevning mangler i svaret (for eksempel når kandidaten løser en likning og får $t = 9$ ).

Kun én utregning med $L = 450\,000 - 50\,000 \cdot 9 = 450\,000 - 450\,000 = 0$ gir 0 poeng (+ kommentar) når svar om 9 år mangler (og kandidaten ikke nevner at hen prøver seg frem), og 1 poeng når svar om 9 år er tatt med, også dersom kandidaten ikke skriver at hen har prøvd seg frem (gjett og sjekk). Dersom kandidaten tar med to eller flere utregninger slik at strategien om å prøve seg frem er vist, kan sensor gi poeng også når sluttsvar om antall år mangler.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: lineær funksjon, formler, lån
Kompetansemål: Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort
Tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv og yrkesliv

Oppgave 1-3 : Kasper og Viktor om merverdiavgift

Kasper og Viktor er lærlinger i en klesbutikk. En dag snakker de om merverdiavgift.

Hvem har rett, og hvorfor blir det slik? Begrunn svaret ved å lage et eksempel der en kunde kjøper en vare.

Fasit

Kasper har rett. Mva. er 25 % av prisen uten mva., ikke av totalbeløpet. Når vi deler totalbeløpet på 5, får vi riktig mva.-beløp.

LøsningsforslagKI-generert

Kasper har rett.

Vi bruker et eksempel: En kunde betaler $1000 \, \mathrm{kr}$ totalt for en vare (inkludert mva.).

Kaspers metode — del totalbeløpet på 5:

\text{Mva.} = \frac{1000 \, \mathrm{kr}}{5} = 200 \, \mathrm{kr}

Prisen uten mva.:

\text{Pris uten mva.} = 1000 \, \mathrm{kr} - 200 \, \mathrm{kr} = 800 \, \mathrm{kr}

Sjekk: $25 \, \%$ av $800 \, \mathrm{kr}$ :

800 \, \mathrm{kr} \cdot 0{,}25 = 200 \, \mathrm{kr} \checkmark

Kaspers metode stemmer. Mva. på $200 \, \mathrm{kr}$ pluss pris uten mva. på $800 \, \mathrm{kr}$ gir $1000 \, \mathrm{kr}$ totalt.

Viktors metode — del totalbeløpet på 4:

\frac{1000 \, \mathrm{kr}}{4} = 250 \, \mathrm{kr}

Men da ville prisen uten mva. være $1000 - 250 = 750 \, \mathrm{kr}$ , og $25 \, \%$ av $750 \, \mathrm{kr}$ er $187{,}50 \, \mathrm{kr}$ — ikke $250 \, \mathrm{kr}$ . Viktors metode gir feil svar.

Forklaring: Mva. er $25 \, \%$ av prisen uten mva., ikke av totalbeløpet. Prisen uten mva. pluss $25 \, \%$ mva. gir en vekstfaktor på $1{,}25$ , som tilsvarer å dele med $\frac{5}{4}$ — eller å gange totalbeløpet med $\frac{1}{5}$ , altså dele på 5. Derfor er Kasper sin metode riktig.

Sensorveiledning

Kandidater som skriver at Kasper har rett, men ikke begrunner svaret, får 0 poeng.

Sensor kan gi 1 poeng dersom kandidaten viser en del kompetanse, for eksempel ved å skrive at Kasper har rett, men ikke begrunner godt nok.

Sensor kan gi 1 poeng til en kandidat som skriver at Viktor har rett, dersom kandidaten gjør korrekte utregninger og feilen skyldes misforståelse (eller manglende refleksjon) om hvordan mva. beregnes. For å få poeng i slike tilfeller kreves det litt mer enn kun én beregning. Eksempel: «Kunden betaler 800 kr for en vare, og 25 % av 800 kr er 200 kr fordi 800/4 = 200, så Viktor har rett» gir 0 poeng (+ kommentar om noe kompetanse vist), mens samme svar og i tillegg argumentasjon for hvorfor Kasper har feil («det blir ikke 25 % av beløpet kunden betaler») kan gi 1 poeng.

For 2 poeng kreves riktige svar med begrunnelse.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: prosentregning, argumentasjon
Kompetansemål: Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort
Tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv og yrkesliv

Oppgave 1-4 : Lyssirkel på whiteboard

Leon jobber som lystekniker og skal bruke en lyskaster til å lyssette et whiteboard som er montert på en svart vegg. Han stiller inn lyskasteren slik at midtpunktet til lyset treffer perfekt i det nedre høyre hjørnet av whiteboardet, slik figuren nedenfor viser.

Whiteboard med lyssirkel

Whiteboardet har et areal på $10 \mathrm{~m}^2$ , og høyden er $2 \mathrm{~m}$ .

Hva er bredden på whiteboardet?

Formelen for arealet av en hel sirkel er $A = \pi \cdot r^2$ . Bruk $\pi \approx 3$ .

Hva er arealet av området på whiteboardet som er lyssatt?

Fasit

$\underline{\underline{5 \, \mathrm{m}}}$

$\underline{\underline{3 \, \mathrm{m}^2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker formelen for areal av rektangel:

\text{areal} = \text{høyde} \cdot \text{bredde}

\text{bredde} = \frac{\text{areal}}{\text{høyde}} = \frac{10 \, \mathrm{m}^2}{2 \, \mathrm{m}} = \underline{\underline{5 \, \mathrm{m}}}

Bredden på whiteboardet er 5 m.

Midtpunktet til lyset treffer det nedre høyre hjørnet av whiteboardet. Det betyr at bare en fjerdedel av sirkelen treffer whiteboardet.

Radiusen i lyskjeglen er lik høyden på whiteboardet: $r = 2 \, \mathrm{m}$ .

\text{Areal lyssatt} = \frac{\pi \cdot r^2}{4} = \frac{3 \cdot (2 \, \mathrm{m})^2}{4} = \frac{3 \cdot 4 \, \mathrm{m}^2}{4} = \frac{12 \, \mathrm{m}^2}{4} = \underline{\underline{3 \, \mathrm{m}^2}}

Arealet av det lyssatte området på whiteboardet er $3 \, \mathrm{m}^2$ .

Sensorveiledning

For poeng kreves riktig svar med begrunnelse. Sensor kan gi poeng selv om benevning mangler i svaret.

2 poeng

For poeng kreves riktig svar med begrunnelse og korrekt benevning.

Dette er en oppgave med flere beregninger, så dersom kandidaten viser en del kompetanse må dette tas hensyn til ved helhetsvurderingen av besvarelsen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: areal, formler, geometri
Kompetansemål: Utforske og bruke geometriske former og forhold og bruke det i design og produktutvikling
Tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv og yrkesliv

Oppgave 1-5 : Moores lov og iPhone-lagring

Utviklingen av minnestørrelsen i datamaskiner har i stor grad fulgt «Moores lov». Den sier at lagringskapasiteten dobler seg hvert andre år.

iPhone fra 2007 og en moderne iPhone

Gjør beregninger og vurder hvor stor lagringskapasitet iPhonen som ble lansert i $2011$ burde hatt, dersom utviklingen hadde fulgt Moores lov.

Et bilde tatt med en moderne iPhone tar opp omtrent $4 \mathrm{~MB}$ lagringsplass.

Gjør beregninger og vurder hvor mange slike bilder det er plass til i minnet til den opprinnelige iPhonen fra $2007$ , dersom hele minnet blir benyttet til bildelagring.

Fasit

$\underline{\underline{32 \, \mathrm{GB}}}$

$\underline{\underline{2000 \mathrm{~bilder}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Fra 2007 til 2011 er det 4 år. Ifølge Moores lov dobler lagringskapasiteten seg hvert andre år, så i løpet av 4 år skjer det to doblingperioder.

\text{Forventet kapasitet} = 8 \, \mathrm{GB} \cdot 2^2 = 8 \, \mathrm{GB} \cdot 4 = \underline{\underline{32 \, \mathrm{GB}}}

iPhonen som ble lansert i 2011 burde ha hatt 32 GB lagringskapasitet dersom utviklingen hadde fulgt Moores lov.

Gjør om lagringskapasiteten fra GB til MB:

8 \, \mathrm{GB} = 8 \cdot 1000 \, \mathrm{MB} = 8000 \, \mathrm{MB}

Finner antall bilder:

\text{antall bilder} = \frac{8000 \, \mathrm{MB}}{4 \, \mathrm{MB}} = \underline{\underline{2000 \mathrm{~bilder}}}

Dersom hele minnet på 8 GB brukes til bilder, er det plass til 2000 bilder.

Sensorveiledning

I denne oppgaven skal beregninger som tar utgangspunkt i titallsystemet og det binære tallsystemet sidestilles, slik at f.eks. 1 kB = 1024 B sidestilles med svar som tar utgangspunkt i at 1 kB = 1000 B.

For poeng kreves riktig svar med begrunnelse/vist fremgangsmåte, og riktig benevning.

Dersom kandidaten viser noe kompetanse, som å bruke riktig fremgangsmåte, men ikke forstår at minnet skal dobles to ganger, gis det ikke poeng, men det teller positivt ved helhetsvurderingen av besvarelsen.

2 poeng

For poeng kreves riktig svar med begrunnelse.

Dette er en oppgave med flere beregninger, så dersom kandidaten viser en del kompetanse må dette tas hensyn til ved helhetsvurderingen av besvarelsen.

Dersom kandidaten regner en del på både oppgave a og b og er «nesten i mål» på begge deloppgavene, men gjør mindre feil, kan den samlede viste kompetansen vurderes slik at man gir 1 «samlepoeng» for hele oppgave 5.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: eksponentialfunksjon, vekstfaktor, tallregning
Kompetansemål: Tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv og yrkesliv
Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining

Oppgave 2-1 : Racing-rigger til e-sport

En skole skal kjøpe inn fire racing-rigger til e-sport. En racing-rigg består av en gaming-stol, et ratt-og-pedal-sett og en skjerm. Skolen har hentet priser fra to leverandører som vist i tabellen nedenfor.

Komponent	TechSpeed	Gaming AS
Gaming-stol	$1690$ kr	$1890$ kr
Ratt-og-pedal-sett	$4490$ kr	$4290$ kr
Skjerm	$2590$ kr	$2790$ kr

Lag en oversiktlig grafisk framstilling som viser prosentvis fordeling av kostnadene for de tre komponentene i racing-riggen i tilbudet fra TechSpeed.

Leverandørene har ulike vilkår for rabatt og frakt.

TechSpeed gir ikke rabatt og tar $2000$ kroner i frakt uavhengig av hvor mye man kjøper.
Gaming AS gir $5\;\%$ rabatt på totalsummen på utstyret hvis ordren overstiger $20\;000$ kroner. De tar $600$ kroner for frakt per rigg.

Lag et oversiktlig regneark som viser totalkostnaden for de to ulike tilbudene ved kjøp av fire racing-rigger, inkludert fraktkostnader. Husk å vise formlene du bruker i regnearket.

En annen skole skal bruke inntil $90\;000$ kroner på å kjøpe racing-rigger.

Gjør beregninger og vurder hvilken leverandør denne skolen bør velge. Hvor mange racing-rigger vil skolen maksimalt kunne kjøpe?

Fasit

Sektordiagram med gaming-stol 19 %, ratt-og-pedal-sett 51 %, skjerm 30 %

TechSpeed: 37 080 kr, Gaming AS: 36 486 kr

TechSpeed — maks $\underline{\underline{10 \mathrm{~rigger}}}$ for 89 700 kr

LøsningsforslagKI-generert

Priser fra TechSpeed per rigg:

Gaming-stol: 1 690 kr
Ratt-og-pedal-sett: 4 490 kr
Skjerm: 2 590 kr
Totalpris per rigg: 8 770 kr

Prosentvis fordeling:

\text{Gaming-stol} = \frac{1690 \, \mathrm{kr}}{8770 \, \mathrm{kr}} \cdot 100 \approx 19 \, \%

\text{Ratt-og-pedal-sett} = \frac{4490 \, \mathrm{kr}}{8770 \, \mathrm{kr}} \cdot 100 \approx 51 \, \%

\text{Skjerm} = \frac{2590 \, \mathrm{kr}}{8770 \, \mathrm{kr}} \cdot 100 \approx 30 \, \%

Grafisk framstilling (sektordiagram):

Prosentvis fordeling av kostnader – TechSpeeds tilbud

         Gaming-stol  19 %
  Ratt-og-pedal-sett  51 %
              Skjerm  30 %

Verdier:

Komponent	Pris per stk TS	Pris per stk NG	Antall rigger	Pris TS	Pris NG
Gaming-stol	1 690 kr	1 890 kr	4	6 760 kr	7 560 kr
Ratt-og-pedal-sett	4 490 kr	4 290 kr	4	17 960 kr	17 160 kr
Skjerm	2 590 kr	2 790 kr	4	10 360 kr	11 160 kr
Totalpris før rabatt				35 080 kr	35 880 kr
Rabatt				–	–1 794 kr
Frakt				2 000 kr	2 400 kr
Totalpris tilbud				37 080 kr	36 486 kr

Formler:

Komponent	Formel Pris TS	Formel Pris NG
Gaming-stol	=C10*E10	=D10*E10
Ratt-og-pedal-sett	=C11*E11	=D11*E11
Skjerm	=C12*E12	=D12*E12
Totalpris før rabatt	=SUMMER(F10:F12)	=SUMMER(G10:G12)
Rabatt	=F13*0%	=-(G13*5%)
Frakt	2000	=E10*600
Totalpris tilbud	=SUMMER(F13:F15)	=SUMMER(G13:G15)

Merk: Gaming AS gir 5 % rabatt fordi 35 880 kr > 20 000 kr. Frakten er 600 kr × 4 rigger = 2 400 kr.

TechSpeed: 37 080 kr. Gaming AS: 36 486 kr.

Gaming AS er billigst for 4 rigger.

Vi prøver med ulike antall rigger og varierer antallet til en av leverandørene akkurat overstiger 90 000 kr.

Prøver med 10 rigger:

TechSpeed:

10 \cdot 8770 \, \mathrm{kr} + 2000 \, \mathrm{kr} = 87700 \, \mathrm{kr} + 2000 \, \mathrm{kr} = \underline{89700 \, \mathrm{kr}}

Gaming AS (10 rigger, totalpris før rabatt = 89 700 kr > 20 000 kr, rabatt 5 %):

10 \cdot 8970 \, \mathrm{kr} - 0{,}05 \cdot 89700 \, \mathrm{kr} + 10 \cdot 600 \, \mathrm{kr}

= 89700 \, \mathrm{kr} - 4485 \, \mathrm{kr} + 6000 \, \mathrm{kr} = 91215 \, \mathrm{kr}

TechSpeed: 89 700 kr (under 90 000 kr) ✓ Gaming AS: 91 215 kr (over 90 000 kr) ✗

Prøver med 11 rigger:

TechSpeed: $11 \cdot 8770 \, \mathrm{kr} + 2000 \, \mathrm{kr} = 98470 \, \mathrm{kr}$ — over 90 000 kr ✗

Skolen bør velge TechSpeed, og kan maksimalt kjøpe $\underline{\underline{10 \text{~racing-rigger}}}$ for 89 700 kr.

Sensorveiledning

For 2 poeng kreves riktig svar med en tilhørende passende grafisk fremstilling hvor all relevant informasjon framkommer.

Sensor kan gi 1 poeng dersom kandidaten viser en del kompetanse, men der den grafiske fremstillingen har klare mangler, som manglende etiketter, diagramtittel eller aksetitler (dersom søylediagram er valgt).

Sensor kan gi 1 poeng hvis kandidaten viser en del kompetanse, for eksempel ved å lage et regneark med en del riktige utregninger, eller glemmer å vise formler.

Sensor kan gi maksimalt 1 poeng hvis kandidaten ikke bruker regneark. Da må alle beregninger være korrekte.

For 2 poeng kreves et korrekt regneark med formler vist. Sensor skal ikke trekke poeng for manglende benevning (kr) i cellene.

6 poeng

For 2 poeng må kandidaten finne riktig antall rigger.

Det er ikke krav om bruk av regneark i denne deloppgaven, men dersom 2 poeng skal gis må fremgangsmåte og forklaring være tydelig og korrekt vist.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: regneark, prosentregning, presentasjon av data, økonomi
Kompetansemål: Lese, bruke og lage rekneark i arbeidet med budsjett, anbod og kostnadsberekning knytt til informasjonsteknologi og medieproduksjon, og vurdere korleis ulike faktorar påverkar resultatet

Oppgave 2-2 : Kryptovaluta - Bitcoin og Ethereum

Kryptovaluta er en betegnelse på «digitale penger». Det finnes ulike typer slik valuta, for eksempel Bitcoin og Ethereum. Verdien av disse endrer seg over tid.

Bitcoin- og Ethereum-mynter

År	Gjennomsnittlig verdi for Ethereum (dollar)	Gjennomsnittlig verdi for Bitcoin (dollar)
2015	$1$	$272$
2016	$10$	$568$
2017	$221$	$4\;006$
2018	$484$	$7\;572$
2019	$181$	$7\;395$
2020	$308$	$11\;116$
2021	$2\;787$	$47\;436$
2022	$1\;892$	$28\;197$
2023	$1\;792$	$28\;859$
2024	$3\;046$	$65\;964$
2025	$3\;066$	$101\;642$

Hva er den prosentvise endringen i verdien for Ethereum fra $2019$ til $2020$ ? Hva er den prosentvise endringen i verdien for Bitcoin fra $2021$ til $2022$ ?

Tenk deg at du investerte $100$ dollar i Ethereum og $100$ dollar i Bitcoin i $2015$ .

Hva ville verdien for hver av investeringene vært i $2025$ ?

Man utvinner Bitcoin ved å kjøre dataprogrammer som krever store mengder datakraft og elektrisk energi. Å utvinne én Bitcoin krever omtrent $824\;000 \mathrm{~kWh}$ (kilowattimer) med strøm. I Norge koster én kilowattime med strøm omtrent $1{,}20$ kroner. Én dollar koster omtrent $9{,}50$ kroner.

Hva må verdien av én Bitcoin være i dollar for at det skal lønne seg å utvinne Bitcoin i Norge?

Fasit

Ethereum 2019–2020: $\underline{\underline{+70{,}2 \,\%}}$ — Bitcoin 2021–2022: $\underline{\underline{-40{,}6 \,\%}}$

Ethereum: $\underline{\underline{306\,600 \mathrm{~dollar}}}$ — Bitcoin: $\underline{\underline{\approx 37\,372 \mathrm{~dollar}}}$

Bitcoin må være verdt mer enn $\underline{\underline{104\,084 \mathrm{~dollar}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Ethereum fra 2019 til 2020:

\text{Prosentvis endring} = \frac{\text{endring}}{\text{opprinnelig verdi}} \cdot 100 = \frac{308 - 181}{181} \cdot 100 \approx \underline{\underline{+70{,}2 \,\%}}

Ethereum økte 70,2 % i verdi fra 2019 til 2020.

Bitcoin fra 2021 til 2022:

\text{Prosentvis endring} = \frac{28\,197 - 47\,436}{47\,436} \cdot 100 \approx \underline{\underline{-40{,}6 \,\%}}

Bitcoin falt 40,6 % i verdi fra 2021 til 2022.

Vi bruker forholdet mellom kurs i 2025 og kurs i 2015 for å finne verdien av investeringen:

Bitcoin:

\text{Verdi Bitcoin}_{2025} = \frac{\text{kurs}_{2025}}{\text{kurs}_{2015}} \cdot \text{investering} = \frac{101\,642}{272} \cdot 100 \, \mathrm{dollar} \approx \underline{\underline{37\,372 \mathrm{~dollar}}}

100 dollar investert i Bitcoin i 2015 ville ha vært verdt ca. 37 372 dollar i 2025.

Ethereum:

\text{Verdi Ethereum}_{2025} = \frac{\text{kurs}_{2025}}{\text{kurs}_{2015}} \cdot \text{investering} = \frac{3\,066}{1} \cdot 100 \, \mathrm{dollar} = \underline{\underline{306\,600 \mathrm{~dollar}}}

100 dollar investert i Ethereum i 2015 ville ha vært verdt 306 600 dollar i 2025.

Finner først utvinningskostnaden i kroner:

\text{Utvinningskostnad} = 824\,000 \, \mathrm{kWh} \cdot 1{,}20 \, \mathrm{kr/kWh} = 988\,800 \, \mathrm{kr}

Gjør om til dollar:

\text{Utvinningskostnad i dollar} = \frac{988\,800 \, \mathrm{kr}}{9{,}50 \, \mathrm{kr/dollar}} \approx \underline{\underline{104\,084 \mathrm{~dollar}}}

Kursen til Bitcoin må overstige 104 084 dollar for at det skal lønne seg å utvinne Bitcoin i Norge.

Sensorveiledning

For 2 poeng kreves riktig svar på begge de prosentvise endringene av verdi, med begrunnelse/vist fremgangsmåte.

Dersom kandidaten viser noe kompetanse, som å finne bare ett korrekt svar, gis 1 poeng.

Dersom kandidaten regner en del på begge de prosentvise endringene og er «nesten i mål» på begge deloppgavene, men gjør mindre feil, kan den samlede viste kompetansen vurderes slik at man gir 1 «samlepoeng».

6 poeng

For 2 poeng kreves riktig beregning av verdiøkning på begge kryptovalutaene, med begrunnelse/vist fremgangsmåte.

Dersom kandidaten viser noe kompetanse, som å finne bare ett korrekt svar, gis 1 poeng.

Dersom kandidaten regner en del på begge verdiøkningene og er «nesten i mål» på begge, men gjør mindre feil, kan den samlede viste kompetansen vurderes slik at man gir 1 «samlepoeng».

For 2 poeng kreves riktig svar med begrunnelse/vist fremgangsmåte.

Dersom kandidaten kun finner utvinningskostnaden i kroner, gis det 1 poeng.

En kandidat som bruker riktig framgangsmåte, men gjør mindre regnefeil, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: prosentregning, vekstfaktor, modellering
Kompetansemål: Innhente data og behandle store datasett, gjere berekningar og lage formålstenlege framstillingar av resultata og presentere desse
Tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv og yrkesliv
Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort

Oppgave 2-3 : Håndtrykksformelen for n personer

Når $n$ personer møtes og alle håndhilser på hverandre, er antall håndtrykk $H$ gitt ved formelen

H = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}

$20$ personer møtes. Alle håndhilser på hverandre.

Bruk formelen til å finne antall håndtrykk.

Alle deltakerne på en fest håndhilser på hverandre. Det blir til sammen $300$ håndtrykk.

Hvor mange deltakere er det på festen? Husk å begrunne svaret.

Fasit

$H = \underline{\underline{190}}$

$\underline{\underline{25 \text{ deltakere}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $n = 20$ inn i formelen:

H = \frac{20 \cdot (20 - 1)}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = \frac{380}{2} = \underline{\underline{190}}

Det blir 190 håndtrykk når 20 personer møtes.

Vi vet at $H = 300$ og skal finne $n$ . Vi prøver oss frem med ulike verdier for $n$ .

Fra a) vet vi at $n = 20$ gir $H = 190$ håndtrykk — for få. Prøver med $n = 30$ :

H = \frac{30 \cdot 29}{2} = \frac{870}{2} = 435 \quad \text{(for mange — må ha lavere } n\text{)}

Prøver med $n = 25$ :

H = \frac{25 \cdot 24}{2} = \frac{600}{2} = 300 \checkmark

$n = 25$ gir nøyaktig 300 håndtrykk.

Det er 25 deltakere på festen.

Sensorveiledning

2 poeng

Sensor kan gi 1 poeng dersom kandidaten viser en del kompetanse, for eksempel ved å sette opp riktig regnestykke, men få ut feil svar. For 2 poeng kreves riktig svar med begrunnelse. (Manglende tekstsvar gir ikke poengtrekk dersom kandidaten tar med variabelen $H$ fra formelen og får $H = ... = 190$ .)

2 poeng

Sensor kan gi 1 poeng dersom kandidaten viser en del kompetanse, for eksempel ved å finne riktig svar uten å forklare fremgangsmåten.

For 2 poeng kreves riktig svar med begrunnelse. Dersom kandidaten har brukt gjett og sjekk, bør kandidaten enten skrive dette, for eksempel «jeg prøvde meg frem» og samtidig ta med utregningen og riktig konklusjon, eller vise flere forsøk (minst to) slik at strategien kommer frem uten at den nevnes med ord. Sensor trekker ikke poeng for å ikke vise/forklare en slik strategi, men skriver kommentar i kommentarfeltet.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: formler, likninger, argumentasjon
Kompetansemål: Tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv og yrkesliv

Oppgave 2-4 : Elbil Trondheim-Bodø lading og fart

Øzlem skal kjøre elbil fra Trondheim til Bodø.

Strekningen fra Trondheim til Bodø er $700 \mathrm{~km}$ .
Bilen bruker omtrent $20 \mathrm{~kWh}$ per $100 \mathrm{~km}$ .
Lading koster $5{,}50$ kroner per $\mathrm{kWh}$ .

Hvor mange kroner må Øzlem regne med å bruke på å lade bilen?

Ifølge Google Maps er strekningen fra Trondheim til Bodø $700 \mathrm{~km}$ . Kjøretiden er $10$ timer og $16$ minutter.

Google Maps: Trondheim til Bodø, 10 t 16 min, 700 km

Hva blir gjennomsnittsfarten for kjøreturen, ifølge Google Maps?

Fasit

$\underline{\underline{770 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{\approx 68 \, \mathrm{km/h}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Bilen bruker $20 \, \mathrm{kWh}$ per $100 \, \mathrm{km}$ . Vi finner energiforbruk per km:

\text{Energiforbruk per km} = \frac{20 \, \mathrm{kWh}}{100 \, \mathrm{km}} = 0{,}2 \, \mathrm{kWh/km}

Totalt energiforbruk for hele strekningen:

\text{Totalt energiforbruk} = 0{,}2 \, \mathrm{kWh/km} \cdot 700 \, \mathrm{km} = 140 \, \mathrm{kWh}

Ladekostnaden:

\text{Ladekostnad} = 140 \, \mathrm{kWh} \cdot 5{,}50 \, \mathrm{kr/kWh} = \underline{\underline{770 \, \mathrm{kr}}}

Øzlem må regne med å bruke 770 kroner på å lade bilen.

Vi gjør om kjøretiden til desimaltimer. 16 minutter er:

\frac{16}{60} \text{ timer} \approx 0{,}27 \text{ timer}

Total kjøretid:

\text{Kjøretid} = 10 \text{ timer} + 0{,}27 \text{ timer} \approx 10{,}27 \text{ timer}

Gjennomsnittsfart:

\text{Fart} = \frac{\text{Strekning}}{\text{Tid}} = \frac{700 \, \mathrm{km}}{10{,}27 \text{ timer}} \approx \underline{\underline{68 \, \mathrm{km/h}}}

Gjennomsnittsfarten er omtrent 68 km/h.

Sensorveiledning

2 poeng

Sensor kan gi 1 poeng dersom kandidaten viser en del kompetanse, for eksempel ved å finne riktig svar uten å begrunne godt nok, eller ved å gjøre noen riktige utregninger. For 2 poeng kreves riktig svar med begrunnelse.

2 poeng

Sensor kan gi 1 poeng dersom kandidaten viser en del kompetanse, for eksempel ved å gjøre feil omgjøring fra minutter til timer og få $700/10{,}16 \, \mathrm{km/h} = 68{,}9 \, \mathrm{km/h}$ . (Merk at kandidater som deretter feilaktig runder av til 68 km/h får korrekt svar. Da skal det selvsagt gis 1 poeng.)

For 2 poeng kreves riktig svar med begrunnelse og benevning (km/h eller km/t).

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: måleenheter, tallregning, energi
Kompetansemål: Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining
Tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv og yrkesliv

Oppgave 2-5 : Forbrukslån for Sigurd kontra kredittkort

Sigurd tar opp et forbrukslån på $150\,000$ kroner.

Type lån: annuitetslån
Nominell rente: $13\;\%$ per år
Nedbetalingstid: $2$ år, med $12$ terminer per år
Termingebyr: $50$ kroner
Terminbeløp: $7181$ kroner

Banken lager en betalingsplan for lånet. Tabellen nedenfor viser planen for de tre første terminene, men avdrag og restlån for termin $3$ mangler.

Termin	Terminbeløp	Renter	Termingebyr	Avdrag	Restlån
1	$7\;181{,}00$ kr	$1\;625{,}00$ kr	$50{,}00$ kr	$5\;506{,}00$ kr	$144\;494{,}00$ kr
2	$7\;181{,}00$ kr	$1\;565{,}35$ kr	$50{,}00$ kr	$5\;565{,}65$ kr	$138\;928{,}35$ kr
3	$7\;181{,}00$ kr	$1\;505{,}06$ kr	$50{,}00$ kr

Sigurd ser på planen og stiller noen spørsmål.

Gjør beregninger og svar på spørsmålene Sigurd stiller.

Fasit

Grønn boks: Totalt $\underline{\underline{172\,344 \, \mathrm{kr}}}$
Gul boks: Avdrag $\underline{\underline{5\,625{,}94 \, \mathrm{kr}}}$ , restlån $\underline{\underline{133\,302{,}41 \, \mathrm{kr}}}$
Blå boks: Nei, kredittkortet hadde blitt dyrere (effektiv årsrente ca. 22,4 %)

LøsningsforslagKI-generert

Grønn boks — totalt betalt til banken

Sigurd betaler i $2 \text{ år} \cdot 12 \text{ terminer} = 24$ terminer. Hvert terminbeløp er $7\,181 \, \mathrm{kr}$ :

\text{Totalt betalt} = 24 \cdot 7\,181 \, \mathrm{kr} = \underline{\underline{172\,344 \, \mathrm{kr}}}

Sigurd betaler totalt 172 344 kroner til banken.

Gul boks — avdrag og restlån for termin 3

Avdraget er terminbeløpet minus renter og termingebyr:

\text{Avdrag termin 3} = 7\,181 \, \mathrm{kr} - 1\,505{,}06 \, \mathrm{kr} - 50 \, \mathrm{kr} = \underline{\underline{5\,625{,}94 \, \mathrm{kr}}}

Restlånet er restlånet etter termin 2 minus avdraget i termin 3:

\text{Restlån termin 3} = 138\,928{,}35 \, \mathrm{kr} - 5\,625{,}94 \, \mathrm{kr} = \underline{\underline{133\,302{,}41 \, \mathrm{kr}}}

Avdraget i termin 3 er 5 625,94 kr, og restlånet etter termin 3 er 133 302,41 kr.

Blå boks — er kredittkortet billigere?

Vi sammenligner månedlig rente på kredittkortet med forbrukslånet.

Kredittkortet har $1{,}7 \, \%$ månedlig rente. Vi finner effektiv årsrente:

\text{Effektiv årsrente} = 1{,}017^{12} - 1 \approx 0{,}224 = 22{,}4 \, \%

Forbrukslånet har $13 \, \%$ nominell årsrente — langt lavere enn $22{,}4 \, \%$ .

Vi kan også sammenligne direkte for termin 1:

Renter med kredittkort: $150\,000 \, \mathrm{kr} \cdot 0{,}017 = 2\,550 \, \mathrm{kr}$
Renter med forbrukslån: $1\,625 \, \mathrm{kr}$ (pluss $50 \, \mathrm{kr}$ termingebyr = $1\,675 \, \mathrm{kr}$ )

Kredittkortet gir $2\,550 \, \mathrm{kr}$ i renter første termin, mot $1\,675 \, \mathrm{kr}$ for forbrukslånet.

Det ville ikke blitt billigere å låne pengene med kredittkort. Forbrukslånet er billigere.

Sensorveiledning

Poeng settes ut fra en helhetsvurdering av kompetansen kandidaten viser.

I utgangspunktet skal sensor gi inntil:

1 poeng for grønn boks
2 poeng for gul boks (1 poeng per tom rute)
2 poeng for blå boks

Grønn boks: En alternativ måte å løse oppgaven på er å lage en fullstendig nedbetalingsplan for lånet og deretter finne summen av renter, termingebyr og avdrag. Planen vil da vise et restlån på 7,45 kr etter siste termin. En slik løsning skal godkjennes fullt ut uansett hvordan kandidaten forholder seg til dette beløpet. I praksis vil banken øke det siste terminbeløpet med 7,45 kr slik at restlånet blir 0 kr.

Gul boks: Feil beregning av avdrag kan gi følgefeil ved beregning av restlån. Da gis det selvsagt poeng for beregning av restlån dersom metoden er riktig.

Blå boks: Her er det mange mulige løsningsmetoder. Det er ikke noe krav om å beregne forskjellen i kostnad for de to alternativene. Det holder med beregninger som gjør at kandidaten kan argumentere godt for at det ikke ville blitt billigere å låne pengene med kredittkortet.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: annuitetslån, lån, rente, modellering
Kompetansemål: Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time

Oppgave 1-1 : Lønn for Ina på søylediagram

Oppgave 1-2 : Lineær nedbetalingsformel for billån

Oppgave 1-3 : Kasper og Viktor om merverdiavgift

Oppgave 1-4 : Lyssirkel på whiteboard

Oppgave 1-5 : Moores lov og iPhone-lagring

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 2-1 : Racing-rigger til e-sport

Oppgave 2-2 : Kryptovaluta - Bitcoin og Ethereum

Oppgave 2-3 : Håndtrykksformelen for n personer

Oppgave 2-4 : Elbil Trondheim-Bodø lading og fart

Oppgave 2-5 : Forbrukslån for Sigurd kontra kredittkort